Linha elástica: determinação e exercícios resolvidos

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1- Encontre a equação da linha elástica para a 
viga engastada com carga concentrada vista na 
figura ao lado. 
Solução: 
 
P 
L 
A B 
 
 
L 
A B 
x 
VA 
MA 
y 
P 
 
Cálculo das reações de apoio: 
LPM0LPM0M
PV0PV0V
AA
AA



 
Equação dos momentos fletores: 
  Lx0LxP)x(MMxV)x(M AA 
 
Equação diferencial da linha elástica: 
  Lx0LxP)x(''EIy 
 
Integrando uma vez: 
 
Lx0C
2
Lx
P)x('EIy 1
2



 
Integrando Mais uma vez: 
 
Lx0CxC
6
Lx
P)x(EIy 21
3



 
Condições de contorno: 
6
LP
C0y(0)
2
LP
C0(0)y'
3
2
2
1


 
Portanto a equação da linha elástica fica assim:  
  Lx0xL3
EI6
xP
)x(y
ou
Lx0
6
LP
x
2
LP
6
Lx
P)x(EIy
2
323




 
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é: 
   
EI3
LP
L2
EI6
LP
LL3
EI6
LP
)L(y
322
max 
 
EI3
LP 3
max 
 
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2- Encontre a equação da linha elástica para a 
viga engastada com carga distribuída 
triangular vista na figura ao lado. 
Solução: 
 
q0 
L 
A B 
x 
VA 
MA 
y 
 
 q0 
L 
A B 
 
Cálculo das reações de apoio: 
3
Lq
M0
3
L2
)
2
Lq
(M0M
2
Lq
V0)
2
Lq
(V0V
2
0
A
0
A
0
A
0
A




 
Equação dos momentos fletores: 
Lx0
L6
xq
MxV
3
x
L2
xq
MxV)x(M
3
0
AA
2
0
AA 
 
Equação diferencial da linha elástica: 
Lx0
L6
xq
MxV)x(''EIy
3
0
AA 
 
Integrando uma vez: 
Lx0C
L24
xq
xM
2
x
V)x('EIy 1
4
0
A
2
A 
 
Integrando Mais uma vez: 
Lx0CxC
L120
xq
2
x
M
6
x
V)x(EIy 21
5
0
2
A
3
A 
 
Condições de contorno: 
0C0y(0)
0C0(0)y'
2
1

 
Portanto a equação da linha elástica fica assim: 
  Lx0L20xL10x
EIL120
xq
)x(y
Lx0
L120
xq
2
x
3
Lq
6
x
2
Lq
)x(EIy
ou
L120
xq
2
x
M
6
x
V)x(EIy
323
2
0
5
0
22
0
3
0
5
0
2
A
3
A



 
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é: 
   3
2
0323
2
0
max L11
EIL120
Lq
L20LL10L
EIL120
Lq
)L(y 
 
EI120
Lq11 40
max 
 
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3- Encontre a equação da linha elástica para a 
viga engastada com carga distribuída triangular 
vista na figura ao lado. 
Solução: 
 q0 
L 
A B 
x 
y 
 
 q0 
L 
A B 
 
Equação dos momentos fletores (origem dos eixos em A): 
Lx0
L6
xq
3
x
L2
xq
3
x
2
L
xq
)x(
)x(M
3
0
2
0
0







 
Equação diferencial da linha elástica: 
Lx0
L6
xq
)x(''EIy
3
0 
 
Integrando uma vez: 
Lx0C
L24
xq
)x('EIy 1
4
0 
 
Integrando Mais uma vez: 
Lx0CxC
L120
xq
)x(EIy 21
5
0 
 
Condições de contorno: 
30
Lq
C0y(L)
24
Lq
C0(L)y'
4
0
2
3
0
1


 
Portanto a equação da linha elástica fica assim: 
  Lx0L4xL5x
EIL120
q
)x(y
ou
30
Lq
x
24
Lq
L120
xq
)x(EIy
5450
4
0
3
0
5
0


 
e a flecha máxima, max, e declividade máxima, max, na extremidade livre (A) é: 
     
EI24
Lq
EIL24
0q
)0('y
L
EIL30
q
L4
EIL120
q
L40L50
EIL120
q
)0(y
3
0
4
0
max
50505450
max


EI30
Lq 40
max 
 
EI24
Lq 30
max 
 
 
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4- Encontre a equação da linha elástica para a 
viga biapoiada com carga distribuída retangular 
vista na figura ao lado. 
Solução: 
 
q 
L 
B A 
x 
VA 
y 
VB 
 
 q 
L 
B A 
 
Cálculo das reações de apoio: 
2
Lq
V0LqVV0V
2
Lq
V0
2
L
)qL(LV0M
ABA
BB




 
Equação dos momentos fletores: 
Lx0
2
x
qx
2
L
q)x(M
2

 
Equação diferencial da linha elástica: 
  Lx0xLx
2
q
)x(''EIy 2 
 
Integrando uma vez: 
Lx0C
3
x
2
Lx
2
q
)x('EIy 1
32







 
Integrando Mais uma vez: 
Lx0CxC
12
x
6
Lx
2
q
)x(EIy 21
43







 
Condições de contorno: 
24
qL
C0LC
12
L
6
L
2
q
0y(L)
0C0y(0)
3
11
44
2








 
Portanto a equação da linha elástica fica assim: 
  Lx0xLx2L
EI24
qx
)x(y
Lx0x
24
qL
12
x
6
Lx
2
q
)x(EIy
323
343








 
e a flecha máxima, max, no centro do vão L é: 
 
 
    
EI384
qL5
2/L2/LL2L
EI24
2/Lq
2/Ly
4
323
max 
 
EI384
qL5 4
max 
 
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5- Encontre a equação da linha elástica para a 
viga biapoiada com carga concentrada vista na 
figura ao lado. 
Solução: 
Reações de apoio: 
L
Pa
V0PVV0F
L
)aL(P
V0)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z





 
 
 
P 
L 
B 
a 
 
As equações de momentos fletores são: 
Lxa)ax(Px
L
)aL(P
)x(M
ax0x
L
)aL(P
)x(M
2
1






 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
Lxa)ax(Px
L
)aL(P
)x(''yEI
ax0x
L
)aL(P
)x(''yEI
2
1






 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
LxaC
2
)ax(
P
2
x
L
)aL(P
)x('yEI
ax0C
2
x
L
)aL(P
)x('yEI
2
22
2
1
2
1








 
Segunda integração: 
LxaCxC
6
)ax(
P
6
x
L
)aL(P
)x(yEI
ax0CxC
6
x
L
)aL(P
)x(yEI
42
33
2
31
3
1








 
As condições de contorno para a viga são: 
3
12
2
33
22
43311
4321
2121
)aL(
L6
P
)aL(
6
PL
CC
0LC
6
)aL(
P
6
L
L
)aL(P
)L(yEI0)L(y
0CC0C)0(yEI0)0(y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y









 
 
A linha elástica é: 
Lxax)aL(
L6
P
)aL(
6
PL
6
)ax(
P
6
x
L
)aL(P
)x(yEI
ax0x)aL(
L6
P
)aL(
6
PL
6
x
L
)aL(P
)x(yEI
3
33
2
3
3
1








 
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6- Encontre a equação da linha elástica para a 
viga engastada com carga distribuída 
retangular vista na figura ao lado 
 
 
Solução: 
 
L 
A B 
q 
 
 
L 
A B 
x 
VA 
MA 
y 
q 
 
Cálculo das reações de apoio: 
2
qL
M0
2
L
LqM0M
LqV0LqV0V
2
AA
AA




 
Equação dos momentos fletores: 
Lx0
2
qx
2
qL
qLx)x(M
2
qx
MxV)x(M
222
AA 
 
Equação diferencial da linha elástica: 
Lx0qLx
2
qL
2qx
)x(''EIy
22

 
Integrando uma vez: 
Lx0C
2
qLx
2
xqL
6
qx
)x('EIy 1
223

 
Integrando mais uma vez: 
Lx0CxC
6
qLx
4
xqL
24
qx
)x(EIy 21
3224

 
Condições de contorno: 
0C0y(0)
0C0(0)y'
2
1

 
Portanto a equação da linha elástica fica assim: 
Lx0
6
qLx
4
xqL
24
qx
)x(EIy
3224

 
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é: 
EI8
qL
EI
6
LqL
4
LqL
24
qL
)L(y
4
3224
max 


 
EI8
qL4
max 
 
 
 
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7- Calcule o máximo deslocamento entre A e B da viga biapoiada com balanços, 
feita de madeira (E=12,5 GPa) com seção transversal retangular vista ao lado da 
mesma: 
 
B A 
3 kN 
6,0 m 
12 cm 
30 cm 
2,0 m 
C 
3 kN 
2,0 m 
D 
 
    246
444
3
26
mkN3375107,2105,12IE
m00027,0cm27000cm
12
3012
I
m/kN105,12MPa12500GPa5,12E






 
 
Solução: 
Vamos calcular as reações de apoio: 
kN3V033VV0F
kN3V023836V0M
BBAy
AA)B(z



 
Vamos encontrar as equações de momento fletor: 
m10x8)8x(3)2x(3x3)8x(V)2x(Vx3M
m8x2)2x(3x3)2x(Vx3M
m2x0x3M
BA3
A2
1



 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
m10x8)8x(3)2x(3x3)x(''yIE
m8x2)2x(3x3)x(''yIE
m2x0x3)x(''yIE
3
2
1



 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
m10x8C
2
)8x(
3
2
)2x(
3
2
x
3)x('yIE
m8x2C
2
)2x(
3
2
x
3)x('yIE
m2x0C
2
x
3)x('yIE
3
222
2
2
22
2
1
2
1









 
Segunda integração: 
m10x8CxC
6
)8x(
3
6
)2x(
3
6
x
3)x(yIE
m8x2CxC
6
)2x(
3
6
x
3)x(yIE
m2x0CxC
6
x
3)x(yIE
63
333
2
52
33
2
41
3
1









 
 
 
 
 
 
 
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As condições de contorno para a viga são: 
   
44CCC44C
24CCC24C
04C2C8
2
6
2
8
04C28C
2
6
2
8
0C8C
6
)28(
3
6
8
3)8(yIE0)8(y
4C2C0C2C
6
2
3)2(yIE0)2(y
CC)8(y)8(y
CC)8('y)8('y
CC)2(y)2(y
CC)2('y)2('y
6544
3212
22
33
12
33
52
33
2
1441
3
1
6521
3232
5421
2121











 
Então: 
m10x844x24
6
)8x(
3
6
)2x(
3
6
x
3)x(yIE
m8x244x24
6
)2x(
3
6
x
3)x(yIE
m2x044x24
6
x
3)x(yIE
333
2
33
2
3
1









 
O deslocamento entre A e B (centro, x=5m) é: 
m008,0
3375
27
IE
27
)5(y2744524
6
)25(
3
6
5
3)5(yIE 2
33
2 


 
 
Resposta: O deslocamento entre A e B é de 8 mm para cima. 
 
 
8- Encontre a equação da linha elástica para a viga biapoiada e carga concentrada, 
conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o deslocamento vertical em C. 
Considere as seções transversais de inércia EJ=250 kN.m
2
 constante ao longo de todo 
o comprimento da viga. 
 
B A 
1 kN 
1 m 1 m 
C 
1 m 
 
Solução: 
Vamos calcular as reações de apoio: 
kN5,0V01VV0F
kN5,0V0112V0M
BBAy
AA)B(z



 
Vamos encontrar as equações de momento fletor: 
m3x2)2x(5,0)1x(1x5,0M
m2x1)1x(1x5,0M
m1x0x5,0M
3
2
1



 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
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m3x2)2x(5,0)1x(1x5,0)x(''yIE
m2x1)1x(1x5,0)x(''yIE
m1x0x5,0)x(''yIE
3
2
1



 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
m3x2C)2x(25,0)1x(5,0x25,0)x('yIE
m2x1C)1x(5,0x25,0)x('yIE
m1x0Cx25,0)x('yIE
3
222
3
2
22
2
1
2
1



 
Segunda integração: 
m3x2CxC)2x(
3
25,0
)1x(
3
5,0
3
x25,0
)x(yIE
m2x1CxC)1x(
3
5,0
3
x25,0
)x(yIE
m1x0CxC
3
x25,0
)x(yIE
63
33
3
3
52
3
3
2
41
3
1



 
 
As condições de contorno para a viga são: 
6521
3232
5421
2121
CC)2(y)2(y
CC)2('y)2('y
CC)1(y)1(y
CC)1('y)1('y




 
25,0C25,0C25,0C0CC25,0
0C2C)12(
3
5,0
3
225,0
)2(yIE0)2(y
0C0C0C0)1(y
31252
52
3
3
2
654





 
 
 
Então: 
m3x2x25,0)2x(
3
25,0
)1x(
3
5,0
3
x25,0
)x(yIE
m2x1x25,0)1x(
3
5,0
3
x25,0
)x(yIE
m1x0x25,0
3
x25,0
)x(yIE
33
3
3
3
3
2
3
1



 
O deslocamento em C (x=3m) é: 
m001,0
250
25,0
IE
25,0
)3(y
325,0)23(
3
25,0
)13(
3
5,0
3
325,0
)3(yIE
3
33
3
3




 
 
Resposta: O deslocamento em C é de 1 mm para cima. 
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9- Calcule o deslocamento vertical em C após encontrar a equação da linha elástica 
para a viga biapoiada e carga concentrada, conforme mostra a figura abaixo. 
Considere as seções transversais de inércia EI=2500 kN.m
2
 constante ao longo de 
todo o comprimento da viga. 
 
B A 
2 kN 
2 m 1 m 
C 
2 m 
D 
 
Solução: 
Vamos calcular as reações de apoio: 
kN
2
5
V02VV0F
kN
2
1
V0124V0M
BBAy
AA)B(z




 
 
B A 
2 kN 
2 m 1 m 
C 
2 m 
VA VB 
 
Vamos encontrar as equações de momento fletor (o eixo x inicia-se em A): 
m5x4)4x(
2
5
x
2
1
)x(M
m4x0x
2
1
)x(M
2
1


 
 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
m5x4)4x(
2
5
x
2
1
)x(''yEI
m4x0x
2
1
)x(''yEI
2
1


 
 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
m5x4C
4
)4x(5
4
x
)x('yEI
m4x0C
4
x
)x('yEI
2
22
2
1
2
1




 
 
Segunda integração: 
m5x4CxC
12
)4x(5
12
x
)x(yEI
m4x0CxC
12
x
)x(yEI
42
33
2
31
3
1




 
 
As condições de contorno para a viga são: 
4321
2121
CC)4(y)4(y
CC)4('y)4('y

 
3
4
C04C
12
4
)4(yEI0)4(y
0C0C0)0(y
11
3
11
431


 
 
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Então: 
m5x4x
3
4
12
)4x(5
12
x
)x(yEI
m4x0x
3
4
12
x
)x(yEI
33
2
3
1




 
O deslocamento em C (x = 2 m) é: 
m0008,0
2500
2
EI
2
)2(y
22
3
4
12
2
)2(yEI
1
3
1


 
 
Resposta: O deslocamento em C é de 0,8 mm para cima. 
 
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10- Encontre a equação da linha elástica para a viga biapoiada com carga 
concentrada, conforme mostra a figuraabaixo. Encontre, também, o maior 
deslocamento vertical entre A e B. Considere a inércia à flexão EI=250 kN.m
2
 
constante ao longo de todo o comprimento da viga. 
 
B A 
2 kN 
1 m 1 m 
 
Solução: 
Cálculo das reações de apoio: 
kN1V02VV0F
kN1V0122V0M
BBAy
AA)B(z



 
Vamos encontrar as equações de momento fletor: 
m2x1)1x(2x1M
m1x0x1M
2
1

 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
m2x1)1x(2x)x(''yIE
m1x0x)x(''yIE
2
1

 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
m2x1C
2
)1x(
2
2
x
)x('yIE
m1x0C
2
x
)x('yIE
2
22
2
1
2
1




 
Segunda integração: 
m2x1CxC
6
)1x(
2
6
x
)x(yIE
m1x0CxC
6
x
)x(yIE
42
33
2
31
3
1




 
As condições de contorno para a viga são: 
4321
2121
CC)1(y)1(y
CC)1('y)1('y

 
2
1
C
2
1
C02C
6
)12(
2
6
2
)2(yIE0)2(y
0C0C0)0(y
122
33
2
43




 
Então: 
m2x1
2
x
3
)1x(
6
x
)x(yIE
m1x0
2
x
6
x
)x(yIE
33
2
3
1




 
O deslocamento vertical máximo logo abaixo da força, ou seja, em x = 1 m é: 
m00133,0
750
1
2503
1
IE3
1
)1(y
3
1
2
1
6
1
)1(yIE 1
3
1 


 
Resposta: O deslocamento máximo é de 1,33 mm. 
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11- Encontre a linha elástica e o deslocamento em C da viga biapoiada com balanço 
(EI=constante) vista abaixo: 
 
Solução: 
Solução: 
Vamos calcular as reações de apoio: 
2
P3
V0PVV0F
2
P
V0aPa2V0M
BBAy
AA)B(z




 
Vamos encontrar as equações de momento fletor: 
a3xa2)a2x(
2
P3
x
2
P
)x(M
a2x0x
2
P
)x(M
2
1


 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
a3xa2)a2x(
2
P3
x
2
P
)x(''vEI
a2x0x
2
P
)x(''vEI
2
1


 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
a3xa2C
2
)a2x(
2
P3
2
x
2
P
)x('vEI
a2x0C
2
x
2
P
)x('vEI
2
22
2
1
2
1




 
Segunda integração: 
a3xa2CxC
6
)a2x(
2
P3
6
x
2
P
)x(vEI
a2x0CxC
6
x
2
P
)x(vEI
42
33
2
31
3
1




 
 
As condições de contorno para a viga são: 
4321
2121
CC)a2(v)a2(v
CC)a2('v)a2('v

 
3
Pa
C
3
Pa
C0)a2(C
3
Pa2
0)a2(C
6
)a2(
2
P
)a2(vEI0)a2(v
0C0C0)0(v
2
2
2
11
3
1
3
1
431



 
 
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Então: 
a3xa2x
3
Pa
)a2x(
4
P
12
Px
)x(vEI
a2x0x
3
Pa
12
Px
)x(vEI
2
3
3
2
23
1


 
O deslocamento em C (x=3a) é: 
 
EI
Pa
)a3(v
Pa1233
12
Pa
a3
3
Pa
)a2a3(
4
P
12
)a3(P
)a3(vEI
3
2
33
32
3
3
2


 
 
 
Resposta: O deslocamento em C é 
EI
Pa3
 
 
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12- A viga de madeira está submetida à carga mostrada. Determinar a equação da 
linha elástica. Supondo Emad = 12 GPa, determinar também a deflexão e a inclinação 
na extremidade B. 
 
Solução: 
Vamos encontrar as equações de momento fletor (adotando a origem do eixo x em B): 
m6x3
2
)3x(
2)5,1x(4x6)x(M
m3x5,1)5,1x(4x6)x(M
m5,1x0x6)x(M
2
3
2
1





 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
m6x3)3x()5,1x(4x6)x(''yIE
m3x5,1)5,1x(4x6)x(''yIE
m5,1x0x6)x(''yIE
2
3
2
1



 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
m6x3C
3
)3x(
)5,1x(2x3)x('yIE
m3x5,1C)5,1x(2x3)x('yIE
m5,1x0Cx3)x('yIE
3
3
22
3
2
22
2
1
2
1





 
Segunda integração: 
m6x3CxC
12
)3x(
3
)5,1x(
2x)x(yIE
m3x5,1CxC
3
)5,1x(
2x)x(yIE
m5,1x0CxCx)x(yIE
63
43
3
3
52
3
3
2
41
3
1









 
As condições de contorno para a viga são: 
6532
3232
5421
2121
CC)3(y)3(y
CC)3('y)3('y
CC)5,1(y)5,1(y
CC)5,1('y)5,1('y




 
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5,661CCC
5,157CCC
5,661C0C65,157
12
)36(
3
)5,16(
26)6('yIE0)6(y
5,157C0C
3
)36(
)5,16(263)6('yIE0)6('y
654
321
66
43
3
3
33
3
22
3










 
Então, as inclinações são: 
m6x35,157
3
)3x(
)5,1x(2x3)x('yIE
m3x5,15,157)5,1x(2x3)x('yIE
m5,1x05,157x3)x('yIE
3
22
3
22
2
2
1





 
E as deflexões são: 
m6x35,661x5,157
12
)3x(
3
)5,1x(
2x)x(yIE
m3x5,15,661x5,157
3
)5,1x(
2x)x(yIE
m5,1x05,661x5,157x)x(yIE
43
3
3
3
3
2
3
1









 
A rigidez EI é: 
    236
4349
3
2
6
2
m.kN12800100667,110×12EI
m100667,1mm100667,1
12
400200
I
m
kN
 10×12 = 
mm
kN
 12 = GPa 12 = E






 
 
A inclinação em B é: 
o
B1
2
1
705,0rad0123,0
12800
5,157
)0('y
5,1575,15703)0('yIE



 
 
O deslocamento máximo (em B) é: 
 
  mm6,51m0516,0
12800
5,661
y0y
5,6615,66105,15700yIE
max1
3
1

 
Resposta: A deflexão e a inclinação na extremidade B são, respectivamente, B = –0,705
o
 e 
yB = 51,6 mm. 
 
 
 
51,6 mm 
–0,705o 
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13- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar quantas 
vezes a deflexão máxima é maior que a deflexão no centro do vão L (distância entre 
A e B). Considerar EI constante e, também, a = L/4. 
 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
L
Pa
V0PVV0F
L
)aL(P
V0)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z





 
 
As equações de momentos fletores são: 
Lxa)ax(Px
L
)aL(P
)x(M
ax0x
L
)aL(P
)x(M
2
1






 
 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
Lxa)ax(Px
L
)aL(P
)x(''yEI
ax0x
L
)aL(P
)x(''yEI
2
1






 
 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
LxaC
2
)ax(
P
2
x
L
)aL(P
)x('yEI
ax0C
2
x
L
)aL(P
)x('yEI
2
22
2
1
2
1








 
 
Segunda integração: 
LxaCxC
6
)ax(
P
6
x
L
)aL(P
)x(yEI
ax0CxC
6
x
L
)aL(P
)x(yEI
42
33
2
31
3
1








 
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As condições de contorno para a viga são: 
3
12
2
33
22
43311
4321
2121
)aL(L6
P
)aL(
6
PL
CC
0LC
6
)aL(
P
6
L
L
)aL(P
)L(yEI0)L(y
0CC0C)0(yEI0)0(y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y









 
 
E a deflexão no centro é: 
 222/L
2
3
3
2
a4L3
EI48
Pa
y
2
L
C
6
)a
2
L
(
P
2
L
L6
)aL(P
2
L
yEI















 
 
Ou, com a = L/4 
  























4
11
EI484
PL
4
1
3
EI484
PL
16
L
4L3
EI484
PL
)4/L(4L3
EI48
)4/L(P
y
332
222
2/L
 
EI768
PL11
y
3
2/L  
 
E a deflexão máxima ocorre onde y2’(x)=0, ou seja: 
0)aL(
L6
P
)aL(
6
PL
2
)ax(
P
2
x
L
)aL(P
)x('yEI 3
22
2 




 
 
com a = L/4 







 
 L
4
54
x
 
Assim: 
 
3
2 PL
768
55
L
4
54
yEI 






 
 
EI768
PL55
y
3
max  
Então: 
0164,1
11
55
EI768
PL11
EI768
PL55
y
y
3
3
2/L
max  
Resposta: A deflexão máxima é apenas 1,64% maior que a deflexão no centro. 
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14- Encontre a deflexão em C na viga biapoiada de aço vista na figura abaixo. 
Considere as seções transversais de inércia constante EI constante ao longo de todo o 
comprimento, 2a, da viga. 
 
Adotando o eixo x iniciando-se em A, as equações de momentos fletores para a viga acima são: 
a2xa
2
a
xawxaw
4
3
)x(M
ax0
2
xw
xaw
4
3
)x(M
2
2
1








 
Solução: 
E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são: 
a2xa
2
a
xawxaw
4
3
)x(''yEI
ax0
2
xw
xaw
4
3
)x(''yEI
2
2
1








 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
a2xaC
2
a
x
2
aw
2
x
aw
4
3
)x('yEI
ax0C
6
xw
2
x
aw
4
3
)x('yEI
2
22
2
1
32
1








 
Integrando mais uma vez: 
a2xaCxC
2
a
x
6
aw
6
x
aw
4
3
)x(yEI
ax0CxC
24
xw
6
x
aw
4
3
)x(yEI
42
33
2
31
43
1








 
As condições de contorno para a viga são: 
        0)a2(y0)0(yayaya'ya'y 212121 
 
 
Resolvendo, as constantes são: 
24
wa
C;0C;wa
48
17
C;wa
16
3
C
4
43
3
2
3
1 
 
O deslocamento em C ocorre em x=a: 
43
43
C1
3
43
1
wa
48
5
awa
16
3
24
aw
6
a
aw
4
3
EI)a(yEI
xwa
16
3
24
xw
6
x
aw
4
3
)x(yEI


 
Assim: 
EI48
aw5 4
C 
 
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15- Encontre a deflexão em C da extremidade direita (seção abaixo da carga de 20 
kN) da viga de aço A-36 (E=200 GPa) biapoiada com balanços vista na figura abaixo. 
Considere as seções transversais de inércia constante EI ao longo de todo o 
comprimento da viga. Adote o momento de inércia da seção transversal da viga 
I = 3628,125 cm
4
. 
 
Equação diferencial da linha elástica (origem do eixo x na extremidade esquerda): 
m0,6x5,4120x20)x(''EIy
m5,4x5,1875,4x75,7)x(''EIy
m5,1x0,0x3)x(''EIy
3
2
2
1



 
 
Integrando uma vez: 
3
2
3
2
2
2
1
3
1
Cx120x10)x('EIy
Cx875,4x875,3)x('EIy
Cx)x('EIy



 
Solução: 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
segunda integração: 
63
23
3
52
23
2
41
4
1
CxC
2
x
120
3
x
10)x(EIy
CxC
2
x
875,4
3
x
875,3)x(EIy
CxC
4
x
)x(EIy



 
As condições de contorno para a viga são: 
       
       
0)5,4(y0)5,1(y
5,4y5,4y5,4'y5,4'y
5,1y5,1y5,1'y5,1'y
21
3232
2121



  
2
48
2
8
m.kN25,7256EI
m10125,3628
m
kN
102EI







  
 
Resolvendo, as constantes são: 
457,3125C35,859375;C36,421875;C
;304,125C;23,15625C;25,125C
654
321

 
 
O deslocamento na extremidade direita ocorre em x = 6 m: 
25,7256
5625,72
5625,723125,457)6(304,125
2
6
120
3
6
10EI)6(yEI
3125,457x304,125
2
x
120
3
x
10)x(EIy
C
23
C3
23
3


 
Assim: 
m01,0C 
 
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16- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e 
de BC é 2I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O 
módulo de elasticidade do material da haste é E. 
 
P 
 
As equações de momentos fletores são: 
Lx
2
L
xP)x(M
2
L
x0xP)x(M
2
1


 
As condições de contorno para a viga são: 


























2
L
y
2
L
y
2
L
'y
2
L
'y
0)L(y
0)L('y
21
21
2
2
 
Solução: 
E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são: 
Lx
2
L
xP)x(''yEI2
2
L
x0xP)x(''yEI
2
1


 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: 
Lx
2
L
C
2
x
2
P
)x('yEI
2
L
x0C
2
x
P)x('yEI
2
2
2
1
2
1


 
Integrando mais uma vez: 
Lx
2
L
CxC
6
x
2
P
)x(yEI
2
L
x0CxC
6
x
P)x(yEI
42
3
2
31
3
1


 
Resolvendo, as constantes são: 
6
PL
C;
16
PL3
C;
4
PL
C;
16
PL5
C
3
4
3
3
2
2
2
1 
 
A deflexão máxima, A, ocorre na extremidade do balanço em x = 0: 
16
PL3
16
PL3
0
16
PL5
6
0
PEI)0(yEI
16
PL3
x
16
PL5
6
x
P)x(yEI
2223
A1
223
1 
 
Assim: 
EI16
PL3 2
A 
 
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17- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e 
de BC é 3I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O 
módulo de elasticidade é E. 
 
P 
 
Solução: 
As equações de momentos fletores são: 
Lx
2
L
)
2
L
x(P)x(M
2
L
x00)x(M
2
1


 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
Lx
2
L
)
2
L
x(P)x(''yEI3
2
L
x00)x(''yEI
2
1


 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
Lx
2
L
C
2
2
L
x
P)x('yEI3
2
L
x0C)x('yEI
2
2
2
11










 
Segunda integração: 
Lx
2
L
CxC
6
2
L
x
P)x(yEI3
2
L
x0CxC)x(yEI
42
3
2
311










 
As condições de contorno para a viga são: 
144
PL5
C
2
L
y
2
L
y
24
PL
C
2
L
'y
2
L
'y
48
PL5
C0)L(y
8
PL
C0)L('y
3
321
2
121
3
42
2
22


























 
O deslocamentomáximo (extremidade livre, x = 0) é: 
144
PL5
y)0(y
144
PL5
96
PL5
0
24
PL
)0(yEI
144
PL5
x
24
PL
)x(yEI
3
max1
332
1
32
1 
 
 
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18- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar a 
inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI constante. 
 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
PV0PPVV0F
PV0Pa)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z



 
Vamos encontrar as equações de momento fletor: 
Lx)aL()aLx(P)ax(PPxM
)aL(xa)ax(PPxM
ax0PxM
3
2
1



 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
Lx)aL()aLx(P)ax(PPx)x(''yIE
)aL(xa)ax(PPx)x(''yIE
ax0Px)x(''yIE
3
2
1



 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
 
Segunda integração: 
Lx)aL(CxC
6
)aLx(
P
6
)ax(
P
6
x
P)x(yIE
)aL(xaCxC
6
)ax(
P
6
x
P)x(yIE
ax0CxC
6
x
P)x(yIE
63
333
3
52
33
2
41
3
1









 
 
As condições de contorno para a viga são: 
6532
3232
5421
2121
CC)aL(y)aL(y
CC)aL('y)aL('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y




 
Lx)aL(C
2
)aLx(
P
2
)ax(
P
2
x
P)x('yIE
)aL(xaC
2
)ax(
P
2
x
P)x('yIE
ax0C
2
x
P)x('yIE
3
222
3
2
22
2
1
2
1









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)aL(
2
Pa
C)aL(
2
Pa
C
)aL(
2
Pa
C
0LC
6
)aLL(
P
6
)aL(
P
6
L
P)L(yIE0)L(y
0C0C0CC)0(yIE0)0(y
21
3
3
333
3
65441








 
Então, as inclinações são: 
Lx)aL()aL(
2
Pa
2
)aLx(
P
2
)ax(
P
2
x
P)x('yIE
)aL(xa)aL(
2
Pa
2
)ax(
P
2
x
P)x('yIE
ax0)aL(
2
Pa
2
x
P)x('yIE
222
3
22
2
2
1









 
E as deflexões são: 
Lx)aL(x)aL(
2
Pa
6
)aLx(
P
6
)ax(
P
6
x
P)x(yIE
)aL(xax)aL(
2
Pa
6
)ax(
P
6
x
P)x(yIE
ax0x)aL(
2
Pa
6
x
P)x(yIE
333
3
33
2
3
1









 
A inclinação em A é: 
)aL(
2
Pa
)aL(
2
Pa
2
0
P)0('yIE
2
1 
 
EI2
)aL(Pa
)0('y A1


 
O deslocamento máximo (centro, x=L/2) é: 
2
L
)aL(
2
Pa
a
2
L
6
P
2
L
6
P
2
L
yIE
33
2 

















 
)a4L3(
EI24
Pa
y
2
L
y 22max2 






 
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19- O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. Determinar a deflexão em seu 
centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre 
ele e EI é constante. 
 
2 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
P2VP2V BA 
 
As equações de momento fletor são: 
a4xa3)a3x(P2)a2x(P2)ax(P2Px)x(M
a3xa2)a2x(P2)ax(P2Px)x(M
a2xa)ax(P2Px)x(M
ax0Px)x(M
4
3
2
1




 
 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
a4xa3)a3x(P2)a2x(P2)ax(P2Px)x(''EIy
a3xa2)a2x(P2)ax(P2Px)x(''EIy
a2xa)ax(P2Px)x(''EIy
ax0Px)x(''EIy
4
3
2
1




 
 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: 
a4xa3C
2
)a3x(
P2
2
)a2x(
P2
2
)ax(
P2
2
x
P)x('EIy
a3xa2C
2
)a2x(
P2
2
)ax(
P2
2
x
P)x('EIy
a2xaC
2
)ax(
P2
2
x
P)x('EIy
ax0C
2
x
P)x('EIy
4
2222
4
3
222
3
2
22
2
1
2
1
















 
 
Segunda integração: 
a4xa3CxC
6
)a3x(
P2
6
)a2x(
P2
6
)ax(
P2
6
x
P)x(EIy
a3xa2CxC
6
)a2x(
P2
6
)ax(
P2
6
x
P)x(EIy
a2xaCxC
6
)ax(
P2
6
x
P)x(EIy
ax0CxC
6
x
P)x(EIy
84
3333
4
73
333
3
62
33
2
51
3
1
















 
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As condições de contorno para a viga são: 
8743
4343
7632
3232
6521
2121
CC)a3(y)a3(y
CC)a3('y)a3('y
CC)a2(y)a2(y
CC)a2('y)a2('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y






 
0Ca3C
6
)a2a3(
P2
6
)aa3(
P2
6
)a3(
P)a3(EIy
0CaC
6
a
P)a(EIy
73
333
3
51
3
1






 
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C5=C7) vem que: 
3
8765
2
4321
a
6
P5
CCCC
PaCCCC


 
A deflexão no centro (centro, x=2a) é: 
32
33
2 a
6
P5
a2Pa
6
)aa2(
P2
6
)a2(
P)a2(EIy 


 
EI6
Pa
y)a2(y
3
a22 
 
As inclinações em A e B são: 
A1
2
2
1 )a('yPa
2
a
P)a('EIy 
 
EI2
aP 2
A 
 
B33
222
3 )a3('yC
2
)a2a3(
P2
2
)aa3(
P2
2
)a3(
P)a3('EIy 




 
EI2
aP 2
B 
 
 
20- O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas. Determinar a deflexão na 
extremidade livre. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre ele e a rigidez 
EI é constante. 
 
5P P 
Solução: 
Reações de apoio: 
P2VP4V BA 
 
As equações de momento fletor são: 
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a3xa2)a2x(P4)ax(VPx)x(M
a2xa)ax(VPx)x(M
ax0Px)x(M
A3
A2
1



 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
a3xa2)a2x(P4)ax(VPx)x(''EIy
a2xa)ax(VPx)x(''EIy
ax0Px)x(''EIy
A3
A2
1



 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: 
a3xa2C
2
)a2x(
P4
2
)ax(
V
2
x
P)x('EIy
a2xaC
2
)ax(
V
2
x
P)x('EIy
ax0C
2
x
P)x('EIy
3
22
A
2
3
2
2
A
2
2
1
2
1









 
Segunda integração: 
a3xa2CxC
6
)a2x(
P4
6
)ax(
V
6
x
P)x(EIy
a2xaCxC
6
)ax(
V
6
x
P)x(EIy
ax0CxC
6
x
P)x(EIy
63
33
A
3
3
52
3
A
3
2
41
3
1









 
 
As condições de contorno para a viga são: 
6532
3232
5421
2121
CC)a2(y)a2(y
CC)a2('y)a2('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y




 
0Ca3C
6
)a2a3(
P5
6
)aa3(
P4
6
)a3(
P)a3(EIy
0CaC
6
a
P)a(EIy
63
333
3
41
3
1






 
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C4=C6) vem que: 
3
654
2
321
a
4
P
CCC
a
12
P
CCC


 
A deflexão na extremidade (x = 0) é: 
4
Pa
)0(y
4
Pa
0
12
Pa
0
6
P
)0(EIy
4
Pa
x
12
Pa
x
6
P
)x(EIy
3
.ext1
32
3
1
32
3
1


 
 
 
 
Resposta: A deflexão na extremidade livre é –Pa3/4.