SEP 1 Cap 5. 2 Componentes Simetricas

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5. Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas)
Sistemas Elétricos de Potência
5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas)
Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
E-mail:raphaelbenedito@utfpr.edu.br
disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito
• Como vimos anteriormente, os sistemas trifásicos equilibrados e
simétricos podem ser analisados através de uma de suas fases e o
neutro (terra), tanto em condições normais de funcionamento
quanto em decorrência de curtos-circuitos trifásicos.
• Porém tal procedimento não pode ser adotado quando ocorrem
faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Em
tais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de
5.2.1 Introdução
faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Em
tais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de
Kirchhoff revelam-se muito trabalhosos e de trato difícil,
principalmente devido à presença de máquinas rotativas.
• Além disso, o desbalanceamento natural das cargas e de outros
elementos dos sistemas trifásicos contribuem para a assimetria da
seqüência de fasores (tensão/corrente) trifásicos, dificultando a
análise dos sistemas trifásicos.
• Como resolver esse problema? Ou, como facilitar os cálculos de redes
desequilibradas?
– Através do método das Componentes Simétricas (C.O. Fortescue, 1918);
– Tornou-se uma das mais poderosas ferramentas para análise de redes
polifásicas desequilibradas.
• Definição de Componentes Simétricas:
– Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser
5.2.1 Introdução
– Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser
decomposto em “n” sistemas equilibrados denominados componentes
simétricos (ou simétricas) dos fasores originais;
– Sendo que os “n” fasores de cada conjunto de componentes são iguais em
comprimento, e os ângulos entre os fasores adjacentes do conjunto são
iguais.
Dada uma seqüência qualquer de fasores, representada por:
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas 
Trifásicos










==
C
B
A
ACBA
V
V
V
VV
&
&
&
rr
,,
)1(
existe (e é única) uma seqüência direta, uma seqüência inversa e
uma seqüência nula que somadas reproduzem a seqüência dada.
De outra forma: uma seqüência qualquer de fasores pode ser
decomposta em três outras seqüências (direta, inversa e nula) e
essa decomposição é única.
Matematicamente, a equação (1) pode ser decomposta em
componentes simétricas da seguinte forma:
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas 
Trifásicos










++
++
++
=










+










+










=++=










=
210
210
210
2
2
2
1
1
1
0
0
0
210
CCC
BBB
AAA
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
A
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
VVV
V
V
V
V
&&&
&&&
&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
rrr
&
&
&
r
)2(
utilizando-se o operador , temos:










++
++
++
=










⋅+










⋅+










⋅=










=
2
2
10
21
2
0
210
2
2
2
10
11
1
1
1
VVV
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
C
B
A
A
&&&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
r
αα
αα
α
α
α
α
)3(
e substituindo na equação (2), resulta em:
)12012401(1201 0020 −∠=∠=∠= αα
2
2
22222
111
2
111
0000
;;
;;
VVVVVV
VVVVVV
VVVV
CBA
CBA
CBA
&&&&&&
&&&&&&
&&&&
⋅=⋅==
⋅=⋅==
===
αα
αα
)4(
Outra expressão para equação (4) é a seguinte:
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas 
Trifásicos
sendo:
- T a matriz de transformação de componentes simétricas;
)5(
2,1,0
2
1
0
2
2
1
1
111
VT
V
V
V
VA
r
&
&
&
r
⋅=










⋅










=
αα
αα
- T a matriz de transformação de componentes simétricas;
- seqüência de fasores de componentes simétricas.
Interpretação gráfica dos fasores das componentes simétricas
2,1,0V
r
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas 
Trifásicos
A matriz T não é singular, isto é, existe a matriz T-1. Dessa forma,
a seguinte expressão é válida:
)6(










⋅+⋅+
⋅+⋅+
++
⋅=










⋅










⋅=










⋅=










=
−
CBA
CBA
CBA
C
B
A
C
B
A
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
V
V
T
V
V
V
V
&&&
&&&
&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
αα
αα
αα
αα
2
2
2
21
2
1
0
2,1,0 3
1
1
1
111
3
1
• Com base na decomposição de uma seqüência de
fasores em suas componentes simétricas, definimos:
– seqüência trifásica simétrica: =>
– seqüência trifásica pura: =>
5.2.3 Conseqüências
0,0;0
0;0
021
021
=≠≠
==≠
VVV
VVV
&&&
&&&
AV
r
– seqüência trifásica pura: =>
– seqüência trifásica impura: => 0,0;0
0,0;0
021
021
≠≠≠
=≠≠
VVV
VVV
&&&
&&&
• Quando substituímos uma dada seqüência fasorial trifásica por outra obtida
por uma rotação cíclica de seus fasores, isto corresponde a uma rotação de α
(α=1|1200) na componente simétrica de seqüência inversa. Matricialmente,
temos:
5.2.4 Rotação Cíclica na Ordem de 
Fasores










⋅










=










=
2
1
0
2
2
1
1
111
A
A
A
C
B
A
A
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
r
αα
αα










⋅










=










⋅










=










=










⋅










=










⋅










=










=

2
1
0
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
2
2
1
111
1
1
1
111
111
1
1
1
1
111
A
A
A
C
C
C
B
A
C
C
A
A
A
B
B
B
A
C
B
B
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
αα
αα
αα
αα
αα
αα
αα
αα
)7(
• Assim, uma rotação nos elementos da seqüência VA, corresponde a mesma
rotação nos elementos correspondentes da linha da matriz T.
• O grau de desequilíbrio de uma dada seqüência trifásica pode
ser definida como sendo a relação entre os módulos das
componentes de seqüência inversa (negativa) e direta
(positiva), ou seja:
5.2.5 Grau de Desequilíbrio de uma 
Seqüência
V& )8(
1
2
.
V
V
deseqgrau
&
&
=
• Para facilitar a compreensão da aplicação de componentes
simétricas à sistemas trifásicos, iremos considerar um sistema
trifásico ligado em estrela, conforme a figura a seguir:
5.2.6 Aplicação
• Em termos de tensões de fase, a seqüência VAN fica:









⋅+










⋅+










⋅=










⋅=










=
2
2
2
10
2
1
0 11
1
1
1
α
α
α
α VVV
V
V
V
T
V
V
V
V
CN
BN
AN
AN
&&&
&
&
&
&
&
&
r )9(
Figura 1: Sistema trifásico ligado em estrela (gerador 3Ø)
• A partir da expressão (9) podemos desenhar o sistema elétrico da seguinte
forma:
5.2.6 Aplicação
• Como vemos na figura 2, podemos substituir a tensão gerada VAN pela
associação série de três f.e.m.s V0, V1 e V2 (o raciocínio é análogo para as
outras duas fases).
• A fig. 2b caracteriza o efeito da componente de seqüência zero da tensão,
que é o de elevar o potencial do centro-estrelo.
Figura 2: a) Circuito equivalente; b) Circuito equivalente com a componente de 
seqüência zero isolada
• A tensão de linha VAB pode ser calculada em termos das componentes
simétricas da seguinte forma:
5.2.6 Aplicação
• A equação (10) mostra que a tensão de componente nula não entra (ou não
influencia) nos cálculos de tensão de linha.
21
21
2
21
2
21
)303()303(
)1()1(
VVV
VVVVVVV
oo
AB
AB
&&&
&&&&&&&
⋅−∠+⋅∠=
⋅−+⋅−=⋅−⋅−+= αααα
)10(
influencia) nos cálculos de tensão de linha.
• Em termos de seqüência de fasores, a seqüência de tensão de linha
decomposta em componentes simétricas torna-se:










−+










−=










⋅










−−
−−
−−
=










=










⋅










−










⋅










=










−










=−=
2
2
2
1
2
2
1
0
2
22
2
2
1
0
2
2
2
1
0
2
2
1
)1(
1
)1(
)1()1(0
)()(0
)1()1(0
111
1
1
1
1
111
α
αα
α
αα
αα
αααα
αα
αα
αα
αα
αα
ANAN
AN
AN
AN
CA
BC
AB
AB
AN
AN
AN
AN
AN
AN
AN
CN
BN
CN
BN
AN
BNANAB
VV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
VVV
&&
&
&
&
&
&
&
r
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
rrr
)11(
• Até aqui foram adotados apenas fasores de tensão no estudo de
componentes simétricas, entretanto o Teorema de Fortescue aplica-se
igualmente a quaisquer fasores associados a uma máquina ou a um circuito
trifásico, tais como corrente elétrica. Veja:
5.2.6 Aplicação








⋅










=








= 1
0
2
2
1
1
111
I
I
I
I
I
I
I B
A
A
&
&
&
&
&
&
r
αα
αα )12(







 2
21 IIC && αα










⋅










=










=
C
B
A
I
I
I
I
I
I
I
&
&
&
&
&
&
r
αα
αα
2
2
2
1
0
2,1,0
1
1
111
3
1 )13(
e também é válido:
• Em sistemas trifásicos a 4 fios, a soma das correntes de linha é igual à
corrente de retorno IN pelo neutro.
• Do mesmo modo, em sistemas trifásicos a 3 fios com ligação estrela
aterrada, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pela
terra. Para ambas as situações temos:
5.2.6 Aplicação
CBAN IIII &&&& ++= )14(
entretanto, como concluímos que:)(
3
1
0 CBAA IIII &&&& ++=
AN II 03 && ⋅= )15(
• Através da equação (15), vemos que a corrente de seqüência zero só existe
se houver um circuito fechado no qual possa circular.
• Em sistemas trifásicos a 3 fios, com carga em estrela isolada ou com carga
em triângulo, a soma das correntes de linha é zero e portanto nenhuma
componente de seqüência zero está presente nas correntes de linha.
Geradores Trifásicos
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em 
Componentes Simétricas
- Como as tensões trifásicas internas geradas (Ea, Eb e Ec) são simétricas, elas
não afetam as seqüências inversa e zero, apenas a seqüência direta.
- A impedância de seqüência zero leva em conta a impedância de aterramento
do centro-estrela e a impedância do gerador de seqüência zero. Veja abaixo:
00 3 gn ZZZ +⋅=
000
222
111
ZIV
ZIV
ZIEV
aa
aa
aaa
⋅−=
⋅−=
⋅−=
&
&
&&
)16(
)17(
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em 
Componentes Simétricas
Geradores Trifásicos
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em 
Componentes Simétricas
- Matricialmente, podemos representar um gerador trifásico em
componentes simétricas da seguinte forma:




⋅




−




=



 000
00
000 aa
I
I
Z
Z
EV
V
&
&
&&
&
)18(








⋅







−







=







 2
1
2
1
2
1
00
00
0 a
aa
a
a
I
I
Z
ZE
V
V
&
&&
&
&
Transformadores Trifásicos
- Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas,
apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância
de seqüência negativa.
- Os circuitos equivalentes, por fase, para seqüência positiva e negativa são
elaboradas desprezando-se resistências e corrente de excitação, e referindo
as reatâncias a um dos lados.
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas 
Elétricos em Componentes Simétricas
as reatâncias a um dos lados.
- O modelo para seqüência zero depende do tipo do trafo e da maneira como
foi conectado, permitindo, ou não, o estabelecimento de corrente de
seqüência zero através de um percurso fechado (veja a seguir).
Transformadores Trifásicos – Seqüência zero:
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas 
Elétricos em Componentes Simétricas
Linhas de Transmissão
- Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas,
apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância
de seqüência negativa.
- A reatância de seqüência zero das linhas é influenciada por grande número
de variáveis (características dos condutores, natureza e resistividade do solo
sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas 
Elétricos em Componentes Simétricas
sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero
apresenta valor que se situa na faixa de 2 a 5 vezes o valor da reatância de
seqüência positiva.
Exemplo de rede de seqüência nula
Fig.: Sub-rede equivalente de seqüência nula (ou zero)
5.2.8 Exercícios
Exercício 1: Considere a seqüência fasorial a seguir:
Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e
)(
90380
90380
0120
0
0
0
V
V
V
V
V
C
B
A
A










∠
−∠
∠
=










=
&
&
&
r
Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e
represente graficamente tais fasores.
Resposta: V0 = 40|00 (V); V1 = 260|00 (V); V2 = 180|1800 (V)
5.2.8 Exercícios
Exercício 2: Certo sistema trifásico apresenta seqüência de fases A, B e C, e
tem as seguintes componentes simétricas de correntes de linha:
)(
61,7112,4
80,2611,13
31,14661,3
0
0
0
2
1
0
A
I
I
I









−∠
∠
−∠
=










&
&
&
Obtenha os fasores das correntes de linha IA, IB e IC do sistema.
Resposta: IA = 10|00 (A); IB = 12,04 |-94,760 (A); IC = 18,97|161,570 (A)
61,7112,42I  −∠
5.2.8 Exercícios
Exercício 3: Considerando que a potência base do sistema abaixo é 10 MVA e
que todas as reatâncias já estão nas referidas bases. Para o sistema elétrico
abaixo, desenhe o diagrama unifilar (ou sub-rede) de: a) seqüência positiva; b)
seqüência negativa; c) seqüência nula.
[1] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de
Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[2] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos
de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.
Referências Bibliográficas