Matemática Aplicada slides uni II

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Unidade II 
 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
Profa. Ana Carolina Bueno 
Função 
 Relação entre dois conjuntos A e B definida por uma regra de 
formação f, na qual cada elemento de A é relacionado a 
apenas um elemento de B. 
 Função f : A → B definida por: 
 f (x) = x + 2, determine a imagem de f. 
Função e não função 
 
Situação I 
Situação II 
Situação III 
Tipos de funções – Sobrejetora 
 D(f) = {-2, -1, 1, 3} 
 CD(f) = {12, 3, 27} 
 Im(f) = {12, 3, 27} 
 Esta função é definida por: f(x) = 3x² 
 
Tipos de funções – Injetora 
 D(f) = {0, 1, 2} 
 CD(f) = {1, 2, 3, 5} 
 Im(f) = {1, 3, 5} 
 Definimos esta função por: f(x) = 2x + 1 
 
Tipos de funções – Bijetora 
 D(f) = {-1, 0, 1, 2} 
 CD(f) = {4, 0, -4, -8} 
 Im(f) = {4, 0, -4, -8} 
 Esta função é definida por f(x) = - 4x 
Equações 
 Expressões algébricas que representam uma determinada 
situação problema. 
 Achar o valor da incógnita. 
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm 
Equação do 1º grau 
 ax + b = 0, sendo a  0 
 Raiz da equação 
 
 Voltando ao caso da melancia: 
 
 
 
 
 
 
 
S = {6} 
 
 
 
 
𝑥 =
12
2
 
𝑥 = 6 𝑘𝑔 
Equação do 1º grau – Aplicação 
 Uma fábrica produz peças automotivas a um custo fixo de 
R$ 102,00 e um custo por unidade de R$ 2,50. Para obter um 
lucro satisfatório, a fábrica deseja vender essa peça no 
mercado a um preço de R$ 3,25 a unidade. 
 
 Função custo: f(C) = 102 + 2,5x 
 Função receita: f(R) = 3,25x 
 Função lucro: f(L) = 0,75x – 102 
Equação do 1º grau – Aplicação 
 O número mínimo de peças a serem vendidas para que não se 
tenha prejuízo: 
 f(R) = f(C) 
3,25x = 102 + 2,5x 
3,25x – 2,5x = 102 
0,75x = 102 
x = 102/0,75 
x = 136 
 
O lucro obtido com a venda de 1000 unidades dessa peça: 
f(L) = 0,75x – 102 
f(L) = 0,75 * 1000 – 102 
f(L) = 750 – 102 
f(L) = 648 
Para que a fábrica não 
tenha prejuízo, deverá 
vender 136 peças. 
O lucro relativo a 1000 
peças corresponde a 
R$ 648,00. 
Função do 1º grau 
 Uma função do 1º grau é toda função f:R→R definida pela 
regra: 
 y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R, e a  0. 
 Função afim: f(x) = 5x – 3 
 Função linear: f(x) = 6x 
 Função identidade: f(x) = x 
Interatividade 
São dadas duas relações: 
 f(x) é uma relação de A = {–1, 0, 1, 2} em B = {0, 2, 4, 6, 8} 
expressa pela fórmula y = 2x, com x ∈ A e y ∈ B. 
 g(x) é uma relação de A = {–2, –1, 1, 2} em B = {–8, –4, –1, 0, 1, 
4, 8} expressa pela fórmula y = x³, com x ∈ A e y ∈ B. 
Assinale a alternativa correta. 
a) D(f) = {R} 
b) f(x) não é uma função 
c) Im(g) = {-8, -4, -1, 0, 1, 4, 8} 
d) g(x) não é uma função 
e) C(f) = {-2, -1, 1, 2} 
 
Função do 1º grau a > 0 
 f(x) = 2x + 1, sendo a = 2 e b = 1 
 a > 0, então f é crescente 
 Coeficiente angular a = 2 
 Coeficiente linear b = 1 
x y = 2x + 1 
-1 2.(-1) + 1 = -1 
0 2.0 + 1 = 1 
1 2.1 + 1 = 3 
2 2.2 + 1 = 5 
Função do 1º grau a > 0 
 Zero da função de f(x) = 2x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 Estudo do sinal 
 
-0,5 
-0,5 
Função do 1º grau a < 0 
 f(x) = – x – 1, sendo a = – 1 e b = – 1 
 A < 0, então f é decrescente 
 Coeficiente angular a = – 1 
 Coeficiente linear b = – 1 
 x y = – x – 1 
-2 -(-2) – 1 = 2 – 1 = 1 
-1 -(-1) - 1 = 0 
0 - 0 - 1 = -1 
1 - 1 - 1 = -2 
Função do 1º grau a < 0 
 Zero da função de f(x) = – x – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 Estudo do sinal: 
 
-1 
-1 
Comportamento da função 
 Quando a varia: 
Comportamento da função 
 Quando b varia: 
 
Função do 2º grau 
 É toda função f: R → R definida pela regra: 
 y = f(x) = ax² + bx + c, com a e b ∈ R e a ≠ 0 
Fonte: 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.
html?aula=25077 
Equação do 2º grau 
 Um fabricante vende mensalmente x unidades de uma 
borracha por V(x) = – x² + 18x, sendo o custo da produção 
dado por C(x) = 2x + 39. Quantas unidades devem ser 
vendidas mensalmente, de modo que a empresa tenha lucro 
igual a zero? 
 L(x) = V(x) – C(x) 
 L(x) = – x² + 18x – (2x + 39) 
 L(x) = – x² + 18x – 2x – 39 
 L(x) = – x² + 16x – 39 
 
Equação do 2º grau 
 ax²+ bx + c = 0 e a  0 
 Equação quadrática 
 Raízes da equação x1 e x2 
 
 L(x) = – x² + 16x – 39 
 a = – 1 
 b = 16 
 c = – 39 
Fórmula de Bháskara 
 Para determinar as raízes: 
 
 
 
 
 
  > 0  duas raízes reais e distintas 
  = 0  duas raízes reais e iguais 
  < 0  não há raízes 
Interatividade 
O custo total de um fabricante de camisa consiste em uma 
quantia fixa de R$ 200,00 somada ao custo de produção, que é de 
R$ 50,00 por unidade. A função custo é dada por CT = 50q + 200, 
sendo q o número de unidades produzidas. Assinale a alternativa 
incorreta. 
a) CT é uma função do 1º grau porque é definida pela regra 
f(x) = ax + b. 
b) CT é uma função crescente. 
c) O valor do CT é igual a R$ 350,00 quando 3 unidades são 
produzidas. 
d) Para 1 unidade produzida, o custo será de R$ 0,00. 
e) O gráfico de CT é linear e a função dada é conhecida 
como afim. 
Voltando ao exemplo:  > 0 
 L(x) = – x² + 16x – 39 
 a = – 1 
 b = 16 
 c = – 39 
 
Exemplo – gráfico: a < 0 e  > 0 
 
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
L
u
c
ro
 (
R
$
) 
x (quantidade) 
Outro exemplo:  = 0 
 Calcule o conjunto solução da equação: 
 x² + 8x + 16 = 0 
 
a = 1 
b = 8 
c = 16 
 
 
 
 
 Quando o valor do discriminante é igual a zero, a equação 
possuirá somente uma solução ou raiz única. 
 
 
Mais um exemplo:  < 0 
 Calcule o conjunto solução da equação 
 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau. 
 
 
 
 
 Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou 
menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não 
possui raízes reais. 
 
 
Função do 2º grau 
 
Ajuste de curvas 
 Um diretor de uma empresa está 
querendo analisar a relação que existe 
entre o investimento em equipamentos 
informatizados e o desempenho dos 
funcionários, tomado um período de 
10 meses. 
 
 Variável dependente = quantidade de 
alunos aprovados (Y) 
 Variável independente = investimento 
em equipamentos (X) 
Diagrama de dispersão 
 
Regressão linear 
 Uma função matemática que caracteriza a relação entre duas 
variáveis: a variável dependente e a variável independente. 
 Determinar os parâmetros desta função: 
 f(x) = y = 9,74x + 117,07 
Equação da reta 
 O tipo mais simples de ajustamento de curva é a RETA, que, 
conhecendo dois pontos, já pode ser obtida: 
y = Ax + B 
 B é o coeficiente linear da reta, ou seja, é o valor de y 
quando x = 0 
 A é o coeficiente angular da reta, isto é, sua declividade! 
B 
= A 
Reta ajustada (Método de Mínimos Quadrados) 
 Propriedade de apresentar o mínimo valor da soma dos 
quadrados dos desvios do ponto à curva. 
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50
e1 
e2 
Interatividade 
O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças é dado 
pela função: 
L(x) = –x2 + 14x – 40 
Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o 
lucro seja zero? 
a) 14 e 40 peças. 
b) 1 e 14 peças. 
c) 4 e 40 peças. 
d) 4 e 10 peças. 
e) Não podemos determinarporque a equação não tem raízes. 
 
Reta ajustada (Método de Mínimos Quadrados) 
Os coeficientes A e B são calculados da seguinte maneira: 
B 
= A 
Voltando ao exemplo 
 Calculando os coeficientes A e B: 
3800 
Voltando ao exemplo 
 Cálculo de A: 
Voltando ao exemplo 
 Cálculo de B: 
 
 
 
 
 Cálculo da equação da reta: 
Voltando ao exemplo 
 y = 9,74x + 117,02 
 Então, para x = 15 mil de investimento 
 y = 9,74 . 15 + 117,02 = 263,12 de desempenho 
Matemática financeira 
 É uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de 
investimentos ou financiamentos de bens de consumo. 
 Consiste em empregar procedimentos matemáticos para 
simplificar a operação financeira a um fluxo de caixa. 
 Capital. 
 Taxa de juro. 
 Tempo. 
Capital, juros e taxa 
 Fez-se uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 por 3 meses, a 
uma taxa de juros de 1% ao mês. No final foi resgatado 
R$ 10.300,00. 
 
 Capital: R$ 10.000,00 
 Juros: R$ 300,00 
 Taxa: 1% a.m. 
Regime Processo de funcionamento 
Simples Somente o principal rende juros. 
Composto Após cada período, os juros são incorporados ao capital, 
proporcionando juros sobre juros. 
Capitalização simples 
 Capitalização é a forma como os juros são incorporados ao 
capital no decorrer do tempo. 
 Regime de capitalização simples: compara-se a uma 
progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear 
ao longo do tempo. Os juros incidem somente sobre o 
capital inicial da operação e não sobre o acumulativo. 
 Vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por 
cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano. 
Juros simples J = C.i.n 
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual 
o valor dos juros para o período? 
 J = ? é o que queremos encontrar 
 C = 1.500 
 i = 5% a.m = 0,05 
 n = 2 meses 
J = C x i x n 
J = 1.500 x 0,05 x 2 
J = 150 
 Os juros correspondem a R$ 150,00 em 2 meses, com taxa de 
10% ao bimestre. 
 
Capitalização composta 
 A taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros 
acumulados até o período anterior. A taxa varia 
exponencialmente em função do tempo. 
Juros compostos i = 10% ao período 
Ano Saldo do início do 
período 
Juros apurados a cada 
período 
Saldo final do 
período 
1 1.000,00 0,10 x 1000 = 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 0,10 x 1100 = 110,00 1.210,00 
3 1.210,00 0,10 x 1210 = 121,00 1.331,00 
4 1.331,00 0,10 x 1331 = 133,10 1.464,00 
Crescimento de 46,41% em 4 períodos 
Interatividade 
Um estudo foi feito da oferta de pipocas. A curva de oferta 
representa a relação entre preço (P) do bem e a quantidade 
ofertada (Q) pelo produtor. Sendo x o preço e y a quantidade, a 
equação da reta é dada por: 
 
 
Assim, não podemos concluir que: 
a) A variável dependente é a quantidade e a variável 
independente é o preço. 
b) Há relação entre as duas variáveis. 
c) A equação da reta é crescente. 
d) Se as pipocas forem vendidas a R$ 2,00; a quantidade 
ofertada é de  300 pipocas. 
e) Se as pipocas forem vendidas a R$ 2,40; a quantidade 
ofertada é de  340 pipocas 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA!