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Unidade I 
 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
Profa. Ana Carolina Bueno 
Números reais 
 
Fonte: http://infomaticando.blogspot.com.br/2012/12/numeros-irracionais.html 
Expressões algébricas 
São expressões matemáticas que apresentam incógnitas e 
podem conter números. As incógnitas constituem a parte 
variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer 
valor numérico: 
 2x – 5 
 3a + 2y 
 x² + 7x 
 5 + x – (5x – 2) 
 10y – 10x 
 a² – 2ab + b² 
 
Operações com expressões numéricas 
Nas operações, em uma expressão algébrica, devemos 
obedecer a seguinte ordem: 
 potenciação ou radiciação; 
 multiplicação ou divisão; 
 adição ou subtração. 
 
E as seguintes prioridades: 
 parênteses – ( ); 
 colchetes – [ ]; 
 chaves – { }. 
Operações com expressões algébricas 
 2 – {–11 + [17 – (–12 + 10) – 3]} 
 2 – {–11 + [17 – (–2) – 3]} 
 2 – {–11 + [17 + 2 – 3]} 
 2 – {–11 + 16} 
 2 – {5} 
 2 – 5 = – 3 
 
 (21 – 15) : (15 – 12 + 3) + 1 
 (6) : (6) + 1 
 1 + 1 = 2 
 
 
Operações com expressões algébricas 
Determine a expressão que representa o perímetro das 
seguintes figuras: 
 
 
 
4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x = 12x + 2 
 
 
 
 
 
2x + 6 + 3x – 2 + x + 8 = 6x + 12 
 
Operações com expressões algébricas 
Determine a expressão que representa a área da seguinte figura: 
 
 
 
 
 (4x + 1) (2x) = 8x² + 2x 
 
 Se x = 2 m, qual é o valor da área? 
 8.2² + 2.2 = 32 + 4 = 36 m² 
 
 
 
Razão e proporção 
 Comparar duas grandezas. 
 Dividir uma grandeza por outra. 
 
 Uma empresa tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de 
área livre. A razão da área construída para a área livre é: 
 
 
 
 Isso significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 
ou 40% da área livre. 
Razão e proporção 
 É a igualdade entre duas razões. 
 
 
 Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 kg de 
farinha. 
 Para fazer 150 pães, são gastos 25 kg de farinha. 
 
 
 Então: 
 
 
Interatividade 
O pai de Lucas precisa cercar um campo de futebol com 
tela de aço. Qual é o valor da largura e do comprimento 
do campo, sabendo que o perímetro é igual a 340 m 
e a área é igual a 7000 m²? 
 
a) 50 m e 30 m. 
b) 50 m e 100 m. 
c) 70 m e 100 m. 
d) 30 m e 70 m. 
e) 50 m e 70 m. 
 
x 
x+30 
Regra de três 
Grandezas diretamente proporcionais 
 Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) 
que cada pessoa poderá consumir. 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 Número de operários e o tempo necessário para eles 
construírem uma casa. 
 
Regra de três simples 
 Uma moto percorre 240 km utilizando 20 litros de gasolina. 
Quantos litros ela precisa para percorrer 360 km? 
 Distância e litros de gasolina são grandezas diretamente 
proporcionais. 
Distância (km) Quantidade de combustível (l) 
240 20 
360 x 
Regra de três simples 
 Se João correr a uma velocidade de 4,0 km/h ele completa 
uma certa distância em 6 minutos. Em 8 minutos, com a 
mesma distância, qual será sua velocidade? 
 Velocidade e tempo são grandezas inversamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
 Obs.: G.I. P multiplica-se em linha. 
 
Velocidade (km / h) Tempo (min.) 
4 6 
x 8 
Porcentagem 
 É a razão cujo denominador é igual a 100 e indicamos pelo 
símbolo %. 
 
 A moto dos exemplos anteriores foi avaliada em R$ 4000,00 e 
foi vendida com um desconto de 12% sobre este preço. Qual 
foi o preço de venda? 
 12% de 4000 = 
 
Então, o valor da moto com o desconto foi de: 
 4000 - 480 = R$ 3520,00. 
Porcentagem 
 Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 
75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos 
gols de falta esse jogador fez? 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou 
Quantidade de faltas % 
75 100 
x 8 
Regra de três composta 
 Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas 
grandezas proporcionais. 
 Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 
litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir 
somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias? 
Nº de carros Nº de dias Quantidade de combustível (l) 
10 5 1000 
x 2 500 
Regra de três composta 
 Nº de carros Nº de dias Quantidade de combustível (l) 
10 5 1000 
x 2 500 
Regra de três composta 
 Doze máquinas produzem 2000 peças em 80 minutos. Quanto 
tempo é necessário para que metade dessas máquinas 
produzam 4000 peças? 
 
 
 
 
 
 Organizando a tabela 
Nº de máquinas Nº de peças Tempo (min) 
12 2000 80 
6 4000 x 
Tempo (min) Nº de máquinas Nº de peças 
80 6 2000 
x 12 4000 
Regra de três composta 
 Tempo (min) Nº de máquinas Nº de peças 
80 6 2000 
x 12 4000 
Interatividade 
Em uma promoção, o preço de um objeto foi reduzido 
de R$ 76,00 para R$ 57,00. Calcule o valor do desconto 
em porcentagem. 
a) 20%. 
b) 25%. 
c) 50%. 
d) 65%. 
e) 75%. 
Noções básicas 
 Conjunto: das letras do alfabeto, dos meses do ano, dos 
alunos de uma escola, das soluções da equação x² = 9 etc. 
 Elemento: cada item que compõe o conjunto. 
 Pertinência entre elemento e conjunto: a letra “q” pertence 
ao conjunto das letras do alfabeto, mas o número 3 não 
pertence a este conjunto. 
 
A 
Conjunto e elementos 
 A = conjunto das vogais. 
 A = {a, e, i, o, u} → representação ordinária. 
 A = {x / x é uma vogal} → representação abstrata. 
 
 B = conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100. 
 B = {0, 3, 6, 9, ..., 99}. 
 B = {x / x é múltiplo de 3 e menor que 100}. 
 
 C = conjunto dos número ímpares. 
 C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}. 
 C = {x / x é ímpar}. 
 
Pertinência 
 ∈: elemento pertence ao conjunto. 
 ∉: elemento não pertence ao conjunto. 
 
 Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence 
ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 
1 ∈ N 
 Para afirmar que – 23 não é um número natural 
ou que – 23 não pertence ao conjunto dos números 
naturais, escrevemos: 
– 23 ∉ N 
União de conjuntos 
 União ou reunião: P ∪ Q 
 P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 
 Q = {0, 5, 10, 15, 20, 25} 
 
 P ∪ Q = {x / x ∈ P ou x ∈ Q} 
 P ∪ Q = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 25} 
 P ∪ Q 0 2 4 
5 6 8 
10 12 14 
15 16 18
 20 25 
Intersecção de conjuntos 
 Intersecção: P ∩ Q 
 P ∪ Q = {x / x ∈ P e x ∈ Q} 
 P ∩ Q = {0, 10, 20} 
 
 
 
 
 
 
 
Relação – Plano cartesiano 
 
Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano 
Relação – Produto cartesiano 
 Todas as possibilidades de relações entre A (partida) 
e B (chegada). 
 
 
 
 
 
 A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} 
 n(A) = 3 
 n(B) = 2 
 n(A x B) = 3.2 = 6 
Domínio, contradomínio e imagem 
 Domínio ⇒ É o conjunto A. (D(f)). 
 Contradomínio ⇒ É o conjunto B. (⊂ D(f)). 
 Imagem ⇒ É o subconjunto de B, formado por todos os 
segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes 
a f. Im(f) ⊂ CD(f). 
Domínio, contradomínio e imagem 
 Conjuntos: 
 A = {–3, –1, 0, 2} e B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} 
 Função f: A → B, definida por f (x) = x + 2, 
determine a imagem de f. 
Interatividade 
Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as 
publicações “Helena” (H), “Senhora” (S) e “A Moreninha” (M). 
Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado com 1000 
pessoas. 
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) 270 leram “A Moreninha”. 
b) 70 leram “Senhora”. 
c) 180 leram “A Moreninha” e “Helena”. 
d) 410 leram as três obras. 
e) 130 não leram nenhuma obra. 
Números naturais N e Números inteiros Z 
 N= Foi o primeiro conjunto gerado pelos homens. Ele tinha 
como função apontar quantidades. 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} 
 N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} 
 
 Z = É composto pelos números naturais e todos os seus 
representantes negativos. 
 Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} 
 Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
 Z_; Z*_; Z +; Z* + 
 
Números racionais Q 
 Esses números surgem da necessidade de partilhar 
os bens dos indivíduos. Como dividir corretamente 
um lote de terras? 
 
 
 Exemplos: 
 ¼; 
 0,365; 
 1/9 = 0,11111... ou 
 32/99 = 0,323232... ou 
Números irracionais I 
 Quando um número real não pode ser escrito na forma de 
uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma 
de uma dizima periódica. 
 π = 3,1415926535897932384626433832795 ... 
 
 X = 43,101001000100001 ... 
 
Números reais R 
 N ∪ Z ∪ Q ∪ I = R ou Q ∪ I = R 
 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 
Reta numérica 
 
Intervalo real 
 Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. 
 
 Intervalo aberto de extremos a e b. 
 ]a, b[ OU S = {x ∈ ℜ / a < x < b} 
 
 
 
 ]7, 9[ OU S = {x ∈ ℜ / 7 < x < 9} 
 
7 9 x 
Intervalo real 
 Intervalo fechado de extremos a e b. 
 [a, b] OU S = {x ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b} 
 
 
 
 [-3, 2] OU S = {x ∈ ℜ / -3 ≤ x ≤ 2} 
 
-3 2 x 
Intervalo real 
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, 
de extremos a e b. 
 [a, b[ OU S = {x ∈ ℜ / a ≤ x < b} 
 
 
 [-18, -9[ OU S = {x ∈ ℜ / -18 ≤ x < -9} 
-18 -9 x 
Intervalo real 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, 
de extremos a e b. 
 ]a, b] OU S = {x ∈ ℜ / a < x ≤ b} 
 
 
 
 ]-3, 2] OU S = {x ∈ ℜ / -3 < x ≤ 2} 
 
 -3 2 x 
Intervalos infinitos 
 Intervalo de menos infinito a b. 
 ]-∞, a[ OU S = {x ∈ ℜ / x < a} 
 ]-∞, 14[ OU S = {x ∈ ℜ / x < 14} 
 
 
 
 ]-∞, a] OU S = {x ∈ ℜ / x ≤ a} 
 ]-∞, -5] OU S = {x ∈ ℜ / x ≤ -5} 
 
-∞ 14 x 
-∞ -5 x 
Intervalos infinitos 
 Intervalo de a até mais infinito. 
 ]a, ∞[ OU S = {x ∈ ℜ / x > a} 
 ]56, ∞[ OU S = {x ∈ ℜ / x > 56} 
 
 
 
 
 [a, ∞[ OU S = {x ∈ ℜ / x ≥ b} 
 [-21, ∞[OU S = {x ∈ ℜ / x ≥ -21} 
 
56 ∞ x 
-21 ∞ x 
Interatividade 
Na função f: ℜ → ℜ com f(x) = x² + 3x – 10, determine o valor 
da imagem de f(–3) e classifique a qual conjunto numérico este 
valor pertence. 
a) -10 e ∈ N. 
b) -10 e ∈ Z. 
c) -28 e ∉ I. 
d) -28 e ∈ Q. 
e) 0 e ∉ R. 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Números reais
	Expressões algébricas
	Operações com expressões numéricas
	Operações com expressões algébricas
	Operações com expressões algébricas
	Operações com expressões algébricas
	Razão e proporção
	Razão e proporção
	Interatividade
	Resposta
	Regra de três
	Regra de três simples
	Regra de três simples
	Porcentagem
	Porcentagem
	Regra de três composta
	Regra de três composta
	Regra de três composta
	Regra de três composta
	Interatividade
	Resposta
	Noções básicas
	Conjunto e elementos
	Pertinência
	União de conjuntos
	Intersecção de conjuntos
	Relação – Plano cartesiano
	Relação – Produto cartesiano
	Domínio, contradomínio e imagem
	Domínio, contradomínio e imagem
	Interatividade
	Resposta
	Números naturais N e Números inteiros Z
	Números racionais Q
	Números irracionais I
	Números reais R
	Reta numérica
	Intervalo real
	Intervalo real 
	Intervalo real 
	Intervalo real 
	Intervalos infinitos
	Intervalos infinitos
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 47