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MA13 - Unidade 9 Atividade Especial Semana 05/09/2011 a 11/09/2011 Nesta unidade apresentaremos um tópico de grande interesse intrínseco, mas do qual utilizaremos apenas a proposição 1 na Unidade 11. 1 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis Contrariamente aos triângulos, nem todo quadrilátero (convexo) admite um círculo passando por seus vértices. Para ver isso, basta tomar um triângulo ABD e um ponto C não pertencente ao círculo circunscrito a ABD (�gura 1). Por outro lado, dizemos que um quadrilátero é inscritível se existir um círculo passando por seus vértices. É imediato a partir da unicidade do círculo circunscrito a um triângulo que, se um quadrilátero for inscritível, então o círculo que passa por seus vértices é único, e será doravante denominado o círculo circunscrito ao quadrilátero. Podemos mostrar (cf. problema 7, página 9) que um quadrilátero é ins- 1 2 MA13 - Unidade 9 A D C B Figura 1: um quadrilátero não-inscritível. critível se e só se as mediatrizes de seus lados se intersectarem em um único ponto, o circuncentro do quadrilátero. Porém, nas aplicações que temos em mente, a caracterização dos quadriláteros inscritíveis dada a seguir mostra-se em geral mais útil: Proposição 1. Um quadrilátero convexo ABCD, de lados AB, BC, CD e DA, é inscritível se e só uma qualquer das condições a seguir for satisfeita: (a) DÂB +BĈD = 180◦. (b) BÂC = BD̂C. Prova. Suponhamos inicialmente que ABCD seja inscritível (�gura 2). En- tão, pelo teorema do ângulo inscrito, temos BÂC = BD̂C e DÂB +BĈD = 1 2 _ BCD + 1 2 _ BAD = 180◦. Reciprocamente (�gura 3), suponhamos primeiro que BÂC = BD̂C. Como ABCD é convexo e os vértices de ABCD estão nomeados consecuti- vamente, segue que A e D estejam situados de um mesmo lado da reta ←→ BC . Sendo θ o valor comum dos ângulos BÂC e BD̂C, temos que A e D estão ambos sobre o arco capaz de θ sobre BC. Logo, o círculo desse arco capaz é circunscrito a ABCD. Áreas de Figuras Planas 3 A B C D Figura 2: ABCD inscritível ⇒ DÂB +BĈD = 180◦ e BÂC = BD̂C. A B C D Figura 3: BÂC = BD̂C ⇒ ABCD inscritível. Suponhamos agora que DÂB + BĈD = 180◦ (�gura 4), e considere o círculo circunscrito aBAD. Se C estiver no interior do mesmo, seja ←→ BC∩α = {E}. Pelo item (a), temos DÂB +BÊD = 180◦ = DÂB +BĈD, e daí BÊD = BĈD, uma contradição ao teorema do ângulo externo. Se C for exterior ao círculo chegamos a uma contradição análoga. No que segue, apresentamos duas aplicações importantes da proposição acima. Para a primeira delas, precisamos da seguinte nomenclatura: o tri- ângulo órtico (�gura 5) de um triângulo não-retângulo ABC é o triângulo formado pelos pés das alturas de ABC. Proposição 2. Em todo triângulo acutângulo, o ortocentro coincide com o incentro do triângulo órtico. 4 MA13 - Unidade 9 A B E D C Figura 4: BÂC +BD̂C = 180◦ ⇒ ABCD inscritível. A BC Hc Hb Ha H Figura 5: o triângulo órtico HaHbHc de ABC. Prova. Vamos nos referir à �gura 5. Como HĤaB +HĤcB = 90 ◦ + 90◦ = 180◦, segue da proposição 1 que o quadrilátero HHaBHc é inscritível. Por- tanto, novamente por aquela proposição, temos HĤaHc = HB̂Hc = HbB̂A = 90 ◦ − Â. Por outro lado, desde que HĤaC +HĤbC = 180 ◦ temos HHaCHb também inscritível. Portanto, temos também HĤaHb = HĈHb = HcĈA = 90 ◦ − Â. Provamos então que HĤaHc = HĤaHb, i.e., o segmento HHa é bissetriz do ângulo ∠HcHaHb do triângulo órtico. Analogamente, HHb e HHc são bissetrizes dos outros dois ângulos do triângulo órtico, de maneira que seu ponto de interseção H (o ortocentro de ABC) é o incentro de HaHbHc. Áreas de Figuras Planas 5 Nossa segunda aplicação diz respeito à seguinte situação: dados no plano um triângulo ABC e um ponto P não situado sobre qualquer das retas supor- tes dos lados de ABC, marcamos os pontosD, E e F , pés das perpendiculares baixadas de P respectivamente aos lados BC, CA e AB. O triângulo DEF assim obtido é o triângulo pedal de P em relação a ABC. Por exemplo, o triângulo órtico de um triângulo (�gura 5) é o triângulo pedal do ortocentro do triângulo. O resultado a seguir, conhecido como o teorema de Simson-Wallace, explica quando o triângulo pedal de um ponto é degenerado (i.e., tal que D, E e F são colineares). Proposição 3 (Simson-Wallace). Dados um triângulo ABC e um ponto P não situado sobre as retas suportes de seus lados, o triângulo pedal de P em relação a ABC é degenerado se e só se P estiver sobre o círculo circunscrito a ABC. Prova. A �m de que P esteja situado sobre o círculo circunscrito a ABC, a única possibilidade é que P esteja situado em uma das regiões angulares ∠BAC, ∠ABC ou ∠BCA mas seja exterior ao triângulo ABC. Analoga- mente, a �m de que o triângulo pedal de P em relação a ABC possa ser degenerado, P deve ser exterior ao triângulo ABC e estar situado em uma de tais regiões angulares. Portanto podemos, sem perda de generalidade, supor que P é exterior ao triângulo ABC e está situado na região angular ∠ABC (�gura 6). Sejam respectivamente D, E e F os pés das perpendiculares baixadas de P às retas suportes dos lados BC, AC e AB. Podemos também supor, sem perda de generalidade, que D e E estão sobre os lados BC e AC, res- pectivamente, mas que F está sobre o prolongamento do lado AB. Como PF̂A = PÊA = 90◦, o quadrilátero PFAE é inscritível. Analogamente, o quadrilátero PEDC também é inscritível. Segue daí que AP̂C −DP̂F = DP̂C − FP̂A = DÊC − FÊA, 6 MA13 - Unidade 9 A B C P F E D Figura 6: a reta de Simson-Wallace. i.e., AP̂C = DP̂F ⇔ DÊC = FÊA⇔ D,E e F são colineares. Por �m, note que DP̂F = 180◦ −AB̂C, de modo que AP̂C = DP̂F ⇔ AP̂C + AB̂C = 180◦ ⇔ ABCP é inscritível. Nas notações da discussão acima, quando P estiver sobre o círculo cir- cunscrito a ABC diremos que a reta que passa pelos pontos D, E e F é a reta de Simson-Wallace de P relativa a ABC. Voltando à discussão do parágrafo inicial desta seção, observamos agora que nem todo quadrilátero convexo possui um círculo tangente a todos os seus lados (o leitor pode construir um exemplo facilmente). Quando tal ocorrer, diremos que o quadrilátero é circunscritível e que o círculo tangente a seus lados é o círculo inscrito no quadrilátero. O teorema a seguir, conhecido como o teorema de Pitot 1 , dá uma caracterização útil dos quadriláteros 1 Após Henri Pitot, engenheiro francês do século XVII. Áreas de Figuras Planas 7 inscritíveis. Teorema 4 (Pitot). Um quadrilátero convexo ABCD, de lados AB, BC, CD e DA, é circunscritível se e só se AB + CD = AD + BC. Prova. Suponha primeiro que ABCD seja circunscritível e sejamM,N, P,Q respectivamente os pontos de tangência de AB, BC, CD e DA com o círculo inscrito em ABCD. A B C D M N P Q Figura 7: somas iguais dos lados opostos ⇒ ABCD circunscritível. AB + CD = (AM + MB) + (CP + PD) = AQ+ BN + CN + DQ = (AQ+ DQ) + (BN + CN) = AD + BC. Reciprocamente, suponhamos que AB + CD = AD + BC. Se ABCD não for circunscritível, o círculo Γ tangente aos lados AD, AB e BC de ABCD não tangencia o lado CD. Seja E o ponto sobre a semirreta −→ AD tal que CE tangencia o círculo inscrito Γ (na �gura 8 estamos considerando o caso em que E está situado entre A e D; o outro caso é totalmente análogo). Pelo que �zemos acima, segue que AB + CE = AE + BC. Como AB + CD = AD + BC, segue que CD − CE = AD − AE = DE, 8 MA13 - Unidade 9 A B C E D Figura 8: ABCD circunscritível ⇒ somas iguais dos lados opostos. ou ainda que CD = CE + ED, contradizendo a desigualdade triangular no triângulo CDE. Problemas 1. Seja ABCD um quadriláteroinscritível e E o ponto de encontro de suas diagonais. Sejam ainda M,N, P,Q respectivamente os pés das perpendiculares baixadas de E aos lados AB,BC,CD,DA. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscritível (sugestão: use o fato de os quadriláteros EPCN , ABCD e PEQD serem inscritíveis para mostrar que NP̂E = QP̂E; argumente analogamente para os demais vértices de MNPQ, e use em seguida o resultado do problema anterior). 2. Sobre cada lado do triângulo acutângulo ABC construímos um círculo tendo o lado por diâmetro. Prove que esses três círculos têm um ponto em comum. 3. * Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e sejam Hb e Hc os pés das alturas respectivamente relativas aos lados BC, CA e AB. Prove que: (a) AĤbHc = AB̂C e AĤcHb = AĈB. (b) ←→ OA⊥ ←→ HbHc. Áreas de Figuras Planas 9 4. Considere no plano quatro retas que se intersectam duas a duas, e tais que não há três passando por um mesmo ponto. Prove que os círculos circunscritos aos quatro triângulos que tais retas determinam passam todos por um mesmo ponto. 5. Dado um triângulo ABC com círculo circunscrito Γ, sejam P um ponto situado sobre o arco _ AC de Γ que não contém o vértice B e D o pé da perpendicular baixada de P à reta suporte do lado BC. Se Q 6= P é o outro ponto de interseção da reta ←→ DP com o círculo Γ, e r denota a reta de Simson-Wallace de P em relação a ABC, prove que r ‖ ←→ AQ (sugestão: comece observando que PQ̂A = PĈA). 6. Sejam ABC um triângulo com círculo circunscrito Γ, e P e P ′ pontos situados sobre o arco _ AC de Γ que não contém o ponto B. Se r e r′ denotam respectivamente as retas de Simson-Wallace de P e P ′ em relação a ABC, prove que o ângulo entre r e r′ é igual à metade da medida do arco _ PP ′ de Γ que não contém o vértice A (sugestão: use o resultado do problema anterior). 7. * Um polígono convexo é inscritível se existir um círculo passando por seus vértices, dito o círculo circunscrito ao polígono. Prove que um polígono convexo é inscritível se e só se as mediatrizes de seus lados concorrem em um único ponto.
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