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Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Teoria das Estruturas II (2º Semestre / 2012) Professor: Marcelo Cechinel E‐mail: marcelo.cechinel@unisul.br 2 Conteúdo Programático Capítulo I – Revisão (Grau de Hiperstaticidade) Capítulo II – Método das Forças Capítulo III – Método dos Deslocamentos Capítulo IV – Processo de Cross Objetivo Capacitar o aluno na análise de estruturas hiperestáticas, com ênfase nas estruturas planas, fornecendo subsídios para a determinação de esforços solicitantes, bem como o traçado de diagramas de estado, visando aplicação em estruturas de concreto armado. Metodologia Apresentação do conteúdo dividido em capítulos através de aulas expositivas; Incentivo à pesquisa bibliográfica; Proposição de tarefas e solução de exercícios propostos pelo professor; Acompanhamento pelo professor para esclarecimento de dúvidas; Critérios de Avaliação A avaliação será realizada da forma que segue: Avaliação 01: Prova escrita, individual, SEM consulta. Conteúdo: Capítulo II (Método das Forças) Avaliação 02: Trabalho individual e/ou prova escrita, individual, SEM consulta. Conteúdo: Capítulo III (Método dos Deslocamentos) Avaliação 03: Prova escrita, individual, SEM consulta. Conteúdo: Capítulo IV (Processo de Cross) Além das três avaliações citadas, cabe ressaltar que a presença e a participação contarão como parâmetro na avaliação final do aluno. 3 Capítulo I - Revisão 1.1. Vínculos: São classificados de acordo com o número de movimentos que impedem. Vínculo Simples ou de Primeira Ordem: impedem apenas um movimento, normalmente a translação. Vínculo Duplo ou de Segunda Ordem: impedem dois movimentos permitindo geralmente a rotação. Vínculo Tríplo ou de Terceira Ordem: impedem três movimentos, a saber, duas translações e uma rotação. 1.2. Classificação das Estruturas: Estrutura Hipostática: Estruturas cujos movimentos de corpo‐rígido NÃO são restringidos e NÃO atingem, portanto, uma configuração de equilíbrio estável, ou seja, não possui vínculos suficientes para garantir a sua total estabilidade. 4 Estrutura Isostática: Estruturas com movimentos de corpo‐rígido restringidos e o número de incógnitas a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio estável, em outras palavras, estruturas com vínculos estritamente necessários para garantir a sua total estabilidade. Estrutura Hiperestática: Estruturas com movimentos de corpo‐rígido restringidos e número de incógnitas a determinar maior que o número de equações de equilíbrio estável, resumidamente, são estruturas que possuem vínculos mais que necessários para garantir a sua total imobilidade. Obs.: cabe ressaltar que na prática a grande maioria das estruturas classifica‐se como HIPERESTÁTICA ou ESTATICAMENTE INDETERMINADA. 1.3. Grau de Hiperestaticidade: 1.3.1. Grau de Hiperestaticidade Externo (ge): Seja a estrutura abaixo: B Como pode ser visto, dispomos de 05 reações de apoio (03 do apoio do engaste e 02 do apoio de segunda ordem) e apenas 03 equações universais da estática no plano (ΣFx / ΣFy / ΣM) além de mais uma (momento fletor nulo em 5 A B C D A B C D “B”). Ou seja, 05 incógnitas e apenas 04 equações. A essa deficiência damos o nome de GRAU DE HIPERESTATICIDADE EXTERNO. Desta forma podemos dizer que o grau de hiperestaticidade externo é o número de equações suplementares necessárias para o cálculo das reações de apoio da estrutura. 1.3.2. Grau de Hiperestaticidade Interno (gi): Seja a estrutura abaixo: Neste segundo caso apesar de as reações de apoio ser de imediata obtenção (a partir das equações universais da estática), isso NÃO significa que a estrutura esteja resolvida. O simples conhecimento das reações não nos habilita a traçar seus diagramas solicitantes devido ao fato de ser uma ESTRUTRA FECHADA e de, por este motivo, não sabermos todas as forças a que está sujeita a estrutura. É necessário, portanto, ABRIRMOS a estrutura. Assim pode‐se definir GRAU de HIPERESTATICIDADE INTERNO da estrutura como sendo o número de equações suplementares necessárias para traçarmos os diagramas de esforços internos, o que no caso em questão é três. 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1.3.3. Determinação do Grau de Hiperestaticidade Total (g): ࢍ ൌ ࢍࢋ ࢍ ݃ ൌ ݎ െ ݁ െ ݊ onde: r – nº de reações e – nº de equações nr – nº equações provenientes das rótulas e que é igual a (b ‐1) b – nº de barras ligadas a rótulas. ݃ ൌ número de esforços internos necessários ao traçado dos diagramas, conhecidas as reações. 1.3.4. Aplicações: Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade total das estruturas que seguem: 7 ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) 8 Capítulo II – Método das Forças Formalmente, a resolução de estruturas hiperestáticas pelo Método das Forças resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na seguinte ordem: 1° Condições de equilíbrio; 2° Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas); 3° Condições de compatibilidade. Na prática, entretanto, a metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática é: • Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade. Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam estabelecidas quando se efetuam a superposição de efeitos todos os casos básicos. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos. Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças vai ser explicada detalhadamente através da resolução de exemplos que serão apresentados a seguir. 9 Exemplos de Aplicações 10 q= 2 kN/m q= 2 kN/m X1 = 1 kN 2 kN/m s1 EXEMPLO I: Calculando o grau de hiperestaticidade da estrutura obtemos: ݃ ൌ 1 → ݁ݏݐݎݑݐݑݎܽ 1ݔ ݄݅݁ݎ݁ݏݐáݐ݅ܿܽ Desta forma se conclui que a estrutura apresenta 04 reações (incógnitas) – Rax, RAy, MA e RBy – e apenas 03 equações (ΣFx=0 / ΣFy=0 / ΣM=0) Pelo método das forças devemos então liberarum dos vínculos, para tal adotaremos liberar o RBy. X1: X0: Desta forma, pela superposição de efeitos, se obtêm a seguinte equação para o problema: ߜ ߜଵ. ଵܺ ൌ 0 Seção S1 (X0): Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 2ݔ ൌ 0 11 2 kN/m s1 v M + + 10 kN [D.E.C.] - -25 kN.m [D.M.F.] ܸ ൌ 2ݔ ൜ ܸ ൌ 0 ହܸ ൌ 10 ሾ݇ܰሿ ΣM ൌ 0 ∴ ܯ െ 2ݔ. ݔ/2 ൌ 0 ܯ ൌ െݔ² ൜ ܯ ൌ 0ܯହ ൌ െ25 ሾ݇ܰ.݉ሿ E = 210x109 [N/m²] Seção da Viga (20x40)cm → ܫ ൌ ௫ యଵଶ ൌ 1,067ݔ10ିଷ ሾ ݉ସ ሿ Sabendo‐se que a derivada segunda do momento é análoga a derivada segunda do deslocamento, tem‐se: ܧܫݕ" ൌ െܯሺݔሻ ∴ ܧܫݕ" ൌ െሺെݔଶሻ නܧܫݕ"݀௬ ൌ නݔଶ݀௫ ∴ ܧܫݕᇱ ൌݔ ଷ 3 ܣ නܧܫݕᇱ݀௬ ൌ නሺݔ ଷ 3 ܣሻ݀௫ ∴ ܧܫݕ ൌ ݔସ 12 ܣݔ ܤ ݕ ൌ 1ܧܫ ሺ ݔସ 12 ܣݔ ܤሻ Aplicando as condições de contorno: 1º. x = L → y’ = 0 ݕᇱ ൌ 1ܧܫ ቆ ݔଷ 3 ܣቇ → ݕ ᇱሺݔ ൌ ܮሻ ൌ 1ܧܫ ൬ 1 3 ܮ ଷ ܣ൰ ൌ 0 ∴ ܣ ൌ െܮ ଷ 3 12 s1 X1 s1 v M + 2º. x = L → y = 0 ݕ ൌ 1ܧܫ ቆ ݔସ 12 ܮଷݔ 3 ܤቇ → ݕሺݔ ൌ ܮሻ ൌ 1 ܧܫ ቆ ܮସ 12 െ ܮସ 3 ܤቇ ൌ 0 ∴ ܤ ൌ െܮସ 12 ܮସ 3 ൌ ܮ ସ 4 Desta forma, a expressão final será: ݕ ൌ 1ܧܫ ሺ ݔସ 12 െ ܮଷ 3 ݔ ܮସ 4 ሻ Sabendo que ymax → x=0 ݕ௫ ൌ 1ܧܫ ቆ ܮସ 4 ቇ ൌ ܮସ 4ܧܫ ൌ 5ସ 4ݔ210ݔ10ݔ1,067ݔ10ିଷ ൌ 6,97ݔ10 ିସሾ݉ሿ Obs.: atentar para as unidades na entrada dos dados Seção S1 (X1): Σܨ௬ ൌ 0 ∴ ܸ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ െ1 ሾ݇ܰሿ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ ଵܺ. ݔ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ ଵܺ. ݔ ൜ܯ ൌ 0 ሾ ݇ܰ.݉ ሿܯହ ൌ 5 ሾ ݇ܰ.݉ ሿ 13 - 1 kN [D.E.C.] + 5 kN.m [D.M.F.] Seguindo o mesmo procedimento do caso X0, obtêm‐se a seguinte expressão final: ݕ ൌ 1ܧܫ ሺ െݔଷ 6 ܮଶ 2 ݔ െ ܮଷ 3 ሻ Sabendo que ymax → x=0 ݕ௫ ൌ 1ܧܫ ቆ െܮଷ 3 ቇ ൌ െ ܮଷ 3ܧܫ ൌ െ5ଷ 3ݔ210ݔ10ݔ1,067ݔ10ିଷ ൌ െ1,860ݔ10 ିସሾ݉ሿ Seguindo no campo dos deslocamentos e sabendo que esse deslocamento no ponto B deve ser nulo: E = 210x109 [N/m²] = 210x106 [kN/m²] Seção da Viga (20x40)cm → ܫ ൌ ௫ యଵଶ ൌ 1,067ݔ10ିଷ ሾ ݉ସ ሿ ݑ௬బ ݑ௬భ. ଵܺ ൌ 0 ∴ 6,97ݔ10ିସ െ 1,86ݔ10ିସ ൌ 3,75 ݇ܰ Como X1 refere‐se à reação de apoio no ponto B: ଵܺ ൌ ܴ ൌ 3,75 ݇ܰ Da mesma forma que o deslocamento é calculado pela soma ux0+ux1.X1, os esforços internos e reações de apoio também são calculados: 14 + 10 kN [D.E.C.] - -25 kN.m [D.M.F.] RAy=10 kNM =2 5 kN .m + M =- 5 kN .m - RAy=-1 kN ܸ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ܯ ൌ ܯబ ଵܺ.ܯభ ܴ݁ܽçã ൌ ܴబ ଵܺ. ܴభ Resultados para X0: Resultados para X1: - 1 kN [D.E.C.] + 5 kN.m [D.M.F.] 15 + - + - [D.E.C.] [D.M .F.] 6,25 kN -3,75 kN ࡰࡱ.ࢌࢇ ൌ ࡰࡱ.ࢄ ࢄ.ࡰࡱࢄ Em x = 0: ܸబ ൌ 0 ∴ ܸభୀ െ 1 ሾ݇ܰሿ ிܸ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ൌ 0 ሺെ1ሻ. 3,75 ൌ െ3,75 ݇ܰ Em x = 5: ܸబ ൌ 10 ሾ݇ܰሿ ∴ ܸభୀ െ 1 ሾ݇ܰሿ ிܸ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ൌ 10 ሺ3,75ሻ. 1 ൌ 6,25 ݇ܰ ࡰࡹࡲ.ࢌࢇ ൌ ࡰࡹࡲ.ࢄ ࢄ. ࡰࡹࡲࢄ Em x = 0: ܯబ ൌ 0 ∴ ܯ ܸభୀ0 ܯி ൌ ܯబ ଵܺ.ܯభ ൌ 0 3,75.0 ൌ 0 Em x = 5: ܯబ ൌ െ25 ሾ݇ܰ.݉ሿ ∴ ܯభୀ 5 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯி ൌ ܯబ ଵܺ.ܯభ ൌ െ25 ሺ3,75ሻ. 5 ൌ െ6,25 ݇ܰ.݉ ܯబሺݔ ൌ 1,875ሻ ൌ 3,52 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯభሺݔ ൌ 1,875ሻ ൌ 1,875 ሾ݇ܰ.݉ሿ 16 25 kN.m [D.M.F.] + 5 kN.m [D.M.F.] - xo x1 + 5 kN.m [D.M.F.] x1 + 5 kN.m [D.M.F.] x1 25 kN.m [D.M.F.] + 5 kN.m [D.M.F.] - xo x1 O valor dos deslocamentos pode ser obtido também através de tabelas elaboradas a partir da resolução destas integrais. Da tabela obtêm‐se os valores de δij (deslocamento na direção i, provocado pelo caso de carregamento xj: δ10: ߜଵ ൌ ସܯ.ܯ ൌ ହ ସ . െ25.5 ൌ െ156,25 δ11: ߜଵଵ ൌ ܮ3ܯ.ܯ ൌ 5 3 . 5.5 ൌ 41,67 ߜଵ ߜଵଵ. ଵܺ ൌ 0 ∴ െ156,25 ଵܺ. 41,67 ∴ ଵܺ ൌ 3,75 ݇ܰ 17 Tabela I: Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotações em vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas 18 Tabela II: Integração de diagramas de esforços 19 RAx RBy RCyRAy A B C 2 kN/m [x0] A B C 2 kN/m X1=1 [kN] [x1] A B C EXEMPLO II: Incognitas: RAx , RAy, RBy, RCy – (4) Número de Equações: Σܨݔ ൌ 0 ∴ Σܨݕ ൌ 0 ∴ Σܯ ൌ 0 – (3) Grau de Hiperestaticidade: ࢍ ൌ ݃ ݃ ൌ ሺݎ െ ݁ െ ݊ሻ 0 ൌ 4 െ 3 0 ൌ ࢞ ࢎࢋ࢘ࢋ࢙࢚á࢚ࢉࢇ Optaremos por liberar o vínculo RBy. Desta forma teremos: + 20 RAx RCyRAy A C 2 kN/m S1 + _ + [D.E.C.] [D.M.F.] -10 kN +10 kN +25 kN.m 1º Caso de Carregamento [ X0 ]: ܴ ൌ ܴ ൌ ݍ. ܮ 2 ൌ 2 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 10 ሾ݉ሿ 2 ∴ ܴ ൌ ܴ ൌ 10 ሾ݇ܰሿ ܯ௫ ൌ ݍ. ܮ ଶ 8 ൌ 2 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 10ଶ ሾ݉ଶሿ 8 ൌ 200 ሾ݇ܰ.݉ሿ 8 ൌ 25 ሾ݇ܰ.݉ሿ Seção S1: Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 2ݔ 10 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 2ݔ െ 10 ሺܸସሻ ൌ 2. ሺ4ሻ െ 10 ൌ െ2 ሾ݇ܰሿ ሺܸሻ ൌ 2. ሺ0ሻ െ 10 ൌ െ10 ሾ݇ܰሿ ሺܸଵሻ ൌ 2. ሺ10ሻ െ 10 ൌ 10 ሾ݇ܰሿ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 10ݔ 2ݔ. ݔ2 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 10ݔ െ ݔ ଶ ܯሺସሻ ൌ 10. ሺ4ሻ െ ሺ4ሻଶ ൌ 24 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯሺሻ ൌ 10. ሺ0ሻ െ ሺ0ሻଶ ൌ 0 ܯሺଵሻ ൌ 10. ሺ10ሻ െ ሺ10ሻଶ ൌ 0 21 RAx RAy X1=1 kN RCy (a) (b) X1=1 kN (a) (b) D.E.C. [kN] D.M.F. [kN.m] -0,4 +0,6 -2,4 2º Caso de Carregamento [ X0 ]: ܴ ൌ െܾ. ଵܺ ܮ ൌ െ4 ሾ݉ሿ. 1 ሾ݇ܰሿ 10 ∴ ܴ ൌ െ0,40 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ െܽ. ଵܺ ܮ ൌ െ6 ሾ݉ሿ. 1 ሾ݇ܰሿ 10 ∴ ܴ ൌ െ0,60 ሾ݇ܰሿ ܯ௫ ൌ െܲ. ܽ. ܾܮ ൌ െ ଵܺ. ܽ. ܾ ܮ ൌ െ1 ሾ݇ܰሿ. 6ሾ݉ሿ. 4ሾ݉ሿ 10 ൌ െ2,4 ሾ݇ܰ.݉ሿ 22 Pela tabela de integração de diagramas de esforços: ߜଵ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯. ቀ1 ݔ. ݕ ܮଶ ቁ ൌ 10 3 . ሺ25. െ2,4ሻ. ൬1 6.4 ሺ10ሻଶ൰ ൌ െ248 ߜଵଵ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 10 3 . ሺെ2,4.െ2,4ሻ ൌ 19,20 ߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ൌ 0 ∴ െ248 ଵܺ. 19,20 ൌ 0 ∴ ଵܺ ൌ 12,92 ሾ݇ܰሿ Reações de Apoio: ܴ ൌ ܴ௬బ ଵܺ. ܴ௬భ ∴ ܴ ൌ 10 12,92. ሺെ0,4ሻ ൌ 4,83 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ܴ௬బ ଵܺ. ܴ௬భ ∴ ܴ ൌ 0 12,92. ሺ1ሻ ൌ 12,92 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ܴ௬బ ଵܺ. ܴ௬భ ∴ ܴ ൌ 10 12,92. ሺെ0,6ሻ ൌ 2,25 ሾ݇ܰሿ Σܴ ൌ ሺ4,83 12,92 2,25ሻ ൌ 20 ሾ݇ܰሿ⇔ Σ ݀ܽݏ ܿܽݎ݃ܽݏ ൌ 2 ݇ܰ݉ ൨ . 10ሾ݉ሿ ൌ 20ሾ݇ܰሿ D.E.C. ܸ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ൌ 10ሾ݇ܰሿ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺെ0,40ሻ ൌ 4,83ሾ݇ܰሿ ܸೞ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ൌ െ2ሾ݇ܰሿ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺെ0,40ሻ ൌ െ7,17ሾ݇ܰሿ ܸೝ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ൌ െ2ሾ݇ܰሿ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺ0,60ሻ ൌ 5,75ሾ݇ܰሿ ܸ ൌ ܸబ ଵܺ. ܸభ ൌ െ10ሾ݇ܰሿ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺ0,60ሻ ൌ െ2,25ሾ݇ܰሿ D.M.F. ܯ ൌ ܯబ ଵܺ.ܯభ ൌ 0ሾ݇ܰ.݉ሿ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺ0ሻ ൌ 0,00ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ ܯబ ଵܺ.ܯభ ൌ 24ሾ݇ܰ.݉ሿ 12,92ሾ݇ܰሿ. െ2,40ሾ݉ሿ ൌ െ7,00ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯ ൌ 0,00ሾ݇ܰ.݉ሿ 23 RAy=4,83 kN RBy=12,92 kN RCy=2,25 kN 2 kN/m A B C 4,83 kN 5,75 kN -7,17 kN -2,25 kN 7,00 kN.m 24 A B C D 10 kN/m A D q=10 kN/m[X0] A D [X1] X1=1 kN A D [X2] X2=1 kN EXEMPLO III: Incógnitas: RAx , RAy, RBy, RCy e RDy – (5) Número de Equações: Σܨݔ ൌ0 ∴ Σܨݕ ൌ 0 ∴ Σܯ ൌ 0 – (3) Grau de Hiperestaticidade: ࢍ ൌ ݃ ݃ ൌ ሺݎ െ ݁ െ ݊ሻ 0 ൌ 5 െ 3 0 ൌ ࢞ ࢎࢋ࢘ࢋ࢙࢚á࢚ࢉࢇ Neste exemplo liberaremos os vínculos RBy e RCy, assim: 25 A B C D q=10 kN/m RAX RAy RDy [X0] A B C D q=10 kN/m RAX RAy=60kN RDy=60kN D.E.C. [kN] D.M.F. [kN.m] -60kN 60kN 180kN S1 1º Caso de Carregamento [ X0 ]: ܴೣ ൌ 0 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ܴ ൌ ݍ. ܮ 2 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 12 ሾ݉ሿ 2 ∴ ܴ ൌ ܴ ൌ 60 ሾ݇ܰሿ ܯ௫ ൌ ݍ. ܮ ଶ 8 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 12ଶ ሾ݉ଶሿ 8 ൌ 1440 ሾ݇ܰ.݉ሿ 8 ൌ 180 ሾ݇ܰ.݉ሿ 26 q=10 kN/m M V A D RAX RAy RDy [X1] X1=1 kN Seção S1: Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 10ݔ 60 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 10ݔ െ 60 ሺܸሻ ൌ 10. ሺ0ሻ െ 60 ൌ െ60 ሾ݇ܰሿ ሺܸଵଶሻ ൌ 10. ሺ12ሻ െ 60 ൌ 60 ሾ݇ܰሿ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 60ݔ 10ݔ. ݔ2 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 60ݔ െ 5ݔ ଶ ܯሺሻ ൌ 60. ሺ0ሻ െ 5. ሺ0ሻଶ ൌ 0 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯሺସሻ ൌ 60. ሺ4ሻ െ 5. ሺ4ሻଶ ൌ 160 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯሺሻ ൌ 60. ሺ7ሻ െ 5. ሺ7ሻଶ ൌ 175 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯሺଵଶሻ ൌ 60. ሺ12ሻ െ 5. ሺ12ሻଶ ൌ 0 ሾ݇ܰ.݉ሿ 2º Caso de Carregamento [ X1 ]: ܴೣ ൌ 0 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ െܲ. ܾ ܮ ൌ െ1,00ሾ݇ܰሿ.8,00 ሾ݉ሿ 12 ሾ݉ሿ ∴ ܴ ൌ െ0,667 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ െܲ. ܽ ܮ ൌ െ1,00ሾ݇ܰሿ.4,00 ሾ݉ሿ 12 ሾ݉ሿ ∴ ܴ ൌ െ0,333 ሾ݇ܰሿ ܯ௫ ൌ െܲ. ܽ. ܾܮ ൌ െ1,00. 8,00.4,00 12 ൌ െ32 ሾ݇ܰ.݉²ሿ 12 ሾ݉ሿ ൌ െ2,667 ሾ݇ܰ.݉ሿ 27 D.E.C. [kN] D.M.F. [kN.m] 0,333 -0,667 A D RAy=-0,667 RDy=-0,333 [X1] X1=1 kN -2,667 A D RAX RAy RDy [X2] X2=1 kN 3º Caso de Carregamento [ X2 ]: ܴೣ ൌ 0 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ െܲ. ܾ ܮ ൌ െ1,00ሾ݇ܰሿ.5,00 ሾ݉ሿ 12 ሾ݉ሿ ∴ ܴ ൌ െ0,417 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ െܲ. ܽ ܮ ൌ െ1,00ሾ݇ܰሿ.7,00 ሾ݉ሿ 12 ሾ݉ሿ ∴ ܴ ൌ െ0,583 ሾ݇ܰሿ ܯ௫ ൌ െܲ. ܽ. ܾܮ ൌ െ1,00. 7,00.5,00 12 ൌ െ35 ሾ݇ܰ.݉²ሿ 12 ሾ݉ሿ ൌ െ2,917 ሾ݇ܰ.݉ሿ 28 D.E.C. [kN] D.M.F. [kN.m] 0,583 -0,417 A D RAy=-0,417 RDy=-0,583 [X2] X2=1 kN -2,917 -2,667 180kN -2,667-2,667 Pela tabela de integração de diagramas de esforços: ߜଵ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯. ቀ1 ݔ. ݕ ܮଶ ቁ ൌ 12 3 . ሺ180.െ2,667ሻ. ൬1 4.8 ሺ12ሻଶ൰ ൌ െ2.346,96 ߜଵଵ ൌ ܮ6 . ൫ܯ.ܯ൯. ቈ2 െ ሺݔ െ ݔଵሻଶ ݔଵ. ݕ ൌ 12 6 . ሺെ2,667.െ2,667ሻ. ሾ2 െ 0ሿ ൌ 28,45 29 180kN -2,917 -2,917-2,917 -2,667 -2,917 -2,667 -1,667 -2,667 -1,667 M 1 M 2 M 3 M 4 -2,917 -1,667 -1,667 -2,917 ߜଶ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯. ቂ1 ݔ. ݕ ܮ² ቃ ൌ 12 3 . ሺ180.െ2,667ሻ. 1 7.5 12ଶ൨ ൌ െ2.610,72 ߜଶଶ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 12 3 . ሺെ2,917.െ2,917ሻ ൌ 34,03 (δ12)1 (δ12)2 (δ12)3 30 ߜଵଶ ൌ ߜଶଵ ൌ ሺߜଵଶሻଵ ሺߜଵଶሻଶ ሺߜଵଶሻଷ ൌ ܮ3 . ሺܯ.ܯഥሻ ܮ 6 ሾܯଵሺ2.ܯଷ ܯସሻ ܯଶ. ሺܯଷ 2.ܯସሻሿ ܮ3 ሺܯ.ܯഥሻ ൌ 43 ሺെ2,667.െ1,667ሻ 36 ሾെ2,667. ሺ2. െ1,667 െ 2,917ሻ െ 1,667. ሺെ1,667 2.െ2,917ሻሿ 53 ሺെ1,667.െ2,917ሻ ൌ 5,928 14,588 8,104 ൌ 28,62 ൜ߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ܺଶ. ߜଵଶ ൌ 0ߜଶ ଵܺ. ߜଶଵ ܺଶ. ߜଶଶ ൌ 0 ൜െ2.346,96 ଵܺ. 28,45 ܺଶ. 28,62 ൌ 0െ2.610,72 ଵܺ. 28,62 ܺଶ. 34,03 ൌ 0 Desta forma obtêm‐se um sistema de equações de simples resolução (2 equações e 2 incógnitas). Resolvendo‐se o sistema obtemos: ଵܺ ൌ 34,54 ݇ܰ ܺଶ ൌ 47,67 ݇ܰ Cálculo das Reações de Apoio: ܴ ൌ ܴ ଵܺ. ܴଵ ܺଶ. ܴଶ ܴ ൌ 60 34,54. ሺെ0,667ሻ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ 17,08 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ଵܺ ൌ 34,56 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ܺଶ ൌ 47,67 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ 60 34,54. ሺെ0,333ሻ 47,67. ሺെ0,583ሻ ൌ 20,71 ሾ݇ܰሿ 31 VX0 [kN] -60kN 60kN 0,333 -0,667 0,583 -0,417 VX1 [kN] VX2 [kN] D.E.C. [kN] 17,08 11,38 29,29 -18,38 -20,71 Cálculo do Esforço Cortante: D.E.C. ܸ ൌ ܸ ଵܺ. ܸଵ ܺଶ. ܸଶ ܸ ൌ 60 34,54. ሺെ0,667ሻ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ 17,08ሾ݇ܰሿ ܸೞ ൌ 20 34,54. ሺെ0,667ሻ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ െ22,92ሾ݇ܰሿ ܸೝ ൌ 20 34,54. ሺ0,333ሻ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ 11,38ሾ݇ܰሿ ܸೞ ൌ െ10 34,54. ሺ0,333ሻ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ െ18,38ሾ݇ܰሿ ܸೝ ൌ െ10 34,54. ሺ0,333ሻ 47,67. ሺ0,583ሻ ൌ 29,29ሾ݇ܰሿ ܸ ൌ െ60 34,54. ሺ0,333ሻ 47,67. ሺ0,583ሻ ൌ െ20,71ሾ݇ܰሿ 32 180kN-2,667 -2,917 16 0k N 17 5k N -1,667 -1,667 MX0 [kN.m] MX1 [kN.m] MX2 [kN.m] D.M.F. [kN.m] M1 M2 -11,58 M3 Cálculo do Momento Fletor: D.M.F. ܯ ൌ ܯ ଵܺ.ܯଵ ܺଶ.ܯଶ ܯ ൌ ܯ ൌ 0,00ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ 160 34,54. ሺെ2,667ሻ 47,67. ሺെ1,667ሻ ൌ െ11,58ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯ ൌ 175 34,54. ሺെ1,667ሻ 47,67. ሺെ2,917ሻ ൌ െ21,63ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯଵ ൌ 17,08 1,712 ൌ 14,62ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯଶ ൌ െ11,58 11,38. 1,1382 ൌ െ5,10ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯଷ ൌ െ21,63 29,29. 2,9292 ൌ 21,26ሾ݇ܰ.݉ሿ 33 A B C D 10 kN/m X1=1 kN.m X2=1 kN.m A B X1 C 10 kN/m X1 10 kN/m C D 10 kN/m B A B X1 C X1 C DB A B C C DB X2 X2 [X0] [X1] [X2] 1 kN/m R=q.L 2 R=q.L 2 R=-P L R=P L 1 kN/m R=-P L R=P L D.M.F. [kN.m] D.E.C. [kN] -q.L 2 q.L 2 -1 L 1 L q.L² 8 -1 -1 EXEMPLO IV: Outra maneira de resolver o anterior é liberando a continuidade da estrutura e impondo momentos de engastamento unitário, conforme apresentado a seguir: Desta forma: Sabe‐se que: 34 A B X1 C 10 kN/m X1 10 kN/m C D 10 kN/m B [X0] +20 -20 +15 -15 +25 -25 +20 +11,25 +31,25 1º Caso de Carregamento [ X0 ]: ܴ ൌ ܴ ൌ ݍ. ܮ 2 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 4 ሾ݉ሿ 2 ∴ ܴ ൌ ܴ ൌ 20 ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ ݍ. ܮ ଶ 8 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 4ଶ ሾ݉ଶሿ 8 ൌ 20 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܴ ൌ ܴ ൌ ݍ. ܮ 2 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 3 ሾ݉ሿ 2 ∴ ܴ ൌ ܴ ൌ 15 ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ ݍ. ܮ ଶ 8 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 3ଶ ሾ݉ଶሿ 8 ൌ 11,25 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܴ ൌ ܴ ൌ ݍ. ܮ 2 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 5 ሾ݉ሿ 2 ∴ ܴ ൌ ܴ ൌ 25 ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ ݍ. ܮ ଶ 8 ൌ 10 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 5ଶ ሾ݉ଶሿ 8 ൌ 31,25 ሾ݇ܰ.݉ሿ 2º Caso de Carregamento [ X1 ]: ܴ ൌ െ1 ܮ ൌ െ1 4 ൌ െ0,25 ሾ݇ܰሿ ∴ ܴೞ ൌ 1 ܮ ൌ 0,25 ሾ݇ܰሿ ܴೝ ൌ 1 ܮ ൌ 1 3 ൌ 0,33 ሾ݇ܰሿ ∴ ܴೞ ൌ െ 1 ܮ ൌ െ0,33 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ܴ ൌ 0,00 ሾ݇ܰሿ 35 A B X1 C X1 C DB [X1] -0,25 -0,33 -1 -1 A B C CB X2 X2[X2] -0,33 0,20 -1 -1 -1+20 +11,25 +31,25 -1 3º Caso de Carregamento [ X2 ]: ܴ ൌ ܴೞ ൌ 0,00 ሾ݇ܰሿ ܴೝ ൌ െ1 ܮ ൌ െ1 3 ൌ െ0,33 ሾ݇ܰሿ ∴ ܴೞ ൌ 1 ܮ ൌ 1 3 ൌ 0,33 ሾ݇ܰሿ ܴೝ ൌ 1 ܮ ൌ 1 5 ൌ 0,20 ሾ݇ܰሿ ∴ ܴ ൌ െ 1 ܮ ൌ െ 1 ܮ ൌ െ0,20 ሾ݇ܰሿ Cálculo do : 10: ߜଵ ൌ ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ 0 ൌ 4 3 . 20. െ1 3 3 . 11,25.െ1 0 ൌ െ37,92 36 -1 -1 -1 -1 +20 +11,25 +31,25-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 20: ߜଶ ൌ 0 ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ ൌ 3 3 . 11,25.െ1 5 3 . 31,25.െ1 ൌ െ63,33 11: ߜଵଵ ൌ ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ 0 ൌ 4 3 .െ1.െ1 3 3 .െ1.െ1 ൌ 2,33 22: ߜଶଶ ൌ 0 ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ ൌ 3 3 .െ1.െ1 5 3 .െ1.െ1 ൌ 2,67 21=12: ߜଶଵ ൌ ߜଵଶ ൌ 0 ܮ6ܯܯഥ 0 ൌ 3 6 .െ1.െ1 ൌ 0,50 37 Compatibilização das Rotações: ൜ߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ܺଶ. ߜଵଶ ൌ 0ߜଶ ଵܺ. ߜଶଵ ܺଶ. ߜଶଶ ൌ 0 ൜െ37,92 ଵܺ. 2,33 ܺଶ. 0,50 ൌ 0െ63,33 ଵܺ. 0,50 ܺଶ. 2,67 ൌ 0 Novamente um sistema de fácil resolução, que resultaem: ଵܺ ൌ 11,63 ݇ܰ.݉ ܺଶ ൌ 21,57 ݇ܰ Observa‐se que ao invés de obtermos os valores das reações de apoio, neste caso, obtemos os valores dos momentos fletores nos apoios. Fazendo‐se o mesmo procedimento do Exemplo III têm‐se os esforços e as reações de apoio. ܴ ൌ ܴ ଵܺ. ܴଵ ܺଶ. ܴଶ ܸ ൌ ܸ ଵܺ. ܸଵ ܺଶ. ܸଶ ܯ ൌ ܯ ଵܺ.ܯଵ ܺଶ.ܯଶ E, desta forma, obtendo‐se os diagramas de esforços cortantes e de momento fletores do exemplo anterior. 38 A B C D 10 kN/m E 10 kN/m 20 kN/m 1 kN/m R=q.L 2 R=q.L 2 R=P L R=-P L 1 kN/m R=P L R=-P L D.M.F. [kN.m] D.E.C. [kN] -q.L 2 q.L 2 1 L -1 L q.L² 8 1 1 A B C 10 kN/m10 kN/m D E 10 kN/m B A B X1 C X1 D EB [X0] D 10 kN/m C D X2 C X2 X3 X3 A B C 10 kN/m10 kN/m D E 10 kN/m B [X0] D 20 kN/m C RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN 20 20 30 25 -20 -20 -30 -25 20 20 22,5 31,25Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m 2 2 Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m 2 2 Mmax=q.L² =20.3²=22,5 kN.m 2 2 Mmax=q.L² =10.5²=31,25 kN.m 2 2 EXEMPLO V: Dados os diagramas: g = 3 Resolução: 1º Caso de Carregamento [ X0 ]: 39 A B X1 C X1 D EB [X1] DC 1/4 -1/4 1/4 -1/4 1/4 -1/4 1 1 A B C D EB X2 [X2] DC 1/4 -1/4 -1/3 1/3 X2 1/4 -1/3 1 1 A B C D EB X2 [X3] DC 1/4 -1/4 -1/3 1/3 X2 -1/5 1/3 1 1 2º Caso de Carregamento [ X1 ]: 3º Caso de Carregamento [ X2 ]: 4º Caso de Carregamento [ X3 ]: 40 1 1 20 20 22,5 31,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cálculo de : ߜଵ ൌ ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ 0 0 ൌ 4 3 . 20.1 4 3 . 20.1 0 0 ൌ 53,33 ߜଵଵ ൌ ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ 0 0 ൌ 4 3 . 1.1 4 3 . 1.1 0 0 ൌ 2,67 ߜଵଶ ൌ 0 ܮ6ܯܯഥ 0 0 ൌ 4 3 . 1.1 0 0 0 ൌ 0,67 ߜଵଷ ൌ 0 0 0 0 ൌ 0,00 41 1 1 20 20 22,5 31,25 1 1 1 1 1 1 1 1 ߜଵଶ ൌ 0 ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ 0 ൌ 0 4 3 . 20.1 3 3 . 22,5.1 0 ൌ 49,17 ߜଶଶ ൌ 0 ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ 0 ൌ 0 4 3 . 1.1 3 3 . 1.1 0 ൌ 2,33 ߜଶଷ ൌ 0 0 ܮ6ܯܯഥ 0 ൌ 0 0 3 6 . 1.1 0 ൌ 0,50 42 1 1 1 1 1 1 20 20 22,5 31,25 ߜଷଷ ൌ 0 0 ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ ൌ 0 0 3 3 . 1.1 5 3 . 1.1 ൌ 2,67 ߜଷ ൌ 0 0 ܮ3ܯܯഥ ܮ 3ܯܯഥ ൌ 0 0 3 3 . 1.22,5 5 3 . 1.31,25 ൌ 74,58 Resolução do Sistema: ൝ ߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ܺଶ. ߜଵଶ ܺଷ. ߜଵଷ ൌ 0 ߜଶ ଵܺ. ߜଶଵ ܺଶ. ߜଶଶ ܺଷ. ߜଶଷ ൌ 0 ߜଷ ଵܺ. ߜଷଵ ܺଶ. ߜଷଶܺଷ. ߜଷଷ ൌ 0 ൝ 53,33 ଵܺ. 2,67 ܺଶ. 0,67 ܺଷ. 0,00 ൌ 0 49,17 ଵܺ. 0,67 ܺଶ. 2,33 ܺଷ. 0,50 ൌ 0 74,58 ଵܺ. 0,00 ܺଶ. 0,50ܺଷ. 2,67 ൌ 0 Substituindo temos: ଵܺ ൌ െ0,67. ܺଶ െ 53,332,67 ൌ െ0,251. ܺଶ െ 19,97 ܺଷ ൌ െ0,50. ܺଶ െ 74,582,67 ൌ െ0,187. ܺଶ െ 27,93 49,17 ሺെ0,251. ܺଶ െ 19,97ሻ. 0,67 2,33. ܺଶ ሺെ0,187. ܺଶ െ 27,93ሻ. 0,50 ൌ 0 ܺଶ ൌ െ21,8252,0685 ൌ െ10,55 ݇ܰ.݉ 43 A B X1 C X1 D EB [X1] DC 1/4 -1/4 -1/4 1/4 A B C 10 kN/m10 kN/m D E 10 kN/m B [X0] D 20 kN/m C RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN A B C D EB X2 [X2] DC 1/4 -1/4 -1/3 1/3 X2 A B C D EB X2 [X3] DC 1/4 -1/4 -1/3 1/3 X2 Da mesma forma determinamos: ଵܺ ൌ െ17,33 ݇ܰ.݉ ܺଶ ൌ െ25,96 ݇ܰ.݉ Cálculo das Reações de Apoio: ܴ ൌ ܴ ଵܺ. ܴଵ ܺଶ. ܴଶ ܺଷ. ܴଷ ܴ ൌ ܴ െ 17,33. ܴଵ െ 10,55. ܴଶ െ 25,96. ܴଷ ܴ௬ ൌ 20 െ 17,33. 14 െ 10,55.0 െ 25,96.0 ൌ 15,67 ݇ܰ ܴ௬ ൌ ሺ20 20ሻ െ 17,33. ൬െ 14 െ 1 4൰ െ 10,55. 1 4 െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ 46,03 ݇ܰ ܴ௬ ൌ ሺ20 30ሻ െ 17,33. 14 െ 10,55. ൬െ 1 4 െ 1 3൰ െ 25,96. 1 3 ൌ 43,17 ݇ܰ ܴ௬ ൌ ሺ30 25ሻ െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ൬13൰ െ 25,96. ሺെ 1 3 െ 1 5ሻ ൌ 65,33 ݇ܰ ܴா௬ ൌ 25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. 153 ൌ 19,81 ݇ܰ 44 20 20 25 -20 -20 -25 -30 1/4 -1/4 1/4 -1/3 -1/5 1/3 15,68 21,70 24,86 30,19 -24,33 -18,30 -35,14 -19,81 D.E.C. [kN] Cálculo dos Esforços Cortantes: ܸ ൌ ܸ ଵܺ. ܸଵ ܺଶ. ܸଶ ܺଷ. ܸଷ ܸ ൌ ܸ െ 17,33. ܸଵ െ 10,55. ܸଶ െ 25,96. ܸଷ Ponto A: ܸ ൌ 20 െ 17,33. ቀଵସቁ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ 15,67 ݇ܰ Ponto Besq: ܸ ൌ െ20 െ 17,33. ቀଵସቁ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ െ24,33 ݇ܰ Ponto Bdir: ܸ ൌ 20 െ 17,33. ቀെ ଵସቁ െ 10,55. ቀ ଵ ସቁ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ 21,70 ݇ܰ Ponto Cesq: ܸ ൌ െ20 െ 17,33. ቀെ ଵସቁ െ 10,55. ቀ ଵ ସቁ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ െ18,30 ݇ܰ Ponto Cdir: ܸ ൌ 30 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ቀଵଷቁ െ 25,96. ቀ ଵ ଷቁ ൌ 24,86 ݇ܰ Ponto Desq: ܸ ൌ െ30 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ቀଵଷቁ െ 25,96. ቀ ଵ ଷቁ ൌ െ35,14 ݇ܰ Ponto Ddir: ܸ ൌ 25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ቀെ ଵହቁ ൌ 30,19 ݇ܰ Ponto E: ܸ ൌ െ25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ቀെ ଵହቁ ൌ െ19,81 ݇ܰ 45 20 20 22,5 31,25 1 1 1 1 1 1 -17,33 -10,55 -25,96 11,34 6,06 4,24 18,27 D.M.F. [kN.m] Cálculo dos Momentos Fletores: ܯ ൌ ܯ ଵܺ.ܯଵ ܺଶ.ܯଶ ܺଷ.ܯଷ ܯ ൌ ܯ െ 17,33.ܯଵ െ 10,55.ܯଶ െ 25,96.ܯଷ ܯ௩ã ଵ ൌ 20 െ 17,33. ൬12൰ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ 11,34 ݇ܰ.݉ ܯ௩ã ଶ ൌ 20 െ 17,33. ൬12൰ െ 10,55. ൬ 1 2൰ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ 6,06 ݇ܰ.݉ ܯ௩ã ଷ ൌ 22,5 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ൬12൰ െ 25,96. ൬ 1 2൰ ൌ 4,24 ݇ܰ.݉ ܯ௩ã ସ ൌ 31,25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ൬12൰ ൌ 18,27 ݇ܰ 46 20 kN/m A C B D 20 kN/m X1=1 X2=1 A C B D EXEMPLO VI: Grau de Hiperestaticidade: g = 2 (2x hiperestática) Liberaremos os vínculos do apoio de segunda ordem 47 20 kN/m A C B D RAx RAy MA s3 s1 s2 [X0] V N M 1º Caso de Carregamento [ X0 ]: Cálculo das Reações de Apoio: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܴ௫ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܴ௬ െ 20.6 ∴ ܴ௬ ൌ 120 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 20.6. 62 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 360 ݇ܰ.݉ Seção S1: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 48 V N M V N M RAx=0 RAy=120 kN MA=360 kN.m -120 kN 120 kN [D.E.N.] [D.E.C.] -360 kN [D.M.F.] -360 kN Seção S2: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 20. ݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 20. ݔ xൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 xൌ 6 ∴ ܸ ൌ 120 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ 20. ݔ. ௫ଶ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ െ10. ݔ² xൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 xൌ 6 ∴ ܯ ൌ െ360 ݇ܰ.݉ Seção S3: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ 120 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ െ120 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ 360 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ െ360 ݇ܰ.݉ Diagrama de Esforços [X0]: 49 A C B D RAx RAy MA s3 s1 s2 X1=1 [X1] V N M X1=1 2º Caso de Carregamento [ X1 ]: Cálculo das Reações de Apoio: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܴ௫ 1 ൌ 0 ∴ ܴ௫ ൌ െ1 ݇ܰ Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܴ௬ 0 ∴ ܴ௬ ൌ 0 Σܯ ൌ0 ∴ ܯ ൌ 0 Seção S1: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ െ1 ݇ܰ Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 1. ݔ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ ݔ xൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 xൌ 3 ∴ ܯ ൌ 3 ݇ܰ.݉ 50 V N M X1=1 V N M RAx=-1 RAy=0 kN MA=0 kN.m -120 kN [D.E.N.] [D.E.C.] 1 kN 1 kN -1 kN -360 kN [D.M.F.] 3 kN.m 3 kN.m 3 kN.m Seção S2: Σܨݔ ൌ 0 ∴ െܰ 1 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 1 ݇ܰ Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 1.3 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 3 ݇ܰ.݉ Seção S3: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ െ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 1 ݇ܰ Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ 0 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 1. ݔ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ ݔ xൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 xൌ 3 ∴ ܯ ൌ 3 ݇ܰ.݉ Diagrama de Esforços [X1]: 51 A C B D RAx RAy MA s3 s1 s2 X2=1 [X2] V N M X 2=1 3º Caso de Carregamento [ X2 ]: Cálculo das Reações de Apoio: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܴ௫ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܴ௬ 1 ∴ ܴ௬ ൌ െ1 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ െܯ െ 1.6 ൌ െ6 ݇ܰ.݉ Seção S1: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ 1 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ െ1 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 52 V N M X2=1 V N M RAx=0 RAy=-1 kN MA=-6 kN.m -120 kN [D.E.N.] [D.E.C.] 1 kN 1 kN -1 kN 6 kN.m [D.M.F.] 6 kN.m Seção S2: Σܨݔ ൌ 0 ∴ െܰ 0 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ െ1 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 Seção S3: Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ െ 1 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 1 ݇ܰ Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 6 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 6 ݇ܰ.݉ Diagrama de Esforços [X1]: 53 Cálculo do δ: ߜଶଵ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ܮ. ൫ܯ.ܯ൯ ܮ 3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 3 3 . 3.3 6.3.3 3 3 . 3.3 ൌ 72 ߜଶଶ ൌ 0 ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ܮ. ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 0 6 3 . 6.6 3.6.6 ൌ 180 ߜଶଵ ൌ 0 ܮ2 . ൫ܯ.ܯ൯ ܮ 2 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 0 6 2 . 3.6 3 2 . 3.6 ൌ 81 δ12 = δ21= 81 ߜଶଵ ൌ ܮ2 . ൫ܯ.ܯ൯ ܮ 3 . ൫ܯ.ܯ൯ 0 ൌ 3 2 . 3. െ360 6 2 . 3. െ360 ൌ െ3.780 54 ߜଶ ൌ 0 ܮ4 . ൫ܯ.ܯ൯ ܮ. ൫ܯ.ܯ൯ 0 ൌ 6 4 . 6. െ360 3.6. െ360 ൌ െ9.720 Sistema de Equações: ൜ߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ܺଶ. ߜଵଶ ൌ 0ߜଶ ଵܺ. ߜଶଵ ܺଶ. ߜଶଶ ൌ 0 ൜ െ3.780 ଵܺ. 72 ܺଶ. 81 ൌ 0െ9.720 ଵܺ. 81 ܺଶ. 180 ൌ 0 Resolvendo‐se o sistema obtemos: ଵܺ ൌ െ16,71 ݇ܰ ܺଶ ൌ 61,52 ݇ܰ Cálculo das Reações de Apoio: ܴ ൌ ܴ ଵܺ. ܴଵ ܺଶ. ܴଶ ܴ ൌ 120 െ 16,71. ሺ0ሻ 61,52. ሺെ1ሻ ൌ 58,48 ሾ݇ܰሿ ܴೣ ൌ 0 െ 16,71. ሺെ1ሻ 61,52. ሺ0ሻ ൌ 16,71 ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ 360 െ 16,71. ሺ0ሻ 61,52. ሺെ6ሻ ൌ െ9,12 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܴೣ ൌ ଵܺ ൌ െ16,71 ሾ݇ܰሿ ܴ ൌ ܺଶ ൌ 61,52 ሾ݇ܰሿ ܯ ൌ െ360 െ 16,71. ሺ3ሻ 61,52. ሺ6ሻ ൌ െ41,01 ሾ݇ܰ.݉ሿ ܯ ൌ 0 െ 16,71. ሺ3ሻ 61,52. ሺ0ሻ ൌ െ50,13 ሾ݇ܰ.݉ሿ 55 BIBLIOGRAFIA BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São Paulo: McGraw-Hill. CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. Guanabara Dois. POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blücher. SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.2. 11a ed.São Paulo: Ed.Globo. TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 –Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC. 56 Capítulo III – Método dos Deslocamentos O método dos deslocamentos, também conhecido como método da rigidez, apesar de também ter aplicabilidade na resolução de estruturas isostáticas é um método de análise estrutural bastante aplicado no caso de estruturas grandes e complexas. Estas estruturas exigem a solução de um grande número de equações, sendo necessária para a sua solução a utilização de ferramentas computacionais. Comparativamente, a formulação matemática do método dos deslocamentos é muito semelhante à do método das forças, decorrendo daí, quando da análise de problemas, qual dos dois se torna mais vantajoso. Em linhas gerais, podem‐se resumir os métodos das forças e dos deslocamentos para aplicação a estruturas hiperestáticas como: ‐ Método das forças: A solução se dá pela determinação de seus esforços para, a partir deles, obter as deformações, impondo como incógnitas os esforços em vínculos. ‐ Método dos deslocamentos: A solução se dá pela determinação das deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obterem os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Estruturas hiperestáticas são resolvidas impondo como incógnitas os deslocamentos em nós rígidos. Ainda na seara das semelhanças e diferenças entre os dois métodos têm: Método das Forças Idéia básica: Determinar, dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, qual a solução que faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas. Metodologia: Superpor uma série de soluções estaticamente determinadas Método dos Deslocamentos Idéia básica: Determinar, dentro do conjunto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de compatibilidade, qual a solução que faz com que as condições de equilíbrio também sejam satisfeitas. Metodologia: Superpor uma série de soluções cinematicamente determinadas 57 (isostáticas) que satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura para obter uma solução final que também satisfaz as condições de compatibilidade. Incógnitas: Hiperestáticos: forças e momentos associados a vínculos excedentes à determinação estática da estrutura. Número de incógnitas: É o número de incógnitas excedentes das equações de equilíbrio, denominado grau de hiperestaticidade. Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas: Sistema Principal (SP): estrutura estaticamente determinada (isostática) obtida da estrutura original pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperestáticos. Essa estrutura auxiliar viola condições de compatibilidade de estrutura original. Equações finais: São equações de compatibilidade expressas em termos dos hiperestáticos. Essas equações recompõem as condições de compatibilidade violadas nas soluções básicas. Termos de carga das equações finais: Deslocamentos e rotações nos pontos dos vínculos liberados no SP devidos à solicitação externa (carregamento). (configurações deformadas conhecidas) que satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura para obter uma solução final que também satisfaz as condições de equilíbrio. Incógnitas: Deslocabilidades: componentes de deslocamentos e rotações nodais que definem a configuração deformada da estrutura. Número de incógnitas: É o número de incógnitas excedentes das equações de compatibilidade, denominado grau de hipergeometria. Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas: Sistema Hipergeométrico (SH): estrutura cinematicamente determinada (estrutura com configuração deformada conhecida) obtida da estrutura original pela adição dos vínculos necessários para impedir as deslocabilidades. Essa estrutura auxiliar viola condições de equilíbrio da estrutura original. Equações finais: São equações de equilíbrio expressasem termos das deslocabilidades. Essas equações recompõem as condições de equilíbrio violadas nas soluções básicas. Termos de carga das equações finais: Forças e momentos (reações) nos vínculos adicionados no SH devidos à solicitação externa (carregamento) 58 1 11 21 P2 12 22 P2 1)1 P1 2 2)1 2 Coeficientes das equações finais: Coeficientes de flexibilidade: deslocamentos e rotações nos pontos dos vínculos liberados no SP devidos a hiperestáticos com valores unitários atuando isoladamente. Coeficientes das equações finais: Coeficientes de rigidez: forças e momentos nos vínculos adicionados no SH para impor configurações deformadas com deslocabilidades isoladas com valores unitários. Tal qual no método das forças, no método dos deslocamentos iremos nos valer do Princípio da Superposição de Efeitos (White et al. 1976, West 1989, Felton & Nelson 1996) para formalização dos métodos básicos da análise estrutural. Esse princípio prescreve que a superposição dos campos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando concomitantemente. Tal qual representação abaixo: Para que se possa utilizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um comportamento linear, comportamento este baseado em duas condições: 1ª Condição: que o material trabalhe no regime elástico‐linear. 2ª Condição: que seja válida a hipótese de pequenos deslocamentos (os deslocamentos podem ser considerados pequenos quando as equações de equilíbrio escritas para a geometria indeformada da estrutura fornecem 59 P resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de equilíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura) Exceto em casos particulares, as estruturas civis têm deslocamentos pequenos em comparação aos tamanhos característicos dos seus membros (comprimento da barra ou altura da seção transversal, por exemplo). Um contra‐exemplo, para o qual não é possível adotar a hipótese de pequenos deslocamentos, é mostrado na figura abaixo. Essa estrutura tem duas barras e três rótulas alinhadas, e o estado de equilíbrio estável só pode ser alcançado para a estrutura na configuração deformada. Cabos, que são estruturas muito flexíveis, é outro exemplo de estruturas cujo equilíbrio é alcançado na geometria final, considerando os seus deslocamentos sobrepostos à geometria inicial indeformada. Essas estruturas não serão tratadas aqui, e serão classificadas como instáveis. Para facilitar o entendimento do método seguiremos a mesma linha de raciocínio apresentada por SÜSSEKIND (Curso de Análise Estrutural, vol.3), que segue: 1. INCOGNITAS: Contrário ao método das forças que considerava esforços simples (ou reações de apoio) como incógnitas do problema, o método dos deslocamentos determinará inicialmente as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obterem os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Desta forma, as incógnitas serão os ângulos de rotação e os deslocamentos. Em seu cálculo serão desprezadas as deformações das barras que compõem a estrutura devida a esforços normais, bem como as devidas a esforços cortantes, não se constituindo este fato em nenhum erro especial peculiar ao método. Iniciaremos nosso estudo estabelecendo as deformações possíveis em uma barra, a fim de determinarmos os esforços nela atuantes. Seja a barra AB representada abaixo uma barra genérica de uma estrutura; devido aos esforços 60 que solicitam a barra, ela se deformará assumindo a posição A’B’, sendo essa mudança de posição encarada como resultante das seguintes deformações, independentes uma das outras: Figura I – 1.2: Translação da barra de δA: durante esta translação, a barra se mantém reta e paralela à sua posição primitiva, de modo que não é despertado qualquer esforço simples resta fase; Figura I – 1.3: Deslocamento linear de uma das extremidades da barra ao longo de uma direção perpendicular a seu eixo, de valor ρBA (deslocamento ortogonal recíproco dos nós B em relação ao nó A), sem rotação das extremidades da barra. A barra se comporta como se fosse uma viga biengastada AB, cujo engaste B sofreu recalque vertical igual a ρBA Figura I – 1.4: Rotação da extremidade A da barra de valor ϕA. A barra se comporta como viga biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA. Figura I – 1.5: Rotação da extremidade B da barra de valor ϕB. A barra se comporta como viga biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA. 61 Figura I – 1.6: Deformação da barra, sem deslocamentos lineares nem rotações de extremidade, devido ao carregamento externo aplicado. Nesta fase, a barra funciona como uma viga biengastada submetida ao carregamento externo e que pode ser determinado sem maiores dificuldades pelo método das forças. Concluindo, basta conhecer os valores de ϕA, ϕB e ρBA para obtermos o diagrama de momento fletores e, a partir dele, os demais diagramas solicitantes para uma barra de uma estrutura, já a translação δA da barra não introduz qualquer esforço na mesma. Observação Importante: para estruturas espaciais é necessário conhecermos a rotação e o deslocamento linear resultante de cada extremidade das barras que compõem a estrutura. Esta rotação será dada por suas componentes (ϕX, ϕY, ϕZ), e o deslocamento linear por suas componentes (δx ,δy, δz), num total de 6 incógnitas por nó da estrutura espacial, nos casos mais gerais. Para grelhas precisaremos conhecer as rotações (ϕX, ϕY) e o deslocamento linear δz, num total de 3 incógnitas por nó, nos casos gerais. No caso da barra possuir uma das extremidades rotuladas (por exemplo “A”), sua rotação nesta extremidade não será incógnita do problema, pois o diagrama de momentos fletores final na barra AB será igual à soma daquele provocado pelo deslocamento ortogonal recíproco ρBA, com o da rotação ϕB e com o do carregamento externo, supostos aplicados numa viga apoiada AB (vide figura abaixo). 62 Note que o método das deformações só pode existir devido à existência do método das forças, que é aquele que fornece os diagramas para vigas biengastadas (ou engastadas e rotuladas) devidos a ϕA, ϕB e ρBA... a partir dos quais formularemos o método das deformações. 2. NÚMERO DE INCOGNITAS (Deslocabilidade interna e externa): a. Deslocabilidade interna: Seja a estrutura abaixo: Já sabemos que as incógnitas do problema serão rotações e deslocamentos lineares dos nós B e C, já que os engastes A e D não sofrem deformações. No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos lineares, pois, neste caso, o apoio de 1º gênero impede a componente vertical, assim como o engaste D a componente horizontal de deslocamento. Desta forma, a única incógnita em C será sua rotação. O nó B também não apresentará deslocamentos lineares, pois sua componente vertical e horizontal será impedida, respectivamente, pelosengastes A e D, de modo que a única incógnita, também no nó B, será a rotação. Concluindo, teremos neste exemplo 2 incógnitas, número de nós rígidos (não rotulados) da estrutura. Portanto, dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvê‐la. Então, o número de deslocabilidades internas (di) de uma estrutura, é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não incluídos os nós extremos apoiados ou engastados, bem como, os rotulados). 63 Observação Importante: para estruturas espaciais, o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo do número de nós internos rígidos que a estrutura possui. b. Deslocabilidade externa: Seja a estrutura abaixo: Como todos os nós internos são rotulados, não necessitaremos conhecer as rotações das barras nestes nós. Resta‐nos analisar o problema dos deslocamentos lineares dos mesmos para conhecermos o número de incógnitas do problema. Iniciando a análise pelo nó D, vemos que ele não terá componente vertical de deslocamento (engaste em A); nada impede, porém, seu deslocamento horizontal (primeira incógnita do problema). Para indicar a incógnita, indicaremos um apoio de 1º gênero em D (Figura I – 4.2), mostrando que seria necessário mais um vínculo na estrutura para que o nó D não deslocasse. Da mesma forma que ocorre em D, ocorre no nó G (segunda incógnita do problema). Desta forma, caso os apoios ❶ e ❷ exisƟssem, seriam indeslocáveis linearmente os nós D e G, e por conseqüência os nós E e F. A estrutura em questão possui então, dois deslocamentos lineares que são impedidos pelos apoios do 1º gênero ❶ e ❷, e dizemos, então, que ela possui duas deslocabilidades lineares ou externas. Ou seja: a deslocabilidade externa (de) é igual ao número de apoios do 1º gênero que precisamos acrescentar para que todos os nós sejam linearmente indeslocáveis. c. Deslocabilidade Total: É a soma das deslocabilidades internas e externas: ݀ ൌ ݀ ݀ 64 Aplicação I: Determine o número total de deslocabilidades para as estruturas planas a seguir. 65 Aplicação II: Obter o número total de deslocabilidades para as grelhas (estruturas planas que serão solicitadas perpendicularmente a seu plano) abaixo: 66 CONVENÇÃO DE SINAIS: Deste ponto em diante, estabeleceremos uma convenção de sinais que será adotada neste método em especial. Convenção esta, que consiste em chamar de positivo os momentos e rotações nos extremos das barras quando os mesmos tiverem o sentido anti‐horário, além das demais convenções abaixo. A convenção de sinais para momentos fletores será explorada para descrever os diagramas nos passos intermediários do método, conforme será visto. Uma das utilidades desta convenção de sinais mostrada acima é considerar informações sobre os esforços que atuam em uma barra. Por exemplo, considere a viga biengastada abaixo: 67 3. INTRODUZINDO O MÉTODO: A base deste método consiste em determinarmos primeiramente os deslocamentos e de forma indireta, a partir destes, os esforços. Este método pode ser empregado tanto em estruturas ISOSTÁTICAS quanto em estruturas HIPERESTÁTICAS; sua única limitação são as VIGAS BI‐ENGASTADAS. No que se refere a estruturas reticuladas (barras ligadas por nós) o número de incógnitas será igual ao número de deslocamentos nodais ou o número de graus de liberdade (GL) de todos os nós da estrutura. Já para o caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá apenas 2GL, que são: translação paralela a Y e rotação em torno de Z. No caso de existirem forças horizontais aplicadas na viga, estas serão modeladas como pórticos planos. Em resumo, o método consiste em FIXAR a estrutura, introduzindo vínculos fictícios, de forma a tornar a estrutura cinematicamente determinada, e através das cargas aplicadas nas barras calcularem os esforços causados na estrutura fixa (SP – Sistema Principal). Na sequência são aplicados os deslocamentos nos nós e calculados os esforços decorrentes destes na estrutura. Através da superposição de efeitos calculam‐se os esforços totais que devem estar em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós, gerando um sistema de equações de forças em torno dos nós da estrutura. 68 Obs.: em estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os nós, o que torna conveniente a utilização de programas computacionais. 4. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ‐ VIGAS: a. Sistema de um GRAU DE LIBERDADE: Seja a viga engastada‐apoiada de rigidez EI abaixo: A mesma apresenta apenas um grau de liberdade, a saber: rotação em B (em geral, as vigas apresentam 2 graus de liberdade) A temática do método baseia‐se em fixar a estrutura (limitar os deslocamentos, inversamente ao que era feito no método das forças, onde, liberávamos os vínculos e deixávamos a estrutura deslocar) e calculam‐se então os esforços de ENGASTAMENTO PERFEITO, calculando para a estrutura fixa, o esforço (momento) que surge na barra na direção de GL devido ao carregamento externo. Como segue: 69 Posteriormente, aplica‐se o deslocamento B no nó e calculam‐se os esforços correspondentes. De forma elucidativa: como a estrutura NÃO é fixa em B e este em teoria sofreria um deslocamento, impõem‐se este deslocamento no nó e calcula‐se o esforço correspondente na barra. Este esforço será proporcional ao deslocamento imposto, proporcionalidade esta dada pelo coeficiente da barra 4ܧܫ ݈ൗ Por fim, efetua‐se o equilíbrio das forças em torno de B. Por superposição de efeitos calcula‐se o esforço total na extremidade da barra e iguala‐se à força aplicada no nó. െݍ݈ଶ 12 4. ܧܫ ݈ . ߠ ൌ 0 ∴ ߠ ൌ ݈ 4. ܧܫ . ݍ݈ଶ 12 ∴ ߠ ൌ ݍ݈ଷ 48. ܧܫ Nesta linha de raciocínio, podemos escrever a equação de equilíbrio das forças da seguinte maneira: ܨா ܵ. ݀ ൌ ܨ ൌ ܣ Onde: FEP é o esforço de engastamento perfeito; S é o coeficiente de rigidez; d é o deslocamento e A a ação (força ou binário) aplicada no nó. De forma a sistematizar o método, faremos a imposição de deslocamentos unitários (assim como feito no método das forças) na direção dos GL. Desta forma: para d1 = 1 teremos ܯ ൌ 4. ܧܫ ݈ൗ ൌ ଵܵଵ. Logo para d1 = B tem‐se ܯ ൌ ସ.ாூ . ߠ ∴ ܯ ൌ ଵܵଵ. ߠ ൌ ଵܵଵ. ݀ଵ, onde S11 representa o esforço na barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1. Em linhas gerais, o grau de liberdade pode ser calculado pela seguinte equação de equilíbrio de forças na direção 1: 70 ܨாଵ ଵܵଵ. ݀ଵ ൌ ܣଵ De forma geral, para muitos graus de liberdade tem‐se: ሼܨாሽ ሾܵሿ. ሼܦሽ ൌ ሼܣሽ Onde: { FEP } é o vetor de esforços de engastamento perfeito; [ S ] é a matriz de rigidez da estrutura; { D } é o vetor de deslocamentos nodais e; { A } é o vetor de ações nodais.Casa coeficiente Sij ( i – efeito / j – causa), representa o esforço na barra na direção ou GLi, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de liberdade j. Esforço de ESGASTAMENTO PERFEITO: Os esforços de engastamento perfeito podem ser encontrados através do Método das Forças. ܯ ൌ ݍ. ݈²8 ∴ ܯଵ ൌ ܯଶ ൌ െ1 ߜଶ ൌ ߜଵ ൌ ݈3 . ݍ. ݈² 8 . െ1 ൌ െݍ. ݈³ 24 ߜଵଵ ൌ ߜଶଶ ൌ ݈3 െ 1.െ1 ൌ ݈ 3 ߜଵଶ ൌ ߜଶଵ ൌ ݈6 . െ1.െ1 ൌ ݈ 6 71 െݍ. ݈³ 8 ܮ 3 . ଵܺ ܮ 6 . ܺଶ ൌ 0 െݍ. ݈³ 8 ܮ 6 . ଵܺ ܮ 3 . ܺଶ ൌ 0 Resolvendo o sistema obtemos: ଵܺ ൌ ܺଶ ൌ .²ଵଶ Desta forma, os momentos de engastamento perfeito da estrutura ficam assim determinados: Coeficientes de RIGIDEZ: Também podem ser determinados pelo Método das Forças, impondo‐se deslocamentos unitários nos graus de liberdade. Sejam a estrutura engastada e apoiada estudada até agora, na qual se pretende determinar o coeficiente S11 (grau de liberdade 1 causado pelo deslocamento unitário imposto): Através do Método das Forças (capítulo II), eliminam‐se os vínculos excedentes obtendo‐se o seguinte SP: 72 ܯ ൌ 0 ∴ ܯଵ ൌ ܯଶ ൌ െ1 ߜଵ ൌ 0 ߜଵଵ ൌ ߜଶଶ ൌ ݈3 െ 1.െ1 ൌ ݈ 3 ߜଵଶ ൌ ߜଶଵ ൌ ݈6 . െ1.െ1 ൌ െ ݈ 6 ൜ߜଵ. ܧܫ ൌ ܧܫ. ሺߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ܺଶ. ߜଵଶሻ ∴ ܧܫ. 1 ൌ ܧܫ. ሺߜଵ ଵܺ. ߜଵଵ ܺଶ. ߜଵଶሻߜଶ. ܧܫ ൌ ܧܫ. ሺߜଶ ଵܺ. ߜଶଵ ܺଶ. ߜଶଶሻ ∴ ܧܫ. 0 ൌ ܧܫ. ሺߜଶ ଵܺ. ߜଶଵ ܺଶ. ߜଶଶሻ ൞ ݈ 3 . ଵܺ െ ܮ 6 . ܺଶ ൌ ܧܫ െ݈ 6 . ଵܺ ݈ 3 . ܺଶ ൌ 0 ଵܺ ൌ 4. ܧܫ݈ ∴ ܺଶ ൌ 2. ܧܫ ݈ Desta forma o coeficiente de rigidez é ଵܵଵ ൌ ܺ1 ൌ 4ܧܫ ݈ൗ . O esforço na extremidade da barra é igual à reação no engaste e observa‐se que na outra extremidade ele equivale à metade ሺ2ܧܫ ݈ൗ ሻ. 73 b. Sistema de dois GRAUS DE LIBERDADE: Seja a figura abaixo com 2 graus de liberdade: Pela superposição de efeitos, inicialmente fixa‐se a estrutura, aplica‐se as cargas nas barras e determinam‐se os esforços de engastamento perfeito. Posteriormente impomos o deslocamento unitário no grau de liberdade 1 (d1=1 e d2=0), determinando os esforços correspondentes (coeficientes de rigidez S11 em GL1 e S22 em GL2) Pelas condições de equilíbrio, a soma dos esforços em um nó em certa direção tem que ser igual à ação aplicada neste mesmo nó na mesma direção. No GL1: FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1 = M No GL2: FEP2 + S21.d1 + S22.d2 = A2 = 0 O que resulta no seguinte sistema: 74 Resolvendo o sistema obtém‐se o vetor de deslocamentos { D }: [ S ] . { D } = { A } – { FEP } { D } = [ S ]‐1 . { A – FEP } Desta forma se a estrutura for isostática ou hiperestática, a matriz [ S ] poderá ser invertida sempre, logo, do sistema de equações obtém‐se { D }. Caso a estrutura seja hipoestática, a matriz [ S ] será singular (det[ S ]=0) e o sistema NÃO terá solução. Visando simplificar a resolução do método no que tange a determinação dos momentos de engastamento perfeitos, serão apresentadas na sequência as tabelas algumas tabelas bastante úteis. As que são parte integrante desta apostila foram extraídas da apostila TABELAS DE VIGAS: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito do professor Libânio / UFSCar, porém, as mesmas podem ser encontradas em SUSSEKIND, José Carlos (Curso de análise estrutural, volume III), que embasa este estudo teórico do Método dos Deslocamentos. 75 76 77 78 79 5. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – TRELIÇAS: a. Sistema com um GRAU DE LIBERDADE Usaremos como exemplo uma barra de material homogêneo e seção transversal constante, submetida a uma carga axial. Imaginaremos a mesma como uma barra de treliça engastada em uma extremidade e na outra uma carga de tração, conforme abaixo: Fazendo analogia a mola elástica de rigidez k, deve‐se ter que a força P é proporcional ao deslocamento u1, sendo esta proporcionalidade dada pela rigidez axial da barra e desta forma temos a seguinte equação de equilíbrio: Sabendo que a rigidez é o inverso da flexibilidade, e considerando conhecida a rigidez, sendo esta obtida pelo PTV (Principio dos Trabalhos Virtuais = tabelas de integração), temos: ݇ ൌ ܧܣ ݈ൗ Para obtermos a solução da equação de equilíbrio temos: ݑଵ ൌ ܲ ݇ൗ ൌ ݈ܲ ܧܣൗ b. Sistema com dois GRAUS DE LIBERDADE Para tanto analisaremos uma barra composta de duas hastes de comprimento e seções desiguais. 80 Seguindo o raciocínio anteriormente adotado: Teremos como constantes elásticas das molas: Sendo a extremidade à esquerda fixa, teremos 2 graus de liberdade (u1 e u2). Teremos então, o seguinte sistema de equações de equilíbrio: Ou em sua forma matricial: [ S ] . { D } = { A } A matriz de rigidez [ S ] pode ser obtida impondo‐se os deslocamentos u1 = 1 e u2 = 0 obtendo‐se assim os coeficientes S11 = k1 + k2 e S21 = ‐k2. 81 Posteriormente impomos os deslocamentos como seguem: u1 = 0 e u2 = 1 obtendo‐se assim os coeficientes S12 = ‐k1 + k2 e S21 = k2. Substituindo‐se os coeficientes Sij no sistema temos: Para estruturas com muitas barras, ao invés de analisarmos de forma global, dividimos a estrutura em elementos. As matrizes de rigidez de cada elemento são calculadas isoladamente e, a partir delas, obtém‐se a matriz de rigidez da estrutura, somando‐se os coeficientes correspondentes aos mesmos graus de liberdade. Para n graus de liberdade, teremos um sistema de equações de equilíbrio da estrutura n x n. 82 EXEMPLOS/APLICAÇÕES Exemplo 01: Seja a viga abaixo, cuja rigidez das barras é constante e igual a 72x10³ kN.m². Determine o grau de liberdade. Calcule os deslocamentos pelo método da rigidez. Portanto a estrutura em questão possui 2 graus de liberdade (d1 e d2). Dessa forma, para resolvermos o problema, primeiramente aplicamos as cargas nas barras e encontramos os esforços de engastamento perfeito. Pelas tabelas de momentos de engastamento perfeito temos: 83 Aplica‐se então d1 = 1 e conseqüentemente d2 = 0 e determinam‐se os esforços correspondentes. Aplica‐se após d2 = 1 e conseqüentemente d1 = 0 e determinam‐se os esforços correspondentes. Pela superposição de efeitos, defini‐se o seguinte sistema de equações: No nó B (GL1): ܨாଵ ଵܵଵ. ݀ଵ ଵܵଶ. ݀ଶ ൌ ܣଵ No nó C (GL2): ܨாଶ ܵଶଵ. ݀ଵ ܵଶଶ. ݀ଶ ൌ ܣଶ 84 Em sua forma matricial temos: Substituindo os dados já determinados na forma matricial do problema tem‐se: Que resulta em: A partir dos deslocamentos d1 e d2 podem‐se encontrar os esforços nas barras multiplicando‐se os coeficientes de rigidez de cada barra pelos deslocamentos sofridos nas suas extremidades e somando‐se o resultado com os esforços de engastamento perfeito nas extremidades das barras. 85 Exemplo 02: Considere a viga abaixo. O valor da rigidez à flexão da mesma é EI = 1,2 x 104 kN.m². O valor da carga distribuída é de q = 12 kN/m. Determine o grau de liberdade da mesma, calcule os deslocamentos e gere os diagramas DEC e DMF. Como podemos verificar, as únicasdeslocabilidades da estrutura são as rotações em B e C. Identificadas as deslocabilidades e o sistema hipergeométrico (SH) seguimos com a superposição nos casos básicos. Caso 0 – Carregamento Externo: Fazendo as considerações dos momentos de engastamento perfeitos, temos: 86 ܯಶೄೂ ൌ െ ݍ. ݈ଶ 12 ൌ െ 12. 4ଶ 12 ൌ െ16 ݇ܰ.݉ ܯವೃ ൌ െ ݍ. ݈ଶ 12 ൌ െ 12. 4ଶ 12 ൌ െ16 ݇ܰ.݉ ܯା ൌ ݍ. ݈²8 ൌ 12. 4ଶ 8 ൌ 24 ݇ܰ.݉ െ 16 ݇ܰ.݉ ൌ 8 ݇ܰ.݉ ܯಶೄೂ ൌ െ ݍ. ݈ଶ 12 ൌ െ 12. 6ଶ 12 ൌ െ36 ݇ܰ.݉ ܯವೃ ൌ െ ݍ. ݈ଶ 12 ൌ െ 12. 6ଶ 12 ൌ െ36 ݇ܰ.݉ ܯା ൌ ݍ. ݈²8 ൌ 12. 6ଶ 8 ൌ 54 ݇ܰ.݉ െ 36 ݇ܰ.݉ ൌ 18 ݇ܰ.݉ ܯಶೄೂ ൌ െ ݍ. ݈ଶ 12 ൌ െ 12. 2ଶ 12 ൌ െ4 ݇ܰ.݉ ܯವೃ ൌ െ ݍ. ݈ଶ 12 ൌ െ 12. 2ଶ 12 ൌ െ4 ݇ܰ.݉ ܯା ൌ ݍ. ݈²8 ൌ 12. 2ଶ 8 ൌ 6 ݇ܰ.݉ െ 4 ݇ܰ.݉ ൌ 2 ݇ܰ.݉ (A) (B) Apresentamos o diagrama de duas formas. A primeira com a convenção usual (lado da fibra da seção transversal que é tracionada), na segunda os valores dos momentos são indicados nas extremidades das barras pela convenção de sinais do método (anti‐horário positivo). 87 ߚଵ ൌ ܨாଵ ൌ െ16 36 ൌ 20 ݇ܰ.݉ ߚଶ ൌ ܨாଶ ൌ െ36 4 ൌ െ32 ݇ܰ.݉ Caso 1 – Deslocabilidade d1: ܯಶೄೂ ൌ 2. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 2.1 4 . 1,2. 10 ସ ൌ 6.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯವೃ ൌ 4. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 4.1 4 . 1,2ݔ10 ସ ൌ 12.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯಶೄೂ ൌ 4. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 4.1 6 . 1,2. 10 ସ ൌ 8.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯವೃ ൌ 2. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 2.1 6 . 1,2. 10 ସ ൌ 4.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯಶೄೂ ൌ ܯವೃ ൌ 0 ܭଵଵ ൌ ଵܵଵ ൌ 12.000 8.000 ൌ 20.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ 20. 10ଷ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܭଶଵ ൌ ܵଶଵ 4.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ 4. 10ଷ ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 88 Caso 2 – Deslocabilidade d2: ܯಶೄೂ ൌ ܯವೃ ൌ 0 ܯಶೄೂ ൌ 2. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 2.1 6 . 1,2. 10 ସ ൌ 4.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯಶೄೂ ൌ 4. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 4.1 6 . 1,2ݔ10 ସ ൌ 8.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯವೃ ൌ 4. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 4.1 2 . 1,2. 10 ସ ൌ 24.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܯಶೄೂ ൌ 2. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 2.1 2 . 1,2. 10 ସ ൌ 12.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 89 ܭଵଶ ൌ ଵܵଶ ൌ 4.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ 4. 10ଷ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ܭଶଶ ൌ ܵଶଶ ൌ 8.000 24.000 ൌ 32.000 ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ 32. 10ଷ ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ Montando o sistema matricial, temos: Resolvendo o sistema determinamos os seguintes deslocamentos: O valor negativo de D1 indica que a rotação da seção no apoio interno da esquerda se dá no sentido HORÁRIO e o valor positivo de D2 indica que a rotação no outro nó interno tem o sentido anti‐horário. Para determinação dos momentos fletores, temos: ܯ ൌ ܯ ܯଵ. ܦଵ ܯଶ. ܦଶ ∴ ܯ ൌ ܯ െ 1,25. 10ିଷ.ܯଵ 1,15. 10ିଷ.ܯଶ 90 A determinação dos demais esforços e das reações seguirá sempre o mesmo formato: conhece‐se a configuração deformada e daí se tiram as demais informações. 6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – DIVISÃO EM ELEMENTOS (SISTEMA DE COORDENADAS): As estruturas reticuladas são divididas em elementos ligados entre si por nós, aonde se supõem concentradas todas as forças de ligação. As ações e deslocamentos são discretizados nos nós e a composição destes elementos para constituir a estrutura resulta em um sistema de equações montado em forma de matriz. No caso deste método, as equações são equações de equilíbrio de forças em torno dos nós. Uma estrutura com N nós, que em cada tem M graus de liberdade (GL) resulta em um sistema NxM. Considerações pertinentes: Cada elemento é representado por uma linha reta, coincidente com o eixo da barra, ligando 2 nós. Uma extremidade livre, assim como uma vinculada a um apoio também é considerada nó. Deve‐se criar um nó fictício sempre que houver descontinuidade de tipo de material ou seção da barra. Pode‐se inclusive, criar nó fictício sob cargas concentradas. 91 Sistema de Coordenadas: Em estruturas reticuladas utiliza‐se coordenadas cartesianas. Um sistema global (X, Y, Z) para a estrutura e um local para os elementos (x, ,y, z ou XL , YL, ZL). No sistema local, o eixo x coincide com o eixo LONGITUDINAL DA BARRA passando pelo centroide da seção e o sentido positivo deste eixo é definido pela incidência dos nós no elemento, conforme abaixo: Grau de Liberdade: Em relação ao sistema global, definem‐se os graus de cada nó: translação paralela ao eixo X (UX); ao eixo Y (UY); ao eixo Z (UZ); rotação em torno do eixo X (RX); do eixo Y (RY) e do eixo Z (RZ). 92 Exemplos de Estruturas Reticuladas: Viga – 2 GL por nó – translação paralela a y e rotação em z; Treliça Plana – 2 GL por nó – translação paralela a x e a y; Treliça Espacial – 3 GL por nó – translação paralela a x, y e z; 93 Pórtico Plano – 3 GL por nó – translação paralela a x e y e rotação em torno de z; Grelha – 3 GL por nó – translação paralela a z e rotação em torno de x e y; Pórtico Espacial – 6 GL por nó – translação paralela a x, y e z e rotação em torno de x, y e z; 94 RESUMO DO MÉTODO PARA ESTRUTURAS RETICULADAS DIVIDIDAS EM ELEMENTOS: Cada elemento é considerado isoladamente; Será calculada a matriz de rigidez do elemento não restringido, em relação a todos os GL do elemento, inicialmente no sistema local [ SL ]; Quando houver cargas aplicadas ao longo dos elementos ou barras, será calculado o vetor de esforços de engastamento perfeito, inicialmente no sistema local { FLEP }; Através de uma transformação de coordenadas, encontra‐se a matriz de rigidez do elemento no sistema global [ SG ] e o vetor de esforços de engastamento perfeito também no sistema global { FGEP }; Levando em conta e contribuição de todos os elementos será formada o sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não restringida, em relação a todos os GL: ሼܨாሽ∗ ሾ ܵ ሿ∗. ሼ ܦ ሽ∗ ൌ ሼ ܣ ሽ∗ ሾ ܵ ሿ∗ ൌ Σ"ሾ ܵீ ሿ ሼ ܨா ሽ∗ ൌ Σ"ሼ ீܨ ா ሽ Impõem‐se as condições de contorno, encontrando o sistema de equações de equilíbrio da estrutura restringida: ሼܨாሽ ሾ ܵ ሿ . ሼ ܦ ሽ ൌ ሼ ܣ ሽ Resolve‐se o sistema e obtêm‐se o vetor de deslocamentos: A partir de { D } obtêm‐se as reações de apoio, encontra‐se o vetor de deslocamentos nas extremidades de cada elemento, no sistema local { uL }, e os esforços no elemento no sistema local: 95 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM ELEMENTO NO SISTEMA LOCAL (ESTRUTURAS RETICULADAS PLANAS): Elemento de Viga: Seja o elemento de viga com 2 GL abaixo. Cujo sistema local coincide com o global. O elemento ( i ), tem nó inicial J e final K, comprimento l e momento de inércia I. O vetor de deslocamentos nodais é dado por: E a matriz de rigidez por: Para se obter os coeficientes da matriz de rigidez SLij, inicialmente fixam‐se as extremidades do elemento e impõe‐se u1 = 1; em seguida u2 = 1. 96 Impõe‐se então o deslocamento unitário u3 = 1 e finalmente u4 = 1, com o elemento fixo nas extremidades. Desta forma, todos os coeficientes de rigidez já podem ser calculados, inclusive pelo método das forças. Impondo u2 = 1, temos: ܵଶଶ ൌ 4. ߙ݈ . ܧܫ ∴ ܵସଶ ൌ 2. ߙ ݈ . ܧܫ Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0: ∑ܯ ൌ 0 ∴ ܵଷଶ. ݈ 2. ߙ݈ . ܧܫ 4. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 0 ∴ ܵଷଶ ൌ ܵଶଷ ൌ െ 6. ߙ ݈ . ܧܫ. 1 ݈ ൌ െ6. ߙ݈ଶ . ܧܫ ∑ܨ௬ ൌ 0 ∴ ଵܵଶ ܵଷଶ ൌ 0 ∴ ଵܵଶ ൌ െ൬െ6. ߙ݈ଶ . ܧܫ൰ ൌ 6.ߙ ݈ଶ . ܧܫ De forma análoga, impomos u4 = 1: ܵସସ ൌ 4. ߙ݈ . ܧܫ ∴ ܵଶସ ൌ 2. ߙ ݈ . ܧܫ Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0: ∑ܯ ൌ 0 ∴ െ ଵܵସ. ݈ 2. ߙ݈ . ܧܫ 4. ߙ ݈ . ܧܫ ൌ 0 ∴ ଵܵସ ൌ ܵସଵ ൌ 6. ߙ ݈ . ܧܫ. 1 ݈ ൌ 6. ߙ݈ଶ . ܧܫ ∑ܨ௬ ൌ 0 ∴ ଵܵସ ܵଷସ ൌ 0 ∴ ܵଷସ ൌ ܵସଷ ൌ െ6. ߙ݈ଶ . ܧܫ Por equilíbrio definimos os demais coeficientes: ܵଶଵ ൌ 6. ܧܫ݈ଶ ∴ ܵସଵ ൌ 6. ܧܫ ݈ଶ 97 ∑ܯ ൌ 0 ∴ ܵଷଵ ൌ െ൬6. ܧܫ݈ଶ 6. ܧܫ ݈ଶ ൰ ൊ ݈ ൌ െ 12ܧܫ ݈ଷ ∑ܨ௬ ൌ 0 ∴ ଵܵଵ ൌ െ ܵଷଵ ൌ 12. ܧܫ݈ଷ ܵଶଷ ൌ െ6. ܧܫ݈ଶ ∴ ܵସଷ ൌ െ 6. ܧܫ ݈ଶ ܵଷଵ ൌ ଵܵଷ ൌ െ൬6. ܧܫ݈ଶ 6. ܧܫ ݈ଶ ൰ ൊ ݈ ൌ െ 12ܧܫ ݈ଷ ܵଷଷ ൌ െ ଵܵଷ ൌ 12. ܧܫ݈ଷ Desta forma a matriz de rigidez do elemento de viga (não restringido) no sistema local é: Esta matriz de rigidez é singular, não é inversível. É necessário restringir o elemento para resolver o sistema de equações de equilíbrio. Não existe, portanto, uma matriz de flexibilidade para elemento não restringido. 98 Elemento de Treliça: Seja o elemento de barra de 2 GL formado pelos nós J e K. Em geral, o sistema local não coincide com o sistema global; o vetor de deslocamentos nodais é { uL }4x1 e a matriz de rigidez [ SL ]4x4. O elemento tem comprimento l e área da seção transversal A. Inicialmente, fixa‐se o elemento a movimentos de translação, lembrando que as ligações são articuladas (rotação não produzem esforços nos elementos). Impõe‐se u1 = 1 e obtêm‐se: ଵܵଵ ൌ ܧܣ݈ Σܨ௫ ൌ 0 ∴ ܵଷଵ ൌ െ ଵܵଵ ൌ െܧܣ݈ ܵଶଵ ൌ ܵସଵ ൌ 0 Impõe‐se u2 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S12=S22=S32=S42=0 99 Impõe‐se u3 = 1 e obtêm‐se: ܵଷଷ ൌ ܧܣ݈ Σܨ௫ ൌ 0 ∴ ଵܵଷ ൌ െܵଷଷ ൌ െܧܣ݈ ܵଶଷ ൌ ܵସସ ൌ 0 Impõe‐se u4 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S14=S24=S34=S44=0 A matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema local pode ser então escrita como: Elemento de Pórtico Plano: Seja o elemento de pórtico plano de 3 GL formado pelos nós J e K. O vetor deslocamento nodal é { uL }6x1 e a matriz de rigidez [ SL ]6x6. 100 A matriz de rigidez do elemento de pórtico plano pode ser encontrada superpondo‐se a matriz de rigidez do elemento de viga com a do de treliça plana, uma vez que não há interação entre esforço axial e de flexão (pequenos deslocamentos, estrutura linear). GL 1 do elemento de viga GL 2 do elemento de pórtico plano GL 2 do elemento de viga GL 3 do elemento de pórtico plano GL 3 do elemento de viga GL 5 do elemento de pórtico plano GL 4 do elemento de viga GL 6 do elemento de pórtico plano GL 1 do elemento de treliça GL 1 do elemento de pórtico plano GL 3 do elemento de treliça GL 4 do elemento de pórtico plano Desta forma resultando: 101 De forma didática para facilitar o entendimento e aprendizado do método, segue abaixo relacionada as matrizes de rigidez elementares 102 MATRIZ DE ROTAÇÃO – TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS: Seja por exemplo um elemento de pórtico plano, com eixo local XL formado com um ângulo em relação ao eixo global XG: Decompondo‐se os deslocamentos uG1 e uG2 nos eixos xL e yL temos: De onde, empregando conhecimentos de geometria analítica e com base nos ângulos de Euler, se tira que: uL1 = uG1.cos + uG2.sen e uL2 = uG1.sen + uG2.cos Uma vez que a resultante dos vetores de translação ቄݑଵݑଶቅ ൌ ቄ ݑீଵݑீଶቅ é a mesma. Observa‐se também que uL3 = uG3 e uL6, pois a rotação do nó J assim como do nó K é a mesma no plano (xL, yL ou xG, yG) Na forma matricial temos: 103 De forma análoga para o nó K temos: Escrevendo a relação entre o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local, { uL }, e o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global, { uG }, vem: A matriz [ R ]6x6 é chamada de matriz de transformação de coordenadas do sistema global para o sistema local ou matriz de rotação ( positivo do eixo global para o local no sentido anti‐horário). Observa‐se que a matriz inversa [ R ]‐1 pode ser obtida substituindo‐se por ‐ (rotação inversa no sentido horário do local para o global). 104 Uma vez que cos(‐)=cos e sen(‐)=‐sen, observa‐se que [ R ]‐1 = [ R ]T, ou seja, a matriz [ R ] é uma matriz ortogonal. Portanto { uG } = [ R ]‐1 { uL } = [ R ]T{ uL }. Para o elemento de treliça plana, tem‐se 2 GL no nó. Não se considera o GL de rotação do nó, pois este não resulta em esforço na barra. A matriz de transformação é: MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO NO SISTEMA GLOBAL: Seja por exemplo um elemento de pórtico plano. Supondo que não haja cargas atuando ao longo do elemento, os esforços nas extremidades do elemento dependem apenas dos deslocamentos nodais. As equações de equilíbrio no sistema local e global se escrevem como segue: 105 Sendo { AL } e { AG } os vetores de esforços, [ SL ] e [ SG ] as matrizes de rigidez, { uL } e { uG } os vetores de deslocamentos. Já foi visto anteriormente que: { uL } = [ R ]. { uG }, analogamente: Substituindo‐se temos: Multiplicando por [ R ]T: Substituindo em { AG }: Comparando as equações obtém‐se a matriz de rigidez do elemento no sistema global: Apesar de esta expressão ter sido desenvolvida para o elemento de pórtico plano, ela é genérica e, portanto, vale para todos os tipos de estrutura reticulada. VETOR DE ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO NO SISTEMA GLOBAL: Para formar o vetor de esforços de engastamento perfeito devem‐se transformar os esforços de engastamento perfeito de todos os elementos do sistema local para o global. Desta forma: 106 SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA NÃO RESTRINGIDA: Equações de equilíbrio de forças generalizadas em torno dos nós para estrutura com apoios podem ser escritas: { A } = { FEP } + [ S ].[ D ], sendo: { A } as ações aplicadas nos nós; { FEP } os esforços nas extremidades dos elementos devido às cargas atuando para a estrutura fixa (esforços de engastamento perfeito); [ S ].[ D ] esforços devido aos deslocamentos nodais. Essas mesmas equações podem ser reescritas para estruturas NÃO restringidas (sem apoios): { A }* = { FEP }* + [ S ]*.[ D ]* Ambos os sistemas de equações acima são considerados no sistema global de todos os elementos, formulados em relação ao GL do elemento. A relação entre os GLs do elemento e os GLs da estrutura será efetuada através da regra de correspondência. MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA: A matriz de rigidez da estrutura não restringida [ S ]* é formada a partir das matrizes de rigidez dos elementos no sistema global: ሾ ܵ ሿ∗ ൌ ܴሺሻ. ሾ ܵ ሿሺሻ. ܴሺሻ ൌ ሾ ܵீሿሺሻ ௦ ିଵ ௦ ୀଵ Onde nelms é o número de elementos da estrutura. A matriz [ S ]* é formada somando‐se a contribuição de todos os elementos, isto é, os coeficientes S*ij, cujo primeiro índice “i” é o GL de um nó da estrutura, são encontrados somando‐se os coeficientes das matrizes de rigidez [ SG ] dos elementos que concorrem a este mesmo nó correspondentes ao mesmo GL”i”. Deve‐se então identificar qual GL na extremidade do elemento
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