UNID.1 FSC I CIV 2010 2

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Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 1
UNIDADE I - INTRODUÇÃO À FÍSICA 
 
 
1.1-INTRODUÇÃO 
 
 
 Em qualquer ramo do conhecimento humano há necessidade de se quantificar os 
elementos estudados e o ato de medir faz parte do nosso cotidiano. Em Física, a quantificação é 
feita usando números, explicitando-se claramente qual foi o padrão usado para a obtenção 
desses números. Até o final do século XVIII era muito grande a quantidade de padrões 
existentes, pois em cada região eles eram escolhidos de modo arbitrário e independente. 
 Em 1792, com o grande aumento dos intercâmbios econômicos e culturais, as diversas 
sociedades padronizam as unidades de medida visando facilitar o comércio e a comunidade 
científica. Surge, então, o Sistema Métrico Decimal, produto da Revolução Francesa (O Brasil 
oficializou sua adesão a esse sistema em 1862). Posteriormente, em 1960, na 11ª Conferência 
Geral de Pesos e Medidas em Paris, o Sistema Métrico Decimal foi reformulado, dando origem 
ao Sistema Internacional de Unidades.(SI). Atualmente, no Brasil e na maioria dos países, é 
adotado o Sistema Internacional de Unidades. 
 Um dos propósitos da Física e também da engenharia, é projetar e executar experimentos 
que permitam a realização dos mais arrojados projetos que contemplem as necessidades da 
sociedade. Para isso, iniciaremos nosso curso abordando conceitos fundamentais necessários 
para o desenvolvimento da disciplina de Física que embasa um curso de engenharia. 
 
 
1.2-GRANDEZAS 
 
 Na construção da Física são utilizadas as grandezas físicas que usamos para expressar 
suas leis. 
Embora existam dezenas de grandezas físicas, são estabelecidos padrões e definidas unidades 
para um número mínimo de grandezas denominadas fundamentais ou primárias. Por exemplo, 
a velocidade é a relação entre primárias, o comprimento e o tempo. A partir das grandezas 
fundamentais ou primárias são definidas unidades para todas as demais grandezas físicas 
denominadas grandezas derivadas ou secundárias. Dentre essas grandezas estão o 
comprimento, a massa, o tempo, a força, a velocidade, a massa específica, a resistividade, a 
temperatura, a intensidade luminosa, a intensidade do campo magnético e outras mais. Muitas 
dessas palavras são utilizadas em nosso cotidiano, porém, em se tratando de ciência física, 
devemos definir os termos com os quais associamos grandezas físicas de modo claro e preciso, 
sem, entretanto, confundi-los com outros significados usados cotidianamente. 
 
 
1.3- PADRÃO 
 
 Padrão é um modelo oficial de pesos e medidas. Aquilo que serve de base ou norma para 
a avaliação de qualidade ou quantidade. Assim, medir uma grandeza é atribuir-lhe um valor 
numérico e uma unidade. Os padrões são definidos para o comprimento, tempo e massa. 
 
 
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1.3.1-COMPRIMENTO 
 
 Um metro é o comprimento (distância) percorrida pela luz no vácuo durante um 
intervalo de tempo de 1299.792.458 de segundo. 
 
 
Figura 1- Metro-padrão. Barra feita em liga de platina e irídio. 
 
 
1.3.2-TEMPO 
 
 Um segundo é 9.192.631.770 períodos de uma certa vibração do átomo de revolução 
133Cs , ou seja, é o tempo necessário para que haja 9.192.631.770 oscilações da luz (de um 
determinado comprimento de onda) emitida por um átomo de césio-133. 
 
 
1.3.3-MASSA 
 
 Um quilograma (quilograma-padrão) é a massa de um cilindro de platina-irídio 
conservado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, próximos de Paris, conforme mostra a 
figura 2. 
 
 
 
Figura 2- Quilograma- padrão internacional de massa. Cilindro 
de platina-irídio com 3,9 cm de altura e 3,9 cm de diâmetro. 
 
1.4-DIMENSÃO 
 
 É a extensão suscetível (pode ser mensurável) de uma medida, ou seja, é a propriedade 
física que a quantidade descreve. Em mecânica, são três as grandezas fundamentais que são 
acompanhadas por uma dimensão conforme mostra a Tabela 1. 
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 Grandezas Fundamentais Dimensão 
 Comprimento L 
 Tempo T 
 Massa M 
 
 Tabela 1- Grandezas fundamentais com suas respectivas dimensões. 
 
 A partir das grandezas fundamentais para o comprimento, tempo e massa, 
acompanhadas de suas respectivas dimensões, obtêm-se as seguintes grandezas derivadas 
conforme mostra a Tabela 2. 
 
 
 Grandezas Derivadas Equação Dimensão 
 Superfície (Área) 2A lxl l= = 2L 
 Volume 3lxlxl l∀ = = 3L 
 Densidade mρ = ∀ 33M MLL
−→ 
 Velocidade xv t
∆= ∆ 1L LTT
−→ 
 Aceleração va t
∆= ∆ 22L LTT
−→ 
 Velocidade angular t
θω ∆= ∆ 
1T − 
 Aceleração angular t
ωα ∆= ∆ 
2T − 
 Força .F m a= 22ML MLTT
−→ 
 Pressão Fp A= 
1 2ML T− − 
 Momento de uma força .M F d= 2 2ML T − 
 Trabalho, Energia .F dτ = 2 2ML T − 
 Potência P t
τ= 2 3ML T − 
 Momento de Inércia 2i iI m r=∑ 2ML 
 
 Tabela 2- Grandezas derivadas com suas respectivas dimensões. 
 
 
 As grandezas derivadas estão relacionadas às fundamentais através de leis mecânicas, 
geométricas, etc. Tais leis mantêm uma relação física que deve sempre ser verificada quanto à 
sua coerência, isto é, as dimensões que aparecem no membro esquerdo de uma equação devem 
ser as mesmas que aparecem no membro direito da equação. Essa coerência pode ocorrer por 
meio das parcelas de uma soma , divisão ou produto de termos que constituam um 
determinado membro. 
 
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EXEMPLO 1- Verifique se a equação que representa a energia cinética de uma partícula está 
correta. 
 21
2
K mv= → 
2
2 2 1[ ] [ ]
2
LML T M
T
− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ → 
2 2 2 21[ ] [ ][ ][ ]
2
ML T M L T− −= 
 
EXERCÍCIO 1- Verifique se a equação que representa a função horária da posição de uma 
partícula está correta. 
a) 0 0x x v t= + 
 
b) 20 0
1
2
x x v t at= + + 
 
1.5-UNIDADE 
 
 Uma unidade é a escala com que se mede uma dimensão, ou ainda, é uma quantidade 
estabelecida por convenção, a qual serve para comparar grandezas da mesma espécie. Por 
exemplo, para as seguintes grandezas físicas: 
 
 
¾ Comprimento - metro [ ]m , pé [ ]ft e milha[ ]mi . 
 
¾ Tempo – hora [h], minuto [min] e segundo [s]. 
 
¾ Massa – quilograma [kg] , libra-massa [lbm] e slug. 
 
 
 
1.5.1-SISTEMA DE UNIDADES 
 
 
 Um sistema de unidades compreende os padrões, um método de formação de múltiplos e 
submúltiplos e definições de grandezas derivadas, tais como força, energia, etc... 
 Para facilitar o trabalho de quem manipula medidas cujos valores são muito grandes ou 
muito pequenos, são utilizados prefixos. Quando um prefixo é acompanhado de uma unidade 
de medida, é possível expressar grandezas físicas escalar e vetoriais que serão abordadas nessa 
unidade. 
 Quanto à grafia das unidades, os símbolos das unidades são expressos em caracteres 
romanos, geralmente em minúsculo, no entanto, se os símbolosderivam de nomes próprios, são 
utilizados caracteres romanos maiúsculos (para a primeira letra). Esses símbolos não são 
seguidos de ponto e não mudam no plural. 
 
 
 
1.5.1.1- SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI OU MKS GIORGI 
 
 Em 1960, durante a 11ª Conferência de Pesos e Medidas, realizada nem Paris, o Sistema 
Métrico Decimal foi reformulado e deu origem ao Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Este 
novo sistema é composto por sete grandezas fundamentais ou primárias conforme Tabela 3. Das 
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grandezas fundamentais são derivadas grandezas muito importantes conforme Tabela 4. Nas 
tabelas 3 e 4 encontra-se o nome da grandeza, a unidade de medida e o símbolo para a unidade. 
Para que o Sistema Internacional de Unidades seja utilizado completamente, encontramos na 
Tabela 5 alguns dos prefixos mais utilizados quando apresentamos o resultado de uma medida 
realizada. 
 
 
 
Grandezas Fundamentais ou Primárias no S.I. 
 Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente Elétrica ampère A 
Temperatura Termodinâmi kelvin K 
Quantidade de Matéria mol mol 
Intensidade Luminosa candela cd 
 
 Tabela 3. Grandezas Fundamentais ou Primárias no S.I. 
 
 
 
Algumas Grandezas Derivadas ou Secundárias no S.I. 
 Grandeza Unidade Símbolo 
Área metro quadrado 2m 
Volume metro cúbico 3m 
Densidade quilograma por metro cúbic 3kg m 
Velocidade metro por segundo /m s 
Aceleração metro por segundo ao quadra 2/m s 
Força newton N 
Pressão Pascal Pa 
Trabalho, Energia, 
Quantidade de calor 
 Joule J 
Potência watt W 
Carga Elétrica coulomb C 
Diferença de Potencial volt V 
Resistência Elétrica ohm Ω 
 
 Tabela 4. Grandezas Derivadas ou Secundárias no S.I. 
 
 
 
 
 
 
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 Tabela 5- Prefixos do Sistema Internacional [S.I.]. 
 
 
1.5.1.2 – SISTEMA MKS TÉCNICO OU MK*S 
 
 No Sistema MKS Técnico as grandezas fundamentais são dadas conforme a Tabela 6. 
 
 
Grandezas Fundamentais ou Primárias no MK*S. 
 Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Tempo segundo s 
Força quilograma-força kgf 
 
 Tabela 6. Grandezas Fundamentais ou Primárias no MK*S. 
 
 
 Uma conversão muito utilizada para força é 1kgf [MK*S]= 9,8 N[SI] . 
 
 
PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL [S.I.]
 Fator Prefixo Símbolo 
 2410 Yotta Y 
 2110 Zetta Z 
 1810 Exa E 
 1510 Peta P 
 1210 Terá T 
 910 Giga G 
 610 Mega M 
 310 Quilo K 
 210 Hecto H 
 110 Deca Da 
 110− Deci D 
 210− Centi C 
 310− Mili M 
 610− Micro µ 
 910− Nano N 
 1210− Pico P 
 1510− Femto F 
 1810− Atto A 
 2110− Zepto Z 
 2410− Yocto Y 
Prefixos 
mais 
utilizados 
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 Na Tabela 7 encontram-se algumas das grandezas derivadas para o Sistema Técnico. 
 
Algumas Grandezas Derivadas no MKS Técnico 
 Grandeza Unidade Símbolo 
Área metro quadrado 2m 
Volume metro cúbico 3m 
Massa Unidade técnica de massa UTM 
Peso Específico quilograma-força por metro cúbico 3kgf m 
Velocidade metro por segundo /m s 
Aceleração metro por segundo ao quadrado 2/m s 
Velocidade Angular radianos por segundo rad s 
Aceleração Angular radianos por segundo ao quadrado 2rad s 
Pressão quilograma-força por metro quadrad 2kgf m 
Momento de uma força quilograma-força vezes metro .kgf m 
Energia ou Trabalho quilograma-força vezes metro = 
 quilogrametro 
.kgf m kgm= 
Potência quilogrametro por segundo kgm s 
 
 Tabela 7. Grandezas derivadas ou secundárias no MK*S. 
 
 
 
 
 
1.5.1.3- SISTEMA DE UNIDADES CGS 
 
 
Grandezas Fundamentais no CGS 
 Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento centímetro cm 
Massa grama g 
Tempo segundo s 
 
 Tabela 8. Grandezas Fundamentais ou Primárias no CGS. 
 
 
 
 
 A partir das grandezas fundamentais são derivadas várias grandezas secundárias conforme 
mostra a Tabela 9. 
 
 
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Algumas Grandezas Derivadas no CGS 
 Grandeza Unidade Símbolo 
Área centímetro quadrado 2cm 
Volume centímetro cúbico 3cm 
Densidade grama por centímetro cúbico 3g cm 
Velocidade centímetro por segundo /cm s 
Aceleração centímetro por segundo ao quadra 2/cm s 
Velocidade Angular radiano por segundo rad s 
Aceleração Angular radiano por segundo ao quadrado 2rad s 
Força grama vezes centímetro por segundo
quadrado = dina 
 dyn 
Pressão dina por centímetro quadrado 2dyncm 
Trabalho, Energia, 
Quantidade de calor 
 dina vezes centímetro erg 
Potência erg por segundo erg s 
 Tabela 9. Grandezas Derivadas ou Secundárias no CGS. 
 
 
1.5.2-ALGUMAS CONVERSÕES DE UNIDADES MAIS UTILIZADAS 
 
 Para converter grandezas fundamentais e derivadas de um sistema para outro, usa-se o 
comprimento para gerar as demais conversões, exceto conversões para as escalas 
termométricas. Por exemplo: 
 
¾ Comprimento. 
1 0,3048
1 3, 28
1 0,0254 2,54
1 1610 1,61
ft m
m ft
in m cm
mi m km
=
=
= =
= =
 
 
¾ Área. 
2 2
2 4 2 2
1 0,0929
1 6, 45.10 6, 45
ft m
in m cm−
=
= = 
 
¾ Velocidade. 1 1000
3600
km m
h s
= → 1 1 0, 278
3,6
km m m
h s s
= = e 1 3,6m km
s h
= . 
 
 1 3, 28m ft
s s
= e 1 0,621km mi
h h
= . 
 
¾ Tempo. 
7
1 60 min 60(60 ) 3600
1 24(3600 ) 86400
1 365(86400 ) 3,15.10
h s s
d s s
ano s s−
= = =
= =
= =
 
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1.6- NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
 Quando efetuamos medidas de algumas grandezas físicas podemosobter valores muito 
grandes ou muito pequenos. Para manipularmos esses números, os quais têm uma grande 
quantidade de zeros, a comunidade científica utiliza a notação científica que faz uso das 
potências de 10 com expoente inteiro. 
 Em notação científica, um número deverá ter apenas um algarismo não-nulo (1 ao 9) antes 
da vírgula. 
 
EXEMPLO 2- Expresse os seguintes números em notação científica: 
 
a) 980 = 29,8.10 (A vírgula é deslocada para a esquerda ) 
b) 180 000 000 = 81,8.10 (A vírgula é deslocada para a esquerda ) 
c) 0,000 000 23 = 72,3.10− (A vírgula é deslocada para a direita ) 
d) 87,9 = 18,79.10+ (A vírgula é deslocada para a esquerda ) 
 
1.7- ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
 Um algarismo significativo é qualquer algarismo, inclusive o zero, desde que o mesmo 
não seja usado para indicar a localização de um ponto decimal do número. Os algarismos 
significativos de uma medida são todos os algarismos lidos com certeza mais o primeiro 
algarismo duvidoso. Tomemos como exemplos: 
 
 5,77789 → O algarismo duvidoso é o 9; 
 34,79234320 → O algarismo duvidoso é o 0; 
 100,000 → O algarismo duvidoso é o último zero 
 
 Devemos tomar cuidado ao realizarmos uma mudança de unidades para não escrevermos 
zeros que não são significativos. Por exemplo, se desejamos escrever em gramas a medida de 
uma massa de 8,6 kg. Esse valor em gramas passa a ser escrito como 8600 g. Em 8,6 kg, o valor 
da medida possui dois algarismos significativos sendo 6 o algarismo duvidoso, mas em 8600 g, 
o 6 dá a idéia de ser um algarismo correto. Assim, para evitar esse tipo de equívoco escrevemos 
o valor da medida em notação de potência de 10. Dessa forma, a mudança de unidade é 
realizada e o valor é reescrito como 38,6.10 g , o que evidencia o algarismo 6 como duvidoso. 
 Um algarismo significativo é qualquer algarismo, inclusive o zero, desde que o mesmo 
não seja usado para indicar a localização de um ponto decimal do número. 
 A precisão de um número é determinada pelo número de dígitos usados para representar 
esse número. Por exemplo, a barra mostrada na figura 3 tem o comprimento compreendido 
entre 2 e 3 cm. Nesse caso, qual o algarismo que viria depois do 2? Embora a régua tenha a 
menor divisão de escala em 1 cm, é razoável fazer uma subdivisão mental do intervalo 
compreendido entre 2 e 3 cm para avaliar o algarismo procurado, e para algumas pessoas pode 
ser 7 e para outras 8. Assim, podemos representar o resultado como 2,7 cm ou 2,8 cm. Para esses 
resultados, o algarismo 2 da medida foi lido com certeza, porém o 7 e o 8 não. Para que o 
resultado fosse avaliado com uma maior exatidão, seria necessário subdividir a escala em 
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centésimos da menor divisão do que aquela já utilizada, embora na maioria das escalas, a 
avaliação é realizada até décimos da menor divisão da escala. 
 
 cm 
 
 0 1 2 3 4 
 
 
Figura 3- Régua graduada em cm para a medição de uma barra. 
 
 
 Para identificarmos o número de algarismos significativos de uma medida devemos 
observar a posição dos zeros que aparecem na representação de uma medida. 
 
¾ Zero à esquerda. : Zero à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não 
constituem algarismos significativos. Por exemplo, a medida 6,85L cm= 
transformada para quilômetros é 0,0000685L km= . Inicialmente a medida tinha 3 
algarismos significativos, porém em km, a medida apresenta zeros à esquerda do 
algarismo 6. Os zeros à esquerda do algarismo 6 servem apenas para posicionar a 
vírgula e, portanto, a medida continua tendo 3 algarismos significativos. 
 
¾ Zero à direita. O algarismo zero só será significativo se estiver à direita de um 
algarismo significativo. Por exemplo, a medição da massa de um fragmento de 
concreto foi de 0,0401g. Esse valor apresenta 3 algarismos significativos, pois os 
zeros à esquerda do algarismo 4 não são significativos. 
 
¾ Zeros entre algarismos de 1 a 9. Os zeros situados entre os algarismos de 1 a 9 são 
sempre significativos. Por exemplo, a medida do comprimento do trecho de uma 
rodovia foi de 3205,3 m. Para esse valor, todos os algarismos são significativos. 
 
 
EXERCÍCIO 2- Determine quantos algarismos há em cada uma das medidas abaixo: 
 
a) 702 cm: 
 
b) 36,00 kg: 
 
c) 0,00815 m: 
 
d) 0,05080 L: 
 
 
 
 
 
 
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1.7.1- OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 Ao resolvermos exercícios em Química, Física e engenharias, realizamos operações 
envolvendo medidas e os resultados devem ser expressos com algarismos significativos 
somente. Para tal , devemos, inicialmente aplicar a regras (ou critérios) de arredondamento, e, 
obedecer algumas regras que serão abordadas a seguir. 
 
1.7.1.1- ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
 
 Quando trabalhamos com medidas cujos valores são expressos com diferentes números 
de algarismos significativos, o resultado deve ser padronizado para que seja expresso com 
apenas um algarismo duvidoso. 
 Para abandonarmos os algarismos que estão em excesso na medida, é necessário 
verificar se o último algarismo a sr mantido deverá ser acrescido de uma unidade ou não. 
 
 
¾ Se o primeiro algarismo a ser abandonado é igual ou superior a 5. Nesse caso, o 
último algarismo mantido será acrescido de uma unidade. Por exemplo, 83,55, passa a 
ser escrito como 83,6. 
 
¾ Se o primeiro algarismo a ser abandonado é inferior a 5. Nesse caso, o último 
algarismo mantido permanecerá inalterado. Por exemplo, 83,23, passa a ser escrito 
como 83,2. 
 
 
 
1.7.1.2- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
 Quando somamos números devemos, inicialmente, observar qual das parcelas possui o 
menor número de casas decimais. levando em consideração os algarismos significativos, o 
resultado deve manter a precisão do operando de menor precisão. Por exemplo, desejamos 
adicionar as seguintes parcelas: [2807,5 + 0,0648 + 83,645 + 525,35] = ? 
 Inicialmente vamos ajustar as parcelas para que fiquem com apenas uma casa decimal. 
Assim, os valores das parcelas acima ficam [2807,5 + 0,1 + 83,6 + 525,4 ] = 3416,6. Portanto o 
último algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos décimos. 
 Para a subtração, adota-se o mesmo critério empregado na adição. 
 
EXERCÍCIO 3- Realize as seguintes operações: 
 
a) 16,8 cm + 1,432 cm + 0,679 cm + 15,689 cm = 
 
 
b) 3,2 km + 5,28 km + 0,5678 km + 978,654 km = 
 
 
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c) 326,489 kg – 69,34 kg – 0,0378 kg – 5,3978 kg = 
 
 
d) 0,769 g – 324,598 g – 12,37 g = 
 
1.7.1.3- MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 Em uma multiplicação, levando em consideração os algarismos significativos, o 
resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos do menor fator envolvido na 
operação. Por exemplo, 3,67 x 2,3 = 8,441. Como o fator que possui o menor número de 
algarismos significativos é 2,3, devemos manter, então, no produto, dois algarismos. Portanto, 
o produto deve ser expresso como 8,4. 
 
EXERCÍCIO 4. Realize as seguintes operações: 
 
a) 16,8 cm x 1,432 cm x 0,679 cm x 15,689 cm = 
 
b) 69,34 m 
2,5s
= 
 
c) 2
0,635
245
m
s
 = 
 
 
1.8- ORDEM DE GRANDEZA 
 
 Ao trabalharmos com grandezas físicas, muitas vezes não há interesse em conhecermos, 
com precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecermos a potência de 10 com 
expoente inteiro que mais se aproxima de seu valor. Essa potência de 10 é denominada de 
ordem de grandeza do número que representa umadeterminada medida. Considere que N é o 
valor exato ou aproximado da medida. 
 
 110 10n nN +≤ ≤ 
 
 
 Para obtermos a ordem de grandeza de um número, inicialmente, devemos escrevê-lo em 
notação científica. 
 
 1 10N≤ < 
 
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 Para avaliarmos se a ordem de grandeza de um número é 10n ou 110n+ , devemos 
comparar o valor do número N com 5,5, que é a média aritmética entre 1 e 10. Desta forma, o 
valor de N é avaliado da seguinte forma: 
 
¾ 5,5N ≤ → A ordem de grandeza de N é 10n . 
¾ 5,5N > → A ordem de grandeza de N é 110n+ . 
 
 
EXEMPLO 3- Determine a ordem de grandeza dos seguintes números: 
 
a) 53,5.10 → 3,5 5,5N N= → ≤ logo a O.G. é 510 
b) 66,7.10 → 6,7 5,5N N= → > logo a O.G. é 710 
 
 
EXERCÍCIO 5- Determine a ordem de grandeza dos seguintes números: 
 
a) 3920.10 = 
 
b) 0,0092 = 
 
c) 20,835.10− = 
 
d) 483,5.10− = 
 
 
1.9- GRANDEZAS FÍSICAS ESCALARES E VETORIAIS 
 
 
 Em nosso cotidiano estamos acostumados a informações referentes à grandezas físicas 
como temperatura, tempo, distância, velocidade, massa, etc. Tais grandezas são divididas em 
dois grupos: grandezas físicas escalares e vetoriais. Iremos, na seqüência, detalhar cada um 
desses grupos. 
 
 
1.9.1- GRANDEZAS FÍSICAS ESCALARES 
 
 As grandezas físicas escalares ficam perfeitamente definidas apenas com o valor numérico 
acompanhado de sua unidade de medida. Por exemplo, supomos que uma informação dada 
através da televisão, em que o repórter diz: Em Florianópolis são 15h 30min e a temperatura é 
de 38º C. Essas informações são suficientes e não deixam dúvidas. 
 Alguns exemplos de grandezas físicas escalares: 
 
 m = 8 kg (uma massa igual a 8 quilogramas); 
 T = 48 ºC (uma temperatura igual a quarenta e oito graus Celsius); 
 A = 235m (uma área igual a trinta e cinco metros quadrados); 
 364m∀ = (um volume igual a sessenta e quatro metros cúbicos); 
 t = 34 s (um tempo igual a trinta e quatro segundos). 
 
 
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1.9.2- GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS 
 
 Ao contrário das grandezas físicas escalares, as grandezas vetoriais necessitam além de 
um valor numérico (valor absoluto) e uma unidade, necessitam de uma direção e um sentido 
para que fiquem perfeitamente determinadas. Vamos abordar o conceito de vetor e suas 
características e também as operações que envolvem grandezas físicas vetoriais. 
 Alguns exemplos de grandezas físicas vetoriais: 
 
 
2
30 /
23 /
850 .
1000
v m s
a m s
N m
F N
τ
=
=
=
=
 
 
1.9.2.1 –VETOR 
 
 Um vetor é um símbolo matemático representado graficamente por um segmento de reta 
orientado. Vetor é um termo oriundo do latim vector que significa condutor. Não tem 
significado físico. Possui três características: o módulo, a direção e o sentido, conforme mostra a 
figura 4. Para representarmos um vetor, usamos as notações a
→
 ou a que significam “vetor a”. 
Qualquer letra pode representar uma grandeza física vetorial desde que apresente o segmento 
de reta orientado sobre a letra ou como em alguns livros, usa-se a notação da letra em negrito. 
 
 Origem a
→
 Extremidade 
 
 a
→
 
 Figura 4- Representação gráfica de um vetor a
→
. 
 
 
¾ Módulo. O modulo (intensidade, magnitude, valor) de um vetor é numero real e positivo 
acompanhado de uma unidade de medida. Para representarmos o módulo de um vetor, 
podemos usar qualquer tipo de letra, maiúscula ou minúscula, para a notação. Por 
exemplo 30.a u= , 30.A u= , 30.a u→ = ou 30.A u→ = . Na representação gráfica, o módulo de 
um vetor é dado pelo tamanho do segmento de reta orientado medido desde sua origem 
até sua extremidade. 
 
 Origem a
→
 Extremidade 
 
 a
→
 
 Figura 5- Representação gráfica de um vetor a
→
. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 15
¾ Direção. A direção de um vetor é dada pelo ângulo formado por este em relação a um 
semi- eixo coordenado escolhido. Por exemplo, na figura 6, a direção do vetor a
→
 pode ser 
indicada como 060 em relação ao semi-eixo positivo de y ou 040 em relação ao semi-eixo 
positivo de x. 
 Devemos prestar muita atenção para a direção de um vetor que admite dois sentidos. 
 
 y 
 
 
 02 50θ = a
→
 
 
 
 01 40θ = x 
 
Figura 6- Sistema de eixos coordenados com um vetor a
→
 com as 
direções no primeiro quadrante em relação aos eixos x e y. 
 
¾ Sentido. O sentido de um vetor é dado sempre a partir de sua origem para sua 
extremidade. Só é possível expressar o sentido do vetor, em palavras (da esquerda para a 
direita- Fig..7(a); da direita para a esquerda- Fig.7(b); de baixo para cima – Fig.7(c) ou de 
cima para baixo- Fig.7(d)), quando a direção do mesmo for coincidente com qualquer um 
dos semi-eixos coordenados. Quando o vetor formar um ângulo diferente de 00 , 090 , 
0180 , 0270 ou 0360 o sentido do mesmo deverá ser dado através da representação gráfica 
identificando com “letras” sua origem e extremidade, e só assim o sentido poderá ser 
dado de “A para B”, conforme mostra a Fig.7(e). 
 
y y y 
 
 
 a
→
 a
→
 a
→
 
 
 0 x 0 x 0 x 
 7(a) 7(b) 7(c) 
 
 
 y y 
 a
→
 B 
 0 a
→
 x A 030 
 0 x 
 
 7(d) 7(e) 
 
 Figura 7- Vetor a
→
 apresentado com vários sentidos. 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 16
1.9.2.2 –VETOR OPOSTO 
 
 O vetor oposto de um dado vetor a
→
, por exemplo, é definido como sendo um vetor que 
tem o mesmo módulo, mesma direção, porém sentido contrário, ou seja, é defasado de 0180 em 
relação ao vetor a
→
. O vetor oposto é representado por a
→− , conforme mostra a figura 8. 
 
 a
→
 
 
 
 a
→−Figura 8- Representação gráfica de um vetor a
→
 e seu oposto a
→− . 
 
 
 
1.9.3- OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 As operações com grandezas físicas vetoriais regras especiais, diferentemente das 
grandezas físicas escalares, cujas regras são estabelecidas com base nas regras aplicadas aos 
números reais. 
 
1.9.3.1- ADIÇÃO DE VETORES 
 
 Na adição vetorial, a determinação do vetor soma ou vetor resultante de dois ou mais 
vetores, embora obedeça a regra aplicada aos números reais, pode ser tratada a partir de casos 
particulares na qual essa regra se simplifica. Em seguida veremos que a soma vetorial 
dependerá do ângulo formado entre os vetores. Sejam dois vetores a
→
 e b
→
, formando entre si 
um ângulo θ , em que 0 00 180θ≤ ≤ , conforme mostra a figura 9. A indicação vetorial do vetor 
soma ou vetor resultante é indicado conforme as equações (1) ou (2). 
 
 c a b
→ → →= + (1) 
 
 
 R a b
→ → →= + (2) 
 
 
 
 a
→
 b
→
 
 
 Figura 9- Representação gráfica dos vetores a
→
 e b
→
. 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 17
 Para somarmos esses dois vetores, podemos usar a regra do paralelogramo, que consiste 
em unir os vetores através de suas origens. Para isso, devemos transportá-los mantendo 
inalteradas suas características, ou seja, seu módulo, sua direção e sentido. A seguir projetamos 
(transportamos) cada um dos vetores para a extremidade do outro e por fim, traçamos o vetor 
soma ou resultante a partir da origem dos mesmos até as extremidades das projeções, conforme 
mostra a figura 10. 
 
 
 b
→
 R
→
 
 θ 
 
 a
→
 
Figura 10- Representação gráfica do vetor resultante R
→
 usando a regra do paralelogramo. 
 
 
 O vetor soma ou resultante pode ser obtido geometricamente por outro método ou regra 
denominado regra do polígono, que consiste em transportar um vetor colocando sua origem na 
extremidade do outro e por fim, o vetor resultante é traçado desde a origem do primeiro até a 
extremidade do segundo. Esse método geométrico pode ser aplicado à soma de vários vetores, 
sempre unindo a origem de um vetor à extremidade do outro e assim, sucessivamente. Vamos 
considerar os mesmos vetores, a
→
e b
→
conforme mostram as figuras 11(a) e 11(b). O vetor 
resultante terá as mesmas características do vetor resultante mostrado na figura 10. 
 
 a
→
 
 R
→
 
 b
→
 b
→
 R
→
 
 
 a
→
 
 
 (a) (b) 
Figura 11- Representação gráfica do vetor resultante R
→
 usando a regra do 
polígono fechado (ou triângulo). 
 
 
 Para obtermos o módulo do vetor soma ou resultante utilizamos a lei do co-seno dada 
pela equação(3). 
 
 
 
2 2
2 . cos abR a b a b θ
→ → → → →= + + (3) 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 18
 Quando trabalhamos com três vetores usamos, freqüentemente, a lei do seno, dada pela 
equação(4), a qual estabelece uma relação entre os módulos e ângulos dos vetores em operação, 
conforme mostra a figura 12. 
 
 A B C
sen a sen b sen c
= = (4) 
 
 
 
 
 a B 
 C 
 
 b c 
 
 A 
 
Figura 12- Representação gráfica de um triângulo formado por três vetores 
que formam ângulos a, b e c entre eles em que se aplica a lei dos senos. 
 
 
 A lei dos senos permite que se obtenha a direção do vetor resultante quando conhecemos 
os módulos e ângulos dos vetores que formam um triângulo conforme mostra a figura 12. 
 Quando os vetores são ortogonais, conforme mostra a figura 13, direção do vetor 
resultante pode ser obtida através da tangente do ângulo, através da equação(5). 
 
 
 b
→
 R
→
 
 
 θ 
 
 a
→
 
 
Figura 13- Representação gráfica da adição vetorial de dois vetores 
ortogonais, utilizando a regra do paralelogramo. 
 
 
 
 1.
. cos cos
cat oposto sen sentg tg tg
cat adjacente
θ θθ θ θθ θ
− ⎛ ⎞= → = → = ⎜ ⎟⎝ ⎠ (5) 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 19
 As relações trigonométricas cosθ , senθ e tgθ são válidas somente quando o ângulo θ for 
medido em relação ao semi-eixo x positivo. Se o ângulo θ for medido em relação a outro eixo, é 
necessário trocar as funções trigonométricas dadas pela equação(5). 
 Consideremos dois vetores, 1F
→
 e 2F
→
. As características do vetor resultante, RF
→
, podem ser 
obtidas através dos métodos geométrico e analítico. O módulo e a direção do vetor resultante 
podem ser obtidos utilizando instrumentos como régua e transferidor, respectivamente. 
Analiticamente, podemos obter as características do vetor resultante através das leis do co-seno, 
equação(3), e seno, equação(4), cujos ângulos formado entre os vetores 1F
→
 e 2F
→
 encontram-se em 
valores intermediários dos quadrantes, 00 e 090 , 090 e 0180 , 0180 e 0270 , 0270 e 0360 . 
 Como exemplo, vamos considerar os vetores 1F
→
 e 2F
→
, que formam entre si diferentes 
ângulos. 1F
→
 e 2F
→
 representam forças que agem sobre um determinado corpo, cujos módulos são 
1 100.F N
→ = e 2 50.F N→ = . Iniciaremos nosso exemplo considerando que as forças aplicadas ao 
corpo são paralelas. Na seqüência, iremos aumentando o ângulo entre elas e poderemos 
verificar que ao passo que aumentamos o valor do ângulo entre elas, o módulo do vetor força 
resultante diminui. 
 
 
 
¾ Ângulo de 00 entre os vetores 1F
→
 e 2F
→
. Na figura 14 (a) os vetores são paralelos,e o 
módulo do vetor resultante será máximo, conforme mostra a figura 14(b). 
 
 
 1F
→
 1F
→
 2F
→
 
 
 2F
→
 RF
→
 
 
Figura 14- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
. (b) Soma vetorial dos vetores 1F
→
 e 2F
→
 a 
representação gráfica do vetor resultante. 
 
 
 
 - O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando 
que 0cos0 1= , tem-se : 
 
2 2100 50 2[100].[50]cos 0
(10000) (2500) (10000) 150.
R
R
F
F N
→
→
= + +
= + + =
 
 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 20
 Qualquer vetor pode ser representado num sistema de eixos coordenados. A 
representação dos vetores 1F
→
 e 2F
→
 é mostrada na figura 15(a) e o vetor resultante, na figura 
15(b). 
 
 y y 
 
 
 2F
→
 RF
→
 
 
 0 1F
→
 x 0 x 
 (a) (b) 
 Figura 15- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
. (b) Representação gráfica do vetor resultante 
RF
→
. 
 
 - A direção do vetor força resultante pode ser considerada como 00 ou horizontal. O 
sentido do vetor força resultante é “da esquerda para a direita“ ou simplesmente “para a 
direita”, conforme mostram as figuras 14(b) e 15(b). 
 
 
 
¾ Ângulo de 045 entre os vetores 1F
→
 e 2F
→
. 
 
 
 1F
→
 
 2F
→
 RF
→
 RF
→
 
 2F
→
 045 α 2F→ 045 
 1F
→
 1F
→
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura 16- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
. (b) Soma vetorial com a representação dada pela regra 
do paralelogramo. (c) Soma vetorial com a representação dada pela regra do polígono 
(ou triângulo). 
 
 
 
 Unindo-os pela origem, podemos, da mesma forma que fizemos com os vetores paralelos, 
representá-los num sistema de eixos coordenados, conforme figura 17(a). O vetor força 
resultante é obtido utilizando a regra do paralelogramo, conforme mostra a figura 17(b). 
 
 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 21
 y y 
 
 
 
 2F
→
 2F
→
. 
 RF
→
 
 045 α 
 0 1F
→
 x 0 1F
→
 x 
 
 (a) (b) 
Figura 17- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
. (b) Representação do vetor força resultante dada pela 
regra do paralelogramo. 
 
 
 - O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando 
que 0cos 45 0,71� , tem-se : 
 
2 2 0100 50 2[100].[50]cos 45
(10000) (2500) (10000)(0,71) 140.
R
R
F
F N
→
→
= + +
= + + =
 
 
 - Para determinar a direção do vetor força resultante, aplica-se a lei dos senos, equação(4). 
 
 RF
→
 2F
→
 
 0135 045 
 α 
 1F
→
 
 
 
0
0
0
140 50 50 135 14,63
135 140
sensen
sen sen
α αα= → = → ≅ 
 
 
 - A direção do vetor força resultante obtida pelos vetores 1F
→
 e 2F
→
 que formam entre si um 
ângulo de 045 é aproximadamente 014,63 , conforme mostra a figura 17(b). 
 - O sentido do vetor força resultante é dado geometricamente pelo vetor, conforme 
figura 17(b), não sendo mais possível expressar em palavras. 
 
 
 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 22
¾ Ângulo de 090 entre os vetores 1F
→
 e 2F
→
. [Teorema de Pitágoras] 
 
 
 1F
→
 
 
 2F
→
 RF
→
 RF
→
 2F
→
 
 2F
→
 
 1F
→
 1F
→
 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 18- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
 ortogonais entre sí. (b) Representação do vetor força 
resultante dada pela regra do paralelogramo. (c) Representação do vetor força 
resultante dada pela regra do polígono (ou triângulo). 
 
 - O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando que 
0cos90 0= , tem-se : 
 
 
2 2100 50
(10000) (2500) 111,80.
R
R
F
F N
→
→
= +
= + =
 
 
 - A direção do vetor força resultante, pode ser obtida através da tangente do ângulo, 
equação(.5), ou através da lei dos senos, equação(4). Vamos obter a direção do vetor força 
resultante pelos dois métodos e verificarmos que os mesmos são equivalentes para esse fim. 
 
 
 RF
→
 2F
→
 
 
 α 
 1F
→Lei dos senos: 
0
0
0
111,80 50 50 90 26,57
90 111,80
sensen
sen sen
α αα= → = → ≅ 
 
 Tangente do ângulo: 
 
 1 1 0. 50 26,57
. cos cos 100
cat oposto sen sen Ntg tg tg tg
cat adjacente N
θ θθ θ θ θθ θ
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → = → = ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 23
 - O sentido do vetor força resultante é dado geometricamente pelo vetor, não sendo mais 
possível expressar em palavras. 
 
 
¾ Ângulo de 0180 entre os vetores 1F
→
 e 2F
→
. Quando os vetores são antiparalelos, o módulo 
do vetor resultante será mínimo. 
 
 1F
→
 2F
→
 1F
→
 1F
→
 
 
 2F
→
 2F
→
 
 RF
→
 
 RF
→
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura 19- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
. (b) Soma vetorial dos vetores 1F
→
 e 2F
→
 com o vetor 
resultante obtido pela lei dos co-senos vetor. (c) Soma vetorial dos vetores 1F
→
 e 2F
→
 com 
o vetor resultante obtido pela união da origem de um com a extremidade do outro. 
 
 
 
 
 A representação dos vetores 1F
→
 e 2F
→
, antiparalelos, é mostrada na figura 20(a). O vetor 
resultante, tem as características mostradas na figura 20(b). 
 
 
 y y 
 
 
 2F
→
 1F
→
 RF
→
 
 
 0 x 0 x 
 
 (a) (b) 
 Figura 20- (a) Vetores 1F
→
 e 2F
→
 antiparalelos. (b) Representação gráfica do vetor 
resultante RF
→
. 
 
 
- O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando que 
0cos180 1= − , tem-se : 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 24
 
2 2100 50 2(100)(50)( 1)
(10000) (2500) (10000) 50.
R
R
F
F N
→
→
= + + −
= + − =
 
 
 - A direção do vetor força resultante pode ser considerada como 00 ou horizontal e o sentido 
é “da esquerda para a direita“ ou simplesmente “para a direita”, conforme mostra a 
figura 20(b). 
 
 
1.9.3.2- SUBTRAÇÃO DE VETORES 
 
 Na subtração vetorial, a determinação do vetor resultante de dois ou mais vetores segue 
os mesmos princípios adotados para a adição vetorial. A subtração vetorial também dependerá 
do ângulo formado entre os vetores. Sejam dois vetores a
→
 e b
→
, formando entre si um ângulo θ , 
conforme mostra a figura 21. A indicação vetorial para o vetor resultante é dada pelas equações 
(6) ou (7). 
 
 c a b
→ → →= − (6) 
 
 
 R a b
→ → →= − (7) 
 
 
 
 
 a
→
 b
→
 
 
 Figura 21- Representação gráfica dos vetores a
→
 e b
→
. 
 
 
 Na subtração vetorial são aplicadas as mesmas regras utilizadas na adição. A regra do 
paralelogramo e a regra do polígono (ou triângulo). Para obtermos a diferença entre vetores, 
devemos realizar uma rotação de 180º no vetor que desejamos subtrair. Para os vetores, 
mostrados na figura 22(a), tem-se c a b
→ → →= − . Nesse caso, estamos aplicando, geometricamente, a 
regra do paralelogramo, na qual usamos o vetor oposto, b
→− . A diferença entre os vetores a→ e 
b
→
 pode ser obtida também aplicando a regra do polígono, conforme mostra a figura 22(b). 
 
 
 
 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 25
 b
→
 
 θ a→ a→ 
 
 b
→− R→ R→ b→− 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 22- Representação gráfica da subtração vetorial. (a) Aplicando a regra 
do paralelogramo. (b) Aplicando a regra do polígono. 
 
 Consideremos, como exemplo de subtração vetorial, 1 2RF F F
→ → →= − , os mesmos vetores 1F→ 
e 2F
→
, aplicados na adição vetorial, cujos módulos são 1 100.F N
→ = e 2 50.F N→ = . A figura 23 
mostra geometricamente o módulo, a direção e o sentido do vetor força resultante. Para 
quantificarmos essas características vamos aplicar as leis dos co-senos, equação(3), e dos senos, 
equação(4), considerando que o ângulo entre eles, inicialmente, é 035 . 
 2F
→
 
 
 0180 035 1F
→
 
 
 α 035 
 2F
→− 035 RF→ β 
 
 
Figura 23- Representação gráfica de uma subtração vetorial aplicando a regra 
do paralelogramo. 
 
 - O ângulo entre o vetor 1F
→
 e 2F
→
 (vetor oposto) é 0 0 0180 35 215γ = + = . Considerando que 
o 0cos 215 0,82= − , o módulo do vetor força resultante é dado por: 
 
 
2 2100 50 2(100)(50)( 0,82)
(10000) (2500) (8200) 65,57.
R
R
F
F N
→
→
= + + −
= + − =
 
 - Para determinar a direção do vetor força resultante, aplica-se a lei dos senos, Eq.(4). 
 
 
0
0
0
65,57 50 50 35 25,94
35 65,57
sensen
sen sen
α αα= → = → ≅ em relação ao semi-eixo x positivo, 
conforme mostra a figura 24. 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 26
 1F
→
 
 2F
→− α 035035 RF
→
 0119 
 
 
Figura 24- Representação gráfica do vetor resultante, RF
→
, aplicando a regra 
do paralelogramo. 
 
 
 De acordo com a figura 24, a direção do vetor RF
→
 pode ser indicada como 025,94α ≅ em 
relação ao semi-eixo x positivo, ou ainda 064,06α ≅ em relação ao semi-eixo y negativo. 
 
 - O sentido do vetor força resultante está indicado, geometricamente na figura 24. Como a 
direção não está coincidindo com nenhum dos semi-eixos coordenados, não é mais possível 
expressar o sentido do vetor em palavras. 
 
 
 
1.9.3.3- COMPONENTES DE UM VETOR 
 
 A componente de um vetor é a projeção desse vetor sobre um determinado eixo. Por 
exemplo, na figura 21, o vetor a
→
 tem duas componentes. A projeção sobre o eixo x é a 
componente Xa e a projeção sobre o eixo y é a componente está sobre o Ya . No triângulo 
retângulo formado pelas componentes Xa e Ya , a hipotenusa representa o módulo do vetor a
→
. 
 
 
 y 
 
 
 
 Ya a
→
 
 θ 
 
 0 Xa x 
Figura 21- Vetor a
→
 com suas componentes retangulares sobre os eixos x e 
y. 
 
 As componentes do vetor a
→
 são obtidas mediante as relações trigonométricas para um 
triângulo retângulo o qual tem a hipotenusa formando um ângulo θ com a horizontal, 
conforme mostra a figura 21. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 27
 Da figura 21 obtemos as componentes Xa e Ya a partir das relações trigonométricas 
básicas .cos cat adjacente
hipotenusa
θ = e .cat opostosen
hipotenusa
θ = . Considerando que o cateto adjacente ao ângulo 
θ representa a componente Xa e a hipotenusa, o módulo do vetor a
→
, tem-se então a 
componente Xa dada pela equação(8). 
 
 cosXa a θ
→= (8) 
 
 Da mesma forma que foi obtida a componente Xa , considerando, agora, que o cateto 
oposto ao ângulo θ é representado pela componente Ya . Dessa forma, a componente Ya é dada 
pela equação(9). 
 Ya a senθ
→= (9) 
 
 A partir das componentes retangulares de um vetor é possível determinar o módulo e o 
ângulo θ formado com o eixo x do sistema de eixos coordenados, através das equações(10) e 
(11), respectivamente. 
 
 ( ) ( )2 2X Ya a a→ = + (10) 
 
 Y
X
atg
a
θ = (11) 
 
 
1.9.3.3.1- SOMA VETORIAL ATRAVÉS DAS COMPONENTES DE VETORES 
 
 Uma maneira simples de realizarmos uma soma vetorial é através das componentes 
vetoriais, mas, para isso, é necessário que os vetores estejam representados num sistema de 
eixos coordenados. 
 Nesse texto, vamos nos restringir a representação vetorial apenas nos eixos x e y. Por isso, 
as próximas seções terão um tratamento unicamente bidimensional. 
 Para obtermos o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante devemos realizar as 
seguintes etapas: 
1. Calcular, individualmente, as componentes retangulares em x e y de cada vetor; 
2. Obter o vetor resultante em cada uma das direções, x e y; 
3. Calcular o módulo do vetor resultante; 
4. Calcular a direção do vetor resultante através da tangente do ângulo; 
5. Utilizar um sistema de eixos coordenados xy para representar as componentes 
retangulares do vetor resultante e, finalmente, traçar o vetor resultante. 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 28
EXEMPLO 4- Um avião decola com velocidade de 200,00 m/s e forma com a horizontal um 
ângulo de 035 , conforme mostra a figura abaixo. Considere 0cos35 0,819= , 035 0,574sen = e 
determine: 
 y 
 v
→
 
 
 
 
 
 035 
 
 0 x 
 
 
a) As componentes retangulares ou cartesianas Xv e Yv . 
 
 
0
0
200,00cos35 200,00(0,819) 163,80. /
200,00 35 200,00(0,574) 114,80. /
X X X
Y Y Y
v v v m s
v sen v v m s
= → = =
= → = = 
 
b) Verifique, a partir dos valores das componentes obtidas em (a), se os valores estão corretos. 
 
 
 ( ) ( )2 2163,80 114,80 200,00. /v v m s→ →= + → � 
 
c) Verifique, a partir dos valores das componentes obtidas em (a), se a direção (ângulo) do 
vetor está correto. 
 1 0114,80 114,80 35
163,80 163,80
tg tgθ θ θ− ⎛ ⎞= → = →⎜ ⎟⎝ ⎠ � 
 
EXEMPLO 5- Para os vetores 1F
→
 e 2F
→
 cujos módulos são 1 100.F N
→ = e 2 50.F N→ = , determine: 
{ Adote para os cálculos ( ) ( )0 0cos55 0,57 ; 55 0,82sen= = ; ( ) ( )0 0cos35 0,82 ; 35 0,57sen= = ou 
( ) ( )0 0cos 215 0,82 ; 215 0,57sen= − = − } 
 y 
 
 
 
 
 1F
→
 
 
 035 0 x 
 2F
→
 055 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 29
a) As componentes retangulares ou cartesianas dos vetores 1F
→
 e 2F
→
. 
 
 
0
1 1
0
1 1
100cos0 100,00.
100 0 0
X X
Y y
F F N
F sen F
= → =
= → = 
 
 As componentes de 2F
→
 ser obtidas considerando os ângulos indicados pela figura ou 
ainda através da soma de ângulos, 0 0 0180 35 215θ = + = , que resultará em componentes com 
iguais valores conforme cálculo demonstrado abaixo. Adotando o ângulo de 0215 , o sinal das 
componentes já estarão presentes nos resultados. 
 
0
2 2
0
2 2
50cos35 41.
50 55 41.
X X
x X
F F N
F sen F N
= → =
= → = ; 
0
2 2
0
2 2
50cos55 28,50.
50 35 28,50.
Y Y
Y Y
F F N
F sen F N
= → =
= → = 
 
 ou 
0
2 2
0
2 2
50cos 215 41,00.
50 215 28,50.
X X
Y Y
F F N
F sen F N
= → = −
= → = − . 
 
b) O módulo do vetor resultante RF
→
. 
 
1 2
[100,00 41,00] 59,00.
X RX X X
RX RX
F F F F
F F N
→ = −
= − → =
∑
 e 
2
[ 28,50] 28,50.
Y RY X
RY RY
F F F
FF N
→ = −
= − → = −
∑
 
 
 ( ) ( )2 259,00 28,50 65,52.R RF F N→ →= + − → � 
 
c) A direção e o sentido do vetor resultante, RF
→
 representando-o num sistema de eixos 
coordenados xy. 
 
 1 028,50 28,50 25,78
59,00 59,00
tg tgθ θ θ−− −⎛ ⎞= → = → −⎜ ⎟⎝ ⎠ � 
 
 
 y 
 
 
 
 RXF 
 
 0 θ x 
 RYF 
 RF
→
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 30
EXERCÍCIO 6- Para os vetores a
→
, b
→
 e c
→
, cujos módulos são 20.a m= , 30.b m= e 15.c m= , 
determine: 
Considere: 
0
0
cos30 0,87
30 0,50sen
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠
; 
0
0
cos35 0,82
35 0,57sen
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠
0
0
cos50 0,64
50 0,77sen
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠
 
 
 y 
 
 b
→
 
 030 
 a
→
 
 
 035 
 
 0 x 
 c
→
 050 
 
 
a) As componentes retangulares ou cartesianas dos vetores a
→
, b
→
 e c
→
. 
 
 
 
 
b) O módulo do vetor resultante. 
 
 
 
 
c) A direção e o sentido do vetor resultante, representando-o num sistema de eixos coordenados 
xy. 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 31
1.9.3.4- VETOR UNITÁRIO OU VERSOR 
 
 
 Uma grandeza vetorial pode ser representada através de vetores unitários. Um vetor 
unitário é também denominado versor. Tem módulo unitário ( 1)= , sem dimensão ou unidade, 
cuja função é especificar uma direção. 
 Um vetor unitário ou versor é obtido, matematicamente, do vetor correspondente através 
da equação 12. 
 
 ai
a
→
→
→= (12) 
 
 
 
 A representação de um vetor, em notação de vetor unitário, tem como objetivo facilitar a 
descrição de uma direção no espaço. Abordaremos a notação de vetor unitário 
tridimensionalmente, embora, em nosso curso, nos restringiremos ao tratamento bidimensional. 
 As componentes de um vetor, escrito em notação de vetores unitários, são representadas 
pelas letras i, j e k, que indicam as direções x, y e z, respectivamente, conforme mostra a figura 
22. Podemos representar um vetor unitário, além da notação em negrito da seguinte forma: 
i ou i
→ ∧
, j ou j
→ ∧
 e k ou k
→ ∧
 . Podemos expressar um vetor tridimensional como 
X Y Za a i a j a k
→ → → →= + + , onde Xa i
→
, Ya j
→
 e Za k
→
 são as componentes vetoriais de a
→
, e Xa , Ya e Za 
suas componentes escalares. 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 j
→
 
 i
→
 
 k
→
 0 x 
 
 
 z 
 
Figura 22- Vetores unitários i, j e k num sistema de coordenadas 
retangulares. 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 32
 Consideremos o vetor bidimensional ( ) ( )X YF F i F j→ → →= + , localizado no plano xy, 
conforme mostra a figura 23. O produto das componentes, ( )XA pelo vetor unitário i→ , e ( )YA 
pelo vetor unitário j
→
, representa a componente paralela aos eixos x e y, respectivamente. 
 
 y 
 
 
 
 ( )YF j→ F→ 
 
 
 0 ( )XF i→ x 
 
 
Figura 23- Componentes vetoriais do vetor F
→
 num sistema de 
coordenadas retangulares. 
 
 
 
1.9.3.4.1- SOMA DE VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES 
 
 
 Na seção 1.9.3, abordamos as operações envolvendo vetores. Tais operações podem ser 
realizadas através dos métodos geométricos (gráficos) ou analíticos. Podemos utilizar os 
mesmos métodos para obtermos operações de adição e subtração de vetores os quais estão 
representados em notação de vetores unitários. No exemplo 9, vamos operar analiticamente 
através de suas componentes retangulares para obtermos o módulo, a direção e o sentido do 
vetor força resultante, 1 2RF F F
→ → →= + . 
 
 
EXEMPLO 6- Consideremos como exemplo, os vetores ( ) ( )1 6 3F N i N j→ → →= + e 
( ) ( )2 2 4F N i N j→ → →= − + , os quais representam forças que agem sobre um determinado corpo. 
Vamos determinar a força resultante, 1 2RF F F
→ → →= + , através da combinação das componentes em 
cada direção (eixo). 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ){ 6 3 } { 2 4 }RF N i N j N i N j→ → → → →= + + − + 
 ( ) ( ) ( ) ( ){ 6 2 } { 3 4 }RF N N i N N j→ → →= + − + + 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 33
 ( ) ( )4 7RF N i N j→ → →= + [Vetor força resultante em notação de vetores unitários] 
 
 
 O módulo do vetor força resultante RF
→
, é obtido através da soma das componentes do 
vetor força resultante: 
 
 ( ) ( )2 24 7 8,06R RF N N F N→ →= + → � 
 
 A direção e o sentido do vetor força resultante, RF
→
, são indicados na figura 24. 
 
 1 07 7 60, 26
4 4
N Ntg tg
N N
θ θ θ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � 
 
 Podemos indicar a direção em função dos eixos coordenados x ou y. Em relação ao semi-
eixo x positivo, a direção é 060, 26θ � . Em relação ao semi-eixo y positivo, a direção é 
029,74β � . 
 
 
 y 
 
 RF
→
 
 ( )7N j→ β 
 
 θ 
 0 ( )4N i→ x 
 
 
Figura 24- Componentesvetoriais do vetor RF
→
 num sistema de 
coordenadas retangulares. 
 
 
EXERCÍCIO 7- Considere os vetores ( ) ( )2,00 3,00A i j→ → →= + , ( ) ( )5,00 4,00B i j→ → →= − , contidos no 
plano xy, e determine o módulo, a direção e o sentido do vetor diferença, C A B
→ → →= − , 
representando-o num sistema de eixos coordenados. 
 
 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9.3.5- PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR 
 
 O produto de um escalar (número real) por um vetor, equação(13), resulta em outro vetor 
com alteração somente no módulo, ou no sentido do vetor, ou ainda em ambos. 
 
 .a n v
→ →= (13) 
 
¾ Módulo: n = 3 → [3]a v→ →= . 
 v
→
 
 
 
 [3]a v
→ →= 
¾ Direção: A mesma do vetor v
→
 se 0n ≠ . 
 
¾ Sentido: O mesmo de v
→
 se 0n > : 3n = 
 
 v
→
 
 
 
 [3]a v
→ →= 
 
 Contrário a v
→
 se 0n < : 3n = − 
 
 v
→
 
 
 
 [ 3]a v
→ →= − 
 
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EXEMPLO 7- Considere os vetores 1F
→
 e 2F
→
, cujos módulos são 1 2F N= e 2 1F N= , e obtenha o 
vetor força resultante considerando 1 22 3RF F F
→ → →= + . Então temos que o módulo do vetor força 
resultante é ( ) ( )2 24 3 5RF N→ = + = . 2F→ 2F→ 
 
 
 1F
→
 1F
→
 RF
→
 
 
 
 
 
 
 
1.9.3.6- PRODUTO ESCALAR 
 
 O produto escalar é bastante utilizado na descrição de grandezas físicas tais como o 
trabalho mecânico, energia potencial gravitacional, potencial elétrico, fluxo elétrico, fluxo 
magnético, entre outras, as quais serão abordadas ao longo das disciplinas de Física. 
 O produto entre vetores não pode seguir exatamente as mesmas regras da álgebra dos 
escalares. Para que os produtos sejam realizados, é necessário estabelecer novas regras de 
multiplicação. Uma dessas regras é o produto escalar entre dois vetores a
→
 e b
→
, definido pela 
equação 14. Na equação 14, a notação a b
→ →
i é lida como “ a
→
 escalar b
→
”, e os termos a
→
 e b
→
 
representam os módulos dos vetores a
→
 e b
→
 que formam um ângulo θ entre eles. O produto 
escalar entre dois vetores resulta num escalar. 
 
 . cosa b a b θ→ → → →=i (14) 
 
 
 O produto escalar entre os vetores a
→
 e b
→
 é dado pelo produto do módulo de um dos 
vetores pela componente escalar do outro em relação ao primeiro, conforme equação 15. 
 
 
 
 ( ).( )X Y Z X Y Za b a i a j a k b i b j b k
→ → → → → → → →= + + + +i (15) 
 
 
 Na figura 25, os vetores a
→
 e b
→
 fazem um ângulo θ entre eles e cada vetor, tem uma 
componente na direção do outro vetor. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 36
 
 Componente de b
→
 na direção de a
→
 é cosb θ 
 
 
 
 
 a
→
 
 θ 
 b
→
 
 Componente de a
→
 na direção de b
→
 é cosa θ 
 
Figura 25- Dois vetores a
→
 e b
→
 com suas componentes projetadas na 
direção do outro vetor. 
 
 O produto escalar entre as componentes de vetores as quais estão nas direções x, y e z, 
tem como resultado: 
 
 
1
1
1
i i
j j
k k
→ →
→ →
→ →
=
=
=
i
i
i
 Componentes paralelas [ 0cos0 1= ] 
 
 
1
1
1
i i
j j
k k
→ →
→ →
→ →
− = −
− = −
− = −
i
i
i
 Componentes antiparalelas [ 0cos180 1= − ] 
 
 
0
0
0
i j
j k
i k
→ →
→ →
→ →
=
=
=
i
i
i
 Componentes ortogonais (Perpendiculares) [ 0cos90 ] 
 
EXEMPLO 8- Determine o ângulo formado entre os vetores 3,0 4,0a i j
→ → →= − e 2,0 3,0b i k→ → →= − + . 
 
 - Calculando o primeiro termo em . cosa b a b θ→ → → →=i : 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 37
 
(3,0 4,0 ).( 2,0 3,0 )
{(3,0 )( 2,0 )} {(3,0 )( 3,0 )} {( 4,0 )( 2,0 )} {( 4,0 )(3,0 )}
( 6,0)
a b i j i k
a b i i i k j i j k
a b
→ → → → → →
→ → → → → → → → → →
→ →
= − − +
= − + + + − − + −
= −
i
i
i
 
 
 - Obter os módulos dos vetores para calcular o ângulo. 
 
 
( )( ) ( )( )
( )
( )
2 22 2
0
( 6,0) 3,0 ( 4,0) 2,0 (3,0) cos
( 6,0) (5,0)(3,61)cos
6,0
cos 109, 4
18,05
θ
θ
θ θ
− = + − − +
− =
−= → =
 
 
EXERCÍCIO 8- Determine o ângulo formado entre os vetores ( 3,0 ) (4,0 ) (6,0 )F N i N j N k
→ → → →= − + + 
e ( 2,0 ) (4,0 )d m i m k
→ → →= − + . Os conceitos físicos dos vetores F→ (Força), d→ (Deslocamento) e o 
produto entre eles (=Trabalho de uma força) serão abordados nas próximas unidades. 
 
 
 
 
 
 
1.9.3.6- PRODUTO VETORIAL 
 
 O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor. É aplicado em muitas 
situações que envolvem grandezas físicas vetoriais. Dentre elas o momento de uma força, 
momento angular e força magnética sobre uma carga elétrica em movimento num campo 
magnético. A aplicação do produto vetorial envolvendo essas grandezas físicas ocorrerá nas 
disciplinas de Mecânica e Física III as quais integram um curso de engenharia. Em nosso curso 
de Física I, vamos aplicar apenas as operações de adição, subtração e produto escalar. 
 Define-se como produto vetorial entre dois vetores a
→
 e b
→
 e a notação a b
→ →× é lida como 
“ a
→
 vetorial b
→
”. O resultado desse produto vetorial é o vetor c
→
, conforme equação 16. 
 
 
 c a b
→ → →= × (16) 
 
 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 38
 O módulo do vetor c
→
 é dado pela equação 17, onde a
→
e b
→
são os módulos dos vetores a
→
 
e b
→
, respectivamente, e θ , o menor ângulo entre eles. A orientação do vetor c→ é perpendicular 
ao plano definido por a
→
 e b
→
, é dada pela regra da mão direita, conforme mostram as figuras 
26(a) e 26(b). 
 Na figura 26(a), aplicando a regra da mão direita, o dedo polegar indica o sentido do 
vetor resultante, c
→
, e os demais dedos irão rebater o vetor a
→
 sobre o vetor b
→
, o que resultará 
num vetor c
→
 positivo. Aplicando a mesma