engenharia econômica II

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ENGENHARIA 
ECONÔMICA II 
 
 
 
 
 
Edson de Oliveira Pamplona – http://www.iem.efei.br/edson 
José Arnaldo Barra Montevechi – http://www.iem.efei.br/arnaldo 
 
 
 
2005 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução 
2. Considerações Sobre Critérios de Decisão 
3. Análise de Investimento em Situação de Incerteza 
3.1. Introdução 
3.2. A Natureza das Incertezas 
3.3. Métodos de Decisão em Condições de Incerteza 
3.3.1. Análise de Sensibilidade 
3.3.2. Métodos Baseados na Teoria dos Jogos 
4. Método de Análise Hierárquica 
5. Introdução à Programação Linear 
6. Análise de Investimento em Situação de Risco 
6.1. Probabilidade da Inviabilidade de Investimentos 
6.2. Simulação de Monte-Carlo 
7. Árvores de Decisão 
8. Opções Reais 
9. Determinação da Taxa Mínima de Atratividade pelo WACC e CAPM 
 
Referências Bibliográficas 
Apêndices 
Estudos de Caso 
 
 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 
 
 O curso de Engenharia Econômica II visa o aprofundamento nas técnicas de 
Engenharia Econômica, complementando conhecimentos já obtidos em cursos introdutórios 
da área. 
 O objetivo do curso é que o aluno domine as técnicas apresentadas, obtendo uma base 
sólida para tomada de decisão sobre investimentos, considerando todo o ambiente de 
incertezas que cerca este tipo de análise. 
 Aborda-se, inicialmente, a comparação entre os critérios de decisão mais utilizados, 
forçando uma revisão do assunto. 
 Passa-se, então, aos métodos para análise de investimentos em condições de risco e 
incerteza. Para enfrentar a incerteza, sempre presente, serão estudados métodos como análise 
de sensibilidade e critérios baseados na teoria dos jogos. 
 Adicionalmente será transmitido o método AHP (Analytic Hierarchy Process) para 
análise multicriterial. 
Outra técnica apresentada é a Programação Linear, um dos tópicos de Pesquisa 
operacional mais utilizados em problemas de otimização. Com aplicação à Engenharia 
Econômica, a Programação Linear busca a distribuição eficiente de recursos limitados para 
atender determinado objetivo, em geral, maximizar lucros, resultados econômicos e 
minimizar custos. 
 O risco será tratado com a utilização de elementos da estatística. O Valor Esperado e o 
risco de VPL’s e TIR’s, a probabilidade de inviabilidade de projetos, a simulação por Monte 
Carlo e árvores de decisão serão vistos. 
 Alguns investimentos podem ser encarados como opções. O curso de Engenharia 
Econômica II apresenta a “Teoria de Opções Reais”, uma forma de considerar a flexibilidade 
gerencial de exercer, ou não, opções em avaliações de ativos reais com o uso de métodos já 
consagrados em opções financeiras. 
 Finalmente, será abordado o Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) que pode 
auxiliar no entendimento da inclusão do risco na avaliação de investimentos e na 
determinação da taxa de descontos.. 
 Os autores 
 
 
CAP. 2 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS 
CRITÉRIOS DE DECISÃO 
 
1. OS CRITÉRIOS DE DECISÃO 
 Dentre os métodos para avaliar investimentos, que variam desde o “bom senso” até os 
mais sofisticados modelos matemáticos, três se destacam por serem exatos e equivalentes, 
quando adequadamente utilizados. São eles: Método do Valor Presente Líquido, Método do 
Valor Anual e Método da Taxa Interna de Retorno. 
1.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
 As ferramentas básicas para o auxílio na utilização dos critérios citados acima são os 
fatores de equivalência, que transportam quantias no tempo. Tais fatores são demonstrados 
com base na Matemática Financeira, utilizando-se do sistema de juros compostos. O quadro 1 
apresenta as principais relações de equivalência. 
Com base nestas relações pode-se transportar valores para qualquer ponto em um determinado 
horizonte de planejamento, permitindo assim as comparações entre alternativas de 
investimentos 
Forma 
Mnemônica 
Nome do Fator Fator 
(F/P, i, n) Fator de Acumulação de Capital de um pagto simples (1+ i)n 
(P/F, i, n) Fator de Valor Presente de um pagto simples (1 + i)-n 
(F/A, i, n) Fator de Acumulação de Capital de uma série uniforme [(1+i)n-1]/i 
(A/F, i, n) Fator de Formação de Capital de uma série uniforme i /[(1+i)n-1] 
(P/A, i, n) Fator de Valor Presente de uma série uniforme [(1+i)n-1]/(1+i)n.i 
(A/P, i, n) Fator de Recuperação de capital (1+i)n.i /[(1+i)n-1] 
(P/G, i, n) Fator de Valor Presente de uma série gradiente [(1+i)n-1]/i – n 
 i (1+i)n 
Quadro 1 – Fatores de Equivalência 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 2 
 
1.2 EQUAÇÃO GENÉRICA PARA OS CRITÉRIOS DO 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO E DA TAXA INTERNA DE 
RETORNO 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO – O Valor Presente Líquido de uma proposta de 
investimento é a soma algébrica, na data zero, dos saldos dos fluxos de caixa descontados à 
Taxa Mínima de Atratividade, conforme mostra a equação 1. 
Equação 1: 
 
 Se o Valor Presente Líquido for positivo a proposta deve ser aceita, pois sua 
rentabilidade cobre a taxa mínima de atratividade i adotada pela empresa. 
 Considere o seguinte diagrama de fluxo de caixa: 
 
 O VPL é dado por: 
VPL = -600 –300(1+i)-1 + 400(1+1)-2 + 500(1+1)-3 +800(1+1)-4 
 O gráfico do VPL versus a taxa de descontos é mostrado na figura 1, com dados da 
tabela a seguir: 
C0 
C1 C2 
C3 
Cn 
∑
=
−+=
n
j
j
j iC
0
)1( VPL
600 
300 
400 500 
800 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 3 
 
TAXA VPL 
0 800 
10% 390 
20% 103 
30% -86,4 
 
Figura 1 – VPL x Taxa 
 
 Pode-se observar a influência da taxa na viabilidade de um investimento, pois se neste 
caso a TMA fosse de 10% o empreendimento seria viável, mas se a TMA fosse de 30% o 
projeto não deveria ser aceito. 
 
TAXA INTERNA DE RETORNO – A Taxa Interna de Retorno é a taxa que torna nulo o 
Valor Presente Líquido de um investimento. A vantagem desse método, em relação ao 
anterior é expressar os resultados em termos de taxas percentuais, cujo significado é mais 
facilmente assimilado do que o valor presente expresso em termos monetários. A despeito da 
necessidade de comparação do resultado com uma TMA, o cálculo da TIR independe do 
conhecimento desta taxa mínima, o que pode ser considerado também como vantagem em 
certas situações. 
 Considerando o mesmo exemplo utilizado no item anterior, verifica-se que o valor 
presente se torna nulo à taxa de 25% ao ano. Esta é a Taxa Interna de Retorno do 
investimento. 
 Normalmente utiliza-se do processo de iteração para a determinação da TIR, o que 
torna seu cálculo manual mais trabalhoso, uma desvantagem eliminada pelo uso de 
10% 20% 
30% 
390 
800 
103 
-86,4 
25%
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 4 
 
calculadoras financeiras, programas de computadores ou planilhas eletrônicas. Mas problemas 
matemáticos, como a possibilidade de encontrar mais de uma taxa que anula o VPL, no caso 
de fluxos de caixa com mais que uma inversão de sinal e, ainda, a impossibilidade de calcular 
TIR’s em diagramas formados apenas por fluxos negativos, podem inviabilizar seu uso. 
 No exemplo considerado, a TIR de 25% ao ano tem a seguinte interpretação: o capital 
empregado é integralmente recuperado, rendendo uma taxa de juros compostos de 25% ao 
ano, ao longo do período considerado. 
 Só devem ser escolhidos projetos que apresentem taxa interna de retorno superior à 
taxa mínima de atratividade da empresa. 
 Ambos os critérios devem apresentar o mesmo resultado final, apesar de que algumas 
vezes tal equivalência não é verificada de imediato, senão vejamos: 
 Considere dois projetos mutuamente exclusivos e admita que a empresa possua 
recursos suficientes para aplicarem qualquer dos dois projetos: 
ANOS Projeto A Projeto B 
0 -600 -400 
1 -300 -200 
2 400 300 
3 500 400 
4 800 500 
 
 Observe que o projeto A tem um investimento maior, mas também gera maiores 
retornos que o projeto B. Calculando a taxa interna de retorno dos dois projetos, obtém-se: 
Projeto A: TIRA = 25% ao ano 
Projeto B: TIRB = 28,3% ao ano 
Conclui-se que o projeto B é mais rentável que o projeto A. Mas isto não quer dizer 
que o projeto B é o melhor para a empresa. 
Se a TMA da empresa for de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido de cada um dos 
projetos é: 
Projeto A: VPLA = $ 390,00 
Projeto B: VPLB = $ 308,15 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 5 
 
Constata-se que, à taxa de descontos de 10% ao ano, o projeto A tem um VPL maior 
que o do projeto B sendo, portanto, o escolhido. Mas os critérios não são equivalentes? Pos 
quê então o resultado diferente. O gráfico a seguir permite visualizar o que está ocorrendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – VPL versus Taxa 
 
 De fato a rentabilidade do Projeto B é maior que a rentabilidade do projeto A. 
Entretanto, o critério da TIR considera apenas o capital investido no projeto que, no caso do 
projeto B é menor. Este critério não considera o valor da diferença entre os gastos com 
investimentos do projeto A em relação ao B. 
 Ora, se os dois projetos estão sendo analisados é porque existem recursos, ou a 
possibilidade de financia-los, para investir em qualquer um dos projetos. Assim, a diferença 
entre os investimentos deve também ser considerada. Se a TMA é de 10% ao ano, esta 
diferença poderia ser aplicada, ou deixada de ser financiada a esta taxa, e isto não é 
considerado pelo critério da TIR. Mas o critério do VPL embute esta consideração, pois 
qualquer valor aplicado à TMA gera um VPL igual a zero. 
 No nosso caso a TMA, de 10%, é menor que a taxa de 18,3%, correspondente ao 
ponto em que as curvas se cruzam, fazendo com que ocorra a inversão de preferência pelos 
dois métodos. Se a TMA fosse maior, por exemplo, superior à taxa de 18,3%, o projeto 
escolhido seria o B, pois a diferença estaria sendo aplicada a taxas compensadoras. E o 
critério do VPL mostraria claramente esta afirmativa. 
10% 20% 
30% 
390 
800 
103 
-86,4 
25%
600 
18,3% 
28,3%308,15 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 6 
 
 Como devemos então proceder para analisar corretamente através do critério TIR? 
Deve-se analisar se vale a pena investir a diferença dos valores na alternativa de maior 
investimento. Este processo é chamado de análise incremental, que veremos a seguir: 
 
ANÁLISE INCREMENTAL – Após verificar se as alternativas são atrativas, desenha-se o 
diagrama da diferença dos fluxos entre a alternativa de maior investimento e a de menor 
investimento (A-B): 
 
 
 
 
 
 A taxa que iguala o VPL do fluxo incremental a zero é 18,3%, ou seja, a taxa interna 
de retorno da diferença é de 18,3%. Assim, como esta TIR incremental é maior que a TMA de 
10%, pode-se concluir que vale a pena investir na diferença, sendo escolhida a alternativa A. 
Se a TIR incremental fosse menor que a TMA, seria mais interessante investir na alternativa 
de menor investimento, que no nosso caso seria a B. 
 Observe que a TIR incremental é exatamente a taxa onde ocorre o cruzamento das 
curvas na figura 2. De fato, a TIR incremental é a taxa que iguala o VPL do fluxo das 
diferenças a zero, que matematicamente é a mesma taxa que iguala o VPL do projeto A com o 
VPL do projeto B. Assim, para a taxa de 18,3%, os VPL’s são iguais. 
 
 
 
 
 
 
200
100
100 100
300
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 7 
 
1.3 PROBLEMAS 
PROBLEMA 1 
 Se o diretor da Companhia Catarinense de Tratores viesse lhe solicitar para aconselha-
lo sobre qual dos tornos deveria comprar, a fim de tomar a decisão que maximize a 
rentabilidade de sua empresa. Qual seria sua resposta? 
 São conhecidos os valores da tabela a seguir e o gráfico do VPL em função da taxa. 
 TORNO A TORNO B 
Valor da compra $ 10.000,00 $ 10.000,00 
Receita do 1º ano $ 2.000,00 $ 10.000,00 
Receita do 2º ano $ 4.000,00 $ 3.125,00 
Valor residual $ 8.000,00 0 
Vida útil 2 anos 2 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4000 
1548 
20%
3125 
11 % 
25%
i % 
VPL 
A 
B 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 8 
 
PROBLEMA 2 
A administração de uma empresa está considerando a possibilidade de automatizar seu 
serviço de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo 
anual de $ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função de 
automatização, gerando a economia do acondicionamento manual, encontram-se disponíveis 
no mercado, apresentando as seguintes características: 
Discriminação Equipamento A Equipamento B 
Custo Inicial $ 100.000,00 $ 70.000,00 
Custo operacional anual $ 9.500,00 $ 15.000,00 
Valor residual Zero Zero 
Vida Econômica 10 anos 10 anos 
 
Sendo a TMA da empresa igual a 12% ao ano, qual o equipamento deve ser escolhido? 
Utilizar o critério da TIR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 3 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 9 
 
A Gerência de Marketing de uma firma industrial está analisando duas possibilidades para a 
localização de uma central de distribuição para os seus produtos. Cada alternativa exige 
diferentes investimentos, devido ao preço do terreno, custo de construção do depósito 
necessário. Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de 
distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as 
seguintes estimativas: 
LOCALIZAÇÃ
O 
INVESTIMENTO 
NECESSÁRIO 
REDUÇÃO ANUAL 
CUSTOS DISTRIB. 
VALOR 
RESIDUAL 
TIR 
Gov. Valadares $ 680.000,00 $ 112.000,00 $560.000,00 15,63% 
Ipatinga $ 880.000,00 $ 160.000,00 $700.000,00 17,28% 
 
 Determinar a localização mais interessante economicamente para a central de 
distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 4 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 10 
 
Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma alteração no 
método de armazenagem dos produtos. Duas alternativas encontram-se em consideração, 
sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na compra de sistemas de 
transporte e manuseio automatizados. 
A primeira alternativa exige um investimento inicial de $ 60.000,00 e são esperadas reduções 
de custos da ordem de $ 10.000,00 / ano. 
A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um número maior de operações manuais 
e deverá custar originalmente $ 70.000,00, apresentando reduções de custos de $ 12.000,00 
por ano. 
A vida estimada para ambas as alternativas é de 8 anos ao final dos quais não haverá valor 
residual. O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9% ao ano. 
Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado desse estudo, baseado no método da 
taxa interna de retorno? 
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 11 
 
PROBLEMA 5 (Problema de curso de engenharia econômica I – para revisão dos 
métodos de tomada de decisão) 
Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais 
excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de 
equipamentos velhos e obsoletos. 
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. 
A primeiraconsistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 
10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, 
após os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda 
proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir 
os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta 
alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor 
residual de $ 10.705 após dez anos. 
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela 
gerência? 
 
 
CAP. 3 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura 1, como se sabe na data zero, 
normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os 
resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria 
prima, energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em 
cada uma das datas previstas dentro da vida do projeto. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto 
 
Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura 1 do ponto de vista 
econômico são os métodos: do valor presente (VPL), o método do valor anual (VA) e a 
taxa interna de retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar estes 
fluxos a consideração sobre os diversos dados é determinística. Será que isto ocorre na 
realidade? Como se sabe isto não é verdade. Existem variações sobre os diversos 
elementos que compõe o fluxo de caixa que precisam ser consideradas para o total 
sucesso da escolha da melhor alternativa. 
É comum se distinguir duas situações quanto a variação dos dados no fluxo de caixa. 
Estas situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de 
investimento 
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n 
vida do projeto 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 2 
risco é possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do 
fluxo de caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se 
calcular as chances do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir 
entre as alternativas que possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se 
trabalhar com o risco são: 
1. Distribuição de probabilidades; 
2. Simulação do fluxo de caixa; 
3. Árvore de decisão. 
Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e 
vai se trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terão de decidir sobre 
qual o melhor projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais 
freqüente e também a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como 
responder as seguintes perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o 
valor do KW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor 
do petróleo daqui a 5 anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre 
existem nos projetos. Então, a consideração de incertezas traz com um de seus objetivos 
a discussão de como reagir frente a decisões necessárias, em ambientes onde não é 
possível se ter valores exatos ou uma distribuição probabilística dos dados. As técnicas 
utilizadas para consideração da incerteza são: 
1. Análise de sensibilidade; 
2. Método de Laplace; 
3. Método MAX MIN; 
4. Método MAX MAX; 
5. Método de Hurwicz; 
6. Método de Savage; 
7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets. 
 
Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, teoria que se consagrou no 
ano de 1994, quando o Prêmio Nobel de Economia foi conferido ao americano John F. 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 3 
Nash, ao húngaro John Harsanyi e ao alemão Reinhard Selten pelo desenvolvimento 
mais rigoroso da teoria dos jogos e sua aplicação em economia. A concepção da teoria 
dos jogos em si se deve a John Von Neumann e Oskar Morgenstern que, inspirados em 
jogos como os de xadrez e de pôquer, publicaram em 1944 um volume de 640 páginas 
de matemática chamado “A Teoria dos jogos e o comportamento econômico”. Von 
Neumann foi um dos maiores matemáticos deste século e não recebeu o Nobel com 
Morgenstern pelo fato de ambos já se encontrarem falecidos em 1994. 
 
 
2. A NATUREZA DAS INCERTEZAS 
Como mostrado esquematicamente na Figura 2: “O futuro pode revelar surpresas”. 
Quanto maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas 
feitas na época da análise econômica do projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas 
 
Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão 
sintetizados na Figura 3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento de 
impostos, podem afetar a todas empresas e são os chamados sistemáticos. Outros 
fatores, como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica, 
atinge empresas em casos isolados e são os não sistemáticos. 
investimento 
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n 
Aumento das incertezas 
 Fatores imprevistos 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 4 
 
Econômicos Financeiros Técnicos Outros 
• Oferta 
subdimensionada 
• Insuficiência de 
capital 
• Inadequabilidade 
do processo 
utilizado 
• Fatores políticos 
• Demanda 
superdimensionad
a 
• Falta de 
capacidade de 
pagamento 
• Inadequabilidade 
das matérias 
primas 
• Fatores 
institucionais 
• Dimensionamento 
incorreto 
 • Inadequabilidade 
da tecnologia 
empregada 
• Problema de 
gerenciamento de 
projeto 
• Alteração dos 
produtos e 
subprodutos 
 • Greve 
• Alteração dos 
preços da matéria 
prima 
 • Inflação 
• Investimentos 
imprevistos 
 
 
Figura 3 - Fatores que levam a incerteza 
 
3. MÉTODOS DE DECISÃO EM 
CONDIÇÕES DE INCERTEZA 
Alguns dos conceitos que serão mostrados são problemáticos, mas o conhecimento 
destas técnicas pode ser útil em alguns casos. 
 
3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. Na verdade é mais um 
enfoque que uma técnica. Consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do 
investimento, ao se variar os dados de entrada. Deve-se variar cada parâmetro de uma 
vez estabelecendo o valor mais provável, o limite inferior e superior da variação. Para 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 5 
cada valor calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto pode-se ter uma idéia da 
sensibilidade do parâmetro em questão. 
A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de 
caixa da Figura 4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita 
prevista, L o valor residual e n a vida útil do projeto. 
 
 
 
 
 
Figura 4 
R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo 
composto de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente a utilização 
de 2 matérias primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a 
seguinte: 
C = CF + CV = CF + (µ1 P1 + µ2P2) X 
Nesta expressão µ1 e µ2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e 
mp2 são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes 
técnicos. P1 e P2 são os preços das duas matérias primas. 
O valor presente do fluxo de caixa mostrado na Figura 4 pode ser representado pela 
seguinte expressão:VPL = - I + {PX - [CF + ( µ1 P1 + µ2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i)n 
Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma: 
VPL = - I + [(P - µ1 P1 - µ2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i)n 
Ao se variar X na expressão acima se chega no gráfico da Figura 5, onde se nota 
perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior 
que zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de 
nivelamento. 
I 
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n 
R
C 
R + L 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 6 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Ponto de nivelamento 
 
Pela análise da Figura 5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser 
inviável. O ponto de nivelamento pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de 
caixa (I, P, P1, P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas 
alterações, além de se descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o 
projeto se inviabilizar mais facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem 
estabelecer controles mais rígido. É a maneira mais simples de se analisar a incerteza, e 
consiste no primeiro passo para a análise de risco, pois se toma conhecimento dos 
parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo mais aprofundado. 
 
 
3.1.1 EXEMPLO 1 
Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa 
para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A 
previsão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa. 
Os custos fixos serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por 
garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. Analise a 
TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da 
empresa é de 10% ao mês. 
SOLUÇÃO: 
a) Sob a previsão de vendas original: 
X quantidade vendida 0 X0
VPL(x) 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 7 
Investimento = 100.000 
Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês 
Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês 
Custos fixos = US$ 20.000,00 
Valor residual = US$ 30.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIR = 20,94 % ao mês 
 Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável. 
 
b) Vejamos o que pode acontecer se a previsão de vendas não for atendida. Imaginando 
variações negativas de 10%, 20% e 30%. Os resultados dos três casos são sintetizados a 
seguir: 
 
 
 
- 10% nas vendas - 20% nas vendas - 30% nas vendas 
Receita mensal = 
9.000 x 10 = 90.000 
Receita mensal = 
8.000 x 10 = 80.000 
Receita mensal = 
7.000 x 10 = 70.000 
Fluxo de caixa 
100.000 
40.000
30.000 + 40.000 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 8 
Custos variáveis = 
9.000 x 4 = 36.000 
Custos variáveis = 
8.000 x 4 = 32.000 
Custos variáveis = 
7.000 x 4 = 28.000 
Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram 
Fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
Fluxo de caixa: Fluxo de caixa: 
TIR: 13,56 % TIR: 6,02 % TIR: -1.75% 
 
Com as hipóteses de erros na previsão de vendas, pode-se elaborar a seguinte curva: 
 
TIR X Volume de vendas
-5
0
5
10
15
20
25
10000 9000 8000 7000
Volume de vendas
TI
R TMA
Ponto de 
equilibrio
8500
 
 
Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do 
volume de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas 
sejam vendidas para que o projeto não de prejuízo. 
 
100 
34 
64 
100
28
58
100
22 
52 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 9 
3.1.2 EXEMPLO 2 
Considere o fluxo de caixa da Figura 4 e os seguintes parâmetros: 
I = 100 P1 = 2 i = 10 % a.a. 
L = 15 µ1 = 0.5 n = 5 anos 
X = 20 P2 = 3 CF = 10 
P = 9 µ2 = 2 
 
Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I. 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I L X P P1 µ1 P2 µ2 CF i n 
Valor 
esperado 
 
Situação 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 10 
pessimista 
∆VP 
VPL 
Situação 
 
Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n). 
 
3.1.3 Estudo de caso 
ASSUNTO: Sensibilidade – Exemplo extra 
Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A 
instalação deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em 
investimento fixo. 
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar 
com um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este 
gás um preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a 
um valor de US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43 
(btu/m3). 
A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de 
manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas. 
O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de 
US$200.000.000,00. 
A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano. 
Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões: 
 
1. Verificar a atratividade do projeto. 
2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no 
volume de vendas de gás. 
3. Calcular o preço de venda mínimo do gás. 
4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do 
investimento fixo. 
 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 11 
3.2 MÉTODOS BASEADOS NA TEORIA DOS 
JOGOS 
Antes de descrever os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e 
Savage, são necessárias algumas considerações. Primeiramente uma definição 
importante é sobre o chamado “Estado da natureza”, que é um conjunto de situações 
possíveis de ocorrer e sobre as quais não se tem a princípio controle, mas que afetarão o 
resultado do projeto. Como exemplo, pode-se citar: 
1. Entrada ou não de um novo concorrente no mercado; 
2. Aumento desproporcional de um produto; 
3. Aumento da inflação, etc... 
O problema consistirá em selecionar a alternativa ótima, segundo certos critérios, sem 
se conhecer qual o estado da natureza que se verificará no futuro. Para a decisão 
representam-se as diversas alternativas e estados da natureza em forma de matriz, como 
ilustrado na Figura 6. Rij representa VPL, VA ou TIR da alternativa Ai se a natureza 
assumir o estado Ej no futuro. Uma outra consideração importante é que tanto as 
alternativas como os estados da natureza são mutuamente exclusivos. 
Estado da natureza / eventos 
Alternativas / 
ações 
E1 E2 .... En 
A1 R11 R12 .... R1n 
A2 R21 R22 .... R2n 
: : : : 
Am Rm1 Rm2 .... Rmn 
 
Figura 6 - Matriz de resultados 
 
Antes de se aplicar qualquer dos métodos deve-se verificar se existem alternativas 
dominadas. As alternativas dominadas podem ser eliminadas da análise facilitando os 
cálculos. A relação de dominância é dada para a seguinte situação: 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 12 
Rik ≤ Rjk 
Um exemplo de dominância pode ser entendido pelo exemplo seguinte. Uma empresa 
esta escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua propaganda. Através 
de um estudo chegou-se ao número de consumidores que veriam a propaganda em 
função do tempo, estes dados estão na Figura7. 
 
Tempo 
Veículo de 
divulgação 
Ruim Moderado Bom Excelente 
TV 200 190 170 130 
Jornal 180 160 150 130 
Outdoors 110 140 140 190 
 
Figura 7 - Número de consumidores que vem a propaganda (em milhares) 
 
Pela análise da Figura 7 pode-se ver que alternativa Jornal é dominada pela TV. Em 
nenhuma situação de tempo, a alternativa Jornal será melhor que a TV, por isto pode 
ser retirada da análise. 
 
3.2.1 MÉTODO DE LAPLACE 
Também conhecido como “princípio da razão insuficiente”. O método se baseia na 
consideração que se não se sabe a probabilidade de ocorrência dos eventos, elas devem 
ser consideradas iguais. Para entender os métodos vamos estudá-los através de um 
mesmo exemplo. A1, A2, A3 e A4 são alternativas que dependem do comportamento da 
inflação. A inflação poderá ter três cenários para o futuro, sendo eles: 
• E1 = a inflação aumenta no próximo ano; 
• E2 = a inflação se manterá no mesmo nível; 
• E3 = a inflação cairá. 
 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 13 
Após os cálculos chegou-se a seguinte matriz: 
 
Estado da natureza / eventos 
Alternativas / 
ações 
E1 E2 E3 
A1 106 60 20 
A2 60 100 30 
A3 20 40 80 
A4 90 50 15 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Escolher a melhor alternativa para a matriz de resultados anterior pelo método de 
Laplace. 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
3.2.2 MÉTODO MAX MIN 
Este método é pessimista ao extremo. Baseia-se na escolha do pior caso para cada 
alternativa. Em seguida escolhe-se a alternativa “menos pior”. Representa a pior 
condição possível para o projeto. Consiste assim em um critério de extrema segurança. 
Este é o problema do método, o extremo conservadorismo. 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 14 
 
EXEMPLO 
Decidir para a mesma situação do problema anterior através do método MAX MIN. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.3 MÉTODO MAX MAX 
Ao contrário do método anterior, este é otimista ao extremo. Baseia-se na hipótese que 
o “estado da natureza” será o mais favorável ao projeto. 
 
EXEMPLO 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 15 
Aplicar o método MAX MAX para o caso. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.4 MÉTODO DE HURWICZ 
Os métodos anteriores baseiam-se em situações extremas. O primeiro é muito 
pessimista e o segundo muito otimista. O método de Hurwicz combina linearmente 
estes dois métodos, utilizando um índice de pessimismo relativo α, tal que: 
 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 16 
0 ≤ α ≤ 1 
Assim, para cada alternativa Ai obtém-se o melhor resultado Mi e o pior resultado mi. 
Pode-se associar a cada Ai um valor H(Ai) dado por: 
 
H(Ai) = α mi + (1- α) Mi 
A desvantagem do método e a de que o decisor tem de tomar uma posição quanto ao 
valor de α. 
 
EXEMPLO 
Aplicar o método de Hurwicz ao problema em discussão. 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.5 Método de savage 
Este método também conhecido como “min max - regret”. Busca minimizar um 
possível arrependimento. Baseia-se em determinar os desapontamentos das alternativas 
para cada evento, obtendo a matriz de desapontamento. Este procedimento é 
representado da seguinte forma: 
 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 17 
Mrj = Rij - Rrj 
onde, Rij é o valor máximo para cada evento Ei. A escolha será sobre a alternativa que 
minimiza o “desapontamento”. 
 
EXEMPLO 
Aplicar o método de Savage ao exemplo. 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.6 EXEMPLO 01 
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte 
caso: 
Estado da natureza / eventos 
Alternativas / 
ações 
E1 E2 E3 E4 
A1 18 11 11 10 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 18 
A2 16 16 16 16 
A3 17 20 8 17 
A4 9 10 17 16 
A5 10 13 17 18 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.7 EXEMPLO 02 
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte 
caso: 
 
Alternativas / 
ações 
E1 E2 E3 E4 E5 E6 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 19 
A1 39 29 -2 3 10 9 
A2 28 32 10 28 -8 10 
A3 10 26 42 16 -6 16 
A4 27 9 30 12 16 16 
A5 15 -3 20 38 15 20 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.8 Estudo de Caso 
 
Assunto: Teoria dos Jogos 
 
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 20 
Uma empresa de gás deseja iniciar imediatamente investimentos em novas redes de 
distribuição. Entretanto, existem dúvidas sobre qual a política que será adotada nos 
próximos anos, para o setor. Sabe-se que o atendimento a demanda projetada de gás na 
área de atuação da empresa, pode ser atendida com três opções diferentes de origens do 
gás. 
Mas, estas opções são incertas, pois a opção a ser escolhida dependerá de discussões e 
política futura. Existem quatro alternativas de se iniciar o investimento, e cada uma tem 
um resultado econômico distinto em função da origem do gás. 
Os resultados previstos pelos analistas econômicos da empresa encontram-se na tabela a 
seguir. Utilizando os conceitos da teoria dos jogos, utilizar os diversos métodos para se 
ter um cenário para a discussão e decisão de qual alternativa de investimento deveria ser 
escolhida pela empresa. 
 
 
 
 
Cenários possíveis 
(resultados em VPL)
 
Origem do gás GASBOL Bacia de Santos Argentina 
Opções de 
investimento 
 
Alternativa 1 1200 1000 -200 
Alternativa 2 -100 1500 800 
Alternativa 3 -300 1000 1700 
Alternativa 4 1100 900 -250 
 
 
 
CAP. 4 – MÉTODO DE ANÁLISE 
HIERÁRQUICA 
 
1. TÉCNICA BASEADA NA TEORIA 
SOBRE FUZZY SETS 
Será mostrada aqui a utilização de um método, o AHP “Analytical Hierarchy Process” 
proposto por SAATY. O método se insere dentro dos objetivos de Fuzzy sets que lidar 
com a opinião do ser humano. O método será apresentado através de exemplos. 
Inicialmente é mostrada uma forma de quantificar opinião de especialistas. Fato sempre 
necessário em decisões de investimento, mas muito difícil de se fazer. Esta etapa é 
importante para árvores de decisão onde os pesos são atribuídos de uma forma muito 
subjetiva. O AHP consiste então num caminho para esta arbitrariedade. Em seguida é 
mostrada uma aplicação do método para decisão entre alternativas, empatadas quando 
analisadas por VPL, VA ou TIR, mas onde benefícios intangíveis, como por exemplo, 
status junto ao cliente ou percepção de risco, poderá ser analisado. 
 
1.1 O CÁLCULO DO AUTO VETOR E 
AUTOVALOR 
Para a primeira etapa, o exemplo a ser mostrado é o caso de se estimar a distância entre 
a cidade da Filadélfia e outras seis cidades, através da opinião de um especialista, que 
para o caso é um viajante com grande quantidade de viagens aéreas entre as cidades. 
Vai se trabalhar com a sua opinião de sua percepção de quanto tempo passa em avião, 
quando se desloca de uma cidade para outra. As cidades analisadas estão mostradas na 
Figura 1. 
 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 2 
O AHP através de um exemplo (estimando
distância entre 6 cidades e a Filadélfia)
• Cairo;
• Tóquio;
• Chicago;
• São Francisco;
• Londres;
• Montreal.
 
Figura 1 - Cidades a serem analisadas pelo AHP 
Saaty propõe o uso dos números racionais tiradosde um conjunto finito, para montar 
uma matriz que será a base dos cálculos. A tabela sugerida por Saaty é mostrada na 
Figura 2. 
Intensidade de 
importância 
Definição Explicação 
1 Igual importância Duas atividades contribuem igualmente 
para o objetivo 
3 Fraca importância de uma sobre a 
outra 
Experiência e julgamento favorecem 
ligeiramente uma atividade e relação a 
outra 
5 Essencial ou forte importância Experiência e julgamento favorecem 
fortemente uma atividade em relação a 
outra 
7 Importância demonstrada Uma atividade é fortemente favorecida 
e sua dominância é demonstrada na 
prática 
9 Absoluta importância A evidência favorecendo uma atividade 
sobre a outra é a mais alta ordem de 
afirmação 
2, 4, 6, 8 Valores intermediários entre dois 
julgamentos sucessivos 
Quando se deseja um maior 
compromisso 
Recíprocos dos valores 
acima 
Se uma atividade i tem um dos 
valores não zero acima quando 
comparado com a atividade j , então 
j tem um valor recíproco quando 
comparado com i. 
 
Racionais Razões surgidas da escala Se a consistência foi forçada para 
obtenção de n valores numéricos para 
cobrir a matriz 
 
Figura 2 - Tabela de Saaty 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 3 
Com base nesta Tabela o especialista monta uma matriz, comparando as cidades 2 a 2, e 
respondendo a seguinte pergunta: “qual a intensidade que a cidade i é mais distante que 
a cidade j da Filadélfia?”. Com isto, chega-se a seguinte matriz: 
 Cairo Tokyo Chicago São 
Francisco 
Londres Montreal 
Cairo 
Tokyo 
Chicago 
São 
Francisco 
 
Londres 
Montreal 
 
Utilizando a seguinte fórmula Vi aij
n
j
n= =∏( )
/1
1
, estima-se o autovetor da matriz, que é 
calculado como mostrado a seguir: 
V1 = 
V2 = 
V3 = 
V4 = 
V5 = 
V6 = 
Em seguida este autovetor deve ser normalizado para que a cidade mais distante receba 
valor 1 (máximo) em relação as outras cidades. Este calculo é mostrado a seguir: 
Cidade Vi Vetor normalizado 
Cairo 
Tokyo 
Chicago 
São Francisco 
Londres 
Montreal 
∑ 
 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 4 
O autovetor também deve ser normalizado para que o somatório de seus elementos seja 
igual a um. Isto é feito da seguinte maneira: 
T = / / / / / / 
 
O resultado é: 
T = 
 
Para testar a consistência da resposta, o que indica que os dados estão logicamente 
relacionados, é necessário se estimar o autovalor. A estimativa é feita pela seguinte 
relação: λmax = T.w. O elemento w é calculado pelo somatório da colunas da matriz 
montada pelo especialista, que será: 
 w 
Coluna 1 
Coluna 2 
Coluna 3 
Coluna 4 
Coluna 5 
Coluna 6 
 
Agora se pode estimar λmax: 
 
[ ]λ max =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
=
 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 5 
Pode-se agora estimar um índice que indicará a consistência da resposta. 
Primeiramente, calcula-se CI baseado na seguinte expressão, onde n é o número de 
cidades: 
IC
( max n)
(n 1)
= −− =
λ
 
 
CR é calculado com base na relação RC
IC
CA
= , onde CA é um índice randômico 
retirado da seguinte tabela: 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
CA 
aleatória 
 
0 
 
0 
 
0.58 
 
0.9 
 
1.12 
 
1.24 
 
1.32 
 
1.41 
 
1.45 
 
Se o índice RC for menor que 0.10, a resposta é baseada numa entrada de dados 
coerentes. Para o caso que esta sendo analisado: 
 
RC = 
 
Para se ter uma idéia do julgamento feito, analisemos a seguinte tabela: 
 
Cidade Distância da 
Filadélfia (milhas) 
Distância 
normalizada 
autovetor 
Cairo 
Tokyo 
Chicago 
São Francisco 
Londres 
Montreal 
 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 6 
Como se pode notar o método apresentado propicia uma maneira de quantificar opinião 
de especialistas. 
 
1.2 A CONSIDERAÇÃO DE INTANGÍVEIS EM 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
Este método pode ser usado agora para decisão de forma a que benefícios intangíveis 
possam ser considerados na análise da melhor alternativa. Vamos imaginar que três 
projetos, X, Y e Z estejam próximos do ponto de vista de rentabilidade. Foram 
relacionadas algumas características que podem ajudar na decisão, mas que são difíceis 
de quantificar, são elas: 
 
Idoneidade do fornecedor principal A 
Benefício político interno B 
Status junto ao cliente C 
Percepção do risco D 
Inovação tecnológica E 
Segurança 
Ergonomia 
Risco ambiental 
Problemas de mão de obra F 
Resistência à mudança 
 
Foram escolhidas as características mais significativas para as alternativas, sendo que 
elas foram identificadas de A a F na tabela acima. Como primeiro passo é realizado 
uma comparação entre as características, com relação à importância relativa a cada uma 
para a escolha da melhor alternativa. Esta comparação gera uma matriz cujas entradas 
são baseadas na tabela de Saaty, mostrada anteriormente. A matriz é: 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 7 
 
 
 A B C D E F 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
 
Desta matriz é calculado o seu autovetor, autovalor e o índice RC, conforme mostrado 
anteriormente, sendo eles: 
Autovetor 
Autovalor 
CR 
Deve-se agora comparar as três alternativas de investimento com respeito às seis 
características, isto é feito em seguida: 
 
 A B 
 X Y Z X Y Z 
X X 
Y Y 
Z Z 
autovetor autovetor 
λmax λmax 
 C D 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 8 
 X Y Z X Y Z 
X X 
Y Y 
Z Z 
autovetor autovetor 
λmax λmax 
 E F 
 X Y Z X Y Z 
X X 
Y Y 
Z Z 
autovetor autovetor 
λmax λmax 
 
Para a obtenção do rank das alternativas, multiplica-se a matriz de autovetores relativo 
as alternativas e o que representa a importância das características na análise. Isto é 
feito a seguir: 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B C D E F 
X 
Y 
Z 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 9 
X = 
Y = 
Z = 
 
 
Com esta resposta pode-se optar pela melhor alternativa segundo a opinião das pessoas 
entendidas e envolvidas com a decisão. Com isto se tem uma ferramenta sistematizada e 
metodológica para tratar com benefícios intangíveis. A figura abaixo mostra que o 
relacionamento entre os diversos elementos desta análise, ficando clara a dificuldade em 
optar por um projeto sem um mecanismo metodológico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C D E F 
X Y Z
Benefícios intangíveis do projeto 
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 10 
1.3 ESTUDO DE CASO 
Assunto: AHP 
Um grupo de investidores está avaliando alternativas para iniciar um novo projeto em geração de energia 
elétrica. Na reunião que aconteceu foram pensadas as seguintes alternativas: 
1. Termoelétrica a gás; 
2. Hidrelétrica; 
3. Usina nuclear. 
 
Houve um consenso que os critérios que deveriam fazer parte da escolha fossem os seguintes: 
1. Taxa interna de retorno; 
2. Prazo de conclusão da obra; 
3. Riscos ambientais; 
4. Confiabilidade no fornecimento de energia. 
 
Para o critério 1, se a diferença for de até 2% ao ano, entre duas alternativas quaisquer, ambas são 
consideradas iguais e, acima de 6% ao ano, a melhor TIR tem importância muito grande. Se a diferençaentre as taxas for intermediária, a preferência é proporcional. 
Para o critério 2, uma diferença entre alternativas de um ano, considera-se que as alternativas estejam 
empatadas. Uma diferença de 4 anos à importância absoluta é para a de menor prazo de construção. 
Para o critério 3, um projeto considerado de baixo risco ambiental é o de importância absoluta. O de alto 
risco é considerado de pouco preferência. Outras designações a preferência é proporcional. 
Para o critério 4, uma alternativa com confiabilidade acima de 95% é de importância grande. Entre 95% e 
85% considera-se alternativas equivalentes. Abaixo de 85% a preferência é mínima. 
Entre os critérios a serem considerados, os investidores consideram que a TIR e a confiança no 
fornecimento de energia estão no mesmo nível de importância. Os critérios problemas ambientais e 
prazo de conclusão da obra são de mesmo nível de importância, entretanto TIR e confiança no 
fornecimento de energia têm importância muito grande sobre estes dois. 
A tabela a seguir com informações sobre as alternativas foi montada para os investidores. 
 
Critérios TIR Prazo de conclusão 
da obra 
Riscos ambientais Confiabilidade 
Alternativas 
Termoelétrica 20% 2 anos Baixo 94% 
Hidrelétrica 29% 7 anos Médio 99% 
Nuclear 22% 3 anos Alto 85% 
 
Ajudar aos investidores estabelecer a ordem de prioridades entre as alternativas. 
 
CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO 
LINEAR 
 
1. GENERALIDADES 
Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das 
mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização. 
Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos 
limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar 
custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, 
denominada de "Função Objetivo". 
É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que 
proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de 
equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou 
inequações, denomina-se "Restrições do Modelo". 
Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas 
atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com 
as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo, 
isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de 
solução ótima. 
Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez 
definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares. 
 
2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas 
práticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização) 
de uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos 
sob a forma de inequações ou equações lineares. 
 
 
 
Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por 
programação linear: 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 2 
 
a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de 
consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV. 
Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam, 
respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração. 
Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante 
dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 
horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas 
por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana 
a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas. 
 
b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade 
de compra de dois seguintes tipos de ações: 
• Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%. 
• Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%. 
Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só 
possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar 
de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim 
de um ano? 
 
c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos 
disponíveis e apresentados na tabela seguir. 
 
Projeto Investimento no 
ano 1 
Investimento no 
ano 2 
Vida útil Economia anual 
nos próximos 3 
anos 
1 12 3 5 anos 9.29 
2 54 7 5 anos 26.85 
3 6 6 5 anos 9.88 
4 6 2 5 anos 7.92 
5 30 35 5 anos 35.33 
6 6 6 5 anos 8.14 
7 48 4 5 anos 22.78 
8 36 3 5 anos 16.91 
9 18 2 5 anos 11.04 
 
O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se 
que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos. 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 3 
 
 
3. OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES 
Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema 
será discutido como obter a função objetivo e as restrições. 
 
Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as 
restrições: 
Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido 
por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de 
$14 relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo 
de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois 
tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para 
acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de 
carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas 
tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é 
ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar 
seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por 
Giapetto para maximizar seu lucro semanal. 
Solução: 
Sabendo que a matéria prima
necessária é obtida sem problemas,
Giapetto tem como objetivo
maximizar o lucro semanal (receitas -
custos).
Vamos então formular
matematicamente a situação de
Giapetto com o objetivo de maximizar
o lucro semanal.
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 4 
 
Primeiro ponto importante:
Variáveis de decisão
Em qualquer modelo de PL, as variáveis
de decisão devem descrever
completamente as decisões a serem
feitas.
Caso de Giapetto: quantos soldados e trens
devem ser feitos na semana.
 
 
Variáveis de decisão
• X1 = número de soldados produzidos
cada semana;
• X2 = número de trens produzidos a cada
semana.
 
 
Segundo ponto importante:
Função objetivo
Em qualquer modelo de PL, o decisor
quer maximizar ou minimizar alguma
função das variáveis de decisão.
Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,
seguro) não depende dos valores de X1
e X2, assim ele pode se concentrar em
maximizar a venda da semana.
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 5 
 
Receitas e custos: podem ser expressos em
termos das variáveis X1 e X2. Seria toliceGiapetto produzir mais soldados que ele possa
vender, assim assumimos que todos
brinquedos produzidos podem ser vendidos.
Assim:
Receita da semana = receita dos soldados +
receita dos trens
Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana
Receita por semana = 27*X1 + 21*X2
 
 
Também podemos escrever:
• Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2
• Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2
Então Giapetto quer maximizar:
(27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2
Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para 
maximizar 3X1 + 2X2
 
Objetivo:
maximizar Z = 3X1 + 2X2
ou
max Z = 3X1 + 2X2
Variável
usualmente
utilizada
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 6 
 
Terceiro ponto importante:
restrições
Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo de
Giapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1
e X2 são limitados pelas seguintes restrições:
• 1 - cada semana, não mais que 100 horas de
acabamento;
• 2 - cada semana, não mais de 80 horas de
carpintaria;
• 3 - limitação de demanda, não mais de 40
soldados por semana.
 
 
M.P. ilimitada, portanto não há
restrições. Como, próximo
passo, é necessário expressar as
restrições 1, 2 e 3, em termo das
variáveis de decisão: X1 eX2.
 
 
Restrição 1:
não mais de 100 h de acabamento
Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + 
horas de acab./trem * trens feitos/semana
Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2
Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 7 
 
Restrição 2:
não mais de 80 h de carpintaria
Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + 
horas de carp./trem * trens feitos/semana
Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2
Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80
 
 
Restrição 3:
venda máxima de soldados: 40
Restrição 3 - X1 <= 40
 
 
Restrições:Restrições:
• 1 - 2X1 + X2 <= 100
• 2 - X1 + X2 <= 80
• 3 - X1 <= 40
Restrições para o
problema de PL
de Giapetto
Usualmente
representam a
quantidade de
recursos
disponíveis.
Coeficientes 
tecnológicos:
refletem a quantia
usada para
diferentes produtos.
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 8 
 
Quarto ponto importante:
Restrições adicionais
Para completar a formulação do problema:
• X1 >= 0
• X2 >= 0
 
 
Resumindo
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 <= 100 (2)
• X1 + X2 <= 80 (3)
• X1<= 40 (4)
• X1 >= 0 (5)
• X2 >= 0 (6)
Significa que
X1 e X2 
precisam satisfazer
todas as restrições P.L. - todos os
termos X são de
expoente 1 e as
restrições são
inequações
lineares
O problema de Giapetto
é tipico de muitos outros,
onde precisa-se
maximizar lucros
sujeitos a recursos
limitados
 
 
 
4. SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO 
GRÁFICO 
Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo, 
apresentar duas variáveis. 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 9 
 
O fato de que a função objetivo
para um PL precisar ser uma
função linear de variáveis tem
2 implicações:
• 1 - A contribuição para a função objetivo
de cada variável de decisão é proporcinal
ao valor da variável de decisão;
• 2 - A contribuição para a função objetivo
para cada variável é independente dos
valores de outras variáveis de decisão.
 
 
Definição: região de solução
- para um problema de PL é
o conjunto de todos os
pontos que satisfazem todas
as restrições do problema.
 
 
Restrições:
• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*40+20<=100
• X1 + X2 <= 80 (3), ok 40+20<=80
• X1<= 40 (4), ok 40<=40
• X1 >= 0 (5), ok 40>=0
• X2 >= 0 (6), ok 20>=0
Giapetto: X1 = 40 X2 = 20 região de solução
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 10 
 
Giapetto: X1 = 15 X2 = 70 não é região de solução
Restrições:
• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*15+70<=100
• X1 + X2 <= 80 (3), não ok 15+70> 80
• X1<= 40 (4), ok 15<=40
• X1 >= 0 (5), ok 15>=0
• X2 >= 0 (6), ok 70>=0
 
 
região de solução
Pontos que atendem e onde será procurada
a solução ótima
Solução ótima
Ponto da região de solução, que leva ao maior
valor da função objetivo.
 
 
• A maioria dos problemas de PL, tem
somente uma solução ótima;
• Alguns não tem solução ótima;
• Alguns tem infinitas soluções.
Para o problema de Giapetto, solução ótima:
X1=20 e X2 = 60
Z = 3*20 +2*60 = 180
lucro = 180 - 100 = 80/semana
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 11 
 
Solução gráfica para o
problema de 2 variáveis
Um PL com 2 variáveis
pode ser resolvido
graficamente. Nós sempre
nomeamos as variáveis X1
e X2 e os eixos
coordenados por X1 e X2.
 
 
 
Se nós queremos delimitar em
um gráfico o conjunto de
pontos que satisfaça a:
2X1+3X2 <= 6 (1)
3X2 <= 6 - 2X1
X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)
 
 
 
O conjunto de pontos que satisfaz (1) e 
(2) cai sobre a reta ou abaixo dela
X2
X11
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
X2 = 2 - 2/3X1
Região onde:
2X1+3X2<=6
Região onde:
2X1+3X2>=6
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 12 
 
A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte: 
Encontrando a região de solução
do problema de Giapetto:
• 2X1 + X2 <= 100 (2)
• X1 + X2 <= 80 (3)
• X1<= 40 (4)
• X1 >= 0 (5)
• X2 >= 0 (6)
Para um 
ponto (X1, X2)
pertencer a região de
solução é preciso
satisfazer todas
estas inequações.
(5) e (6) indicam o primeiro quadrante
 
 
X2
X120
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
(2)
(3)
(4)
A
B
C
D
E
F
G
H
Poligono DGFEH - região de solução
 
 
Encontrando a solução ótima
Após a identificação da região de
solução, nós devemos procurar a
solução ótima, que será o ponto da
região que levar ao maior valor de
Z = 3X1+2X2
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 13 
 
Para encontrar a solução ótima, nós
precisamos desenhar uma linha sobra
a qual todos os pontos levem ao mesmo
valor de Z.
Escolhe-se qualquer ponto da região de
solução:
(20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60
Assim (20, 0) cai sobre a reta:
Z = 3X1 + 2X2 = 60
X2 = 30 - 3/2X1
 
 
3X1 + 2X2 = 60
tem coeficiente angular = -3/2
Assim todas as retas 3X1+2X2 =
constante terão o mesmo coeficiente
angular.
Importante: uma vez desenhada a reta, 
podemos encontrar
todas as outras pelo movimento paralelo da reta
que desenhamos.
 
 
X2
X120
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
(4)(2)
(3)
A
B
C
D
E
F
G
H
X2 = 30 - 3/2 X1
Indica o ponto ótimo - G (20, 60)
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 14 
 
Ponto ótimo:
Z = 3*20 + 2*60 = 180
 
 
 
5. PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER 
FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR 
PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação 
Linear. O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das 
variáveis de decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função 
objetivo e as restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação 
da função objetivo e restrições normalmente são devido a uma escolha incorreta das variáveis 
de decisão. 
 
5.1 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital 
Uma empresade petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O 
fluxo de caixa e valor presente (em milhões de reais) é dado na tabela a seguir. 
A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano 
estarão disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração 
de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo 
com a proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do 
investimento 3, então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor 
presente do investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o 
valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5. 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 15 
 
Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no 
instante 0 não poderá ser usado no primeiro ano (instante 1). 
 
 Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5 
Desembolso 
instante 0 
11 53 5 5 29 
Desembolso 
instante 1 
3 6 5 1 34 
Valor 
presente 
13 16 16 14 39 
 
 
5.2 Exemplo 2: planejamento financeiro de curto prazo 
Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios têm seus custos de mão de obra, 
matéria prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir. 
 
 Gravador Rádio 
Preço de venda 100 90 
Mão de obra 50 35 
Custo matéria prima 30 40 
 
Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar 
100 gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a 
seguir, e a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2 
(20000/10000). 
 Ativo circulante Obrigações 
Caixa 10000 
Contas a receber 3000 
Estoques 7000 
Dívidas em bancos 10000 
 
A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro. 
A demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos. 
Todas as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não 
serão recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber 
$2000 e precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu 
aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima 
no valor de $2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 16 
 
janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão 
entre dinheiro disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da 
produção em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês? 
 
5.3 Exemplo 3: Modelos de financiamento multi período 
O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de 
gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos 
durante diferentes períodos. 
 
Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os 
próximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os 
investimentos A, B, C, D e E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1 
em cada opção é dado na tabela a seguir. 
 
 0 1 2 3 
A -$1 $0.50 $1 $0 
B $0 -$1 $0.50 $1 
C -$1 $1.2 $0 $0 
D -$1 $0 $0 $1.9 
E $0 $0 -$1 $1.5 
 
Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50 
no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a 
política da empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente 
aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não 
investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente 
reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser 
imediatamente reinvestido na opção B. A empresa tem como diretriz não emprestar dinheiro 
de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a qualquer tempo é limitado ao 
disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em mãos no ano 3. 
 
 
 
 
6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 17 
 
Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser 
solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento 
para a busca de soluções. 
Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de 
programação linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por 
George B. Dantzig. 
O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a 
solução ótima de um problema de P.L.. 
 
6.1 Teoremas Básicos 
Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é 
um conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas 
viáveis. 
Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma 
solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema1. 
 
6.2 Procedimentos do Método Simplex 
Supondo o seguinte problema para maximização: 
Max z = 5X1 + 2X2 
Sujeito a: 
X1 ≤ 3 
X2 ≤ 4 
X1 + 2X2 ≤ 9 
X1, X2 ≥ 0 
 
A solução gráfica do problema é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
X2 
E(0, 4) 
D(1, 4) 
C(3, 3)
Z
ZB = 15 
ZE = 8 
ZD = 13 
ZB = 15 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja, 
um ponto extremo do polígono A,B,C,D,E. 
O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica 
(solução inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A,B,C,D,E do trapézio. Suponha-se que 
essa solução seja o ponto A. 
O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se 
não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A. 
Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo 
adjacente que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B. 
Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo 
finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes, 
fornecem valores menores que a função objetivo. 
Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente? 
Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma 
variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável 
não básica para entrar na base em sua substituição. 
 
O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos: 
 
1. Achar uma solução compatível básica inicial. 
2. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário siga para o passo III. 
3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base. 
4. Determinar a variável básica que deve sair da base. 
5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II 
 
6.3 O Método Simplex 
Pontos extremos 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 19 
 
A seguir será mostrado passo a passo o método simplex. 
 
Definição Geral de Programação Linear: 
Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn 
sujeito a: 
a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn (≤ou = ou ≥) b1 
a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn (≤ ou = ou ≥) b2 
a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn (≤ ou = ou ≥) b3 
 
am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn (≤ ou = ou ≥) bm 
 
X1, X2, X3, Xn ≥ 0 
 
O Método Simplex é aplicado diretamente quando: 
 
1. todas as restrições são ≤ bi 
2. todos os bi ≥ 0 
3. se quer maximizar Z 
 
Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular. 
O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação: 
 
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3 
Sujeito a 
x1+ 2x2 + x3 ≤ 430 
3x1 + 2x3 ≤ 460 
xl + 4x2 ≤ 420 
x1, x2, x3 ≥ 0 
 
Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um 
sistema de M equações lineares. 
Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada 
“Variável de Folga". 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 20 
 
Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições. 
 
Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m. 
Assim temos: 
x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430 
3x1 + 2x3 + x5 = 460 
xl + 4x2 + x6 = 420 
 
Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela 
Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 = 0 
 x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430 
 3x1 +2x3 + x5 = 460 
 xl + 4x2 + x6 = 420 
 
Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável. 
Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma 
solução básica. Una solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas. 
Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis 
diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as 
"Variáveis Não Básicas". 
No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um 
valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero). 
 
Quarto passo: verificar se a solução é ótima. 
Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha 
de Z) e concluir: 
a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única. 
b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única. 
c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o 
passo. 
Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha, 
assim a solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método. 
 
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 21 
 
Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 
X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 
X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 
X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3 
 
 
Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe ) 
A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições: 
- ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica) 
- ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha) 
- possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base 
aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a 
coluna na tabela. 
 
Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs). 
Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a 
qual o quociente tiver o menor valor não negativo. 
Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela: 
 
 
 
 
 
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. 
Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 
X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 
X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 
X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3 
 
 
 
Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes 
nas linhas da matriz. 
Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira: 
 
10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais). 
20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase 
Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi. 
entra
sai Pivô
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 22 
 
30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra. 
O resultado destas operações na tabela anterior resulta em: 
 
 
 
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. 
Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 
X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 
X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 
X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3 
 
 
Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a 
ótima. 
 
Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até 
que a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima 
iteração, e como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O 
resultado é mostrado a seguir. 
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. 
Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 
X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 
X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 
X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3 
 
O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo 
simplex. 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 23 
 
Resolvendo o problema de
Giapetto pelo simplex
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 <= 100 (2)
• X1 + X2 <= 80 (3)
• X1<= 40 (4)
• X1 >= 0 (5)
• X2 >= 0 (6)
 
 
Primeiro passo importante:
converter o problema de PL na
forma canônica
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)
• X1 + X2 + X4 = 80 (3)
• X1 + X5 = 40 (4)
• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
 
 
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)
• X1 + X2 + X4 = 80 (3)
• X1 + X5 = 40 (4)
• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0
Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 24 
 
O problema pode ser representado assim:
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão
Base 1 -3 -2 0 0 0 0 (1)
X3 0 2 1 1 0 0 100 (2)
X4 0 1 1 0 1 0 80 (3)
X5 0 1 0 0 0 1 40 (4)
Pivo
100/2=50
80/1=80
40/1=40
Indica que 
X1 entra no
lugar de X5
Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40)
Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1
Devem se colocadas na forma canônica 
 
Pivo
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão
Base 1 0 -2 0 0 3 120 (1)+3(4) (1)
X3 0 0 1 1 0 -2 20 (2)-2(4) (2)
X4 0 0 1 0 1 -1 40 (3)-(4) (3)
X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)
Ainda não é a 
solução ótima
20/1=20
40/1=40
40/0
Indica que 
X2 entra no
lugar de X3
Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0)
Próximo quadro - Base: X2, X4 e X1
Devem se colocadas na forma canônica 
 
Ainda não é a 
solução ótima Pivo
-10
20
40
Indica que 
X5 entra no
lugar de X4
Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0)
Próximo quadro - Base: X2, X5 e X1
Devem se colocadas na forma canônica
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão
Base 1 0 0 2 0 -1 160 (1)+2(2) (1)
X2 0 0 1 1 0 -2 20 (2) (2)
X4 0 0 0 -1 1 1 20 (3)-(2) (3)
X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)
 
 
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 25 
 
solução é ótima
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão
Base 1 0 0 1 1 0 180 (1)+(3) (1)
X2 0 0 1 -1 2 0 60 (2)+2(3) (2)
X5 0 0 0 -1 1 1 20 (3) (3)
X1 0 1 0 1 -1 0 20 (4)-(3) (4)
Valor máximo possível
para a função objetivo
Solução ótima: