Cálculo de Funções Marginais

Prévia do material em texto

21
� Exercícios propostos 
 
21) Calcular dy da função 
2
( ) xy f x e−= = no ponto 0 0x = para 0,01x∆ = . 
22) Obtenha a diferencial de ( )
1
x
y f x
x
= =
−
 no ponto 0 2x = para 0,1x∆ = . 
23) Seja a função 2( ) 5y f x x x= = − . Calcular y∆ e dy para 0 1x = − e 
0,01x∆ = . 
 
 
Aplicações: Funções marginais 
 
Em Administração e Economia, dada uma função ( )f x , costuma-se utilizar o 
conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em ( )f x por uma 
pequena variação de x . Chama-se função marginal de ( )f x à função derivada 
de ( )f x . Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função 
receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seção 
veremos algumas funções marginais. 
 
 
� Função custo marginal 
 
Suponha que ( )C x seja o custo total de produção de x unidades de certo 
produto, com 0x ≥ e ( ) 0C x ≥ . A função C é chamada de função custo total e 
temos a seguinte definição. 
 
Definição. Se ( )C x é o custo total de produção de x unidades de um produto, então o 
custo marginal quando 0x x= , é dado por 0'( )C x , caso exista. A função '( )C x é 
chamada função custo marginal. 
 
Assim, pela seção anterior, 
0 0 0'( ) ( 1) ( )C x C C x C x≅ ∆ = + − . 
 
Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, 
decorrente da produção de uma unidade adicional, a partir de 0x unidades. 
 
Na definição acima, 0'( )C x pode ser interpretada como a taxa de variação do 
custo total quando 0x x= unidades são produzidas. 
 
Exemplo 5.19. Suponhamos que ( )C x seja o custo total de fabricação de x pares de 
calçados da marca WW dado pela equação 2( ) 110 4 0,02C x x x= + + . Determinar o 
custo marginal quando 50x = . 
 
 
 22
Resolução: Vamos calcular a derivada da função 2( ) 110 4 0,02C x x x= + + , ou 
seja, '( ) 4 0,04C x x= + e '(50) 4 0,04 50 6C = + ⋅ = . Assim sendo, a taxa de variação 
do custo total, quando 50 pares de calçados da marca WW são fabricados, é 
R$6,00 por par fabricado. 
 
O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é 
 
'(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − 
e 
( ) ( )2 2(51) (50) 110 4 51 0,02 51 110 4 50 0,02 (50)C C− = + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ 
366,02 360 6,02= − = 
 
Assim, 
'(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − = 6,02. 
 
Logo, '(50)C é o custo aproximado da produção do qüinquagésimo primeiro 
par de calçado da marca WW. 
 
Portanto, o custo marginal quando 50x = é ( )' 50 6C = . 
 
Exemplo 5.20. Consideremos a função custo 3 2( ) 0,02 0, 4 400 200C x x x x= − + + , 
determinar o custo marginal para 20x = . 
 
Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função 
 
3 2( ) 0,02 0, 4 400 200C x x x x= − + + , 
ou seja, 
2'( ) 0,06 0,8 400C x x x= − + 
e 
2'(20) 0,06 (20) 0,8 20 400 408C = ⋅ − ⋅ + = . 
 
Como '(20) (21) (20)C C C C≅ ∆ = − , vem 
( )3 2'(20) 0,02 (21) 0,4 (21) 400 21 200C ≅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + 
( )3 20,02 (20) 0,4 (20) 400 20 200− ⋅ − ⋅ + ⋅ + 
8.608,82 8.200 408,82≅ − = . 
 
Logo, '(20)C é o custo aproximado da produção do vigésimo primeiro item. 
 
Portanto, o custo marginal quando 20x = é '(20) 408C = . 
 
 
 
 
 
 23
� Função receita marginal 
 
Suponha que ( )R x seja a receita total obtida pela venda de x unidades de um 
produto e temos a seguinte definição. 
 
Definição. Se ( )R x é a receita obtida quando x unidades de um produto são 
demandadas, então a receita marginal, quando 0x x= , é dado por 0'( )R x , caso exista. 
A função '( )R x é chamada função receita marginal. 0'( )R x pode ser positiva, 
negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variação da receita total quanto 
0x x= unidades são demandadas. 
 
Assim, pela seção anterior, 
0 0 0'( ) ( 1) ( )R x R R x R x≅ ∆ = + − . 
 
Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita 
decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de 0x unidades. 
 
Exemplo 5.21. Suponha de ( )R x seja a receita total recebida na venda de x cadeiras da 
loja BBC, e 2( ) 4 2000R x x x= − + . Calcular a receita marginal para 40x = . 
 
Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função 
2( ) 4 2000R x x x= − + , ou seja, 
'( ) 8 2000R x x= − + e '(40) 8 40 2000 1.680R = − ⋅ + = . 
Como, 
'(40) (41) (40)R R R≅ − 
( ) ( )2 24 41 2000 41 4 (40) 2000 40≅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ 
75.276 73.600 1.676≅ − = . 
 
Logo, '(40)R é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira carteira. 
 
Portanto, a receita marginal quando 40x = é '(40) 1.680R = . 
 
Exemplo 5.22. Consideremos a função receita total da venda de x estantes dada por 
2
( ) 500
2
x
R x x= − . Calcular a receita marginal para 50x = . 
Resolução: Calculando a derivada da função 
2
( ) 500
2
x
R x x= − , temos 
'( ) 500R x x= − e '(50) 500 50 450R = − = . 
Como 
( )2 251 (50)
'(50) (51) (50) 500 51 500.50
2 2
R R R
 
≅ − = ⋅ − − − 
 
 
24.199,50 23.750 449,50≅ − = . 
 
 24
 
Logo, '(50)R é a receita efetiva da venda da qüinquagésima estante. 
Portanto, a receita marginal quando 50x = é '(50) 450R = . 
 
� Função produtividade marginal 
 
Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade x de 
um fator de produção variável. Chama-se função produtividade marginal do 
fator à derivada da função P em relação a x . 
 
Exemplo 5.23. A quantidade P (em toneladas) produzida por mês de certo produto e 
x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção 
( ) 1016P x x= . Determinar a produtividade marginal quando 64x = . 
 
Resolução: Vamos calcular a derivada da função ( ) 1016P x x= em relação a x 
que é a função produtividade marginal do fator trabalho mensal, logo 
1
2( ) 1016 1016P x x x= = 
1 1
1
2 2
1
2
1 1 508
'( ) 1016 508 508
2
P x x x
x
x
− −
⇒ = = = = , 
ou seja, 
508
'( )P x
x
= . 
 
Calculando a produtividade marginal quando 64x = , temos 
 
508 508
'(64) 63,5
864
P = = = . 
 
Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na 
produção mensal será, aproximadamente, 63,5 toneladas. 
 
Portanto, a produtividade marginal da função produção ( ) 1.016P x x= ⋅ 
quando 64x = é 63,5 toneladas. 
 
Exemplo 5.24. Considere a função produção ( ) 500 6P H H H= ⋅ − , onde P é a 
produção mensal (em toneladas), e H , o número de homens-hora empregados. Calcular: 
a) função produtividade marginal, '( )P H ; 
 b) '(100)P . 
Resolução: a) Vamos calcular a derivada da função P em relação a H , logo 
1
2( ) 500 6 500 6P H H H H H= ⋅ − = ⋅ − 
1 1
1
2 2
1
'( ) 500 6 250 6
2
P H H H
− −
⇒ = ⋅ ⋅ − = ⋅ − 
 
 25
 
1
2
1 250
250 6 6
H
H
= ⋅ − = − , 
ou seja, 
250
'( ) 6P H
H
= − . 
Portanto, a função produtividade marginal é 
250
'( ) 6P H
H
= − . 
 
b) Agora, vamos calcular '(100)P , isto é, 
250 250
'(100) 6 6 25 6 19
10100
P = − = − = − = . 
 
Portanto, '(100) 19P = . 
 
 
� Exercícios Propostos 
 
24) O custo total da produção de x unidades de certo produto é dado por 
2
( ) 800
40
x
C x x= − . Calcular: 
a) a função custo marginal; 
b) o custo marginal para 1.000x = ; 
c) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $ 600. 
 
25) Dada a função custo 3 2( ) 0,3 2,5 20 200C x x x x= − + + , obtenha o custo 
marginal para 50x = e 100x = . 
 
26) Dada a função custo 3 2( ) 0,3 2,5 20 200C x x x x= − + + , obtenha o custo médio 
para 10x = . 
Sugestão. O custo médio, CM, é dado por 
( )C x
CM
x
= . 
27) Dada a função receita 2( ) 3 1.500R x x x= − + obtenha a receita marginal 
quando 250x = . 
28) A receita total recebida da vendade x televisores em cores é dada por 
3
( ) 700
40
x
R x x= − . Determinar: 
a) a função receita marginal; 
b) a receita marginal quando 20x = . 
 
29) Dada da função receita total 2( ) 20 1500R x x x= − + , determinar a receita 
média para 10x = .