Sinal senoidal fasor

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UNIUBE – Universidade de Uberaba 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
SINAL SENOIDAL – FASOR 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
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1) O SOMATÓRIO DE SINAIS SENOIDAIS 
Assim como em corrente contínua (CC), em corrente alternada (CA) 
temos circuitos fechados. Nesses casos aplica-se, tanto numa quanto 
noutra, a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) para se determinar a 
tensão da fonte aplicada aos elementos do circuito. 
 
Segundo Kirchhoff: 
 
 “num percurso fechado, o somatório das quedas de 
potencial é igual ao somatório das elevações de 
potencial”. 
Seja o circuito elétrico, em CC, onde se deseja encontrar o valor da 
elevação de tensão E. 
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Considerando que a corrente elétrica I é igual a 4,0 A temos, pela 
Lei de Ohm, que as quedas de potencial v1 e v2, em cada resistor, 
são dadas por: 
V𝟏 = 𝐑𝟐 . 𝐈 = 𝟐 . 𝟒 = 𝟖 𝐕 
V𝟐 = 𝐑𝟑 . 𝐈 = 𝟑 . 𝟒 = 𝟏𝟐 𝐕 
Aplicando a LKT (Lei de Kirchhoff das Tensões), temos: 
E = V1 + V2 = 8 + 12 = 20 V 
I 
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Graficamente, as quedas de potencial podem ser representadas da 
seguinte forma: 
V𝟏 
V𝟐 
𝒕 
𝒕 
𝒕𝟏 𝒕𝟐 
V1 
V2 
I 
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Somando, em cada instante de tempo t1, t2, ....., tn, os valores das 
quedas de potencial, obtêm-se o valor da elevação de potencial E, 
como mostrado. 
V𝟏 
V𝟐 
𝒕 
𝒕 
𝒕𝟏 𝒕𝟐 
E 
𝒕𝟏 𝒕𝟐 
𝟖 𝑽 
12 𝑽 
20 𝑽 
𝒕 
V1 
V2 
I 
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Seja um circuito série, idêntico ao anterior, formado por dois 
elementos, um resistência (R) e uma indutância (L). O circuito é 
ligado numa rede elétrica, cujo sinal é alternado e(t). Pelo circuito 
circulará uma corrente elétrica i(t), também alternada. 
 
A corrente elétrica, ao passar pelos elementos, causará uma queda de 
potencial, também alternada, dadas por vR(t) e vL(t). 
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Considerando que a corrente é descrita como i(t) = IM sen (ωt), as 
quedas de potencial, em cada elemento, são as mostradas abaixo. 
Tal como no circuito CC, a Lei de 
Kirchhoff se aplica, assim: 𝒆 𝒕 = 𝒗𝑹 𝒕 + 𝒗𝑳(𝒕) 
vR(t) = VRm sen (ωt) 
vL(t) = VLm sen (ωt +90°) 
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Para se chegar ao valor de e(t) a ÚNICA forma possível é somando 
os sinais das duas quedas de potencial, instante a instante. 
 
Assim, o sinal que se apresenta é o mostrado abaixo. 
Tal processo mostra-se cansativo, demorado e pouco preciso. 
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A QUESTÃO que se apresenta, portanto, é: 
Existe outra forma de se fazer o somatório (ou a 
diferença) de sinais senoidais que não através da 
forma instante a instante? 
Sim, existe. Essa forma é denominada de soma FASORIAL. 
Como será mostrado, FASOR é um VETOR GIRANTE que 
representa um sinal senoidal. Esse vetor trará, do sinal senoidal o seu 
valor MÁXIMO e o seu DEFASAMENTO. 
 
Portanto, um sinal de tensão senoidal, na forma 
𝒆 𝒕 = 𝑬𝒎á𝒙 . 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 ± 𝜽 𝑽 
pode também ser escrito, na forma FASORIAL, por: 
𝑬 = 𝑬𝒎á𝒙 / ± θ° V (1) 
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Na equação (1): 
𝑬 → representa que e(t) está escrito na forma fasorial. 
 
(Observar que há um ponto sobre a letra, obrigatório). 
/± 𝜽 → representa o defasamento do sinal em relação à 
 referência. (+) adiantado ou (-) atrasado. 
𝑬𝒎á𝒙 → valor máximo (ou eficaz) do sinal. 
OBSERVAÇÃO: A única informação que o fasor NÃO traz sobre 
o sinal senoidal é o da sua sua frequência. 
 
Portanto, toda vez que o sinal estiver escrito na forma fasorial, 
a sua frequência deve ser informada. 
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2) REPRESENTAÇÃO DO SINAL SENOIDAL COMO VETOR GIRANTE 
Da Física sabe-se que: 
“um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme pode ser 
representado através de suas projeções num plano cartesiano”. 
A união dessas projeções forma, ao longo dos 360°, uma senóide. 
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Assim, a tensão senoidal descrita pela equação instantânea abaixo, 
pode ser representada pela forma fasorial gráfica mostrada. 
𝒆 𝒕 = 𝟑𝟎 . 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟔𝟎 𝑽 
60° 
referência 
ω 
rotação 
E pode, também, ser escrita na forma fasorial por: 
𝑬 = 𝟑𝟎 / + 60° V 
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A VANTAGEM da representação fasorial é que a SOMA dos sinais 
senoidais passa a ser feita de forma “vetorial” e NÃO mais na forma 
instantânea. Tal fato torna o SOMATÓRIO mais simples e preciso. 
Parao circuito mostrado acima teremos: 
vR(t) = VRm sen (ωt) 𝑽𝑹 = 𝑽𝑹𝒎á𝒙 / + 0° V 
vL(t) = VLm sen (ωt +90°) 𝑽𝑳 = 𝑽𝑳𝒎á𝒙 / + 90° V 
Portanto, a tensão da fonte E será dada por: 
𝑬 = 𝑽 R+ 𝑽 L 
Considerando que os valores máximos de VR e VL são, 
respectivamente iguais a 1,0 V e 2,0 V tem-se: 
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𝑽𝑹 = 𝟏,0 / + 0° V 𝑽𝑳
 = 𝟐,0 / + 90° V 
Emáx = (𝟏 + 𝟐) = 2,236 V 
θ° = tg -1 ( 
𝟐
𝟏
 ) = 63,43º 
Na forma fasorial: 
𝑬 = 𝟐, 𝟐𝟑𝟔 / + 63,43° V 
Passando para a forma instantânea, temos: 
𝒆 𝒕 = 𝟐, 𝟐𝟑𝟔 . 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟔𝟑, 𝟒𝟑° 𝑽 
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Abaixo são mostrados os gráficos instantâneos de cada sinal. 
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Para os sinais mostrados acima, a soma fasorial tornou-se simples 
pois, a soma resultou num triângulo retângulo, de fácil operação. 
 
Porém, nem sempre isso acontece, como mostrado com os sinais 
abaixo. 
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Essa forma corresponde à forma POLAR dos números complexos. 
 
Assim, visando simplificar as operações com os fasores, eles 
passaram a ser tratados como SE FOSSEM números complexos, 
embora NÃO SEJAM. Tal tratamento facilitou, em muito, as 
operações entre as grandezas elétricas que podem ser representadas 
dessa forma. 
Como estudado acima, o FASOR tensão alternada é escrito na forma: 
4) RELAÇÃO DO FASOR COM O NÚMERO COMPLEXO 
𝐸 = 𝐸𝑚á𝑥 / ± θ° V 
Assim, para o exemplo mostrado no item (3), a soma das correntes 
é feita da seguinte forma: 
𝐼1 = 5 / 30° A 𝐼2 = 6 / 60° A 
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Passando os fasores para a forma retangular, para que a soma seja 
feita: 
I1X = 5. cos 30° = 4,33 
 
I1Y = 5. sen 30° = 2,5 
I2X = 6. cos 60° = 3 
 
I2Y = 6. sen 60° = 5,2 
𝐈 T = 𝐈 1+ 𝐈 𝟐 = (4,33 + j2,5) + (3 + j5,2) = (7,33 + j7,7) = 
 
 = (7,332 + 7,72)1/2 / tg -1 (7,7 ÷ 7,33)° = 
 
 = 10,63 /+ 46,41° A 
Escrevendo a corrente total na forma instantânea temos: 
iT 𝑡 = 10,63 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 46,41° 𝐴 
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Exercício 01: 
Determinar o valor instantâneo, para t = 2 ms, da corrente i2, 
mostrada no circuito abaixo, considerando que a frequência dos sinais 
é igual a 50 Hz.