Modelagem/Programação Linear

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Pesquisa Operacional – Modelagem 2 – Gabarito 
9) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por horas, se fizer somente cintos. Ele 
gasta 2 un de couro para fabricar uma un de sapato e 1 un couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-
se que o total disponível de couro é 6 un e que o lucro unitário por sapato é de R$ 5 e o do cinto é R$ 2, pede-
se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 
9) RESPOSTA: x1 sapato x2 cinto 
FO: Max Z = 5x1 + 2x2 
Sujeito a: 
 10x1 +12 x2 ≤ 60 - fabricação ou 1/6x1 + 1/5x2 ≤ 1 
 2x1 + x2 ≤ 6 - restrição de couro 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
10) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do 
tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do Modelo M2, a empresa poderia 
produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos modelos por 
dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os 
lucros unitários são $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro 
total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. 
10) RESPOSTA: x1 Modelo M1 x2 Modelo M2 
 FO: Max = 4x1 + 3x2 
 Restrições: 2x1 + x2 ≤ 1000 
 x1 + x2 ≤ 800 
 x1 ≤ 400 
 x2 ≤ 700 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
11) Uma metalúrgica fabrica LBR(Liga Baixa Resistência) e LAR (Liga Alta Resistência). Para sua fabricação do LBR e 
LAR utiliza 0,5T e 0,2T de Cobre. 0,25T e 0,5T de Zinco e 0,25T e 0,5T de Chumbo. A metalúrgica mantém em 
estoque 16T, 11T e 15T de Cobre, Zinco e Chumbo. O valor para venda de LBR e $3.000 e 5.000 LAR. Modele o 
sistema de produção para maximizar sua receita bruta. 
11) RESPOSTA: x1 LBR x2 LAR 
 FO: Max = 3000x1 + 5000x2 
9 Sapato Cinto 
Fabrica x 2Um 6 5 1 
Couro 2 1 6 
Lucro 5 2 
 
10 Modelo 
M1 
Modelo 
M2 
 
Produção 2 M1 1000 
Couro 800 
Fivela 400 700 
Custo 4 3 
11 LBR LAR 
Cobre 0,5 0,2 16 
Zinco 0,25 0,5 11 
Chumbo 0,25 0,5 15 
 Restrições: 0,5x1 + 0,2x2 ≤ 16 - Cobre 
 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 11 - Zinco 
 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 15 - Chumbo 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
12) O objetivo do presente programa é determinar, em uma dieta para a redução calórica, as quantidades de 
certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos nutricionais 
sejam satisfeitos a custo mínimo. Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar esteja 
restrita a leite desnatado, carne magra, peixe e salada. Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão 
expressos em termos de vitaminas A, B e C com requisito nutricional mínimo de 11mg, 70mg e 250mg. O Leite 
e composto por 2mg, 50mg e 80mg das Vitaminas A,B e C com custo de $2. A Carne e composto por 2mg, 
20mg, 70mg das vitaminas A, B e C com custo de $4. O Peixe e composto por 10mg, 10mg, 10mg das vitaminas 
A, B e C com custo de $1,5. A salada e composto por 20mg, 30mg, 80mg das vitaminas A, B e C com custo de 
$1. 
12) RESPOSTA: x1 Leite x2 Carne, x3 Peixe, x4 Salada. 
 FO: Max = 2x1 + 4x2 + 1,5x3 + x4 
 Restrições: 
 2x1 + 2x2 + 10x3 + 20x4 ≥ 11 - Vitamina A 
 30x1 + 20x2 + 10x3 + 30 ≥ 70 - Vitamina B 
 80x1 + 70x2 + 10mg + 80 ≥ 250 - Vitamina C 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 
13) Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e 
aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, 
respectivamente. As especificações de cada tipo são: 
 
- um litro de gasolina verde 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; 
- um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; 
- um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. 
Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a 
quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a 
quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro 
de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $0,30, $0,25 e $0,20 
respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de 
contribuição para o lucro. Construa o modelo do problema. 
13) RESPOSTA: 
FO: Max Z = 0,30x1 + 0,25x2 + 0,20x3 
Sujeito a: 
0,22x1 + 0,52x2 + 0,74x3 ≤ 9.600.000 
0,50x1 + 0,34x2 + 0,20x3 ≤ 4.800.000 
0,28x1 + 0,14x2 + 0,06x3 ≤ 2.200.000 
Custo 3000 5000 
12 Leite Carne Peixe Salada 
Vit A 2 2 10 20 ≥ 11 
Vit B 50 20 10 30 ≥ 70 
Vit C 80 70 10 80 ≥ 250 
Custo 2 4 1,5 1 
13 Verde Azul Comum 
Pura 0,22 0,52 0,74 9600000 
Octano 0,5 0,34 0,2 4800000 
Aditivo 0,28 0,14 0,06 2200000 
 
x3 ≥ 16x1 
x2 ≤ 600.000 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 ≥ 0 
14) Uma fábrica de móveis produz apenas armários e camas: Os armários são vendidos por R$ 200,00 cada 
As Camas são vendidos por R$ 100,00 cada Durante o processo de produção ambos precisam passar por três 
tipos de processos: Montagem, armários monta 20 peças/dia, cama 25 peças. Acabamento armários 30 e 40 
camas se for único a ser montado no dia. Pintura, quantidade de armários e cama 20 ao dia para um tipo único 
de produto. Custo de produção. Armário R$ 10,00 de Mão de obra e 6m Madeira. Cama R$ 8,00 de Mão de 
obra e 4m Madeira O preço da madeira é R$ 10,00 com limite de entrega de 120m. Modelo o Problema. 
14) Assim, temos inicialmente: capital de venda=200x+100y. Porem, os custos são: Custos de 
MO=10x+8y 
Custos de Matéria Prima=(6x10)x+(4x10)y. Assim, Lucro=200x+100y-(10x+8y)-(60x+40y) 
Max L= 130x+52y 
Resumo 
Max L= 130x+52y 
Sujeito a 
0,05x+ 0,04y ≤1 � Montagem 1/20 e 1/25 
0,033x + 0,025y ≤1 � Acabamento 1/30 e 1/40 
0,05x +0,05y ≤1 � Pintura 1/20 
6x+4y ≤ 120 � Restrição da Madeira 
x e y ≥ 0 
14 Armario Cama 
Preço 200 100 
Montagem 20 25 
Acabamento 30 40 
Pintura 20 20 
Custo Prod 10 8 
Madeira 6 m 4 m Custo 
10,0 
Total 
Madeira 
120