UNIDADE I - VETORES VIÉS GEOMÉTRICO

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Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
Vetores: Viés Geométrico
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. João Dimas Saraiva dos Santos
Revisão Técnica:
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Profa. Ms. Luciene Oliveira da Costa Santos 
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• Introdução
• Casos Particulares de Vetores
• Operações com vetores
Atenção especial deve ser dada às atividades propostas, bem como às datas de entrega 
das mesmas.
Não deixe de interagir conosco através do nosso Fórum de Discussões e tire o máximo 
proveito dessa troca de ideias.
Em caso de dúvida, entre em contato com o tutor.
Daremos início nesta unidade ao estudo de vetores. Neste 
primeiro momento, trataremos deste estudo sob o viés 
geométrico, momento em que se aproveita o ensejo para a 
abordagem intuitiva, estudo das particularidades, aplicações 
e formas de representação desses segmentos orientados, 
conhecidos como vetores.
A seguir, conceituaremos vetor, estudaremos os casos 
particulares e sua adição e subtração com ênfase às respectivas 
propriedades válidas para tais operações.
Na etapa seguinte, faremos o estudo da multiplicação de um 
número real por um vetor, conceituaremos vetor unitário e 
versor e finalizaremos a unidade com o estudo do ângulo de 
dois vetores. 
Vetores: Viés Geométrico
• Ângulo de dois vetores 
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Unidade: Vetores - viés geométrico
Contextualização
Gostaria que você tomasse um tempo para analisar a situação-problema a seguir:
Um médico recomendou a um de seus pacientes, idoso, mas com boa saúde, que caminhasse 
4,5 km por dia. Nosso personagem, viúvo, mora com um dos filhos, o qual, pela manhã, ao 
sair para o trabalho, dá uma carona para o pai, deixando-o na casa de outro familiar. Os 
deslocamentos retilíneos realizados de carro se dão da seguinte forma: desloca-se da casa até 
uma praça, distante 5 km no sentido norte; depois, desloca-se 3 km até chegar num grande 
Shopping Center, que está a leste da praça; por fim, desloca-se 9 km para o sul, chegando 
então à casa do familiar. No final da tarde, o idoso deve retornar para casa a pé. Calma! O 
senhor em questão não deverá retornar pelo mesmo caminho feito pelo carro. Isso seria coisa 
para esportista. Afinal, ele teria que andar 17 km (9 km + 3 km + 5 km). Determine o vetor 
deslocamento do idoso. (Obtém-se o vetor deslocamento, pelo segmento orientado, cuja origem 
é no ponto de partida (casa do idoso) e a extremidade é na casa do familiar do idoso.). Nosso 
personagem conseguirá atingir a meta diária estabelecida pelo médico?
Solução:
Temos que, em primeiro lugar desenhar o trajeto 
realizado pelo carro. É importante ter em mente a 
localização dos quatro pontos cardeais que são: Norte, 
Sul, Leste e Oeste. Analise a figura a seguir.
A partir dessas informações, podemos construir o 
desenho representativo da situação-problema acima.
Em benefício da objetividade, identificaremos com os 
pontos A, B, C e D o trajeto do carro a partir da casa do 
idoso até a casa do familiar. Então, teremos o seguinte 
trajeto, o qual é apresentado na malha quadriculada 
abaixo. O veículo sai de A (casa do idoso), vai em direção 
ao norte, chegando em B (praça), vai para a direita, em 
direção ao leste, até chegar em C (Shopping Center) e, 
por fim, desce em direção ao sul até chegar à casa do 
parente do idoso. 
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À direita, em destaque, o triângulo retângulo AED, ampliado, cujos catetos são 3 km e 4 km. 
Note que chegamos a esses valores do seguinte modo: 3 km, cateto pontilhado, vetor AE

 tem a 
mesma medida de BC

 ; 4 km foi obtido da diferença (9 km – 5 km = 4 km). Aplicando o Teorema 
de Pitágoras, que diz (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2. Lembrando que a hipotenusa de 
um triângulo retângulo é sempre o lado oposto ao ângulo de 90o (ângulo reto). Logo, teremos: 
d2 = 32 + 42 ⇒ d2 = 9 + 16 ⇒ d2 = 25 ⇒ d = 25 ⇒ d = 5.
Logo, para fazer o caminho de volta para casa, o idoso caminhará 5 km, mas no sentido 
oposto ao do vetor deslocamento. 
Observe que não estamos mencionando apenas a distância entre dois pontos. Se pensarmos 
apenas em distância entre dois pontos, estaremos abordando grandezas escalares, que se 
caracterizam por apenas um número. Na nossa situação-problema, é importante observar que, 
além do número (distância), temos associado a ele, uma direção e um sentido, o que são 
características das grandezas vetoriais. É importante refletir sobre a importância do vetor, que 
é usado por cientistas para indicar quantidades, tais como deslocamento. Foi o nosso caso, 
velocidade ou força, por exemplo, que têm ao mesmo tempo grandeza, direção e sentido. O 
vetor deslocamento resultante, no nosso caso, pode ser denotado por v

 = AD
 . Tem ponto 
inicial ou origem em A e um ponto terminal ou extremidade em D.
Podemos concluir que, se a recomendação médica era de uma caminhada de 4,5 km, o 
idoso caminhará diariamente 0,5 km a mais do que foi estabelecido pelo médico. 
Trocando Ideias
Você pode estar se perguntando por que o motorista do carro não seguiu a rota do vetor deslocamento. 
Aqui, pode-se pensar que haveria alguma barreira natural que o impedisse de fazer tal percurso. 
Pode-se também pensar que fosse uma contramão etc. Use sua imaginação!
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Unidade: Vetores - viés geométrico
Introdução
 
 Atenção Atenção
Tenha sempre consigo os seguintes materiais necessários às nossas aulas: 
• Régua (de preferência transparente)
• Transferidor de graus (de preferência ao modelo de 180o por ser de mais fácil manuseio)
• Papel quadriculado
• Compasso (opcional)
Thinkstock/Getty Images
Para descrevermos em plenitude o movimento 
de uma embarcação, é essencial que estejam claros 
sua velocidade, a direção e o sentido do movimento 
em cada instante. A velocidade, a direção e o 
sentido do movimento, reunidos, descrevem uma 
quantidade vetorial.
Nosso trabalho com vetores primeiramente se 
dará, sob o viés geométrico. Isso implica que, num 
primeiro momento, utilizaremos a intuição para, na 
sequência, fazermos a confirmação de que o que intuímos está correto. Isso se dá por meio 
da abordagem algébrica, a qual traz formalidade, precisão e rigor aos métodos geométricos/
intuitivos anteriormente utilizados. A conclusão é a de que devemos aliar inteligência e 
intuição para a construção do conhecimento sobre Geometria Analítica. 
Temos dois tipos de grandezas, as escalares que são descritas por um número e sua respectiva 
unidade correspondente: 12 m de largura, 2 kg de massa, 70 cm2 de área, por exemplo. Já as 
grandezas vetoriais, caracterizam-se pela intensidade (ou módulo), a direção e o sentido, que é 
o caso da velocidade, ou da força, por exemplo. Lembre-se de que, no item Contextualização, 
lidamos com grandezas vetoriais, pois nelas estavam presentes, além das distâncias percorridas 
(quilômetros), uma direção e um sentido. 
Para Pensar
Qual diferença entre direção e sentido? 
Ao longo do texto, você terá a resposta a essa questão. É importante que esteja claro para 
você que direção e sentido não têm o mesmo significado.
9
Na figura 1.1 (a), a flecha que sobe descreve claramente uma força de 9 N na direção que 
forma 45 graus com o eixo horizontal.
 
Figura 1.1 (a) Força de 9 N Figura 1.1 (b) Flechas de mesmo comprimento, direção e sentido
A sigla N (Newton), no SI (Sistema Internacional de Unidades), é a unidade de medida de 
força padrão, a qual se refere ao nome de seu criador, Sir Isaac Newton. 
Ideias-chave
Força tem uma definição intuitiva, associada a um agente capaz de modificar o estado de movimento 
ou repouso de um corpo. 
Voltando à diferença entre direção e sentido, o que muitos tendem a considerar como sendo 
iguais, vamos analisar uma situação que ilustra de modo claro a diferença entre eles.
Figura1.2 Observe que, na figura ao lado, os objetos 1 e 2 partem da mesma origem 
O rumo aos pontos A e B, respectivamente. Dizemos que 1 e 2 deslocam-se 
na mesma direção, mas em sentidos opostos. 
A direção é uma qualidade comum das retas paralelas. Como os objetos 1 
e 2 estão sobre uma mesma reta, assim podemos observar na figura que uma 
reta é sempre paralela a ela mesma. Concluímos que o deslocamento de 1, da 
origem O ao ponto A, gera a representação vetorial OA

. Já o deslocamento 
do objeto 2, gera a representação OB

, isto é, um vetor com origem em O e 
extremidade em B. Observe que OA

 e OB

apresentam a mesma direção, no 
entanto, os sentidos são contrários. 
Observem que os vetores indicados na figura 1.1 (b) descrevem a mesma grandeza 
vetorial, ou seja, as duas flechas têm o mesmo comprimento, mesma direção (são paralelas) 
e mesmo sentido e, portanto, são iguais. Isto nos leva ao conceito de vetor livre, isto é, 
cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado, que 
é representante do vetor AB

, Figura 1.1 (b). O vetor ' 'A B

 (Figura 1.1(b)) tem o mesmo 
comprimento do vetor AB

, o que fortalece a ideia de que um representante de AB

 pode ter 
sua origem em qualquer ponto P do espaço.
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Unidade: Vetores - viés geométrico
Observe que o módulo, a direção e o sentido de um vetor AB

 são o módulo, a direção e o 
sentido de qualquer um dos seus representantes. Indicamos módulo de AB

 por | AB

|ou || AB

|| 
. Para facilitar a comunicação, podemos chamar o vetor AB

 de v

, assim teremos v

 = | AB

|, que 
também pode ser escrito B – A.
A figura 1.3 ilustra alguns vetores representantes do vetor v

 = AB

, todos eles retratando o 
vetor v

 por terem o mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos) e mesmo sentido. 
O que os distingue, é o fato de terem suas origens dispostas em diferentes pontos do espaço, o 
que condiz com o que discutimos anteriormente: o vetor livre.
Figura 1.3
 
Observação: 
Todos os vetores desenhados ao lado são paralelos. 
O símbolo utilizado para representar o paralelismo 
entre vetores é //. Podemos escrever, por exemplo, 
sabendo que dois vetores u e v

, são paralelos, 
utilizando a simbologia: u // v .
Para Pensar
Ao longo da leitura do texto, você se deparou com a informação de que comprimento é sinônimo 
de módulo. Você se questionou sobre o conceito de módulo? 
Para ajudá-lo (a) na concretização desse conceito, abaixo há a representação de um vetor 
(Figura 1.4 (a) e (b)), a partir de seus pontos, inicial e extremidade, e o cálculo do tamanho 
(módulo) do mesmo. 
Situação-Problema 
Dado um vetor v = AB

, determine | v |, sabendo que o ponto inicial do vetor é em A (2, 3) 
e a extremidade é em B(-1, 2). 
Solução:
Primeiramente, devemos representar graficamente o vetor v , no plano cartesiano x0y, 
conforme a Figura 1.4 (a). Note também que a partir dessa figura, obtemos um triângulo 
ABC. Esse triângulo está representado separadamente, com as dimensões ampliadas, 
na Figura 1.4 (b). A hipotenusa desse triângulo representa exatamente a módulo ou 
comprimento do vetor v . 
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Note que o ponto A tem representação A(xA, yA) = A(2, 3), o ponto B tem representação 
B(xB, yB) = B(-1, 2) e, o ponto C, tem representação C(xC, yC). As coordenadas do ponto 
C, apesar de não serem fornecidas, podem ser facilmente obtidas a partir da representação 
geométrica abaixo. Logo, C(xC, yC) = C(2, 2). 
 
Figura 1.4 (a) Figura 1.4 (b)
Observe que, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACB, teremos:
Uma das maiores descobertas da Matemática é certamente o Teorema de Pitágoras. 
Esse teorema expõe uma relação importante presente em todos os triângulos 
retângulos. Lembrando que triângulo retângulo é todo aquele que apresenta um 
ângulo reto, ou seja, de medida 90o. O triângulo retângulo caracteriza-se pela 
presença de dois catetos e uma hipotenusa, que é sempre o lado de maior medida, 
a qual está sempre oposta ao ângulo de 90o. 
No triângulo desenhado ao lado, temos os catetos b e c, e a hipotenusa a. 
O teorema afirma: a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da medida da hipotenusa. a2 = b2 + c2
 
 Explore
Que tal, a partir de uma breve pesquisa, descobrir como Pitágoras chegou a tal teorema? 
Você pode acessar a internet e lá encontrará muitas informações sobre esse filósofo e matemático 
grego, nascido em Samos. 
No Site Só Matemática, você encontrará muitas informações úteis sobre Pitágoras e seu famoso 
teorema: www.somatematica.com.br
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Unidade: Vetores - viés geométrico
Vamos agora aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o módulo do vetor | v |, fornecido 
na figura 1.4(b):
(| v |)2 = (xC - xB)2 + (yC - yA)2 ⇒ | v
 | = ( ) ( )2 2 C B C Bx x y y− + − = ( ) ( )2 22 1 2 3 − −  + −  = 
( )223 1+ − = 9 1 + = 10 . 
Note que o comprimento do vetor ou módulo do vetor é 10 , que vale aproximadamente 
3,16. Como 10 é um número irracional, devemos escrevê-lo com o radical e não sua 
representação aproximada 3,16. 
Para Pensar
Escrever (xC - xB)
2 + (yC - yA)
2 é equivalente a escrever (xB - xC)
2 + (yA - yC)
2. Note que as parcelas 
estão elevadas ao quadrado, o que faz com que (xC - xB)
2 + (yC - yA)
2 = [2 – (- 1)]2 + (2 – 3)2 = 32 + 
(- 1)2 = 9 + 1 = 10 e (xB - xC)
2 + (yC - yA)
2 = (-1- 2)2 + (3 – 2)2 = (-3)2 + 12 = 9 + 1 = 10.
Da discussão realizada anteriormente, chamamos a atenção para o fato de que módulo sempre 
resulta um valor positivo. Vimos também que módulo e comprimento do vetor são termos equivalentes 
e, uma vez que não tem sentido pensarmos em comprimentos negativos, por consequência, fica sem 
sentido também nos referirmos ao módulo de um vetor como sendo negativo.
Casos Particulares de Vetores
a) Dois vetores u e v são considerados iguais e indicamos u

 = v se tiverem iguais o módulo 
(comprimento), a direção e o sentido.
Figura 1.6
b) Dois ou mais vetores u

, v e w , por exemplo, são paralelos e indicamos 
por u

 // v // w se os seus representantes tiverem a mesma direção. 
Na Figura 1.6, temos que u

 // v

 // w

, em que u e w

 têm o mesmo 
sentido, enquanto v

 tem sentido contrário ao de u

 e w

.
Figura 1.7
c) Na Figura 1.7, estão representados dois vetores não nulos, v

 e - v

, 
os quais apresentam mesmo módulo e mesma direção, no entanto, o 
sentido contrário. Logo, temos, BA

 = - AB

, isto é, sendo v

 = AB

, o 
vetor BA

 é o oposto de AB

. 
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d) O vetor zero (ou nulo), que indicamos por 0

 ou AA

 (a origem coincide com a extremidade), 
é paralelo a qualquer outro vetor, pelo fato de não apresentar direção e sentidos definidos. 
Figura 1.8
e) A cada vetor v , v ≠ 0, é possível associar dois 
vetores unitários de mesma direção de v : u e - 
u . Observe que, na Figura 1.8, temos |v | = 5 
e |u | e |-u | = 1. O vetor u

 com mesmo sentido 
de v é denominado versor de v . Na realidade o vetor u é versor de todos os vetores de 
mesmo sentido e paralelos a v e medidos na mesma unidade, e não apenas versor do vetor v .
Figura 1.9(a) Figura 1.9 (b)
f) Se algum representante de um vetor u formar ângulo 
reto, ou seja, 90o, com algum representante de v , esses 
vetores são chamados ortogonais, cuja representação é 
u ⊥ v . Na Figura 1.9 (a), temos a representação dos 
vetores u e v , ortogonais. Já a figura 1.9 (b), mostra 
dois vetores com origem no ponto O, formando ângulo 
reto. O vetor zero é consideradoortogonal a qualquer vetor. 
g) Se existir algum plano em que dois ou mais vetores estão representados, dizemos que esses 
vetores são coplanares. Note que dois vetores quaisquer u e v são sempre coplanares, pois 
basta considerar um ponto O no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes u

 
e v pertencentes ao plano α que passa por aquele ponto. (Figura 1.10)
Os vetores representados no plano α acima são não paralelos, o que faz com que estes 
vetores determinem a direção do plano α, que será a mesma de todos os planos que lhe 
forem paralelos. 
Note que três vetores podem ser coplanares, ou seja, estão num mesmo plano, como no caso 
da Figura 1.11 (b) ou não, como na Figura 1.11 (a).
 
Figura 1.10 1.11 (a) 1.11 (b) 
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Unidade: Vetores - viés geométrico
Atividade 1
A Figura (1.12) ao lado tem formato de um trapézio, forma-
do por dez quadrados congruentes (de mesmo tamanho), dois 
triângulos congruentes (∆CDE e ∆KLM) e dois trapézios seme-
lhantes (EDKJ e MLUT). Verifique se é verdadeira ou falsa cada 
uma das seguintes afirmações:
 a) BC

= JK

 h) PN

 // CB

 o) PI

 ⊥ AF

 b) GI

 = JM

 i) HE

 // PK

 p)|GE

| = |MO

| Figura 1.12
 c) AB

= MN

 j) BT

 // UC

 q)| AK

| = |QK

|
 d) OJ

 = - FH

 k) AB

 ⊥ ES

 r)| AQ

| = | AC

|
 e) JE

 = - EJ

 l) IN

⊥ JO

 s) | AM

|=3 |FH

|
 f) FM

= AJ

 m) RM

 ⊥ MJ

 g) EP

 = RK

 n) OJ

 ⊥ JF

Resoluções
a) (Verdadeiro) Observe que os vetores BC

= JK

, representam medidas dos lados de 
quadrados, os quais são congruentes. Os vetores também são paralelos (têm mesma 
direção) e as setas têm mesmo sentido. Portanto, eles são iguais, por apresentarem mesmo 
comprimento, direção e sentido. 
b) (Verdadeiro) Os vetores GI

 = JM

 são as diagonais de dois quadrados de medidas iguais 
(congruentes), logo elas têm a mesma medida.
c) (Falso) Para que dois vetores sejam iguais, deverão apresentar mesmo módulo (comprimento), 
mesma direção e mesmo sentido. Os vetores em questão apresentam mesmo comprimento, 
mesma direção, porém os sentidos são contrários. O vetor AB

 aponta para direita (Leste), 
enquanto o vetor MN

 aponta para esquerda (Oeste).
d) (Verdadeiro) Os vetores OJ

 = -FH

 são diferentes, pois apresentam mesmo comprimento, 
mesma direção (paralelos), mas os sentidos são opostos. OJ

 é inclinado ascendente (sobe) 
e FH

 é inclinado descendente (desce). Porém, ao trocarmos o sinal de FH

, que passa a 
ser -FH

, ele passa a ter o seu sentido invertido, adotando o mesmo sentido de OJ

.
15
e) (Verdadeiro) Esse caso é semelhante ao anterior. JE

 e EJ

 têm sentidos opostos, porém, 
ao trocarmos o sinas de EJ

, que passa a ser - EJ

, seu sentido é invertido, tornando-o 
igual ao vetor JE

.
f) (Verdadeiro) Observamos claramente no desenho que o percurso de F até M é igual ao percurso 
de A até J. Além disso, eles têm a mesma direção (paralelos e colineares) e o mesmo sentido.
Nota: a palavra colinear indica que os dois vetores estão sobre uma mesma reta.
g) (Falso) Observe que EP

 e RK

 têm mesmo comprimento e mesma direção (paralelos), 
no entanto, os sentidos são opostos. EP

 é descendente inclinado, enquanto RK

 é 
ascendente inclinado. 
h) (Verdadeiro) Nesse caso, devemos observar que, para que dois vetores sejam paralelos, a 
única condição necessária é que tenham mesma direção. Note que PN

 é o dobro de CB

 e 
os sentidos são contrários, mas isso não exclui o fato de serem paralelos, uma vez que eles 
têm a mesma direção. 
i) (Falso) Pela análise do desenho, verificamos que HE

 não é paralelo a PK

. HE

 é paralelo, 
por exemplo, a GC

, PJ

 e OK

, entre outros. Perceba que, se prolongarmos HE

 e PK

, 
infinitamente, haverá um momento em que eles se intersectam (se tocam). Isso contraria a 
definição de paralelismo, a qual afirma que os dois vetores deveriam manter-se equidistantes 
(ter a mesma distância um do outro) em toda a extensão dos mesmos. 
j) (Verdadeiro) BT

 e UC

 são paralelos. Eles têm mesmo comprimento, mesma direção e 
sentidos opostos. Quando pensamos em paralelismo, a única condição necessária é que os 
vetores tenham a mesma direção, o que é garantido nessa situação.
k) (Verdadeiro) Os vetores AB

 e ES

 são ortogonais. Note que não há necessidade de contato 
entre os dois vetores para se ter a presença de um ângulo de 90o. Podemos imaginar o 
vetor ES

 se sobrepondo (ficando sobre) o vetor BO

 ou AD

 (conceito de vetor livre) para 
perceber a formação do ângulo reto (90o).
 
l) (Verdadeiro) Note que IN

 e JO

 são as diagonais do quadrado IJNO. Podemos observar 
pelo desenho, ou utilizar a propriedade que diz que “as diagonais de um quadrado se tocam 
formando um ângulo de 90o.” Portanto, IN

⊥ JO

.
16
Unidade: Vetores - viés geométrico
Figura 1.13
m) (Falso) Observe a Figura 1.13 ao lado, na qual conclu-
ímos que RM

 e MJ

 são perpendiculares. Do quadra-
do JKMN, podemos afirmar que o ângulo JMN mede 
45o. Já do retângulo RTMO, percebemos claramente 
que os ângulos α e β são diferentes. Deduzimos facil-
mente que 45o + α não vale 90o, uma vez que α pode 
ser maior do que 45o ou α pode ser menor do que 45o. 
Logo, RM

 e MJ

 não formam 90o.
n) (Verdadeiro) Como OJ

 e JF

 são diagonais de dois quadrados e, comparando com o 
desenho do item anterior, podemos afirmar que OJ

 ⊥ JF

.
o) (Verdadeiro) Novamente, utilizando o conceito de vetor livre, podemos deslocar o vetor PI

, 
substituindo-o por GB

, ou deslocar o vetor AF

 e substituí-lo por HO

. Em ambos os casos, 
teremos a formação de um ângulo reto. Logo, os vetores são ortogonais. 
p) (Verdadeiro) GE

 e MO

 têm o mesmo comprimento, mesma direção e sentidos opostos. Já 
em módulo, como vimos anteriormente, os resultados passam a ser positivos. Pensemos do 
seguinte modo:u = GE

, logo -u = MO

. Em módulo, |u | =|- u | = u

. O módulo faz com 
que o vetor - u tenha o sentido alterado, passando a ser +u

.
q) (verdadeiro) Quando comparamos vetores em módulo, o único quesito que nos interessa é 
se os vetores têm o mesmo comprimento. Pelo desenho, é fácil perceber que esses vetores 
têm o mesmo comprimento, não nos interessando a direção e o sentido. Logo, eles são iguais.
r) (Falso) O vetor AQ

 tem comprimento maior do que o vetor AC

, logo, | AQ

| ≠ |( AC

|.
s) (Verdadeiro) AM

 é realmente o triplo de FH

. Como eles se apresentam em módulo, a 
direção e o sentido não nos interessam. Logo, | AM

|= 3 |FH

|.
Atividade 2
A Figura 1.14 a seguir ilustra um sólido geométrico (paralelepípedo retângulo) com seis 
faces, duas em duas, paralelas. Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. 
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a) DE

 = BG

 
Figura 1.14
b) EF

 = - AB

c) GF

 ⊥ AH

d) EF

 ⊥ HB

e) |HF

| = |CA

|
f) HD
// BF

Resoluções
Os conceitos que nortearam as discussões no exemplo 1 são os mesmos a serem aplicados 
no exemplo 2. Desse modo, as resoluções doravante realizadas se darão de modo mais objetivo. 
a) (Verdadeiro) Os vetores são iguais, pois apresentam mesmo comprimento, direção e sentido.
b) (Falso) O sinal de menos na frente do vetor AB

 faz com que ele tenha sentido contrário ao 
do vetor EF

 , tornando a afirmação falsa. 
c) (Verdadeiro) Utilizando o conceito de vetor livre, fica claro que GF

 é ortogonal a AH

.
d) (Verdadeiro) Utilizando novamente o conceito de vetor livre, podemos imaginar o transporte 
do vetor EF

 para a posição do vetor AB

, uma vez que eles são iguais. Então, podemos 
concluir facilmente que EF

 é ortogonal a 

HA . 
e) (Verdadeiro) Observe que HF

 e CA

 representam as diagonais da face inferior e superior 
do paralelepípedo respectivamente. Sendo assim, apresentam medidas iguais. Como tais 
medidas foram apresentadas em módulo, não nos interessa a direção e o sentido dos vetores, 
mas simplesmente os comprimentos.
f) (Falso) Observe que se sobrepormos as faces ADEH e BCFG, os vetores HD

 e BF

, não 
ficaram sobrepostos, mas, ao contrário, vão se intersectar em um ponto. Logo, HD

 não é 
paralelo a BF

.
18
Unidade: Vetores - viés geométrico
Operações com Vetores
Adição de Vetores
Figura 1.15
Vamos encontrar a soma dos vetores u

 e v

. Consideremos na figura 
1.15, um ponto A Qualquer. Com origem nele, vamos considerar um 
segmento orientado AB, o qual representa o vetor u . Pela extremidade 
B, tracemos um segmento orientado BC, o qual representa o vetor v

. 
O vetor orientado de origem em A e extremidade em C é, definido como o vetor soma de u 
e v

, que representamos, u

 + v

.= AC

 ou AB

 + BC

 = AC

. 
Se considerarmos vetores u e v , com u // v , obtemos o vetor u + v

 (u e v têm o mesmo 
sentido), Figura 1.16(a) e (u e v têm sentidos contrários), Figura 1.16(b). 
Figura 1.16
No caso em que u e v não são paralelos, basta obter o triângulo, com atenção especial à 
escolha da origem do representante v

, a qual deverá coincidir com a extremidade do represen-
tante u . Outra opção é a de nos valermos da regra do paralelogramo, a qual equivale em adotar 
representantes de u e v com a mesma origem de A (Figura 1.17) e construir o paralelogramo 
ABCD. O segmento orientado AC

 é um representante de u + v , uma vez que v = BC

 e a 
diagonal gera o triângulo ABC.
Note que, se u e v são paralelos, não faz sentido nos referirmos, nem ao triângulo e nem 
ao paralelogramo.
 Figura 1.17
Observe que, na Figura 1.17, os vetores u e v foram deslocados paralelamente, com suas 
origens no ponto A. O conceito que nos permite o deslocamento desses vetores é o de vetor 
livre, sobre o qual discutimos anteriormente. Os vetores deslocados são equivalentes aos vetores 
u e v

, dados nas suas posições originais. 
A escolha do vetor AB

 como representante do vetor u não afeta o resultado da adição de 
u e v

 (u + v ). Note outro representante ' 'A B

 de u e, em consequência, outro representante 
' 'B C

 de v , conforme podemos constatar na figura 1.18. Então ' 'A B

 é equivalente ao vetor AB

 
(representa-se: ' 'A B

 ~ AB

), o que leva ao fato de que ' 'B C

 ~BC

.
19
Figura 1.18
Paralelogramo e propriedades importantes
Paralelogramo é uma palavra derivada do grego, que significa “região limitada por linhas 
paralelas”. O paralelogramo é um polígono formado por quatro lados, em que os lados paralelos 
têm medidas iguais. Como é característico de todo quadrilátero, a soma dos ângulos internos é 
360º, as diagonais, que são duas, cruzam-se no ponto médio e os ângulos opostos têm medidas 
iguais. Os paralelogramos notáveis são: Quadrado, Retângulo e Losango. Observe, nas figuras 
abaixo, a representação do que foi exposto acima. 
 
Figura 1.19
Para determinarmos a soma de três ou mais vetores, adotaremos 
procedimento semelhante ao utilizado na regra do paralelogramo 
(Figura 1.17), Observe, na figura 1.18, a representação da soma 
dos vetores u, v e w. 
São válidas as seguintes propriedades para a adição, conside-
rando u , v e w vetores quaisquer:
1º) Comutativa: u + v = v + u
2º) Associativa: (u + v

) + w = u + ( v + w ) 
3º) Elemento neutro: u + 0

 = u
4º) Elemento oposto: u + (-u

) = 0

Observe, na figura 1.20 a seguir, a representação da diferença entre u e v , que pode ser 
escrita de duas maneiras: u - v = u + (- v

)
Observe que a soma u + v
 é obtida do seguinte modo: AB

 + BC

 = AC

.
20
Unidade: Vetores - viés geométrico
Figura 1.20
Já a diferença u - v

 é obtida da seguinte forma: 
BC

 + CD

 = BD

Note que uma das diagonais do paralelogramo 
representa a soma u + v e a diferença u

 - v é 
representada pela outra diagonal. 
Atividades
1) Com base na Figura 1.12, página 14, determine os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A: (Lembre-se de utilizar o conceito de vetor livre quando necessário.)
a) AG

 + GF

 b) AB

 + BC

 c) AB

 + CB

d) AB

 + CN

 e) AJ

 + CH

 f) AE

 + AH

g) AO

 - OJ

 h) GI

 - FH

 i) FE

 - EF

j) GI

+ IJ

 + JO

 k) HO

 + ON

 + NH

Resoluções: 
Note que todos os vetores deverão ser expressos com origem em A.
a) AF

 Eu me desloco de A até G, em seguida de G até F. Logo, o vetor resultante terá o ponto 
A como origem e o ponto F como extremidade.
b) AC

. Eu me desloco de A até B, em seguida de B até C. Logo, o vetor resultante terá origem 
em A e extremidade em C.
c) 0

. Primeiro, eu me desloco de A até B. O vetor CB

 deve ter sua origem no ponto B, que é 
a extremidade do vetor AB

. Assim, o vetor BA

 será substituído pelo vetor CB

, pois BA

 ~ 
CB

 (conceito de vetor livre). Note que, ao fazermos tal substituição, voltaremos ao ponto de 
partida, ou seja, ao ponto A. Isso indica que o nosso vetor deslocamento é nulo.
d) AO

. O vetor CN

 será substituído pelo vetor BO

 
e) AQ

. O vetor CH

 será substituído por JQ

. 
f) AN

. O vetor AH

 será substituído por EN

.
g) AQ

. A diferença ( AO

 - OJ

 pode ser escrita como AO

 + JO

.
h) AC

. GI

 serão substituídos por AF

, e - FH

, será substituído por FC

. 
21
i) AC

. FE

 serão substituídos por AB

 e - EF

 será substituído por FE

j) GI

 será substituído por AF

, IJ

 será substituído por FE

 e JO

, substituído por EI

. 
k) 0

. HO

 será substituído por AF

, ON

 será substituído por FE

 e, NH

 será substituído por EA

.
2) Determine os vetores abaixo, com base na figura 1.12, na página 16, expressando-os com 
origem no ponto A.
a) AB

 + CF

 d)CF

+ HE

 
b) HG

+ GE

 e) HF

 - GF

c) BG

 + HE

 f) HF

 + DA

 + GE

Resoluções
a) AG

. CF

 substituídos por BG

 (vetor livre).
b) AD

. HG

 substituídos por AB

 e GE

 por BD

.
c) AE

. BG

 substituídos por AH

 e HE

 é mantido.
d) AE

. CF

 substituídos por AH

 e HE

 é mantido.
e) AB

. HF

 substituídos por AC

. O vetor - GF

 pode ser escrito como FG

, o qual é substituído 
por CB

.
f) AD

. HF

 substituídos por AC

, DA

 por CB

 e GE

 é substituído por BD

.
Multiplicação de Vetor por Número Real
Considerando um vetor v ≠ 0 e um número real a ≠ 0, chamamos produto de um vetor v 
por um número real a, o vetor a • v tal que:
a) v

 e a • v

 tenham a mesma direção: a • v é paralelo a v . Isto é, o vetor v é multiplicado 
por um número real, suponhamos, por exemplo, que a = ±2. Assim, o vetor a • v
, terá o dobro da medida do vetor v

, no entanto, sua direção será mantida. Quando 
v é multiplicado por 2, o novo vetor a • v , estará com a seta apontando no mesmo 
sentido e direção de v

. Já, quando v é multiplicado por – 2, o vetor a • v , estará com 
a seta apontando na mesma direção de v

, no entanto, no sentido contrário ao de v . 
22
Unidade: Vetores - viés geométrico
Observe a representação gráfica a seguir, a qual ilustra o que foi descrito acima.
 
Figura 1.21
b) Para que v e a • v tenham ou não o mesmo sentido, duas situações precisam ser consideradas: 
o número real a seja maior do que zero ( a > 0), ou esse número real seja menor do que zero 
(a < 0). Observe que a Figura 1.21 acima ilustra essas duas possibilidades. No item a, essas 
situações já foram explicitadas. Vamos apenas reforçá-las. Quando um vetor é multiplicado 
por um número real positivo, são mantidos a direção e o sentido. Já quando o vetor é 
multiplicado por um número real negativo, a direção é mantida, mas o sentido se inverte.
Observe que, se o número real a for igual a zero (a = 0), ou o vetor v, for zero ( v = 0

), então 
a • v

 = 0

.
A figura 1.22 abaixo ilustra um vetor v

 e alguns de seus múltiplos.
 
Figura 1.22
c) Módulo: |a • v | = |a| • | v |, isto equivale a dizer que o comprimento de a • v é igual ao 
comprimento de v multiplicado por |a|.
Acompanhe o exemplo: |a • v | = |-2| • | v | = 2 • | v |
Atividade
Figura 1.23
Na malha quadriculada ao lado, estão representados os 
vetores u

, v e w , todos com origem no mesmo ponto. Obtenha 
graficamente o vetor x

 tal que:
a) x

 = - u

 + 2 v

 - 
2
3
 w

b) x

 = 1
2
 u

 - 2 v

 + 1
3
 w
c) x = 2,5u

 + 
1
2 v

 - 1
5
 w
d) x

= -
2
3 
u + v

 - w 
23
Resoluções:
Figura 1.24
a) Lembre-se que os vetores podem ser deslocados, porém, deverão 
estar paralelos aos vetores originalmente fornecidos (conceito de 
vetor livre). O vetor - u deverá ter o mesmo tamanho e direção do 
vetor u , porém, o sinal de menos inverterá o sentido do vetor. 
Observe que o vetor v é a diagonal de um retângulo de 5 por 5, 
ou seja, comprimento 5 unidades e a altura também tem 5 
unidades. Observe a figura ao lado:
Figura 1.25
A representação do vetor 2 v é bastante 
simplificada, uma vez que o vetor v é horizontal. 
Analise a representação do vetor 2 v :
O nosso último vetor, w

, localiza-se dentro de um retângulo de 6 unidades de comprimento 
por 3 unidades de altura. No entanto, queremos representar o vetor - 2/3 w . Observe a 
representação isolada do vetor w e do vetor - 2/3 w , Figuras 1.26(a) e 1.26(b):
 1.26 (a) 1.26(b)
Você pode estar se perguntando como representar frações do vetor. No nosso caso, queremos 
representar o vetor -2/3 w . Enfatiza-se aqui, o fato de que o vetor w é a diagonal de um 
retângulo de 6 unidades de comprimento por 3 unidades de altura. Se considerarmos 1/3 de 6 
unidades (comprimento), teremos 2 unidades. Isso equivale a dividir 6 por 3, que resulta em 2. 
Só que não queremos apenas 1/3, mas sim 2/3. Sabemos que 2/3 é igual a 1/3 mais 1/3. Logo, o 
comprimento equivalente a 2/3 de 6 unidades (comprimento) é 4. Raciocínio análogo é utilizado 
para obtermos 2/3 da altura. A altura do retângulo (Figura 1.26(a)) é 3 unidades. Primeiro 
calculamos 1/3 de 3 unidades (altura), o que resulta em 1 unidade. Como queremos 2/3 dessa 
altura, então, teremos um retângulo com 2 unidades de altura. Concluímos que o vetor 2/3 w , 
será a diagonal de um retângulo com 4 unidades de comprimento, por duas unidades de altura, 
conforme representado na Figura 1.26(b). O sinal negativo do vetor, ou seja, - 2/3 w , indica que 
haverá alteração no sentido. Observe na figura 1.26(b), que a seta tem sentido contrário ao da 
indicada na figura 1.26 (a). Observe que o vetor w e - 2/3 w , são para paralelos, têm a mesma 
direção, mas os sentidos são contrários. A seguir, encontra-se a representação geométrica do 
vetor da atividade: a) x

 = - u + 2 v - 2/3 w

.
Note que o vetor deslocamento x

 deve sair do nosso ponto de partida O (origem) e 
ter sua extremidade (seta) coincidindo com a extremidade do último vetor representado. A 
resultante da operação com vetores sempre acaba no encontro de duas setas. Conforme 
ilustrado na figura a baixo. 
24
Unidade: Vetores - viés geométrico
Figura 1.27
b) x = 3/5 u

 - 2 v + 1/3 w
Figura 1.28
Doravante você encontrará apenas as representações 
geométricas, sem exposições escritas sobre o processo 
de resolução. Isso se deve ao fato de que no item a 
foi apresentada uma discussão ampla e com detalhes 
suficientes para que você consiga entender sem maiores 
dificuldades como o vetor x foi obtido em cada caso.
c) x = u

 + 1
2
 v + w
Figura 1.29
d) x = -2/5 u

 + v + w
Figura 1.30
25
Ângulo de Dois Vetores 
 Figura 1.31
Observe a figura a seguir, na qual estão representados os vetores u

 
e v e o ângulo α, entre eles (Figura 1.31). De acordo com a convenção, 
α varia entre 0o e 180o, simbolicamente, escrevemos, 0o≤ α ≤ 180o. 
 Na Figura 1.31, o ângulo α, originou-se a partir de duas semirretas 
OA e OB de mesma origem O. Os vetores u e v , claramente não são 
paralelos, logo, o ângulo formado entre eles atende ao que discutimos 
anteriormente, ou seja, 0o ≤ α ≤ 180o. E, caso os vetores u

 e v , 
sejam paralelos, qual a medida ângulo formado entre eles? Tome um 
tempo para analisar essa situação.
Pois bem, vamos em frente!
Quando dois vetores são paralelos, temos duas situações a considerar:
1a) Eles têm o mesmo sentido.
Então, o ângulo que se forma entre eles é zero. Se os vetores são paralelos, não há necessidade 
de nomeá-los de u e v por exemplo. Podemos denominá-los de u e 3u , por exemplo, uma vez 
que eles são paralelos, um será múltiplo do outro obrigatoriamente. Observe as representações 
a seguir (Figura 1....(a) e (b)):
 
 Figura 1.32(a) Figura 1.32(b)
 Figura 1.33
Vamos utilizar o modelo seguinte (Figura 1.33) para entender 
o porquê de vetores paralelos e de mesmo sentido formarem um 
ângulo igual a zero. 
Imagine que a origem dos vetores u e v seja a mesma, o ponto O, 
conforme indicado na figura acima. Vamos supor que a origem O dos 
vetores seja um ponto fixo, sobre o qual os vetores u e v possam se 
deslocar. Se queremos que u e v sejam paralelos, deslocamos um dos 
vetoresaté que ele se sobreponha ao outro. Por exemplo, digamos que u se desloque até ficar sobre 
o vetor v , ou vice-versa. A medida que o vetor u se aproxima de v , o ângulo α, se aproxima de 
zero, alcançando o valor zero quando u e v se sobrepõem. Logo, a conclusão óbvia é a de que, 
quando dois vetores são paralelos e têm mesmo sentido, o ângulo formado entre eles é zero. 
Voltemos à Figura 1.33, para analisarmos o caso em que os vetores são paralelos (têm mesma 
direção), mas com sentidos contrários. Nesse caso, os vetores não deverão se aproximar, pelo 
contrário, deverão se afastar até que sejam paralelos e opostos. Perceba que, à medida que o 
vetor v vai se afastando de u , o ângulo α vai aumentando até atingir o valor de 180o. Essa é a 
condição para que os vetores sejam paralelos e tenham sentidos opostos. 
26
Unidade: Vetores - viés geométrico
As Figuras 1.34(a) e (b) retratam o que discutimos anteriormente:
Figura 1.34(a)
Observe na figura acima que os vetores u e v coincidem, o que é assim representado: u ≡ v . 
O ângulo que entre eles se forma é zero.
Já na Figura 1.34(b), os vetores formaram entre eles um ângulo de 180o. Observe que o vetor u 
deslocou-se α graus no sentido anti-horário até completar o ângulo de 180o, ou seja, α + β = 180o.
 
Figura 1.34(b)
Atividades
1. O ângulo formado pelos vetores u e v mede 120o. Determine o ângulo formado pelos vetores:
a) u e - v b) -u e - v c) -u e – 3 v d) 2u e 5 v
Figura 1.35
2. Os vetores u , v e w representados na Figura 1.35, são coplanares. 
Com base nessas informações, determine:
a) O ângulo formado pelos vetores – 2 v e -w ;
b) O ângulo formado pelos vetores u e - 2w .
Resoluções
Figura 1.36
1. Primeiramente, faremos a representação geométrica 
dos vetores u e v , os quais estão em negrito. Os 
vetores com sentidos contrários, -u e - v , também 
estão desenhados. Lembre-se de que estudamos 
recentemente que vetores paralelos e com sentidos 
contrários formam ângulo de 180o. Essa informação 
é essencial para calcularmos o ângulo formado 
entre dois vetores. 
27
a) Vamos subdividir o paralelogramo para calcular o ângulo entre u e - v . 
Figura 1.37
O ângulo formado entre os vetores u e v é de 120o e o ângulo formado 
entre os vetores v e - v é de 180o (ângulos paralelos e opostos). 
O ângulo que está entre u e - v é a diferença entre 180o e 120o, ou 
seja, 180o - 120o = 60o.
Figura 1.38
b) Observe que o ângulo formado entre os vetores u e 
v e entre -u e- v são iguais (120o). Esses ângulos são 
chamados de O.P.V., opostos pelo vértice. 
c) Analise o desenho a seguir:
Figura 1.39
Note, na representação acima, que o ângulo formado entre os vetores -u e – 3 v é 120o. 
No item b), analisamos o ângulo formado entre -u e – v , que também é 120o. O vetor -3 v é 
múltiplo de - v , fato que obviamente aumenta o comprimento do vetor, mas não o ângulo.
d) No item C), vimos que, ao multiplicamos um vetor por um número real, esse vetor pode 
aumentar, ou diminuir o comprimento desse vetor, mas isso não interfere no tamanho do 
ângulo. Aplicando essa ideia para calcular o ângulo formado entre os vetores 2u e 5 v , 
concluímos que esse ângulo é igual à medida do ângulo formado entre os ângulo u e v , 
que é 120o.
28
Unidade: Vetores - viés geométrico
2. a) Do que discutimos na atividade 1, podemos concluir que o ângulo formado entre os 
vetores – 2 v e - w

 é 75o. Observe a figura a seguir.
 
Figura 1.40
b)Observe pela representação geométrica que o ângulo formado entre os vetores u e - 2 w 
é de 135o.
 Figura 1.41
29
Material Complementar
1) CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3.ed. 
São Paulo. Pearson Prentice Hall, 2005.
2) JULIANELLI, José Roberto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
3) WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil, 2000.
4) ANTON, Howard. Álgebra Linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001
30
Unidade: Vetores - viés geométrico
Referências
BOULOS , Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: i, tratamento vetorial – São 
Paulo: Mc Graw-Hill 2005, 3 edição
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço – Rio de Janeiro: Coleção do professor de 
Matemática, 1993.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill 1987.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica – volume 2. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2 edição
VENTURI, Jaci J. álgebra Vetorial e Geometria Analítica – Curitiba: Scientia et Labor – 
Editora da UFPR, 1990, 3 edição
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books Ltda, 2000
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000
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