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5/8/2013 1 Professora: Jossana Ferreira MatrizesMatrizes - Inversão •Matriz inversa •Matriz adjunta •Inversão de matrizes •Uma matriz Anxn admite inversa se existe uma matriz Bnxn , onde B é a inversa de A, tal que: •Inversível ou não singular •Notação: IBAAB == 1−A •Propriedades (A,B,C e D matrizes inversíveis) •Cada matriz admite uma única inversa •A.A-1=A-1.A=I •(A-1)-1=A •(AT)-1=(A-1)T •(AB)-1=B-1.A-1 •(ABCD)-1=(BCD)-1A-1 =(CD)-1B-1A-1 =D-1C-1B-1A-1 5/8/2013 2 •Matriz adjunta •Matriz de Cofatores = nnnn n n ccc ccc ccc C L MOMM L L 21 22221 11211 )det(M )1( )det()1(c ij ij ij ij ji ij ji A MA = −=−= ++ •Matriz adjunta •É a transposta da matriz de Cofatores TCAAdj =)( •Inversão de matrizes •Uso da identidade •Uso da matriz adjunta •Inversão de matrizes •Uso da identidade •Anxn é inversível se for equivalente à matriz identidade •Operações elementares •Caso não haja a equivalência, a matriz não admite inversa [ ] [ ]1~ −AIIA 5/8/2013 3 •Inversão de matrizes •Uso da identidade Exemplo − = 521 301 210 A •Inversão de matrizes •Uso da identidade Exemplo [ ] − = 100521 010301 001210 IA [ ] − = 100521 010301 001210 IA L3=L3+L2 [ ] 110820 010301 001210 ~IA L3=L3-2L1 [ ] − 112400 010301 001210 ~IA L1 ⇔ L2 L2=L2-2L3 [ ] − 4 1 4 1 2 1100 010301 001210 ~IA [ ] − 4 1 4 1 2 1100 001210 010301 ~IA [ ] − −− 4 1 4 1 2 1100 2 1 2 12010 010301 ~IA 5/8/2013 4 L1=L1-3L3 I A-1 [ ] [ ]1~ −AIIA [ ] − −− − 4 1 4 1 2 1100 2 1 2 12010 4 3 4 1 2 3001 ~IA •Inversão de matrizes •Uso da matriz adjunta )()det( 11 Aadj A A =− •Inversão de matrizes •Uso da matriz adjunta Exemplo − = 521 301 210 A •Matriz dos cofatores •Matriz Adjunta − −− −− = 123 121 286 C −− − −− = 112 228 316 )(Aadj 5/8/2013 5 •Determinante •Matriz inversa 4)det( −=A −− − −− − = − 112 228 316 4 11A )()det( 11 Aadj A A =− − −− − = − 4 1 4 1 2 1 2 1 2 12 4 3 4 1 2 3 1A Exercícios 1) Encontre a inversa de A utilizando os dois métodos. 2) Se AB=AC, isso implica que B=C? − = = = 30 23 , 11 21 , 42 21 CBA −= 010 101 012 A 3) Sendo , encontre A-1. −=+ − 110 211 010 )2( 1AI −− −− − = − 311 220 200 1A IMPORTANTE •Saber encontrar a inversa de uma matriz •Saber usar adequadamente as propriedades da matriz inversa 5/8/2013 6 jossana@ect.ufrn.br www.facebook.com/algebracomjo @AlgebraComJo
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