3 RESMAT II P3

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
1 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
 
As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, 
foram retiradas dos seguintes livros: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer 
 - E. Russel Johnston Jr. 
Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 
 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 
 
 
Parte 03: 
Torção; 
- Definição; 
- Deformação por torção; 
- Tensão e ângulo de torção no regime elástico: 
 -- Em barra circular de seção uniforme 
 sob momento de torção na extremidade; 
 -- Em barra circular de seção variável sob momentos 
 de torção aplicados ao longo do eixo central da barra 
 -- Em barras sólidas de seção não circular sob momentos 
 de torção aplicados ao longo do eixo central da barra; 
 -- Em barras e eixos vazados de paredes finas sob 
 momentos de torção aplicados ao longo do eixo central; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
 
1 - Definição de Torção 
 Peças (barras, eixos, vigas) submetidas 
à ação de momentos de torção ou torque (T) 
tende a torcer em torno de seu eixo central 
longitudinal, conforme mostra a figura 1. 
 Figura 1: barra sob torção 
 
2 - Deformação por torção de um eixo ou barra circular 
 Quando uma barra ou eixo circular é submetido á torção ou momento de torção: 
 - Todas as seções transversais permanecem planas e indeformadas; 
 - As várias seções transversais ao longo do eixo giram em diferentes 
 ângulos, mas como disco sólido e rígido (figura 2); 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: as seções transversais permanecem planas e indeformadas; 
 
3 - Fórmula de torção 
 A ação de um momento de torção ou torque (T) gera internamente uma 
distribuição de tensão de cisalhamento () na seção transversal da barra, ou seja, 
surge uma variação linear na tensão de cisalhamento ao longo de qualquer linha 
radial na seção transversal, conforme ilustra a figura 3. 
Considerando que o material da barra trabalha no regime elástico a tensão a 
tensão de cisalhamento () em qualquer ponto p distante  do eixo central da barra 
circular é definida: 
 𝝉 = 
𝑻 . 𝝆 
𝑱
 (1) 
 
Em que : 
T = momento de torção ou torque (T) que atua 
 na seção transversal da barra; 
= distância do ponto p ao eixo central da barra; 
 Varia de 0 até c (raio externo) 
J = Momento de inércia polar da seção 
 transversal da barra; 
 
 
 
Figura 3: distribuição de tensão de cisalhamento na seção 
 transversal da barra circular maciça provocado pelo T 
 
Analisando a equação 1, verifica-se que a tensão de cisalhamento é máxima na 
superfície da barra, ou seja, quando  = c, o que permite escrever: 
𝝉𝒎á𝒙 = 
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 (2) 
 
Ponto p 
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Para barras e eixos de seção transversal circular maciça, o momento polar de 
inércia é definido por: 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
 (𝝅 . 𝒄𝟒) (𝟑) 
 
Em que: 
c = raio externo do círculo; 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: distribuição de tensão de cisalhamento em barras e 
eixos de seção circular maciça; 
 
Para barras e eixos de seção transversal circular vazada, o momento polar de 
inércia é definido por: 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . (𝒄𝟒 − 𝒄𝒊
𝟒)) (𝟒) 
 
Em que: 
c = raio externo do círculo; 
ci = raio interno do círculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: distribuição de tensão de cisalhamento em barras e 
eixos de seção circular vazada; 
 
 
A figura 5 apresentada a distribuição de tensão de cisalhamento () de uma barra ou 
eixo de seção circular vazada, de raio interno ci e raio externo c. Do conceito de 
proporção de triângulo obtém a seguinte relação: 
 
𝝉𝒎í𝒏 
𝒄𝒊
=
𝝉𝒎á𝒙 
𝒄
 → 𝝉𝒎í𝒏 = 
𝒄𝒊 
𝒄
 𝝉𝒎á𝒙 
 
𝝉𝒎í𝒏 =
 𝒄𝒊 
𝒄
 𝝉𝒎á𝒙 (5) 
 
 
 
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Exemplo1: Uma barra circular vazada de aço inoxidável tem comprimento L = 1,5 m e 
diâmetros interno e externo respectivamente de 40 e 60 mm. Determine: 
a) qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado à barra, para que a tensão 
de cisalhamento não exceda 120 MPa? 
b) qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para este caso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aço inoxidável: E= 190 GPa; G = 73 GPa; e = 152 MPa 
 
Resolução: 
 
 ci = 20 mm = 0,02 m 
 
 c = 30 mm = 0,03 m 
 
a) T = ? de modo que máx ≤ 120 MPa, ou seja, máx = 120 MPa 
 - como máx < e ( tensão de cisalhamento de escoamento) 
 - Portanto ocorrem  Tensões no regime elástico: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
Nesta equação sabe-se: c = 0,03 m; máx = 120 MPa , 
Falta apenas o momento de inércia polar da barra vazada: 𝑱 =
𝟏
𝟐
( 𝝅 . (𝒄𝟒 − 𝒄𝒊
𝟒) ) 
 
Jbarra = 1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [ . ( (0,03)4 - (0,02)4 ) ] = 1,021 . 10-6 m4 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 → 𝑻 =
𝝉𝒎á𝒙 . 𝑱 
𝒄
 =
120 . 106 . 1,021 . 10−6 
0,03
= 4,08 .103 N.m 
 
𝑻 = 4,08 .𝟏𝟎𝟑 N.m = 4,08 kN.m 
 
b) A menor tensão de cisalhamento de uma barra vazada ocorre na face interna da 
barra, sendo esta a tensão de cisalhamento mínima, a qual é obtida por: 
 
𝛕𝐦í𝐧 
0,02
= 
𝛕𝐦á𝐱 
0,03
 → 𝛕𝐦í𝐧 = 
0,02 
0,03
120 . 106 
 
 → 𝛕𝐦í𝐧 = 80 . 10
6 N.m2 = 80 MPa 
 
 
𝛕𝐦í𝐧 
𝛕𝐦á𝐱 
0,02 
0,03 
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Exemplo2: A distribuição de tensão em um eixo circular maciço foi representada em um 
gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias como mostra a figura a seguir. 
Determine o torque interno resultante na seção transversal; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 T = ? 
 
- Devido ao torque interno resultante surge uma distribuição de tensão de cisalhamento 
ilustrada na figura acima, onde o valor máximo de tensão ocorre na superfície, cujo 
valor é definido por: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
 
Portanto:𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
 
 
 Sabe-se: 
 máx = 56 MPa = 56 . 106 N/m2 
 
c = 50 mm = 0,050 m 
 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . 𝒄𝟒)  momento de inércia polar da barra; 
 Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,054 ] = 9,82 . 10-6 m4 
 
𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
=
 56 . 106 . 9,82 . 10−6 
0,05
 
 
𝑻 = 10998,40 𝑁. 𝑚 = 11. 103 𝑁. 𝑚 = 𝟏𝟏 𝒌𝑵. 𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo3: Um tubo mostrado na figura a seguir 
tem diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo 
de 100 mm. Se sua extremidade for apertada 
contra o apoio em A usando uma chave em B, 
determine a tensão de cisalhamento desenvolvida 
no material nas paredes internas e externa ao 
longo da parte central do tubo ( C ) quando 
são aplicadas forças de 80 N na chave. 
Indicar a tensão de cisalhamento na 
parede interna e externa do tubo por 
meio de elementos infinitesimais 
localizados nestas paredes; 
Resolução: 
- Momento de torção ou Torque gerado pelas forças de 80 N ao longo das seções 
transversais do tubo inclusive na seção C: 
 
 T = 80 . 0,3 + 80 . 0,2 = 40 N. m 
 
- Para manter o equilíbrio surge  torque interno de igual intensidade e sentido 
contrário: 
 ∑ Ty = 0  +  40 – Tc = 0  Tc = 40 N.m 
 
 
 
 
 
 - Determinação da tensão de cisalhamento provocada 
por um torque qualquer (T) em qualquer ponto na 
seção transversal de uma barra circular: 𝝉 = 
𝑻 . 𝝆 
𝑱
 
 T = 40 N.m 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . (𝒄𝟒 − 𝒄𝒊
𝟒)) = 1/2 [.( (0,05)4 - (0,04)4 ) ] = 5,80 . 10-6 m4 
 
 Tensão localizada na parede interna:  = 0,04 m 
 Tensão localizada na parede externa:  = 0,05 m 
 
𝝉𝒊 = 
𝑇 . 𝜌 
𝐽
=
40 . 0,04 
5,80 . 10−6
= 0,276 . 106 𝑁/𝑚2 = 0,276 MPa 
 
 
 
 
 
 
𝝉𝒆 = 
𝑇 . 𝜌 
𝐽
=
40 . 0,05 
5,80 . 10−6
= 0,345 . 106 𝑁/𝑚2 = 0,345 MPa 
 
 
 
 
T 
Tc 
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Exemplo4: O projeto original de um eixo de transmissão adotou uma barra vazada com 
dinterno=100 mm e dexterno=150 mm. O material desta barra possui tensão admissível de 
cisalhamento de 83 MPa. Determine o máximo torque que pode ser transmitido: 
a) com a barra vazada do projeto original; 
b) com uma barra maciça de mesmo volume e 
comprimento da barra vazada do projeto original; 
c) com uma barra vazada com diâmetro externo de 
200 mm e de mesmo volume e comprimento da 
barra vazada do projeto original; 
 
 
Resolução: 
a) T = ?  de modo que máx ≤ adm = 83 MPa 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
 ci = 0,050 m; c = 0,075 m 
 Joriginal =1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [. ( (0,075)4] - (0,050)4 ) ] = 39,8 . 10-6 m4 
 
𝟖𝟑 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝑻 . 𝟎, 𝟎𝟕𝟓
𝟑𝟗, 𝟖 . 𝟏𝟎−𝟔 
→ 𝑻 = 
𝟖𝟑 . 𝟏𝟎𝟔 . 𝟑𝟗, 𝟖 . 𝟏𝟎−𝟔 
𝟎, 𝟎𝟕𝟓
= 𝟒𝟒𝟎𝟒𝟓 𝑵. 𝒎 = 𝟒𝟒 𝑲𝑵. 𝒎 
 
b) T = ?  de modo que volume barra sólida seja 
 o mesmo da barra vazada do projeto original: 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
 Asólida =  c2 
= 
 Aoriginal =  [(0,075)2 - (0,050)2] = 9,8175 . 10-3 m2 
 c2 = 9,8175 . 10-3  c = 0,056 m = 56 mm 
 Jsólida = 1/2 [.c4] = 1/2 [ . (0,056)4] = 15,45 . 10-6 m4 
 
𝟖𝟑 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝑻 . 𝟎, 𝟎𝟓𝟔
𝟏𝟓, 𝟒𝟓 . 𝟏𝟎−𝟔 
→ 𝑻 = 
𝟖𝟑 . 𝟏𝟎𝟔 . 𝟏𝟓, 𝟒𝟓 . 𝟏𝟎−𝟔 
𝟎, 𝟎𝟓𝟔
= 𝟐𝟐𝟖𝟗𝟗 𝑵. 𝒎 = 𝟐𝟐, 𝟗 𝑲𝑵. 𝒎 
 
c) T = ?  de modo que volume barra vazada seja 
 o mesmo da barra vazada do projeto original: 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
 ci = ?; c = 0,100 m 
 Avazada =  [(0,100)2 - (c1)2] = 0,03142 -  (c1)2 
 Aoriginal = 9,8175 . 10-3 m2 
 0,03142 -  (c1)2 = 9,8175 . 10-3  c1 = 0,083 m = 83 mm 
 Jvazada = 1/2 [. ( (c2)4 - (c1)4) ] = 1/2 [. ( (0,1)4] - (0,083)4 ) ] = 82,53 . 10-6 m4 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
𝟖𝟑 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝑻 . 𝟎, 𝟏𝟎
𝟖𝟐, 𝟓𝟑 . 𝟏𝟎−𝟔 
→ 𝑻 = 
𝟖𝟑 . 𝟏𝟎𝟔 . 𝟖𝟐, 𝟓𝟑 . 𝟏𝟎−𝟔 
𝟎, 𝟏𝟎
= 𝟔𝟖𝟓𝟎𝟎 𝑵. 𝒎 = 𝟔𝟖, 𝟓 𝑲𝑵. 𝒎 
 
2,50 m 
150 mm 100 mm 
Vsólido = Voriginal 
Asólida . L = Aoriginal . L 
Asólida = Aoriginal 
 
Vvazada = Voriginal 
Avazada . L = Aoriginal . L 
Avazada = Aoriginal 
 
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Barras circulares  Submetidas á ação de diversos momentos de torção ou torques: 
 Nestes casos, o momento de torção interno ou torque interno bem como o 
ângulo de torção são determinados pelo método das seções considerando a seguinte 
convenção de sinais: 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS: Para realizar o somatório 
Regra da mão direita: 
Polegar saindo da seção: Polegar entrando na seção: 
 T  + (torque positivo) T  - (torque negativo) 
   + (ângulo de torção positivo)  - (ângulo de torção negativo) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo5: O eixo circular no trecho central BC é vazado, e tem diâmetros de 90 mm e 
120 mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com 
diâmetro d. Determine, para o carregamento indicado: 
a) o valor máximo e o valor mínimo da tensão de cisalhamento no trecho BC; 
b) qual o diâmetro necessário nos trechos AB e CD se a tensão admissível no material 
é 65 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABCD: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TAd = - 6 kN.m 
TBe = - 6 kN.m 
TBd = - 6 -14 = - 20 kN.m 
TCe = - 20 kN.m 
TCd = - 20 + 26 = 6 kN.m 
TDe = + 6 kN.m 
 
 
 
 
A B C D 
Torque (kN.m) 
TAB = - 6 kN.m 
TBC = - 20 kN.m 
TCD = + 6 kN.m 
 L (m) 
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a) máx = ? e mín = ? do trecho BC 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 e 𝝉𝒎í𝒏 = 
𝒄𝒊 
𝒄
 𝝉𝒎á𝒙 
 
 Jbarra = 1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [.( (0,06)4 - (0,045)4 ) ] = 13,921 . 10-6 m4 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 =
20 . 𝟏𝟎𝟑 . 0,06 
13,921 . 𝟏𝟎−𝟔
= 86,20 .𝟏𝟎𝟔 N . 𝒎𝟐 = 86,20 MPa 
 
𝝉𝒎í𝒏 = 
𝒄𝒊 
𝒄
 𝝉𝒎á𝒙 = 
0,045 
0,06
 86,20 = 64,7 MPa 
 
b) dAB = ? e dCD = ?  de modo que máx ≤ adm = 65 MPa 
 - como máx < e ( tensão de cisalhamento de escoamento) 
 - Tensões no regime elástico  o que permite utilizar a equação: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 para calcular o diâmetro necessário dos trechos AB e CD: 
 
 - Como: | TAB | = | TCD | = 6 kN.m  ambos os trechos terão o mesmo diâmetro; 
 
 - Nos trechos ABe CD o eixo circular é maciço, portanto: JEIXO = Jcírculo 
 
 - Jcírculo = 1/2 [ . (c)4] 
 
 Substituindo: máx , T e J na equação: 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 → 𝟔𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟔 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒄 
𝟏/𝟐 [ 𝛑. (𝐜)𝟒]
 → 𝟔𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟔 . 𝟏𝟎𝟑 
𝟏/𝟐 𝛑 . 𝐜𝟑
 
 
𝐜𝟑 =
𝟔 . 𝟏𝟎𝟑 
𝟏/𝟐 𝛑 . 𝟔𝟓 . 𝟏𝟎𝟔
 → 𝐜𝟑 =
𝟔 . 𝟏𝟎𝟑 
𝟏/𝟐 𝛑 . 𝟔𝟓 . 𝟏𝟎𝟔
= 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟕𝟔 . 𝟏𝟎−𝟑 
 
𝒄 = √𝟎
𝟑
, 𝟎𝟓𝟖𝟕𝟔 . 𝟏𝟎−𝟑 → 𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖𝟖𝟕𝟕 𝒎 = 𝟑𝟖, 𝟗 𝒎𝒎 → 𝒅 = 𝟐. 𝒄 = 𝟕𝟕, 𝟖 𝒎𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo6: O eixo mostrado na figura a seguir está apoiado em dois mancais e sujeito a 
três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos 1 e 2 
localizados na seção s-s. Representar o estado de tensão nos pontos 1 e 2 por 
elementos infinitesimais de volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABCD: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TAd = 0 kN.mm 
TBe = 0 kN.mm 
TBd = - 4250 kN.mm 
TCe = - 4250 kN.mm 
TCd = - 4250 + 3000 = - 1250 kN.mm 
TDe = - 1250 kN.mm 
TDd = - 1250 + 1250 = 0 kN.mm 
TEe = 0 kN.mm 
 
A seção s-s  está no trecho CD  T = 1250 kN.mm 
1 = ? e 2 = ?  𝝉 = 𝑻 . 𝝆 
𝑱
 
 
- 1 = 75 mm = 0,075 m ; 2 = 15 mm = 0,015 m 
 - Jbarra =1/2 [. c4 ] = 1/2 [. 0,0754] = 49,70 . 10-6 m4 
 
𝝉𝟏 =
𝑻 . 𝝆𝟏 
𝑱
 = 
𝟏𝟐𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟎𝟕𝟓
𝟒𝟗, 𝟕𝟎 . 𝟏𝟎−𝟔
= 𝟏, 𝟖𝟗 . 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝒎𝟐 = 𝟏, 𝟖𝟗 𝑴𝑷𝒂 
 
𝝉𝟐 =
𝑻 . 𝝆𝟏 
𝑱
 = 
𝟏𝟐𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟓
𝟒𝟗, 𝟕𝟎 . 𝟏𝟎−𝟔
= 𝟎, 𝟑𝟖 . 𝟏𝟎𝟔 
𝑵
𝒎𝟐
 = 𝟎, 𝟑𝟖 𝑴𝑷𝒂 
 
 
OBS: Esquerda  direita Esquerda  Direita 
 
 
 
 
 Ponto 1: 
 
 
 Ponto 2: 
1 
2 
s 
s 
A B C D E 
Torque (kN.mm) 
TBC = - 4250 kN.mm 
TCD = - 1250 kN.mm 
TAB = 0 
A 
B 
C 
D 
E
D 
TDE= 0 
1,89 MPa 
0,38 MPa 
 L (mm) 
1 
2 
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Exemplo7: A tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPa 
na barra de aço AB de 38,1 mm de diâmetro e 55 MPa na 
barra de latão BC de 45,7 mm de diâmetro. Desprezando o 
efeito de concentrações de tensão, determine o maior valor 
para o torque T que pode ser aplicado. 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção 
ao longo da barra ABC: 
 Analisando de cima  baixo: 
 
TAi = - T kN.m 
TBs = - T kN.m 
TBi = - T + 2,5 T = + 1,5 T kN.m 
TCs = + 1,5 T kN.m 
 
 
Trecho AB: TAB = T = ? 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
  𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
 
 Sabe-se: máx = 103 MPa = 103 . 106 N/m2 
 
c = d/2 = 38,1/2 = 19,05 mm = 0,01905 m 
 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . 𝒄𝟒)  momento de inércia polar da barra; 
 Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,019054 ] = 2,069 . 10-7 m4 
 
𝑻𝑨𝑩 = 𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
=
 103 . 106 . 2,069 . 10−7 
0,01905
1,12 . 103 𝑁. 𝑚 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 
𝑻 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 
 
Trecho BC: TBC = 1,5 T = ? 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
  𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
 
 Sabe-se: máx = 55 MPa = 55 . 106 N/m2 
 
 c = d/2 = 45,7/2 = 22,85 mm = 0,02285 m 
 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . 𝒄𝟒)  momento de inércia polar da barra; 
 Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,022854 ] = 4,282 . 10-7 m4 
 
𝑻𝑩𝑪 = 𝟏, 𝟓𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
=
 55 . 106 . 4,282 . 10−7 
0,02285
= 1,03 . 103 𝑁. 𝑚 = 𝟏, 𝟎𝟑 𝒌𝑵. 𝒎 
𝟏, 𝟓 𝑻 = 𝟏, 𝟎𝟑 𝒌𝑵. 𝒎 
 𝑻 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟕 𝒌𝑵. 𝒎 
 
Comparando os valores limites para T de cada trecho, verifica-se que o valor máximo 
para o torque: T = 0,687 kN.m 
A 
 B 
Torque (kN.m) 
TAB= - T 
T 
2,5 T 
aço 
 latão 
 L (m) 
C 
TAB= + 1,5 T 
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Exemplo8: Dois eixos maciços de aço estão acoplados pelas engrenagens mostradas 
na figura. Eixo AB está apoiado no mancal A que permite livre rotação e o eixo CD está 
fixo em D, o que impede o giro livre dos eixos. Sabendo-se que a tensão de 
cisalhamento de ruptura é de 110 MPa, determine: o maior torque que To que pode ser 
aplicado considerando um fator de segurança de 2,0; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- T0 = ?  Para que a tensão de cisalhamento máxima na 
 barra AB e na barra CD  adm =110/2 = 55 MPa 
 
 - Na barra AB: TAB = T0 
 - Na barra CD: TCD = ? 
 
 - Lembrando do conceito de momento de torção ou torque: 
 T = F. r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TAB = T0  T0 = F1 . 0,022  F1 = T0/0,022 
 
 TCD = ?  TCD = F1 . 0,062  TCD = (T0/0,022) . 0,062 
  TCD = 2,82T0 
 
 - Com o torque nas barras definidos em função de T0, o maior valor para T0 
pode ser determinado: 
 TAB = T0 
 TCD = 2,82T0 
 
900 mm 
650 mm 
25 mm 
19 mm 
62 mm 
22 mm 
rC rB 
C 
B 
F1 
F1 
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13 
 
 
- barra AB: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
  𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
 → 𝑻 = 𝑻𝑨𝑩 = 𝑻𝟎 
 Sabe-se: máx = 55 MPa = 55 . 106 N/m2 
 
 c = d/2 = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m 
 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . 𝒄𝟒)  momento de inércia polar da barra; 
 Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,00954 ] = 1,28 . 10-8 m4 
 
𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
=
 𝟓𝟓 . 106 . 1,28 . 10−8 
0,0095
= 74,11 𝑁. 𝑚 
 
𝑻 = 𝑻𝑨𝑩 = 𝑻𝟎 = 74,11 𝑁. 𝑚 
 
𝑻𝟎 = 𝟕𝟒, 𝟏𝟏 𝑵. 𝒎 
 
 
 
- barra CD: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
  𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
 → 𝑻 = 𝑻𝑪𝑫 = 𝟐, 𝟖𝟐𝑻𝟎 
 Sabe-se: máx = 55 MPa = 55 . 106 N/m2 
 
 c = d/2 = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m 
 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . 𝒄𝟒)  momento de inércia polar da barra; 
 Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,01254 ] = 3,83 . 10-8 m4 
 
𝑻 =
 𝝉𝒎á𝒙. 𝑱 
𝒄
=
 𝟓𝟓 . 106 . 3,83 . 10−8 
0,0125
= 168,52 𝑁. 𝑚 
 
𝑻 = 𝑻𝑪𝑫 = 𝟐, 𝟖𝟐𝑻𝟎 = 168,52 𝑁. 𝑚 
𝟐, 𝟖𝟐𝑻𝟎 = 168,52 𝑁. 𝑚 
 
𝑻𝟎 = 𝟓𝟗, 𝟕𝟔 𝑵. 𝒎 
 
 
Para que a tensão na barra AB não ultrapasse 55 MPa  T0 = 74,11 N.m 
Para que a tensão na barra CD não ultrapasse 55 MPa  T0 = 59,76 N.m 
 
 Portanto, para a tensão de 55 MPa não seja ultrapassada nas duas barras o 
maior valor para T0 é 59,76 N. m;Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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14 
 
 
Exemplo9: Um torque de intensidade T = 120 kN.m é 
aplicado ao eixo AB do trem de engrenagem mostrado. 
Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível para 
os três eixos sólidos é de 75 MPa, determine: 
a) o diâmetro necessário de cada eixo  AB; CD; EF; 
b) a intensidade e o sentido (horário ou anti-horário) 
da força F que deve ser aplicada sobre o 
disco dentado do eixo EF para que o trem 
de engrenagem fique em equilíbrio estático; 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) 
1- Determinar o toque em cada eixo do trem 
 Eixo AB: TAB = 120 kN.m 
 Eixo CD: TCD = ? kN.m 
 Eixo EF: TEF = ? kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TORQUE: T = F. r 
 TAB = 120 kN.m = F1 . rB  120 = F1 . 0,025  F1 = 120/0,025 = 4800 kN 
 
 TCD = ? kN.m = F1 . rC  TCD = 4800 . 0,060 = 288 kN.m 
 
 TCD = 288 kN.m = F2 . rD  288 = F2 . 0,030  F2 = 288/0,030 = 9600 kN 
 
 TEF = ? kN.m = F2 . rE  TEF = 9600 . 0,075 = 720 kN.m 
 
 
 
 
 
 
rE rD 
rC rB 
E 
D 
C 
B 
F1 
F1 
F1 
F2 
F2 
F2 
TCD 
TEFD 
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15 
 
 
2 - Conhecido os torques os diâmetros podem ser determinados: 
 dAB = ?  de modo que máx ≤ adm = 75 MPa 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 ; TAB = 120 kN.m ; c = r ; Jcírculo = 1/2 [ . (c)4] = 1/2 [ . (r)4] 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 → 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟏𝟐𝟎 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒓 
𝟏/𝟐 [ 𝛑. (𝐫)𝟒]
 → 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟏𝟐𝟎 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒓 
𝟏, 𝟓𝟕𝟏 . 𝐫𝟒 
 
 
 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟕𝟔, 𝟑𝟖𝟒 . 𝟏𝟎𝟑 
 𝐫𝟑 
 → 𝐫𝟑 =
𝟕𝟔, 𝟑𝟖𝟒 . 𝟏𝟎𝟑 
 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔
 → 𝒓 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟏 𝒎 = 𝟏𝟎, 𝟏 𝒄𝒎 
 
 
dCD = ?  de modo que máx ≤ adm = 75 MPa 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 ; TCD = 288 kN.m ; c = r ; Jcírculo = 1/2 [ . (c)4] = 1/2 [ . (r)4] 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 → 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟐𝟖𝟖 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒓 
𝟏/𝟐 [ 𝛑. (𝐫)𝟒]
 → 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟐𝟖𝟖 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒓 
𝟏, 𝟓𝟕𝟏 . 𝐫𝟒 
 
 
 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟏𝟖𝟑, 𝟑𝟐𝟑 . 𝟏𝟎𝟑 
 𝐫𝟑 
 → 𝐫𝟑 =
𝟏𝟖𝟑, 𝟑𝟐𝟑 . 𝟏𝟎𝟑 
 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔
 → 𝒓 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟓 𝒎 = 𝟏𝟑, 𝟓 𝒄𝒎 
 
 
dEF = ?  de modo que máx ≤ adm = 75 MPa 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 ; TEF = 720 kN.m ; c = r ; Jcírculo = 1/2 [ . (c)4] = 1/2 [ . (r)4] 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 → 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟕𝟐𝟎 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒓 
𝟏/𝟐 [ 𝛑. (𝐫)𝟒]
 → 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟕𝟐𝟎 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝒓 
𝟏, 𝟓𝟕𝟏 . 𝐫𝟒 
 
 
 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 =
𝟒𝟓𝟖, 𝟑𝟎𝟕 . 𝟏𝟎𝟑 
 𝐫𝟑 
 → 𝐫𝟑 =
𝟒𝟓𝟖, 𝟑𝟎𝟕 . 𝟏𝟎𝟑 
 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔
 → 𝒓 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟑 𝒎 = 𝟏𝟖, 𝟑 𝒄𝒎 
 
 
b) Para o trem de engrenagem ficar em equilíbrio estático deve ser aplicado sobre o 
disco dentado do eixo EF uma força F = F2 = 9600 kN no sentido HORÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 
 
 
4 - Ângulo de torção () no regime elástico 
 Para uma barra circular sujeita à ação de 
um momento de torção ou torque (T) aplicado em 
uma das suas extremidades, as seções transversais 
sofrem uma rotação, ou seja, apresentam um 
ângulo de torção, conforme mostra a figura 6; 
 
 
 
 
 Figura 6: Ângulo de torção 
 Produzido por um torque; 
 
 Para barras e eixos de seção circular CONSTANTE submetido à ação de um 
torque aplicado em sua extremidade, o ângulo de torção é definido por: 
 𝝓 =
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
 (em radianos) (6) 
 
Em que: 
T = Torque aplicado na barra; 
L = comprimento da barra; 
J = momento polar de inércia da seção transversal da barra; 
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento; 
 
Se a barra ou eixo de seção circular CONSTANTE estiver sujeita a diversos 
momentos de torção ou torques, conforme mostra a figura 7, o ângulo de torção dado 
pela equação (6) é escrita da seguinte forma: 
 𝝓 = ∑
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
 (em radianos) (7) 
 
O ângulo de torção é dado pela 
 soma do ângulo de cada trecho da barra. 
 
 
 
 Figura 7: Ângulo de torção 
 Produzido por vários 
 Torque aplicados; 
 
Para determinar este ângulo é necessário estabelece uma convenção de sinais: 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS: Para realizar o somatório 
Regra da mão direita: 
Polegar saindo da seção: Polegar entrando na seção: 
 T  + (torque positivo) T  - (torque negativo) 
   + (ângulo de torção positivo)  - (ângulo de torção negativo) 
 
 
 
 
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17 
 
 
Exemplo10: a)Que valor de momento de torção 
deve ser aplicado à barra circular do Exemplo1, 
de modo que o ângulo de torção produzido na 
extremidade A seja de 20 ?; 
 b) Que ângulo de torção provoca uma tensão de 
cisalhamento de 70 MPa na face interna da barra? 
Aço inoxidável: E= 190 GPa; G = 77 GPa; 
 
Resolução: 
a)T = ? de modo que o ângulo de torção da barra seja: ∅ = 𝟐𝟎 
 𝝓A/B = 𝝓A =
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
 (em radianos) 
 
 - Porém, antes de calcular este T é necessário determinar: J =? 
J = ? Momento polar da barra vazada: 
Jbarra = 1/2 [. ( (c2)4] - (c1)4) ] = 1/2 [. ( (0,03)4] - (0,02)4) ] = 1,021 . 10-6 m4 
 
OBS: Lembrando que o ângulo de torção é calculado em radianos: 2 radianos = 3600 
 x = 20  x = 34,9 x 10-3 rad 
 
𝝓A =
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
 → 𝑻 = 
 𝝓A . 𝑱 . 𝑮 
𝑳 
 = 
34,9 . 10−3 . 1,021 . 10−6 . 77. 109 
1,5 
 
 
 𝑻 = 1,829 . 103 N.m = 1,83 . kN.m 
 
b) 𝝓 = ? de modo que a tensão na face interna do barra circular: 𝝉𝒎𝒊𝒏 = 70 MPa 
 - O ângulo de torção é determinado por: 
𝝓A =
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
 
 
 - Porém, antes de calcular este ângulo é necessário determinar: T =? 
 T=?  produz na face interna da barra uma tensão: 𝝉𝒎𝒊𝒏 = 70 MPa 
 
 - A tensão de cisalhamento () de qualquer ponto distante  do eixo central da 
barra circular provocado por momento de torção T pode ser calculada por: 
𝝉 = 
𝑻 . 𝝆 
𝑱
 
Nesta equação sabemos: 𝝉𝒎𝒊𝒏 = 70 MPa ; 𝝆 = 𝒄𝟏 = 0,02 ; J=1,021 . 10 
- 6 m4 
 
𝟕𝟎 . 𝟏𝟎𝟔 =𝑻 . 𝟎, 𝟎𝟐 
𝟏, 𝟎𝟐𝟏 . 𝟏𝟎−𝟔
 → 𝑻 =
𝟕𝟎 . 𝟏𝟎𝟔 . 𝟏, 𝟎𝟐𝟏 . 𝟏𝟎−𝟔 
𝟎, 𝟎𝟐
 → 𝑻 = 𝟑𝟓𝟕𝟑, 𝟓 𝑵. 𝒎 
 
 - Agora o ângulo produzido para esta tensão na face interna vale: 
 
𝝓A =
𝟑𝟓𝟕𝟑, 𝟓 . 𝟏, 𝟓 
1,021 . 10-6 . 𝟕𝟕 . 𝟏𝟎𝟗 
 = 68,18 . 𝟏𝟎−𝟑 rad = 𝟑,9𝟏𝟎 
 
 
 
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18 
 
 
 Exemplo11: Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AE e o 
deslocamento do dente P da engrenagem A. Supondo que o material das engrenagens 
e do eixo tenha as seguintes tenha módulo de elasticidade de cisalhamento ou 
transversal G = 80 GPa. O eixo possui 14 mm de diâmetro, a engrenagem A possui 
100 mm de raio. O eixo gira livremente no mancal (ponto de apoio) em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABCD: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TAd = +150 N.m 
TCe = +150 N.m 
TCd = + 150 - 280 = -130 N.m 
TDe = - 130 N.m 
TDd = - 130 - 40 = - 170 N.m 
TEe = - 170 N.m 
 
 
 
 
a) 
Como o eixo é feito de um único material e possui seção constante, em cada trecho do 
eixo J e G serão os mesmos em todos os trechos: 
 Jbarra = 1/2 [. (c)4] = 1/2 [. (0,007)4] = 3,77 . 10-9 m4 
 G = 80 . 109 N/m2 
𝝓A = ∑
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
= 
+𝟏𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟒
𝟑, 𝟕𝟕. 𝟏𝟎−𝟗. 𝟖𝟎 . 𝟏𝟎𝟗
 + 
−𝟏𝟑𝟎 . 𝟎, 𝟑
𝟑, 𝟕𝟕. 𝟏𝟎−𝟗. 𝟖𝟎 . 𝟏𝟎𝟗
 +
−𝟏𝟕𝟎 . 𝟎, 𝟓
𝟑, 𝟕𝟕. 𝟏𝟎−𝟗. 𝟖𝟎 . 𝟏𝟎𝟗
 
 
𝝓A = −0,212 rad = −𝟏𝟐, 𝟏𝟓
𝟎 
 
Pela regra da mão direita a extremidade A do eixo gira no sentido, ilustrado abaixo: 
 
Valor negativo: polegar entrando na seção; 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
D E 
Torque (N.m) 
TCD = - 130 N.m 
TAC = +150 N.m 
TDE= - 170 N.m 
 L (m) C 
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19 
 
 
b) O deslocamento do dente P da engrenagem A é dado por: 
 
dp = PP’ = ? 
Lembrando que para ângulos pequenos: sen =  e tg  = 
INSERIR SEMPRE O ÂNGULO NO S.I  EM RADIANOS 
𝑠𝑒𝑛 𝝓A = 
𝑃𝑃′
𝑟
→ 𝑃𝑃′ = 𝑠𝑒𝑛 𝝓A . 𝑟 = 0,212 .100 mm = 21,2 mm 

dP = PP’ = 21,2 mm 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
r 

P’ 
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20 
 
 
Exemplo12: O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido 
aos torques mostrados na figura a seguir. O eixo é vazado no trecho CD. Sabendo que 
o eixo é feito de aço com G = 77 GPa, determine o ângulo de torção da extremidade A. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção 
 ao longo da barra ABCD: 
 Analisando da direita  esquerda: 
TAe = - 250 N.m 
TBd = - 250 N.m 
TBe = - 250 - 2000 = - 2250 N.m 
TCd = - 2250 N.m 
TCe = - 2250 N.m 
TDd = - 2250 N.m 
 
 
 
 
Como o eixo é feito de um único material, porém possui seção diferente em cada 
trecho. Portanto, cada trecho possui um J diferente: 
Trechos: 
 JAB = 1/2 [. (c)4] = 1/2 [. (0,015)4] = 0,0795 . 10-6 m4 
 JBC = 1/2 [. (c)4] = 1/2 [. (0,030)4] = 1,272 . 10-6 m4 
 JCD = 1/2 [. ( (c2)4] - (c1)4) ] = 1/2 [. ( (0,030)4] - (0,022)4) ] = 0,904 . 10-6 m4 
 G = 77 . 109 N/m2 
 
𝝓A = ∑
𝑻 . 𝑳 
𝑱. 𝑮 
= 
−𝟐𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟒
𝟎, 𝟎𝟕𝟗𝟓. 𝟏𝟎−𝟔. 𝟕𝟕 . 𝟏𝟎𝟗
 + 
−𝟐𝟐𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟐
𝟏, 𝟐𝟕. 𝟏𝟎−𝟔. 𝟕𝟕 . 𝟏𝟎𝟗
 +
−𝟐𝟐𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟔
𝟎, 𝟗𝟎𝟒. 𝟏𝟎−𝟔. 𝟕𝟕 . 𝟏𝟎𝟗
 
 
𝝓A = −0,0403 rad = −𝟐, 𝟑𝟏
𝟎 
 
Pela regra da mão direita a extremidade A do eixo gira no sentido, ilustrado abaixo: 
 
Valor negativo: polegar entrando na seção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D B A 
Torque (N.m) 
TBC = - 2250 N.m TCD = - 2250 N.m 
TAB = - 250 N.m 
 L (m) C 
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21 
 
 
5 - Torção em barras sólidas de seção não-circular 
 Para estas barras verifica-se que ao serem submetidas à momentos de torção a 
seção transversal apresentam uma distribuição de tensão de cisalhamento, conforme 
ilustra a figura a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em barras ou eixos de seção não circular submetidos à ação de 
torques verifica-se o seguinte comportamento: 
 - A tensão de cisalhamento varia de zero até um valor máximo ao atingir 
sobre uma das faces, conforme indicado na figura (a); 
 - Pontos localizados nos vértices ou ao longo das arestas longitudinais 
possuem tensão de cisalhamento nula, conforme indicado nas figuras (a) e (c ); 
 
 Por meio de ensaios experimentais e da Teoria da elasticidade determinou-se 
para algumas seções não-circulares equações que fornecem o valor da tensão de 
cisalhamento máxima e o valor do ângulo de torção, apresentadas na tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
a/b = 1,51 
c1 =? 
c2 =? 
interpolação 
a/b c1 c2 
1,0 0,208 0,1406 
1,2 0,219 0,1661 
1,5 0,231 0,1958 
2,0 0,246 0,229 
2,5 0,258 0,249 
3,0 0,267 0,263 
4,0 0,282 0,281 
5,0 0,291 0,291 
10,0 0,312 0,333 
 
 T T . L 
C1ab2 C2ab3G 
Retangular máx  
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22 
 
 
Se barra estiver sujeita a diversos momentos de torção ou torques o ângulo de torção 
dado pelas equações apresentadas na tabela acima é escrita da seguinte forma: 
 
Barras de seção quadrada: 
 
 𝝓 = ∑
𝟕, 𝟏𝟎 . 𝑻 . 𝑳 
𝒂𝟒. 𝑮 
 (em radianos) (8) 
 
 
 
Barras de seção triangular: 
 
𝝓 = ∑
𝟒𝟔 . 𝑻 . 𝑳 
𝒂𝟒. 𝑮 
 (em radianos) (9) 
 
 
 
Barras de seção elíptica: 
 
𝝓 = ∑
(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐). 𝑻 . 𝑳 
𝝅. 𝒂𝟑. 𝒃𝟑. 𝑮 
 (em radianos) (10) 
 
 
 
Barras de seção retangular: 
 
 𝝓 = ∑
. 𝑻 . 𝑳 
𝒄𝟐 . 𝒂 𝒃𝟑. 𝑮 
 (em radianos) (11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
 
Exemplo13: Determine o maior momento de torção T que 
pode ser aplicado na extremidade do eixo feito de 
alumínio (G = 26 GPa) se a tensão de cisalhamento 
admissível é adm = 55,15 MPa e o ângulo de torção 
em sua extremidade é limitado a um valor máximo de 
 adm = 0,02 rad. Qual momento de torção T poderia ser 
aplicado a um eixo de seção transversal circular maciça, 
de mesmo volume e comprimento, considerando o mesmo 
limite de ângulo de torção em sua extremidade dado por 
adm = 0,02 rad; Obs: triângulo eqüilátero 
Resolução: 
De acordo com a tabela anterior o momento de torção 
pode ser determinado pelas seguintes equações: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
20 . 𝑇
𝑎3
 𝑒  = 
46 𝑇. 𝐿
𝑎4 . 𝐺
 
55,15 . 106 =
20 . 𝑇
0,03813
 → 𝑇 =
55,15 . 106 . 0,03813 
20
 → 𝑇 = 152,51 𝑁. 𝑚 
 𝑒 
0,02 = 
46 𝑇 . 1,25
0,03814 . 26 . 109
 → 𝑇 =
0,02 . 0,03814 . 26 . 109
46 . 1,25
 → 𝑇 = 19,1 𝑁. 𝑚 
 
Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassar 
a tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 19,1 N.m 
 
 T = ?  eixo circular de mesmo volume e comprimento do eixo triangular 
 Vcircular = Vtriangular 
 Acírculo . L = Atriângulo . L 
 
Acírculo = Atriângulo B= 38,1/2 = 19,05 mm 
Atriângulo = 2 [ 1/2 . H . B] 
 
 tg 600 = H/ B  1,7321 = H/ 19,05 
 H = 1,732 . 19,05 = 33,0 mm 
 
Atriângulo = 2 [ 1/2 . H . B] = 2 [ 1/2 . 33,0 . 19,05 ] = 628,65 mm2 
Acírculo = Atriângulo   r2 = 628,65  r = 14,15 mm 
 
 𝝉𝒂𝒅𝒎 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 𝑒  = 
𝑻 . 𝑳 
𝑱.𝑮 
 
 c = 14,15 mm = 0,01415 m 
 Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,014154 ] = 6,30 . 10-8 m4 
 
55 . 156 =
𝑇 . 0,01415
6,30 . 10−8
 → 𝑇 = 
55,15 . 106 . 6,30 . 10−8 
0,01415
 → 𝑇 = 245,54 𝑁. 𝑚 
 𝑒 
0,02 = 
 𝑇 . 1,25
6,30 . 10−8 . 26 . 109
 → 𝑇 =
0,02 . 6,30 . 10−8 . 26 . 109
 1,25
 → 𝑇 = 26,21 𝑁. 𝑚 
Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassar 
a tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 26,21 N.m 
 
1,25 m 
38,1 mm 
600 
H=? 
B B 
38,1 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
24 
 
 
Exemplo14: Determine o maior momento de torção T 
que pode ser aplicado sobre o eixo maciço feito de 
aço com tensão de cisalhamento admissível 
dada por adm = 69 MPa e o ângulo de torção em 
sua extremidade é limitado a um valor máximo 
de adm = 1,50. Sabendo que b = 20 mm e que 
G = 77 GPa; 
 
 
 
Resolução: 
De acordo com a tabela anterior o momento de torção 
pode ser determinado pelas seguintes equações: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑇
𝑐1𝑎𝑏2
 𝑒  = 
𝑇. 𝐿
𝑐2𝑎𝑏3 . 𝐺
𝐸
 
a = 30 mm; 
b = 20 mm 
a/b = 30/20 = 1,50  tabela fornece: c1 = 0,231 e c2 = 0,1958 
 
= 1,500  2rad - 3600 
 x - 1,50 
 
 x = 1,50 . 2rad / 3600 = 0,026 rad 
 
 
69 . 106 =
𝑇
0,231 . 0,030 . 0,0202
 → 𝑇 = 69 . 106 . 0,231 . 0,030 . 0,0202 
 
 → 𝑇 = 191,27 𝑁. 𝑚 
 
 𝑒 
 
0,026 = 
 𝑇 . 0,75
0,1958 . 0,030 . 0,0203 . 77 . 109
 
 
 𝑇 =
0,026 . 0,1958 . 0,030 . 0,0203 . 77 . 109
0,75
 = 125,43 𝑁. 𝑚 
 
 
 
Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassar 
a tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 125,43 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
 
Exemplo15: Determine o maior momento de torção T que pode ser aplicado na barra 
maciça de seção transversal retangular se a tensão de cisalhamento admissível é dada 
por adm = 55 MPa e o ângulo de torção em sua extremidade é limitado a um valor 
máximo de adm = 2,50. Sabendo que G = 26 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABC: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TAd = - T N.m 
TBe = - T N.m 
TBd = - T + 2,75 T = 1,75T N.m 
TCe = + 1,75T N.m 
 
 
 
 
 
Para barra de seção retangular sob ação de vários torques: 
pode ser determinado pelas seguintes equações: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑇
𝑐1𝑎𝑏2
 𝑒  = ∑
𝑇. 𝐿
𝑐2𝑎𝑏3 . 𝐺
𝐸
 
a = 150 mm; b = 100 mm 
a/b = 150/100 = 1,50  tabela fornece: c1 = 0,231 e c2 = 0,1958 
= 2,500  2rad - 3600 
 x - 2,50 x = 2,50 . 2rad / 3600 = 0,044 rad 
 
55 . 106 =
1,75 T
0,231 . 0,15 . 0,102
 → T = 55 . 106 . 0,231 . 0,15 . 0,102 
 → 𝑇 = 10,89 . 103𝑁. 𝑚 
 𝑒 
 
0,044 = 
− T . 2,0
0,1958 . 0,15 . 0,103 . 26 . 109
 +
+ 1,75 T . 3,0
0,1958 . 0,15 . 0,103 . 26 . 109
 
 
0,044 = −2,62 . 10−6𝑇 + 6,87 . 10−6𝑇 → 𝑇 =
0,044
4,25 . 10−6
= 10,35 . 103𝑁. 𝑚 
 
 
Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassar 
a tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 10,35 . 103 N.m 
 
T 
2,75 T 
A C 
Torque (N.m) 
TAB = - T 
TBC = +1,75 T 
 L (m) B 
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26 
 
 
6 - Torção em barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas 
 
 Para estas barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas, 
verifica-se que ao serem submetidos à ação de momentos de torção 
apresentam em qualquer ponto da parede fina uma 
tensão de cisalhamento média, cujo valor é dado por: 
 
𝝉𝒎é𝒅 =
𝑻 
𝟐𝒕 . 𝑨𝒎 
 (12) 
 
Onde: 
méd = tensão de cisalhamento média que atua sobre a espessura do tubo, 
T = momento de torção aplicado sobre o tubo; 
 t = espessura da parede do tubo; 
Am = área média compreendida no interior da linha de centro da espessura do tubo. 
 
 O ângulo de torção barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas é 
determinado por meio do método de energia, o qual fornece a seguinte expressão se o 
material do tubo comporta-se de maneira linear elástica: 
∅ =
𝑻𝑳
𝟒. 𝑨𝒎𝟐 . 𝑮
 . ∮
𝒅𝒔
𝒕
 (13) 
 
 Para barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas de espessura constante 
(t),a equação (13) pode ser escrita da seguinte forma: 
∅ =
𝑻𝑳
𝟒. 𝑨𝒎𝟐 . 𝑮
 . 
𝟏
𝒕
∮ 𝒅𝒔 (14) 
 
Onde: 
∮ 𝒅𝒔 → a integral é calculada ao longo da linha limite 
 da área média, ou seja , a integral representa o 
 comprimento desta linha limite 
 
∮ 𝒅𝒔 = comprimento da linha limite 
Exemplos: 
 
Ex1: Ex2 
 
 
 
 
 
 
 𝑬𝒙𝟏: 
𝟏
𝒕
∮ 𝒅𝒔 = 
𝟏
𝟎, 𝟎𝟖
 . 𝟎, 𝟏𝟖 + 𝟐 . 
𝟏
𝟎, 𝟎𝟐
 . 𝟎, 𝟐𝟒 +
𝟏
𝟎, 𝟎𝟒
 . 𝟎, 𝟏𝟖 
 
𝑬𝒙𝟐: 
𝟏
𝒕
∮ 𝒅𝒔 = 
𝟏
𝟎, 𝟏𝟎
 . 𝟎, 𝟒𝟓 + 
𝟏
𝟎, 𝟎𝟓
 . ( 𝟐 . 𝟎, 𝟒𝟎 +
𝟐 . 𝝅 . 𝟎, 𝟐𝟐𝟓
 𝟐
 ) 
0,30 m 
0,20 m 
0,08 m 
0,04 m 
0,02 m 
0,18 m 
0,24 m 
0,50 m 
0,45 m 
0,05 m 
0,10 m 
0,20 m 0,25 m 
0,40 m 
0,45 m 
0,225 m 
Comprimento do 
círculo: 2r 
0,02 m 
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27 
 
 
 
Se barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas com espessura constante (t) estão 
sob a ação de vários torques em cada trecho o ângulo de torção é definido por: 
 
∅ = ∑ [ 
𝑻𝑳
𝟒 . 𝑨𝒎𝟐 . 𝑮 
 . 
𝟏
𝒕
∮ 𝒅𝒔 ] (15) 
 
Por exemplo: o tubo possui três trechos sob diferentes torques: AB, BC, CD, 
Assim, para este tubo a equação (15) deve ser aplicada para cada trecho, sendo em 
seguida realizada a soma destes valores; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
28 
 
 
Exemplo16: O tubo CD é feito de alumínio (G = 26 GPa) e tem seção transversal 
quadrada como mostra a figura a seguir. Se o tubo estiver submetido a um torque de 
85 N.m, determine: 
a) a tensão de cisalhamento média no ponto A. 
Representar o estado de tensão no ponto A por 
meio de um elemento infinitesimal de volume. 
b) o ângulo de torção da extremidade livre C; 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra CD: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TCd = + 85 N.m 
TDe = + 85 N.m 
 
 
 
a) 
A tensão de cisalhamento média em pontos na parede de barras (tubos) e eixos 
vazados de paredes finas é dada por: 
𝝉𝒎é𝒅 =
𝑻 
𝟐𝒕 . 𝑨𝒎 
 
 
 T = 85 N.m  O pontos A está trecho CD; 
 t = ? tA = 10,0 mm = 0,01 m 
Am = ?  área média 
Am = 50 . 50 = 2500 mm2 = 2500. 10-6 m2 
 
𝝉𝒎é𝒅_𝑨 =
𝟖𝟓 
𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟎 . 𝟐𝟓𝟎𝟎 . 𝟏𝟎 −𝟔
= 𝟏, 𝟕 . 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝒎 𝟐 = 𝟏, 𝟕𝟎 𝑴𝑷𝒂 
 
b) O ângulo de torção da extremidade C do tubo vale: 
- Quando o tubo esta sobre a influência de vários torques, o ângulo é dado por: 
 
𝐴∅ = ∑[ 
𝑇𝐿
4 . 𝐴𝑚2 . 𝐺 
 . 
1
𝑡
∮ 𝑑𝑠 ] 
 
 OBS: 
1
𝑡
∮ 𝑑𝑠 → Comprimento do contorno da Área média 
 
𝐴∅ =
85 . 1,5
4 . (2500. 10−6)2 . 26 . 109
 . [ 
1
0,010
 . ( 4 . 0,050)] 
𝐴 
 ∅ = 3,92 . 10−3 𝑟𝑎𝑑 
 
 
C D 
Torque (N.m) 
TCD = +85 N.m 
 L (m) 
1,70 MPa 
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29 
 
 
Exemplo17: O tubo é feito de bronze C86100 (G=38.109 Pa) e tem seção transversal 
retangular como mostra a figura a seguir, determine: 
a) a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B. Representar o estado de tensão 
nos pontos A e B por elementos infinitesimais de volume. 
b) o ângulo de torção da extremidade C; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra CDE: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TCd = + 60 N.m 
TDe = + 60 N.m 
TDd = + 60 - 25 = + 35 N.m 
TEe = + 35 N.m 
 
 
 
 
a) 
A tensão de cisalhamento média em pontos na parede de barras (tubos) e eixos 
vazados de paredes finas é dada por: 
𝝉𝒎é𝒅 =
𝑻 
𝟐𝒕 . 𝑨𝒎 
 
 
 T = 35 N.m  Os pontos A e B estão no trecho DE; 
 t = ? tA = 5,0 mm = 0,005 m \\\ tB = 3,0 mm = 0,003 m 
Am = ?  área média 
Am = (60 - 1,5 - 1,5 ) . ( 40 - 2,5 - 2,5) = 57 . 35 = 1995 mm2 
 Am = 1995. 10-6 m2 
 
𝝉𝒎é𝒅_𝑨 =
𝟑𝟓 
𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 . 𝟏𝟗𝟗𝟓 . 𝟏𝟎 −𝟔
= 𝟏, 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝒎 𝟐 = 𝟏, 𝟕𝟓 𝑴𝑷𝒂 
 
𝝉𝒎é𝒅_𝑩 =
𝟑𝟓 
𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 . 𝟏𝟗𝟗𝟓 . 𝟏𝟎 −𝟔
= 𝟐, 𝟗𝟐 . 𝟏𝟎𝟔 
𝑵
𝒎 𝟐
= 𝟐, 𝟗𝟐 𝑴𝑷𝒂 
 
 
 Ponto A: Ponto B: 
 
 
 
 
C E 
Torque (N.m) 
TDE= 35 N.m 
TCD = +60 N.m 
 L (m) 
D 
2,92 MPa 
1,75 MPa 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
30 
 
 
b) O ângulo de torção da extremidade C do tubo vale: 
- Como o tubo esta sobre a influência de vários torques, o ângulo é dado por: 
 
𝐴∅ = ∑[ 
𝑇𝐿
4 . 𝐴𝑚2 . 𝐺 
 . 
1
𝑡
∮ 𝑑𝑠 ] 
 
 
 OBS: 
 
1
𝑡
∮ 𝑑𝑠 → Comprimento do contorno da Área média 
 
 
 
𝐴∅ =
60 . 0,5
4 . (1995. 10−6)2 . 38 . 109
 . [ 
1
0,005
 . ( 2 . 0,057) +
1
0,003
 . ( 2 . 0,035)] 
𝐴 
 + 
35 . 1,5
4 . (1995. 10−6)2 . 38 . 109
 . [
1
0,005
 . ( 2 . 0,057) +
1
0,003
 . ( 2 . 0,035) ] 
 
 
𝐴∅ = 6,29 . 10−3 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
31 
 
 
Exemplo18: Um tubo fino é feito de três chapas de aço A-36 (G = 75 GPa) com 5 mm 
de espessura cada, de modo a formar uma seção transversal triangular como mostra a 
figura a seguir. Determine o torque máximo T ao qual o tubo pode ser submetido se a 
tensão de cisalhamento admissível é adm = 70 MPa e o tubo está restrito a uma torção 
de não mais que = 0,008 rad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra CD: 
 Analisando da esquerda  direita: 
TCd = + T N.m 
TDe = + T N.m 
 
 
 
 
O momento de torção pode ser determinado pelas seguintes equações: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑻 
𝟐𝒕 .𝑨𝒎 
 𝑒  = ∑
𝑇𝐿
4 .𝐴𝑚
2 .𝐺 
 . 
1
𝑡
∮ 𝑑𝑠 
 
 
 T = ? 
 t = ? t = 5,0 mm = 0,005 m 
 Am = ?  área média 
 Am = 2 (h .100/2) 
 h = ?  tg 600 = h/100  h = 173,21 mm 
 Am = 2 (173,21.100/2) = 17321,0 mm2 = 17321 . 10-6 m2 
 
70 . 106 =
T 
2 . 0,005 . 17321 . 10 −6
 → T = 12,12. 103 N. m = 12,12 kN. m 
 
 
 
𝐴0,008 =
𝑇 . 3,0
4 . (17321.10−6)2 . 75 . 109
 . [ 
1
0,005
 . ( 3 . 0,20)] 
𝐴 
→ T = 2,0. 103 N. m = 2,0 kN. m 
 
 
Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassar 
a tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 2,0 kN.m 
 
C D 
Torque (N.m) 
TCD = +T N.m 
 L (m) 
h 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
32 
 
 
3 Lista exercícios 
1) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão 
de cisalhamento admissível adm = 84 MPa. Se o 
diâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o torque 
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o 
o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 
25 mm de diâmetro ao longo do eixo? Faça um 
esboço (rascunho) da distribuição de tensão ao 
longo de uma linha radial, ou seja, sobre uma 
seção transversal do eixo em cada caso; 
 
 
 
2) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para 
transferir os torque aplicado às engrenagens. Determine 
 a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo 
 
 
 
 
 
3) O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e 
diâmetro interno de 25 mm. Se for submetido aos 
torques aplicados mostrados a seguir na figura, 
determine a tensão de cisalhamento máxima 
absoluta no eixo. O eixo é livre para girar nos 
mancais A e B; 
 
 
 
 
 
 
 
4) O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo 
de alumínio conectado tiver 25 mm de diâmetro interno e diâmetro externo de 35 mm, 
determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando for aplicada a força de 
600 N aos cabos. Além disso, faça um esboço (rascunho) da distribuição de tensão ao 
longo de uma linha radial, ou seja, sobre uma seção transversal do tubo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
D 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
33 
 
 
5) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm e tensão de 
cisalhamento admissível adm = 6 MPa. Considerando T1 = 215 N.m, 
Determine: 
a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo maciço; 
b) a tensão máxima na face interna de um eixo vazado com 
100 mm de diâmetro externo e com mesmo peso e 
Comprimento do eixo maciço; 
 
 
 
 
 
6) O motor transmite um torque de 50 N.m ao eixo AB. 
Esse torque é transmitido ao eixo CD pelas engrenagens 
em E e F. Determine o torque de equilíbrio T’ no eixo CD 
e a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. 
Os mancais C e D permitem livre rotação dos eixos. 
 Dica: T’= ?  torque de equilíbrio, ou seja, 
o torque necessário para o conjunto 
permanecer estático, imóvel; 
 
 
 
 
 
7) Para o eixo composto por dois segmentos AB e BC submetido ao 
carregamento mostrado na figura, determine os diâmetros d1 e d2 
exigidos para os segmentos AB e BC respectivamente. 
Considerar o material do eixo com tensão de cisalhamento 
admissível adm = 175 MPa; 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) O eixo de aço A-36 (G= 75 GPa) de 20 mm de diâmetro é 
Submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de 
Torção da extremidade B; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d1 
d2 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
34 
 
 
9) O eixo de aço-A36 (G =75 GPa) é composto pelos tubos AB e CD e 
uma seção maciça central BC. Está apoiado em mancais lisos 
que permitem livre rotação. Para o carregamento aplicado 
determine o ângulo de torção do disco dentado A em relação 
ao disco dentado D. Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm 
e diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça tem 
diâmetro de 40 mm; 
 
 
 
 
 
10) O parafuso de aço A-36 (G =75 GPa) com 
8 mm de diâmetro está parafusado firmemente ao bloco A. 
Determine as força conjugadas F que devem ser aplicada 
à chave de torque de modo que a tensão de cisalhamento máxima 
no parafuso seja de 18 MPa. Calcule também o deslocamento 
correspondente de cada força F necessário para causar essa tensão. 
Considerar que a chave de torque seja rígida (não deforme) 
Dica: calcular o ângulo  depois o comprimento do arco; 
 
 
11) Para o eixo maciço de aço A-36 (G =75 GPa) preso na 
parede e submetido aos carregamentos de torção mostrados 
na figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livre 
C do eixo devido a esses carregamentos. 
 
 
 
 
 
12) O eixo de latão vermelho C83400 (G =37 GPa) com 
60 mm de diâmetro está submetido aos carregamentos 
de torção mostrados na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento máxima nos trechos AC e BC e o ângulo 
de torção na extremidade A em relação à extremidade B; 
 
 
 
13) O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e está sendo parafusado 
em uma parede com uma chave torque. Determine a máxima tensão 
de cisalhamento no eixo e o deslocamento que cada 
força conjugada sofre se o valor das 
forças conjugadas for F = 150 N, 
Gaço = 75 GPa. 
 
 
 
 
 
250 mm 
150 mm 
150 mm 
150 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
35 
 
 
14) Para os casos de barras de seção s-s não circular constante ao longo da barra, 
conforme mostrado nas figuras a seguir , determine: 
a) maior momento de torção T que pode ser aplicado se a tensão de cisalhamento 
admissível é dada por adm = 55 MPa e o ângulo de torção em sua extremidade é 
limitado a um valor máximo de adm = 2,50. Sabendo que G = 26 GPa. 
b) Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no ponto 1 na seção s-s 
localizada no trecho bc. Utilizar o valor de T definido no item a. Representar o estado 
de tensão no ponto 1 por meio de um elemento infinitesimal de volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso1) Caso2) Caso3) 
 
 a a a 
 
 a = 25 mm a = 200 mm a =50 mm 
 seção: s-s seção: s-s seção: s-s b = 20 mm 
 
15) Para os casos de barras de seção s-s não circular constante ao longo da barra, 
conforme mostrado nas figuras a seguir , determine o valor necessário para a 
dimensão a da seção sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é dada por 
adm = 55 MPa e o ângulo de torção em sua extremidade é limitado a um valor máximo 
de adm = 1,50. Sabendo que G = 26 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso1) Caso2) Caso3) 
 
 a a a 
 
 a = ? a = ? a = ? 
 seção: s-s seção: s-s seção: s-s b = 0,4a 
 
T 
s 
s 
2,90T 
0,8 m 
0,6 m 
0,4 m 
1,2T 
a a b 
b 
T= 200 N.m s 
s 
1,2T 
0,8 m 
0,6 m 
0,4 m 
1,9T 
a a b 
b 
1 1 
1 
a 
b 
c 
d 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistênciados Materiais 2 
36 
 
 
16) O tubo de parede fina de aço inoxidável 304 
tem espessura de 10 mm. Se o torque aplicado 
for T = 50 N.m, determine a tensão de 
cisalhamento média no tubo; 
 
 
 
 
 
17) Para cada tubo de parede fina de aço inoxidável de seção transversal s-s constante 
mostrada nas figuras a seguir, determine: 
a) O valor máximo de T de modo que tensão de cisalhamento no tubo não ultrapasse 
103,4 MPa; 
b) comprimento máximo admissível para tubo de parede fina de modo que os torques 
determinados no item a não produzam um ângulo de torção na extremidade livre maior 
que 1,50. Adote G = 77,2 GPa; 
c) Determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida no ponto a da seção s-s 
localizada no trecho bc. Utilizar o valor de T definido no item a. Representar o estado 
de tensão no ponto a por meio de um elemento infinitesimal de volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso1) Caso2) Caso3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 seção: s-s seção: s-s seção: s-s 
T 
s 
s 
L =? 
t = 8 mm 
1,5T 
0,4L 
0,6L 
75 mm 
a 
b 
c