AULA 007 2017 (1)

Prévia do material em texto

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Elemento de treliça Espacial
- Formulação
AULA_07
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 01
Elemento de treliça espacial: Formulação
- Um elemento de treliça espacial possui três graus de liberdade (GL, ou DOF), U, V,
W, em cada Nó.
- No sistema global este elemento possui em cada nó três forças globais Fx, Fy e Fz,
correspondente aos deslocamentos nodais globais U, V, W. Desta forma o elemento de
treliça espacial é um elemento com 6 GLs e 2 Nós.
- Porém, como o elemento de treliça transmite apenas forças axiais, assim no sistema
local este elemento possui em cada nó apenas a força local fx, correspondente ao
deslocamento nodal u, sendo fy = 0 e fz= 0 . Desta forma as equações de equilíbrio no
sistema local são dadas por:
fx1 1 -1 u1
=(A E)/ L .  { f } = [ k ] . {  }
fx2 - 1 1 u2 f - Forças nodais no Sistema Local;
k - Matriz de Rigidez no Sistema Local;
 - Deslocamento nodais no Sistema Local;
X
Y
Z
Nó1
Fz1; w1
Sistema Local
x
y
zSistema Global
Fx1; U1
Fy1; V1 Nó 2 Fx2; U2
Fy2; V2
Fz2; w2
Nó1
fx1; u1
Nó 2
fx2; u2
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 02
Elemento de treliça espacial: Formulação
- As equações de equilíbrio no sistema local podem ser escritas de forma expandida, o
que facilita a sua posterior transformação para o sistema global, sendo a forma
expandida dada por:
fx1 1 0 0 -1 0 0 u1
fy1 0 0 0 0 0 0 v1
fz1 0 0 0 0 0 0 w1
= (A E) / L .  { f } = [ k ] . {  }
fx2 - 1 0 0 1 0 0 u2
fy2 0 0 0 0 0 0 v2
fz2 0 0 0 0 0 0 w2
f - Forças nodais no Sistema Local;
k - Matriz de Rigidez no Sistema Local;
 - Deslocamento nodais no Sistema Local;
- Como pode ser observado a RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO do elemento
escrita no sistema local, fornece a matriz de rigidez do elemento no sistema local;
Elemento de treliça só transmite 
forças axiais, então:
fy1 = fz1 = 0 e v1 = w1 = 0
fy2 = fz2 = 0 e v2 = w2 = 0
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 03
Elemento de treliça espacial: Formulação
- A análise de uma estrutura discretizada com elementos de treliça espacial consiste em
determinar:
- os deslocamentos nodais da estrutura;
- forças nodais da estrutura;
- força interna em cada elemento da estrutura;
- Para realizar esta análise é necessário estabelecer a
RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura, sendo esta representada por:
{ F } = [ K ] . { U }
onde: F - vetor forças nodais da estrutura (Sistema global);
K - Matriz de Rigidez da estrutura (Sistema global);
U - vetor de deslocamento nodais da estrutura (Sistema global);
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 04
Elemento de treliça espacial: Formulação
- A RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura é obtida a partir da
RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO dos elementos no Sistema Global, já que a
análise da Estrutura é sempre realizada no Sistema Global.
- Como a RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO dos elementos é inicialmente
escrita no Sistema local é necessário realizar uma transformação de modo a escrever
esta relação no Sistema Global.
- A fim de obter a RELAÇÃO FORÇA-DESLOCAMENTO dos elementos no Sistema
Global são realizadas algumas manipulações, sendo estas apresentadas a seguir;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 05
X
Y
Z
Sistema global
A posição dos eixos x, y, z Locais em relação aos eixos
X, Y, Z Globai é estabelecida respectivamante por meio
dos ângulos qx, qy, qz;
A
E
X
Y
Z
qx
qy
qz
Elemento de treliça espacial: Formulação
- 1a Manipulação: Estabelecer a RELAÇÃO ENTRE FORÇA LOCAL E GLOBAL, semelhante
ao elemento de treliça plano, as forças no sistema local (f) podem ser relacionadas às forças
no sistema global (F) por meio da matriz de transformação, sendo esta relação dada por:
f1x l m h 0 0 0 F1X
f1y 0 0 0 0 0 0 F1Y
f1z 0 0 0 0 0 0 F1Z
= .  { f } = [ T ] . { F }
f2x 0 0 0 l m h F2X
f2y 0 0 0 0 0 0 F2Y
f2z 0 0 0 0 0 0 F2Z
f - deslocamentos nodais no Sistema Local;
T - Matriz de transformação;
F - deslocamentos nodais no Sistema Gobal;
l = cos qx = (X2 - X1 )/ L
Onde l, m, h, são os cossenos diretores: m = cos qy = (Y2 - Y1)/ L
h = cos qz = (Z2 - Z1 )/ L
L = comprimento do elemento de treliça = √(X2 - X1 )2 + (Y2 - Y1 )2 + (Z2 - Z1)2
X
Y
Z
Nó1
Fz1 Sistema Global
Fx1
Fy1
Nó 2
Fx2
Fy2
Fz2
qx
qy
qz
fx1
fx2
Elemento de treliça só 
transmite forças axiais, 
então:
fy1 = fz1 = 0 e fy2 = fz2 = 0 
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 06
Elemento de treliça espacial: Formulação
- 2a Manipulação: Estabelecer a RELAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTO LOCAL E GLOBAL,
de forma semelhante os deslocamentos no sistema local (d) podem ser relacionadas aos
deslocamentos no sistema global (D) por meio da matriz de transformação, sendo esta relação
dada por:
u1 l m h 0 0 0 U1
v1 0 0 0 0 0 0 V1
w1 0 0 0 0 0 0 W1
= .  { d } = [ T ] . { D }
u2 0 0 0 l m h U2
v2 0 0 0 0 0 0 V2
w2 0 0 0 0 0 0 W2
d - deslocamentos nodais no Sistema Local;
T - Matriz de transformação;
D - deslocamentos nodais no Sistema Gobal;
l = cos qx = (X2 - X1 )/ L
Onde l, m, h, são os cossenos diretores: m = cos qy = (Y2 - Y1)/ L
h = cos qz = (Z2 - Z1 )/ L
L = comprimento do elemento de treliça = √(X2 - X1 )2 + (Y2 - Y1 )2 + (Z2 - Z1)2
X
Y
Z
Nó1
W1 Sistema Global
U1
V1
Nó 2
U2
V2
W2
qx
qy
qz
u1
u2
Elemento de treliça só 
transmite deslocamentos 
axiais, então:
v1 = w1 = 0 e v2 = w2 = 0 
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 07
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 08
Elemento de Treliça plano: Formulação
- 3a Manipulação: Estabelecer a RELAÇÃO FORÇA–DESLOCAMENTO do elemento no
Sistema Global;
Para facilitar a compreensão desta manipulação e necessário apresentar primeiro um conceito
de análise matricial.
 Matriz X SUA INVERSA gera uma Matriz identidade; M . M-1 = I
 Matriz X matriz identidade  gera a própia matriz; M . I = M
Exemplos: A = [ 5 ] A-1 = [ 1/5 ]  A . A-1 = [ 5 ] . [ 1/5 ] = [ 1 ] = I
 A . I = [ 5 ] . [ 1 ] = [ 5 ] = A
1 3 4 -23 14 - 1
B = 2 5 7 B-1 = -16 10 -1
4 1 6 18 -11 1
1 3 4 -23 14 - 1 1 0 0
 B . B-1 = 2 5 7 . -16 10 -1 = 0 1 0 = I
4 1 6 18 -11 1 0 0 1
1 3 4 1 0 0 1 3 4
 B . I = 2 5 7 . 0 1 0 = 2 5 7 = B
4 1 6 0 0 1 4 1 6
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 09
Elemento de Treliça espacial: Formulação
- 3a Manipulação: Estabelecer a RELAÇÃO FORÇA–DESLOCAMENTO do elemento no
Sistema Global;
f  forças nodais no sistema local; d  deslocamentos nodais no sistema local;
F  forças nodais no sistema Global; D  deslocamentos nodais no sistema local;
K  matriz de rigidez no Sistema Global; k  matriz de rigidez no Sistema local;
T  matriz de transformação;
{ f } = [ k ] . { d } , lembrando que: { f } = [ T ] . { F }
{ d } = [ T ] . { D }
[ T ] . { F } = [ k ] . [ T ] . { D }
Mutiplicando-se ambos os lados da equação anterior por [ T ]-1 não se produz alteração. Assim,
temos:
[ T ]-1. [ T ] . { F } = [ T ]-1. [ k ] . [ T ] . { D }
[ I ] . { F } = [ T ]-1. [ k ] . [ T ] . { D } COMO [ I ] . { F } = { F }
Assim, a equação anterior pode ser escritapor:
{ F } = [ T ] -1. [ k ] . [ T ] . { D }
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 10
Elemento de Treliça espacial: Formulação
-4ª Manipulação: Estabelecer a RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO do elemento no
Sistema Global;
{ F } = [ T ] -1. [ k ] . [ T ] . { D }
{ F } = [ K ] . { D }  RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO do elemento
no Sistema GLOBAL;
[ K ]  MATRIZ DE RIGIDEZ NO SISTEMA GLOBAL;
[ k ]  MATRIZ DE RIGIDEZ NO SISTEMA LOCAL;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 11
Elemento de Treliça espacial: Formulação
-4ª Manipulação: Estabelecer a RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO do elemento no
Sistema Global;
A matriz de rigidez do elemento no Sistema global [ K ], é obtida executando o produto:
[ K ] = [ T ] -1. [ k ] . [ T ], a qual é dada por:
l 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 l m h 0 0 0
m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K = . (EA)/ L .
0 0 0 l 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 l m h
0 0 0 m 0 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 0 0
0 0 0 h 0 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 0 0
l2 l m lh - l2 -lm -lh
lm m2 mh - lm -m2 -mh
lh mh h2 -lh -mh -h2
K = (EA)/ L Matriz de rigidez elemento no sistema global
- l2 - lm -lh l2 lm lh
-lm -m2 -mh lm m2 mh
-lh -mh -h2 lh mh h2
cossenos diretores: l = cos qx = (X2 - X1 )/ L
m = cos qy = (Y2 - Y1)/ L
h = cos qz = (Z2 - Z1 )/ L
Elemento de treliça espacial: Formulação
- A partir do conhecimento da matriz de rigidez de cada elemento de treliça espacial,
pode-se determinar a matriz de rigidez de uma estrutura constituída por n elementos de
treliça;
- Como a matriz de rigidez da estrutura é Montada (obtida) a partir da matriz de rigidez
dos seus elementos ?
- A montagem da matriz de rigidez da estrutura decorrente da soma da matriz de rigidez
de cada elemento de treliça espacial escrita no sistema Global (da estrutura);
- A montagem da matriz de rigidez da estrutura é apresentada de forma prática no
exercício da aula 8.
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 12
Elemento de treliça espacial: Formulação
- Uma vez determinada a matriz de rigidez da estrutura K;
- A RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura pode ser estabelecida:
{ F } = [ K ] . { U }
onde: F - vetor forças da estrutura;
K - Matriz de Rigidez da estrutura (Sistema global);
U - vetor de deslocamento nodais da estrutura (Sistema global);
- Por meio da RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura podem ser
estabelecidos:
- os deslocamentos nodais da estrutura;
- forças nodais da estrutura;
- força interna em cada elemento da estrutura;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 13
Elemento de treliça espacial: Dedução da Força interna
- A determinação da Força Interna f em cada elemento é obtida a partir dos
deslocamentos nodais associados ao elemento, de forma semelhante ao realizada com
o elemento de treliça plano, ou seja, por meio da mesma equação a seguir:
-- Deve-se notar que a força interna (Lei de Deformação) do elemento de treliça
especial foi formulada no Sistema Local, ou seja, depende dos deslocamentos
nodias do elemento (u1 e u2) no Sistema Local;
-- Entretanto, a análise completa de uma Estrutura (Trelica espacial) é sempre
realizada no Sistema Global, ou seja, os delocamentos determinados
estão em termos do Sistema Global;
-- Portanto, torna-se necessário transformar os valores dos deslocamentos nodais
no sistema global em valores correspondentes no Sistema Local, para assim
determiner a força interna no elemento;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 14
Elemento de treliça espacial: Formulação
- Conforme já apresentado a RELAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTO LOCAL E
GLOBAL é definida por:
{ d } = [ T ] . { D }
u1 l m h 0 0 0 U1
v1 0 0 0 0 0 0 V1
w1 0 0 0 0 0 0 W1
u2 0 0 0 l m h U2
v2 0 0 0 0 0 0 V2
w2 0 0 0 0 0 0 W2
u1 = l . U1 + m . V1 + h . W1
u2 = l . U2 + m . V2 + h . W2
Então: u2 - u1 = l . U2 + h . V2 + m . V2 - l . U1 - m . V1 - h . W1
Escrevendo esta equação na forma matricial: { u2 - u1 } = [ l m h ] . U2 - U1
V2 - V1
Assim, a força interna no elemento de treliça plano é dada por: W2 - W1
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 15
= . 
Nó1
Fx1, u1
Fx2; u2
Elemento de treliça só transmite 
deslocamentos axiais, então:
v1 = w1 = 0 
v2 = w2 = 0 
Nó2
Exemplo: Determine o comprimento e os cossenos diretores dos elementos de treliça
espacial utilizados na estrutura apresentada na figura a seguir:
5
3
1
E1
E2
E4
10.000 N
Z
Y
X
2
4
E3
E5
E6
5,0 m
2,0 m
5,0 m
E5
6,0 m
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 16
Exemplo: Determine o comprimento e os cossenos diretores dos elementos de treliça
espacial utilizados na estrutura apresentada na figura a seguir:
Resolução:
Coordenadas dos nós:
Nó coordenadas (metro)
x y z
Nó 1 3 0 0
Nó 2 0 6 0 
Nó 3 - 4 0 0
Nó 4 0 2 5
Nó 5 3 0 5
Elementos:
1º Nó 2º Nó
E1 1 2 
E2 3 2
E3 4 2
E4 3 4
E5 1 4 
E6 5 4
5
3
1
E1
E2
E4
10.000 N
Z
Y
X
2
4
E3
E5
E6
5,0 m
2,0 m
5,0 m
E5
6,0 m
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 17
Exemplo: Determine o comprimento e os cossenos diretores dos elementos de treliça
espacial utilizados na estrutura apresentada na figura a seguir:
Resolução: Nó coordenadas (metro)
x y z
Nó 1 3 0 0
Nó 2 0 6 0
Nó 3 - 4 0 0
Nó 4 0 2 5 
Nó 5 3 0 5
Elemento 10 Nó  20 Nó X1 X2 Y1 Y2 Z1 Z2
1 1  2
2 3  2 
3 4  2 
4 3  4 
5 1  4 
6 5  4 
Elemento 10 Nó  20 Nó X2 - X1 Y2 - Y1 Z2 - Z1
1 1  2
2 3  2 
3 4  2 
4 3  4 
5 1  4 
6 5  4 
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 18
Exemplo: Determine o comprimento e os cossenos diretores dos elementos de treliça
espacial utilizados na estrutura apresentada na figura a seguir:
Resolução:
Elemento 10 Nó  20 Nó X2 - X1 Y2 - Y1 Z2 - Z1
1 1  2 - 3 6 0
2 3  2 4 6 0 
3 4  2 0 4 - 5 
4 3  4 4 2 5
5 1  4 - 32 5 
6 5  4 - 3 2 0
Elemento 10 Nó  20 Nó L(m) = √(X2 - X1 )2 + (Y2 - Y1 )2 + (Z2 - Z1)2
1 1  2
1 3  2 
3 4  2 
4 3  4 
5 1  4 
6 5  4 
Elemento 10 Nó  20 Nó l = (X2 - X1 )/ L m = (Y2 - Y1 )/ L h = (Z2 - Z1 )/ L
1 1  2
1 3  2 
3 4  2 
4 3  4 
5 1  4 
6 5  4 
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 19
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 20
Referências Bibliográficas:
Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE
Avelino Alves Filho, prof. Dr.
Editora: Érica, 5ª edição, 2007
Bibliografias complementares:
Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar
Editora: LTC, 2011
Um Primeiro Curso em Elementos Finitos
Jacob Fish ; Ted Belytschko
Editora: LTC, 2009