concreto 2, flechas em lajes

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 Faculdade Pitágoras Uberlândia 
Disciplina: Estruturas Concreto Armado II // Prof: Marcelo V. B. Borges // Curso: Eng. Civil 
Estruturas de concreto armado II 
6 Flechas 
 
De acordo com (BASTOS, 2015) assim como nas vigas, o “estado-limite de 
deformações excessivas” (ELS-DEF), definido pela NBR 6118 (item 3.2.4) como o 
“estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização 
normal, dados em 13.3. ”, deve ser também verificado nas lajes de concreto. 
6.1 Verificação do estádio 
 
Para o cálculo da flecha é necessário conhecer o estádio de cálculo da seção 
crítica considerada. Segundo a NBR 6118 (item 17.3.1), “Nos estados-limites de 
serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio 
II. A separação entre esses dois comportamentos é definida pelo momento de 
fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada: 
t
cct
r
y
If
M


 
Sendo: 

 = é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na 
flexão com a resistência à tração direta, onde: 

= 1,2 para seções T ou duplo T; 

=1,3 para seções I ou T invertido; 

= 1,5 para seções retangulares. 
ty
= é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada 
cI
= o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
ctf
= é a resistência à tração direta do concreto. 
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• Para concretos de classes até C50 
3 23,0 ckmédioct ff 
 
• Para concretos de classes C55 até C90 
)11,01ln(12,2 ckmédioct ff 
 
Para o momento fletor na laje, a ser comparado com o momento fletor de fissuração, 
deve ser considerada a combinação rara. 
A combinação rara de serviço, conforme mostrada na Tabela 11.4 da NBR 6118 
(11.8.3.2), a ação variável principal 
QKF
 é tomada com seu valor característico e 
todas as demais ações variáveis (secundárias) são consideradas com seus valores 
frequentes
QKF1
. O cálculo da ação de serviço é feito segundo a equação: 
  QKQKGKserd FFFF 1, 
 
6.2 Flecha imediata 
 
6.2.1 Laje armada em duas direções 
 
A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado o primeiro carregamento 
na peça, que não leva em conta os efeitos da fluência. 
Para as lajes armadas em duas direções a flecha imediata pode ser calculada com 
auxílio dos coeficientes constantes das Tabelas A-1 a A-4, para carregamentos 
uniformes e triangulares. Usa-se a equação: (considerando uma largura de 100 cm) 
EI
lxp
a



12
4
1
 
Onde: 
1a
= flecha imediata; 
p
= valor do carregamento na laje considerando a combinação quase permanente 
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  QKGKserd FFF 2, 
 
lx
= menor vão da laje; 

= coeficiente tabelado em função de 

(Tabelas A-1 a A-4); 
EI
= rigidez da laje à flexão; sendo: 
Se 
ra MM 

eqEIEI 
 
Se
ra MM 

ccs IEEI 
 
Sendo: 
cs
ci
e
es
II
es
II
IIse
II
II
II
II
ccsII
a
r
c
a
r
eq
E
E
b
A
x
b
A
x
xdA
x
xb
x
bI
IEI
M
M
I
M
M
EI














































0
22
)(
212
1
2
2
23
33
 
O Quadro 1 que se segue, apresenta valores estimados de 
csE
 que podem ser 
usados no projeto estrutural. 
Quadro 1 - Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto, considerando o uso de basalto com agregado 
graúdo 
Classe de Resistência C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
ciE
 (MPa) 30,1 33,6 36,8 39,8 42,5 45,1 47,5 49,9 52,1 54,2 56,0 
csE
 (MPa) 25,5 29,0 32,2 35,3 38,3 41,1 44,0 47,4 50,8 54,2 56,0 
Fonte: autor 
 
6.2.2 Laje armada em uma direção 
 
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Assim como a armadura longitudinal, o cálculo das flechas nas lajes armadas em 
uma direção se faz supondo viga com largura de um metro. A Figura 1, a seguir 
ilustra a calcula das flechas imediatas para um carregamento uniforme. 
Figura 1 - Flecha imediata lajes armadas em uma direção 
 
Fonte: (BASTOS, 2015) Adaptado 
6.3 Flecha deferida no tempo 
 
A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do carregamento atuar 
na estrutura ao longo do tempo, causando a sua deformação lenta ou fluência. 
Calculada pela seguinte expressão: 
'501 




f
 
Onde: 
db
A s


'
'
 
sA'
= área da armadura comprimida, se existir; 
b
= largura da seção transversal; 
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d
= altura útil; 

= coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 1 ou ser 
calculado pelas expressões seguintes: 
)()( 0tt  
 
 32,0)996,0(68,0)( tt t Para 70t meses 
 2)(t
 Para 
70t
 
Tabela 1 - Valores do coeficiente 

 em função do tempo 
 
Fonte: Tabela 17.1 da NBR 6118 
 
 
6.4 Flecha total 
 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + 
f
). 
Ou seja: 
)1(1 ft aa 
 
6.5 Flecha limite 
 
As flechas máximas ou deslocamentos-limites como definidos pela NBR 6118 como 
indicado na Tabela 2 a seguir. 
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Tabela 2 - Valores-limites de deslocamentos 
 
Fonte: Tabela 17.1 da NBR 6118 
 
 
Exemplo: Para laje ilustrada a seguir verificar sua flecha total 
 
 
 
Dados: 
mêst
cmh
MPaf
mKNq
mKNg
ck
1
12
3,0
25
²/2
²/5
0
2







 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
BASTOS, P. S. (20 de Agosto de 2015). Notas de aula: Lajes de concreto 
Universidade Estadual de São Paulo. Acesso em 20 de Julho de 2017, disponível 
em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf