trabalho 1 de calculo 3

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Trabalho de cálculo ІІІ.
1) Explique o significado do resultado estabelecido pelo Teorema de Gauss.
O teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, corresponde a uma região E de 3. Este afirma que sob condições favoráveis, o fluxo de um campo vetorial para fora através de uma superfície fechada, orientada para fora, é igual a integral tripla do divergente do campo sobre a região limitada pela superfície.
Então seja D ⊂ 3 um sólido, cuja fronteira S está orientada positivamente com exterior a D. E um campo vetorial de classe C1 em um aberto U contendo D . Então,
Conforme os conceitos sobre os campos vetoriais, se então:
Quando D não é simples, podemos decompô-la como união finitas de regiões simples, isto é, D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn , Usando o teorema de Gauss em cada região simples (Di), obtemos:
Observando que os vetores normais exteriores à fronteira comum de duas regiões simples são opostos, concluímos que as integrais de superfície correspondentes são simétricas e, portanto, se cancelam. Assim, obtém-se:
 Se o divergente de um campo vetorial for positivo, este indica a presença de uma fonte de fluxos divergentes do ponto dado. O divergente negativo, por sua vez, indica a presença de um sorvedouro ou de uma fonte de fluxos convergentes ao ponto. Não havendo fonte geradora de fluxos o divergente do campo no ponto correspondente será nulo.
O teorema de Gauss é vastamente utilizado em cálculos físicos que envolvem campos vetoriais, equações de continuidade e quadrado inverso.
A partir da aplicação do teorema de Gauss, uma série de leis físicas que envolvem campos vetoriais pode ser apresentada de duas formas distintas. Uma delas é a sua forma integral e outra a forma diferencial. No primeiro caso, o fluxo de uma grandeza através de uma superfície fechada é igual à uma outra quantidade. Na forma diferencial, por outro lado, uma grandeza é igual ao divergente de outra. 
2) Seja S o cubo no primeiro octante, limitado pelos planos x=1, y= 1, z=1 e pelos planos coordenados. Determine o fluxo de F(x, y, z) através de S. 
Grupo 3: F(x, y, z)= 3xyi + ycos(x)j + x²yk
 
 
3) Explique o significado físico do resultado estabelecido pelo Teorema de Stokes.
O teorema de Stokes estabelece uma relação entre uma integral de superfície com uma integral em torno da curva dada pela fronteira da superfície de integração. Por convenção, dizemos que a curva C dada pela fronteira de uma superfície S tem orientação positiva se a superfície estiver sempre a esquerda quando percorremos a curva com a cabeça na direção e sentido do vetor norma n.
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja F um campo vetorial cujas componentes possuem derivadas parciais contínuas em uma região aberta de 3 que contém S. 
A integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície da componente normal do rotacional de F.
Pela regra da mão direita, com o polegar no de sentido e movimentando os dedos, vemos que a curva bordo de S, ∂S, fica orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima. Então uma parametrização de ∂S é, ∂S: x = cost, y = sen t e z = 0, com 0 ≤ t ≤ 2π, portanto dx = − sen t dt, dy = cost dt e dz = 0.O Teorema de Stokes possui diversas aplicações nos campos científicos. Um de seus principais usos é - em utilização conjunta com o Teorema da Divergência de Gauss - a passagem da forma integral para a forma diferencial das equações de Maxwell. A notação diferencial é muito importante para o estudo do eletromagnetismo de modo mais avançado, sendo muito utilizada neste ramo da física.
4) Verifique o Teorema de Stokes para F (x, y, z) = y²i + x²j +z²k considerando o hemisfério descrito pela parte de x² + y² + z² = 1 acima do plano xy.