5 Curvas Horizontais 2 2017

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Curvas 
Horizontais
CURVAS HORIZONTAIS SIMPLES, COMPOSTAS, 
REVERSAS E COM TRANSIÇÃO
Introdução
O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos e trechos curvos que se alternam
ao longo de sua diretriz. No plano horizontal, os trechos retos recebem o nome de
tangentes e os trechos curvos de curvas horizontais.
As curvas horizontais, por sua vez, pode ser compostas apenas de curvas circulares ou de
curvas circulares e curvas de transição.
Elementos Geométricos e Parâmetros
Introdução
Introdução
Uma forma de definir o traçado, no plano horizontal, é acomodar os trechos retos sobre o
terreno, em função de seu relevo e de eventuais obstáculos existentes e, em seguida,
concorda-los por meio de curvas.
Outra forma é localizar os pontos de passagem obrigatórios, concordar adequadamente as
curvas nas diretrizes da rodovia e, em seguida, interliga-las com as retas tangentes. Daí o
nome tangentes para os trechos retos, no plano horizontal.
Recomenda-se que o projetista utilize o menor número possível de trechos curtos e priorize
as curvas de raios granes, evitando ainda, sempre que possível tangentes muito longas.
As curvas de concordância horizontal utilizadas nos projetos de rodovias são categorizadas
em quatro diferentes tipos: curvas circulares simples, curvas circulares compostas, curvas
circulares reversas e curvas circulares com trechos de transição.
Curvas Horizontais 
Simples
Elementos Geométricos e Parâmetros
Elementos Geométricos e Parâmetros
O – centro da curva
R – raio da curva
T – comprimento da tangente da curva
D – Desenvolvimento da curva
AC – deflexão entre as tangentes / ângulo central
da curva
PC – ponto de curva – ponto de início da curva
PI – ponto de interseção das tangentes
PT – ponto de tangência – ponto final da curva
c – corda da curva
Elementos Geométricos e Parâmetros
O – centro da curva
R – raio da curva
PC – ponto de curva – ponto de início da curva
PI – ponto de interseção das tangentes
PT – ponto de tangência – ponto final da curva
PM – ponto médio da curva
E – distância externa à curva ou afastamento
S – ponto médio da corda
P – ponto qualquer da curva
𝛾𝑃 - Ângulo central do ponto P
Elementos Geométricos e Parâmetros
o Parâmetros definidos pelo traçado
• AC – ângulo central da curva
• PI – Ponto de Inflexão
o Parâmetro estipulado
• R – Raio da Curva
o Parâmetros calculados
• PC – Ponto de Curva
• PT – Ponto de Tangente
• T – Tangente
• D – Desenvolvimento da Curva
• G – Grau da Curva
Elementos Geométricos e Parâmetros
Comprimento da Tangente (T)
São os segmentos de reta que unem o PC e o
PT ao PI.
𝑇
𝑅
= 𝑡𝑎𝑛
𝐴𝐶
2
↔ 𝑇 = 𝑅 ∗ 𝑡𝑎𝑛
𝐴𝐶
2
Afastamento (E)
É a distância entre o PI e o ponto médio da curva
PM.
𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
=
𝑅
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼)
𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
=
𝑅
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼)
↔ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼) = 𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑐
𝐴𝐶
2
𝐸 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼) − 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑂−𝑃𝑀 = 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑂−𝑃𝐼 − R
Afastamento (E)
É a distância entre o PI e o ponto médio da curva
PM.
𝐸 = 𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑐
𝐴𝐶
2
− R
𝐸 = R ∗ 𝑠𝑒𝑐
𝐴𝐶
2
− 1 ↔ 𝐸 = 𝑅 ∗
1
𝑠𝑒𝑐
𝐴𝐶
2
− 1
Ordenada Média (S-PM)
É a distância entre PM e S.
𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
=
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑆)
𝑅
↔ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑆) = 𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑆−𝑃𝑀) = 𝑅 − 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑂−𝑆
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑆−𝑃𝑀) = 𝑅 − 𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
= 𝑅 ∗ 1 − 𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
Corda (C)
É o segmento de reta entre PC e o PT.
𝑠𝑒𝑛
𝐴𝐶
2
=
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑆−𝑃𝑇)
𝑅
𝑐 = 2 ∗ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑆−𝑃𝑇 ↔ 𝑐 = 2 ∗ 𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛
𝐴𝐶
2
Desenvolvimento (comprimento) da 
curva (D)
𝐷
2 𝜋 𝑅
=
𝐴𝐶
360°
𝐷. 360° = 𝐴𝐶 . 2 𝜋 𝑅
𝐷 =
𝜋 𝑅 𝐴𝐶
180°
𝐷 = 𝐴𝐶 . 𝑅
(AC em graus)
(AC em radianos)
É o comprimento da curva dado pelo arco de
círculo entre o PC e o PT.
Grau da curva ou Grau de curvatura (G)
𝐺
20
=
360°
2 𝜋 𝑅
20. 360° = 𝐺 . 2 𝜋 𝑅
𝐺 =
1145,916°
𝑅
(tabela de locação)
(termos práticos)𝐺 =
1146°
𝑅
Para o caso rodoviário, este elemento
geométrico é o ângulo central que
corresponde a um arco de 20 metros.
20m
Exemplo 1
Em uma curva circular são conhecidos os seguintes elementos:
PI
PTPC
AC
AC = 22°36’
R = 600 m
a) Tangente da Curva (T)
b) Corda (C)
c) Desenvolvimento (D)
d) Afastamento (E)
Estaqueamento dos pontos notáveis
Em termos topográficos, para o caso de projeto rodoviário, uma estaca corresponde à
extensão de 20 metros sobre o eixo da rodovia, em sua projeção horizontal.
Estaqueamento dos pontos notáveis
Quando um ponto a ser localizado não corresponde a um número inteiro de estacas, sua
posição é definida pela estaca anterior mais a distância em metros a partir dela.
[ A + B ]
Onde:
A – Número inteiro de estacas
B – Distância em metros (fração da estaca)
Por exemplo, o ponto P, distante 335,480 m do ponto inicial do traçado (estaca zero), será
identificado pela estaca [ 16 + 15,480 ].
Estaqueamento dos pontos notáveis
Pelo estaqueamento podemos definir a posição dos pontos notáveis do projeto sobre o
eixo da rodovia.
Fundamentalmente, ele define um sistema de coordenadas lineares ao longo do
alinhamento, sobre o qual estão posicionados todos os elementos geométricos e
construtivos do projeto.
Estaca do PC = estaca do PI – T
Estaca do PT = estaca do PC + D
Exemplo 2
Calcular os elementos geométricos de uma curva circular simples considerando que o raio
mínimo é igual a 200 metros, o ângulo central é igual a 32°12’35’’ e PI = [ 325 + 16,37 ].
a) Tangente da Curva (T)
b) Corda (C)
c) Desenvolvimento (D)
d) Afastamento (E)
Locação das curvas horizontais simples
Uma vez o projeto final terminado, procede-se a etapa de locação (implantação) da obra
sobre o terreno, ou seja, o posicionamento da rodovia no campo.
Trata-se fundamentalmente, da localização dos elementos principais da rodovia, segundo o
sistema de coordenadas utilizado para elaborar o projeto.
Existem 3 métodos para tal locação:
• Método das Deflexões e das Cordas
• Método das Coordenadas Parciais (Offsets)
• Métodos das Coordenadas Totais
Método das deflexões e das cordas
O procedimento de campo para a locação de uma rodovia pelo método das deflexões e das
cordas:
• Inicia-se com a implantação dos PIs dos cruzamentos das tangentes;
• Em seguida, são verificados os ângulos de deflexão e, posteriormente, as curvas e os
demais elementos geométricos da rodovia.
A implantação dos PIs é realizada, geralmente, por intermédio de suas coordenadas totais.
Método das deflexões e das cordas
Em sua, este método se baseia na determinação do comprimento das cordas da estacas
inteiras da curva e do ângulo de deflexão existente entre a tangente, tomada como
referência, e a corda correspondente.
Método das deflexões e das cordas
O processo de locação dos pontos da curva inicia-se com a implantação do primeiro ponto
de estaca inteira da curva.
Nesse caso, o ponto 1, localizado a 𝑑1 metros do PC da curva.
Método das deflexões e das cordas
Sendo 𝛾1 o ângulo central correspondente ao arco de comprimento 𝑑1, tem-se:
𝐺
20
=
𝛾1
𝑑1
→ 𝛾1 =
𝐺 𝑑1
20
Denominando de 𝛼1 os ângulos de deflexão e considerando que 𝑃𝐶 − 𝑂 é perpendicular a
𝑃𝐶 − 𝐼 e que o triângulo PC-I-1 é isóscele, tem-se:
𝛼1 =
𝛾1
2
=
𝐺 𝑑1
40
De maneira análoga, pode-se calcular a deflexão 𝛼2 para a locação do ponto 2, distante 𝑑2
do ponto PC:
𝛼2 =
𝛾2
2
=
𝐺 𝑑2
40
Método das deflexões e das cordas
Verifica-se que o ângulo de deflexão 𝛼𝑖 é proporcional ao comprimento do arco e que a
constante G/40 corresponde ao ângulo de deflexão para a locação de um arco de 1 metro
de comprimento.
Por tanto,o ângulo de deflexão 𝛼𝑖 para locar um arco de comprimento 𝑑1 pode ser
calculado conforme:
𝛼𝑖 = 𝑑𝑖 .
𝐺
40
Método das deflexões e das cordas
Para a implantação de uma curva a partir do PC, cuja estaca é igual a 𝑁𝑃𝐶 + 𝑓𝑃𝐶 , onde
𝑁𝑃𝐶 é o número de estacas inteiras e 𝑓𝑃𝐶 é a fração complementar da estaca, deve-se
primeiramente calcular o ângulo de deflexão da primeira estaca inteira da curva 𝑁𝑃𝐶 + 1 .
𝛼1 = 20 − 𝑓𝑃𝐶 .
𝐺
40
Método das deflexões e das cordas
A implantação das demais estacas inteiras pode ser feita somando o valor da primeira
deflexão 𝛼1 a G/2, sucessivamente, até a estaca inteira anterior ao PT.
Método das deflexões e das cordas
Em seguida, a implantação do ponto PT pode ser feita tanto a partir do cálculo da deflexão
final de fechamento da curva 𝛼𝑃𝑇, em função do valor fracionado da estaca de fechamento
𝑓𝑃𝑇; como pela distância T, conhecida, entre o ponto PI e o ponto PT.
𝛼𝑃𝑇 = 𝑓𝑃𝑇 .
𝐺
40
Método das deflexões e das cordas
Planilha de locação
Exemplo 3
Considerando os dados do Exemplo 2 e que a estaca do PI = [ 325 + 16,37 ], calcular os
valores das estacas dos pontos da curva e elaborar a tabela de locação para o método das
deflexões e das cordas.
Estaca Arco (m) Corda (m) Deflexões acumuladas
Método das coordenadas parciais 
(Offset)
Também conhecido como Método das Abscissas e Ordenadas sobre a Tangente. De forma
semelhante ao método anterior, para a sua aplicação considera-se que a posição do PI é
conhecida.
A implementação deste método consiste em implantar pontos de coordenadas (X,Y)
conhecidas, tomando a tangente como linha de abscissa.
Método das coordenadas parciais 
(Offset)
As coordenadas de um ponto P qualquer da curva são dadas por:
𝑥𝑃 = 𝑐𝑃 . 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑃
𝑦𝑃 = −𝑐𝑃 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑃
𝑥𝑃 = 𝑅 . 𝑠𝑒𝑛
𝑑𝑃 . 𝐺
20
𝑦𝑃 = −𝑅 . 1 − 𝑐𝑜𝑠
𝑑𝑃 . 𝐺
20
Exemplo 4
Calcular as coordenadas (X,Y) para locar os pontos de uma curva circular pelo método das
coordenadas parciais, considerando: R = 275,000 m, PI = [ 147 + 12,40 ] e AC = 28°36’00’’
Estaca Arco (m) Ângulo 
Central
Raio da curva 
(m)
Coordenadas
X (m) Y (m)
Curva Horizontal 
Composta
Curva Horizontal Circular Composta
É aquela formada por duas ou mais curvas horizontais circulares simples, consecutivas,
com raios de curvatura diferentes.
É pouco usada nos projetos de engenhara. Seu uso é recomendado apenas para casos
especiais em que se necessita fugir de obstáculos do terreno, , os quais não podem ser
evitados com o uso de curvas horizontais circulares simples, de raio maior.
Curva Horizontal 
Reversa
Curva Horizontal Circular Reversa
É aquela formada por duas curvas horizontais circulares simples consecutivas, geralmente,
de raios de curvaturas iguais, porém, com centros de curvatura opostos.
Só podem ser usados em rodovias vicinais de velocidade de projeto muito baixa, onde a
superelevação das curvas não é necessária.
Curvas 
Horizontais 
com Transição