Apostila Vibracoes Bosco

Prévia do material em texto

João Bosco da Silva 
VVViiibbbrrraaaçççõõõeeesss dddeee 
 
SSSiiisssttteeemmmaaasss MMMeeecccââânnniiicccooosss 
 
uuummmaaa iiinnntttrrroooddduuuçççãããooo aaaooosss 
sssiiisssttteeemmmaaasss llliiinnneeeaaarrreeesss 
Edição 2008 
João Bosco 
da Silva
João Bosco da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibrações de Sistemas 
Mecânicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 
O presente trabalho teve inicio no ano de 1994 com o objetivo de dar suporte à 
disciplina “Vibrações Mecânicas” sendo o resultado de vários anos de trabalho na 
solução de problemas ligados a Vibrações Mecânicas, assim como da minha experiência 
resultante de cursos sobre o assunto, ministrados no Departamento de Engenharia 
Mecânica da UFRN. Trata-se também de uma apostila destinada a cursos curriculares 
adotada como base nas disciplinas Vibrações de Sistemas Mecânicos e Fundamentos de 
Acústica. 
Os assuntos apresentados nesta apostila são integrados, não havendo a 
necessidade de o leitor ter conhecimento na área de Vibrações Mecânicas, embora se 
faça necessário ter um embasamento em equações diferenciais, álgebra linear, séries de 
Fourier e números complexos. 
Na primeira parte do texto, capítulos 1 e 2, estuda-se as vibrações livres de 
sistemas lineares com um grau de liberdade, com e sem amortecimento viscoso. 
Nos capítulos 3 e 4 dedica-se às vibrações forçadas de sistemas lineares com um 
grau de liberdade, com e sem amortecimento viscoso. 
O capítulo 5 faz uma abordagem resumida dos diversos instrumentos utilizados 
nas medições das respostas dos sistemas vibratórios, sensores, medidores de vibrações, 
excitadores, etc. 
O capítulo 6 introduz os conceitos de vibrações com n graus de liberdade 
requisito básico para uma introdução aos sistemas contínuos. 
Meus agradecimentos a todos que de alguma maneira contribuíram para o 
desenvolvimento desta apostila, a meus antigos professores da UFSC, prof. Ph.D. Samir 
Nagi Yousri Gerges e prof. Ph.D. José João de Espíndola, aos alunos dos cursos de 
graduação e pós-graduação em Engenharia Mecânica da UFRN, pelas contribuições 
através de trabalhos desenvolvidos na disciplina. 
Finalmente, agradeço a paciência e o encorajamento dados pela minha família, 
especialmente minha esposa, profa. Dra. Maria dos Remédios Fontes Silva, a este 
projeto. 
A todas essas pessoas maravilhosas, estou feliz de expressar minha gratidão. 
 
Prof. João Bosco da Silva 
Sumário 
 
 
1. Vibrações Livres sem Amortecimento: Sistemas Lineares com 
um Grau de Liberdade 
 
1.1. Introdução 
 
1.2. Movimento Livre de Sistemas com Um Grau de liberdade 
 
1.3. Interpretação da Solução 
 
1.4. Representação Gráfica do Movimento 
 
1.5. Vibração Torcional 
 
1.6. Oscilação Angular 
 
1.7. Condições de Estabilidade 
 
1.7.1. Caso em que 2ka PL> 
 
1.7.2. Caso em que 2ka PL= 
 
1.7.3. Caso em que 2ka PL< 
 
1.8. Molas Equivalentes 
 
1.9. O Método da Energia 
 
1.10. Massa Efetiva 
 
1.11. Método de Rayleigh 
 
 
2. Vibrações Livres com Amortecimento: Sistemas Lineares com 
um Grau de Liberdade 
 
2.1. Introdução 
 
2.2. Vibração Livre Amortecida 
 
2.3. Análise Complementar da Solução 
 
2.3.1. Caso em que ς > 1 ou 2 c m k m> - Amortecimento Supercrítico 
 
2.3.2. Caso em que 0 < ς < 1 ou 2 c m k m< - Amortecimento Subcrítico 
 
2.3.3. Caso em que ς = 1 ou 2 c m k m= - Amortecimento crítico 
 
2.4. Movimento Sub-Amortecido 
 
2.5. Efeito do Amortecimento no Movimento Livre 
 
2.6. Decremento Logarítmico 
 
2.7. Vibração Livre com Amortecimento de Coulomb 
 
2.7.1. Movimento 1 
 
2.7.2. Movimento 2 
 
2.8. Amortecimento Estrutural (ou Histerese) 
 
 
3. Vibrações Forçadas sem Amortecimento: Sistemas Lineares com 
um Grau de Liberdade 
 
3.1. Introdução 
 
3.2. Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
3.3. Amplitude Forçada e Fator de Amortecimento 
 
3.4. A Solução Completa e Movimento 
 
3.5. Solução para a Condição de Movimento Ressonante 
 
3.6. Batimento 
 
 
4. Vibrações Forçadas com Amortecimento: Sistemas Lineares com 
um Grau de Liberdade 
 
4.1. Introdução 
 
4.2. Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso 
 
4.3. Fator de Amplificação e Amplitude Permanente 
 
4.4. Ângulo de Fase 
 
4.5. Influência da Massa e Elasticidade na Amplitude 
 
4.6. Desbalanceamento Rotativo 
 
4.7. Transmissão de Força e Isolação 
 
4.8. Suporte Oscilante 
 
4.9. Movimento Relativo 
 
4.10. Vibração Auto-Excitada e Instabilidade 
 
 
5. Instrumentação e Medidas 
 
5.1. Introdução 
 
5.2. Medida do Movimento e Relações Básicas 
 
5.2.1. Transdutor Capacitivo 
 
5.2.2. Transdutor Indutivo 
 
5.2.3. Transdutor Eletromagnético 
 
5.2.4. Transdutor Piezelétrico 
 
 
5.3. Vibrômetro 
 
5.4. Acelerômetro 
 
5.5. Velocímetro ou Sensor de Velocidade 
 
 
6. Vibrações de Sistemas com n Graus de Liberdade 
 
6.1. Velocímetro ou Sensor de Velocidade 
 
6.2. Vibração do Modo Principal ou Modo Natural 
 
6.3. Vibração Torcional 
 
6.4. Notação Matricial 
 
6.5. Acoplamento e Coordenadas Principais 
 
6.6. Coordenadas Mistas: Movimento acoplado e Desacoplado 
 
6.6.1. Introdução 
 
6.6.2. Acoplamento Estático 
 
6.6.3. Acoplamento Dinâmico 
 
6.6.4. Acoplamento Estático e Dinâmico 
 
 
7. Vibrações Livres com Amortecimento: Sistemas Lineares com 
Dois Graus de Liberdade 
 
7.1. Introdução 
 
7.1.1. Equação Diferencial de Movimento 
 
 
8. Vibrações Forçadas com Amortecimento: Sistemas Lineares com 
Dois Graus de Liberdade 
 
8.1. Introdução 
 
8.2. Equações de Movimento 
 
9. Vibrações Forçadas com Amortecimento: Sistemas Lineares com 
Dois Graus de Liberdade 
 
9.1. Introdução 
 
9.2. Equações de Movimento 
 
 
10. Anexo 1: Tabela para Massa, Mola e Amortecedor Equivalente 
 
10.1. Massas Equivalentes 
 
10.2. Molas Equivalentes 
 
10.3. Amortecedores Viscosos Equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
 Uma vibração mecânica é, em seu sentido geral, um movimento periódico, isto é, um 
movimento de um ponto material ou de um corpo rígido que oscila em torno de uma posição de 
equilíbrio. O estudo dos sistemas lineares com um grau de liberdade é uma boa introdução aos 
fenômenos elementares da mecânica das vibrações, tais como: freqüência de ressonância, 
amortecimento, resposta a uma excitação, etc . Os modelos mais simples de sistemas 
oscilatórios são constituídos de uma massa e uma mola, como mostra a figura 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1. Modelo simples de sistema oscilatório massa-mola. 
 
Estes modelos facilitam a compreensão do comportamento de sistemas complexos 
possuindo um número significativo de graus de liberdade. Por exemplo, grande parte das 
estruturas reais, pode ser na maioria das vezes, modelada de forma satisfatória por um sistema 
com um grau de liberdade. «Grau de liberdade corresponde ao número de coordenadas 
independentes necessário para descrever completamente a posição geométrica do sistema em 
qualquer instante». 
A figura 1.2 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um, dois e três graus de 
liberdade. Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variáveis que 
descrevem o estado do sistema «posição, velocidade e aceleração» devem ser especificados. 
VVVIIIBBBRRRAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS LLLIIIVVVRRREEESSS SSSEEEMMM 
AAAMMMOOORRRTTTEEECCCIIIMMMEEENNNTTTOOO::: 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS LLLIIINNNEEEAAARRREEESSS CCCOOOMMM 
UUUMMM GGGRRRAAAUUU DDDEEE LLLIIIBBBEEERRRDDDAAADDDEEE 
k
m
x
Para isto é necessárioque se escolha um sistema de coordenadas. Esta escolha é 
arbitrária, ou seja, pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever o 
movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Um grau de liberdade (Fig. 1.12, Mechanical Vibrations, Rao). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Dois graus de liberdade (Fig. 1.13, Mechanical Vibrations, Rao). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Três graus de liberdade (Fig. 1.14, Mechanical Vibrations, Rao). 
 
Figura 1.2. Modelos com um, dois e três graus de liberdade. 
x
Um sistema vibratório, em geral, inclui um elemento para armazenar energia potencial, 
«mola ou elasticidade» responsável por relacionar forças com deslocamentos, um elemento 
que dissipa energia «amortecedor» que relaciona forças com velocidades e um elemento para 
armazenar energia cinética «massa ou inércia» que relaciona forças com acelerações. 
 O objetivo principal deste capítulo é estudar o comportamento de sistemas mecânicos a 
partir do estabelecimento do modelo físico. O comportamento de um sistema mecânico é 
caracterizado pelo movimento provocado por excitações, que é normalmente chamado de 
resposta do sistema . Quando a resposta é originada de excitações iniciais que não persiste 
durante o movimento vibratório é geralmente conhecida como resposta livre, e quando a 
resposta é originada de forças externamente aplicadas que persiste durante o tempo em que o 
movimento vibratório existir é conhecida como resposta forçada . 
 
 
1.2. Movimento Livre de Sistemas com Um Grau de Liberdade 
 
 Os movimentos livres de sistemas com um grau de liberdade podem ser ilustrados 
simplesmente pelo modelo da figura 1.3, que consiste de um corpo de massa m preso a uma mola 
de constante k, movimentando-se na direção vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3. Sistema massa-mola e diagrama de corpo livre. 
 
Quando uma carga ( )P mg= é fixada à mola, tem-se uma deflexão estática do tipo: 
 
k
P =∆ (1.1) 
 
Onde k denota a força necessária para produzir uma variação unitária no comprimento da 
mola, e é chamado de constante de mola . Para uma mola helicoidal , esta constante pode 
ser expressa por: 
 
3
4
8nD
Gdk = (1.2) 
 
Onde G representa o módulo de elasticidade cisalhante do arame, n o número de espiras, 
D o diâmetro médio da espira e d o diâmetro do arame. 
Seja x, o deslocamento da massa m a partir da posição de equilíbrio estático 
determinada pela ação do seu peso, e k, a rigidez da mola produzindo sobre a massa uma força 
kx− . 
k
m
∆
Posição não
deformada
m
k∆
P mg=
x
Posição de
equilíbrio estático
( )k x∆ +
mg
x� x��
 Aplicando-se a segunda lei de Newton ( ).extF mx=∑ �� ao sistema da figura 1.3, obtém-se 
a equação diferencial traduzindo o comportamento do sistema, que em movimento livre, ou seja, 
na ausência de forças externas, se escreve: ( )k x mg mx∆ + − = �� , então, 
 
0 =+ kxxm �� (1.3) 
 
 É evidente que a escolha da posição de equilíbrio estático tomada como referência para x, 
eliminou da equação do movimento o peso P e a força estática da mola k∆. Assim, a componente 
resultante sobre a massa m é simplesmente a força da mola devido ao deslocamento x. 
 Definindo-se a freqüência angular ω pela equação 
 
∆===ω
g
P
kg
m
k 2 (1.4) 
 
A equação (1.3) torna-se: 
 
02 x x =ω+�� (1.5) 
 
 A equação (1.5) é uma equação diferencial l inear com coeficientes 
constantes, e caracteriza um movimento harmônico. O grau dois da equação (1.5) 
sugere a uma solução com duas constantes arbitrárias. Portanto, as funções transcendentais 
( )sin tω e ( )cos tω , satisfazem esta condição. A solução geral pode então ser escrita na forma: 
 
( ) ( ) sin cosx A t B tω ω= + (1.6) 
 
Onde A e B representam duas constantes arbitrárias . Pode-se facilmente verificar 
por simples substituição que a equação (1.6) satisfaz a equação (1.5). As constantes arbitrárias A 
e B, são determinadas pelas condições iniciais de movimento. As constantes arbitrárias da 
equação (1.6) podem ser substituídas por novas constantes sem perda de originalidade, por 
exemplo: 
 
( ) cosA C φ= e ( ) sinB C φ= (1.7) 
 
 Agora, substituindo-se as constantes arbitrárias das expressões (1.7) na equação (1.6), 
obtêm-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos cos sin sin x C t t C tω φ ω φ ω φ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ (1.8) 
 
Onde C e φ são as novas constantes arbitrárias definas em (1.7), ou como segue: 
 
( ) ( )2 2 2 2cos sin C C A Bφ φ+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
Onde 
 
2 2 C A B= + (1.9) 
 
E 
 
( ) ( )( ) A
B
cosC
sinCtan =φ
φ=φ (1.10) 
 
O termo φ é chamado ângulo de fase ou fase . A forma da equação (1.8), também 
satisfaz a equação diferencial (1.5) e poderia ter sido admitida inicialmente em substituição a 
equação (1.6). As relações trigonométricas da equação (1.7) foram escolhidas convenientemente, 
para resultar a equação (1.8). Uma simples mudança de sinal (positivo ou negativo) nas relações 
trigonométricas (1.7) pode ser usada para obter relações semelhantes a (1.8), tais como: 
 ( )α−ω= 1 tsinCx 
 ( )β+ω= 2 tcosC (1.11) 
 
 ( )γ−ω= 3 tcosC 
 
 
1.3. Interpretação da Solução 
 
 
As constantes arbitrárias A e B da equação (1.6) são calculadas utilizando as seguintes 
condições iniciais: 
 
0
0
 
quando 0
 
x x
t
x x
= ⎫ =⎬= ⎭� �
 (1.12) 
 
 Substituindo-se a equação (1.12) na equação (1.6), obtêm-se: 
 
A
x
 = �0ω e B x = 0 (1.13) 
 
Assim a solução, torna-se: 
 
( ) ( )0 0 sin cos t xx t xω ωω= +
�
 (1.14) 
 
De maneira semelhante, a substituição da equação (1.13), nas equações (1.9) e (1.10), e o 
resultado na equação (1.8), obtêm-se: 
 
( ) sin x X tω φ= + (1.15) 
 
Onde X e φ representam, respectivamente, a amplitude do deslocamento e o 
ângulo de fase conforme equações (1.16) e (1.17) a seguir: 
 
( )X x x = +�0 2 02ω (1.16) 
( ) 0
0
tan x
x
φ ω= � (1.17) 
 
 Os movimentos representados pelas equações (1.14) e (1.15), são de caráter vibratórios, 
portanto, considerados harmônicos , porque ( )sin tω e ( )cos tω são funções periódicas que se 
repetem entre si, após um intervalo de tempo τ , tal que: 
 ( ) π=ω−+τω 2tt (1.18) 
 
Este intervalo de tempo é chamado de período τ da vibração, e sua magnitude é 
definida pela equação (1.18), isto é: 
 
τ πω =
2
 (1.19) 
 
Ou, usando a equação (1.4), tem-se: 
 
gkg
P ∆π=π=τ 22 (1.20) 
 
 A inversa de τ é a freqüência natural , expressa em ciclo por unidade de tempo, assim: 
 
∆π=π=π
ω=τ=
g
P
kg f
2
1
2
1
2
1 (1.21) 
 
 A velocidade x� e a aceleração x�� são expressas pela derivada temporal das equações 
(1.14)e (1.15), assim: 
 
( ) ( )0 0 cos sinx x t x tω ω ω= −� � 
 
( ) cos sin 
2
x X t X t πω ω φ ω ω φ⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠� 
 
( ) cos x X tω φ= +�� (1.22) 
 
Onde ω= XX � representa a amplitude da velocidade . De maneira semelhante, tem-se: 
 
( ) ( )20 0 sin cosx x t x tω ω ω ω= − −�� � 
 
( ) ( )2 2 sin sin x X t X tω ω φ ω ω φ π= − + = + +�� 
 
��x x = − ω2 
 
( ) sin x X tω φ= − +���� (1.23) 
Onde 2ω= XX �� , representa a amplitude da aceleração . A figura 1.4 mostra as curvas 
respostas do deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4. Relação entre deslocamento, velocidade e aceleração. 
 
O ângulo de fase φ indica simplesmente a quantidade que cada curva está deslocada ao 
longo do eixo vertical x. Por exemplo, a curva (a) deslocamento está defasada em relação à curva 
da função seno, da quantidade φ sobre o eixo tω , ou ao longo do eixo tempo da quantidade 
0t definida por: 
 
00 =φ+ωt 
 
ω
φ−=0t (1.24) 
 
As outras curvas (b) velocidade e (c) aceleração estão de maneira semelhante deslocadas 
da mesma quantidade φ . 
 Alguns casos particulares podem ser deduzidos das condições iniciais quando o 
deslocamento ou a velocidade for zero. Assim, para 0 0x = e 0 0x ≠� , tem-se: 
 ( )tsinXx ω= (1.25) 
( ) sin x X tω φ= +
(a) Deslocamento
2ωτ π=
tω
φ
x
X
0x
X
(b) Velocidade
2ωτ π=
tω
φ
x�
X�
0x� X Xω=�( ) cos x X tω ω φ= +�
(c) Aceleração
2ωτ π=x��
φ
0x�� X�� 2X Xω=�� tω
( ) sin x X tω φ= − +����
Onde 0X x ω= � . No caso de 0 0x ≠ e 0 0x =� , tem-se: 
 ( )tcosXx ω= (1.26) 
 
Com 0X x= . 
 
 
1.4. Representação Gráfica do Movimento 
 
 O movimento definido pelas equações (1.14) e (1.15) podem ser representadas por 
vetores rotativos, como mostra a figura 1.5 (a). Pode-se notar que 0x , 0x ω� e X têm posições 
angulares relacionadas entre si, ou seja, 0x e 0x ω� formam ângulo reto e X está defasado de 
0x ω� do ângulo de fase φ . Pode-se observar que a amplitude e as posições relativas desses 
vetores satisfazem as equações (1.16) e (1.17). O sistema formado pelos três vetores gira com 
velocidade angular ω tal que em um instante qualquer t a posição angular é definida por tω . 
As curvas mostradas na figura 1.5 (b) representam respectivamente a projeção vertical dos 
vetores rotativos da figura 1.5 (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5. Representação gráfica dos vetores rotativos da equação de 
movimento. 
 
 As curvas do deslocamento, velocidade e aceleração podem ser representadas pela figura 
1.6, que por conveniência, faz-se: 
 
( ) ( )0sin sinxx X t tω ωω= =
�
 
 
 Então, 
( ) ( )cos cosx X t X tω ω ω= = �� 
 
( ) ( )2 sin sinx X t X tω ω ω= − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦���� 
( )a
0x
ω
� ( ) ( ) ( )0 0sin sin cosxX t t x tω φ ω ωω+ = +
�
( )0 sinx tωω
�
( )0 cosx tω
x
tω
( )b
X
ω
0x
2π
φ
tω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6. Representação gráfica dos vetores deslocamento, velocidade e 
aceleração. 
 
Os vetores velocidade e aceleração estão defasados do deslocamento de 090 e 0180 
respectivamente. Este sistema de três vetores, cujas posições relativas estão fixadas, gira com 
velocidade angular ω . Sua posição angular em qualquer instante de tempo t é definida por tω . 
As curvas mostradas na figura 1.6 (b) representam as projeções verticais dos vetores rotativos da 
figura 1.6 (a). 
 
 
1.5. Vibração Torcional 
 
A figura 1.7 mostra um modelo de vibração torcional , conhecido como pêndulo 
torcional , representado por um disco circular que está preso à extremidade de uma barra, cujo 
eixo geométrico passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano deste. Quando a 
extremidade da barra é presa rigidamente, o dispositivo denomina-se pêndulo de torção. Se 
determinado momento externo o fizer girar em torno do eixo geométrico, de modo a torcer o 
eixo, sendo depois liberado, o disco efetuará uma rotação oscilatória em torno do eixo 
geométrico, denominada vibração torcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7. Vibração torcional. 
 
Na figura 1.7, I é o momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação, θ o 
ângulo de rotação medido a partir da posição de equilíbrio e Tk a constante de rigidez torcional 
do eixo, que representa o torque necessário para produzir um ângulo de torção igual a um 
radiano. 
X Xω=�
tω
2π tω
2π X
2X Xω=��
,x ,x� x�� ,x ,x� x��
x
x�
x��
( )a ( )b
TT k θ= θ
Tk
θ
I
( )+
Escrevendo as relações Newtonianas para a rotação em torno de um eixo, tem-se: 
 
 I Tθ =�� (1.27) 
 
Onde T é o torque, em relação ao eixo geométrico, das forças externas que atuam sobre o 
disco, sendo necessário considerar apenas a reação elástica do eixo sobre o disco. Dentro do 
limite elástico do material do eixo, esse torque é proporcional ao ângulo de torção θ , podendo 
escrever: 
 
 TT k θ= − (1.28) 
 
O sinal negativo indica que, para a rotação do disco no sentido positivo, o eixo exerce 
sobre o disco um conjugado de reação elástico T em sentido contrário. No caso de um eixo 
cilíndrico, a relação entre o momento de torção e o ângulo de torção é dada por: 
 
 TL
GJ
θ = (1.29) 
 
Onde L é o comprimento do eixo, G o módulo de elasticidade ao cisalhamento e 
4 32J dπ= é o momento de inércia polar da seção transversal circular do eixo. Comparando as 
expressões (1.27) e (1.28) conclui-se, que no caso de um eixo de seção circular, 
 
T
GJk
L
= (1.30) 
 
Para um disco circular homogêneo, com diâmetro D e peso P, o momento de inércia da 
massa é: 
 
g
PDI
8
2
= (1.31) 
 
Substituindo-se a equação (1.28) na equação (1.27), tem-se: 
 
 TI kθ θ= −�� (1.32) 
 
Introduzindo-se a notação, 
 
I
kT2 =ω (1.33) 
 
Pode-se escrever novamente a equação (1.32), como segue: 
 
0 2 =θω+θ�� (1.34) 
 
 Esta equação tem a mesma forma da equação (1.5), cuja solução será: 
 
 
( ) ( )sin cosA t B tθ ω ω= + 
(1.35) 
( ) sin C tθ ω φ= + 
 
 O período rotacional da equação (1.35) é: 
 
Tk
I2 π=ω
π=τ 2 (1.36) 
 
Com freqüência natural igual a, 
 
I
k f Tπ=τ= 2
11 (1.37) 
 
Os eixos quando transmitem torque, agem como molas torcionais, além da flexão. 
Quando há variação cíclica no torque transmitido podem aparecer vibrações torcionais forçadas 
que, dependendo das freqüências naturais do sistema poderá causar ressonância, caso em que o 
eixo poderá oscilar em amplitudes suficientemente elevadas para produzir falhas ou 
comprometer a qualidade no processo de fabricação. 
 
 
1.6. Oscilação Angular 
 
 O sistema mostrado na figura 1.8, representa um pêndulo simples. Um pêndulo simples é 
um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa porum fio inextensível e de massa 
desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um 
plano vertical sob a ação da gravidade. O movimento é periódico e oscilatório, sendo assim 
podemos determinar o período do movimento. 
 
 
 
 
Figura 1.8. Pêndulo simples e as forças que atuam sobre a esfera de massa m. 
 
A figura acima exemplifica um pêndulo de comprimento L , sendo m a massa da 
partícula. No instante mostrado, o fio faz um ângulo θ com a vertical. As forças que atuam em 
m são o peso mg e a tração da corda T . O movimento será em torno de um arco de círculo de 
raio L , por isto, escolhe-se um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro tangente ao 
círculo. O peso mg pode ser decomposto numa componente radial de módulo ( )cosmg θ e 
numa componente tangencial ( )sinmg θ . A componente radial da resultante é a força centrípeta 
que mantém a partícula na trajetória circular. A componente tangencial é a força restauradora 
θ L
m
T
P
=
nma
tma
m m
onde o sinal negativo indica que F se opõe ao aumento de θ . A massa m é considerada 
pequena, de tal modo que 20I mL= . 
Usando a segunda lei de Newton, e admitindo as forças na direção transversal, tem-se: 
 
( )sin atF m g m m Lθθ θ= = =∑ �� (1.38) 
 
Onde, a Lθ θ= �� é a aceleração na direção transversal. Dividindo a equação (1.38) por 
mL , obtém-se: 
 
( )��θ θ + =g
L
sin 0 (1.39) 
 
O termo ( )sin θ representa uma função transcendental, conseqüentemente a equação 
diferencial é do tipo não linear e não tem uma solução analítica fechada. A substituição do 
( )sin θ na forma de série, resulta em: 
 
3 5 7
 0
3! 5! 7!
g
L
θ θ θθ θ⎛ ⎞+ − + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
�� " (1.40) 
 
Que é também não linear. Portanto, se o movimento é limitado a pequenas amplitudes, então os 
termos da série de terceira e ordem superior, podem ser desprezados, e a equação reduz-se a: 
 
 0g
L
θ θ+ =�� (1.41) 
 
Que é linear e de fácil resolução. Em comparação com a seção anterior, pode-se observar que a 
equação (1.35) representa a solução para o presente caso, com a freqüência defina por: 
 
ω g
L
= (1.42) 
 
 
1.7. Condições de Estabilidade 
 
 
 O sistema combinado representado pelo pêndulo invertido é fixado simetricamente a uma 
mola como mostra a figura 1.9 (a). Suponha que a mola de constante equivalente k esteja na 
posição não deformada quando o pêndulo se posiciona na vertical. Quando deslocado de um 
pequeno ângulo θ , a força na mola é ( )sink a θ⎡ ⎤⎣ ⎦ . Do diagrama de corpo livre mostrado na 
figura 1.9 (b) e admitindo a massa m pequena, pode-se escrever a equação do movimento para a 
rotação em torno do ponto O , sob a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9. Pêndulo invertido. 
 
( ) ( ) ( )2 sin cos sinmL k a a mg Lθ θ θ θ= − × + ×⎡ ⎤⎣ ⎦�� (1.43) 
 
 Para pequenas oscilações, ( )sin θ θ� e ( )cos 1θ � , então a equação (1.43), reduz-se a: 
 
2 2mL ka PLθ θ θ= − +�� (1.44) 
 
Ou ainda, 
 
2
2 0
ka PL
mL
θ θ⎛ ⎞−+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
�� (1.45) 
 
 A solução da equação (1.45) depende do sinal de ( )2ka PL− , como discutido abaixo: 
 
1.7.1. Caso em que 2ka PL> 
 
 A equação (1.45) representa uma oscilação estável e pode ser expressa como: 
 
( )sinC tθ ω φ= + (1.46) 
 
Onde 
 
2
2
ka PL
mL
ω −= (1.47) 
 
1.7.2. Caso em que 2ka PL= 
 
 A equação (1.45) reduz-se a 0θ =�� , e a solução pode ser obtida diretamente integrando-a 
duas vezes, o que fornece: 
 ( ) 21 CtCt +=θ (1.48) 
 
 Para as condições iniciais ( ) 00 θ==θ t e ( ) 00 θ==θ �� t , a solução torna-se: 
( )a
a
b
m
a b L+ =
( )+O
θ
( )b
θ
a
b P mg=
( )sink a θ⎡ ⎤⎣ ⎦
O
Q
m
( ) 00 θ+θ=θ tt � (1.49) 
 
 A equação (1.49) mostra que o deslocamento angular aumenta linearmente na velocidade 
constante 0θ� . Portanto, se 0 0θ =� , a equação (1.49) fornece uma posição de equilíbrio estático 
com 0θ θ= , isto é, o pêndulo permanece em sua posição de origem, definida por 0θ θ= . 
 
1.7.3. Caso em que 2ka PL< 
 
 Para esta situação, define-se: 
 
2
2
2
ka PL
mL
γ− = 
 
 
Onde γ é real, de modo que 2γ− é negativo. A equação (1.45) torna-se: 
 
2 0θ γ θ− =�� (1.50) 
 
Admitindo que stCeθ = e substituindo na equação (1.50), tem-se: 
 ( )2 2 0sts Ceγ− = 
 (1.51) 
 
s γ= ± 
 
 E a solução é: 
 
( ) 3 4t tt C e C eγ γθ −= + (1.52) 
 
 Conseqüentemente, 
 
( ) ( )0 0 0 01 12 2t te eγ γθ θ θ γ θ θ γ −= + + −� � (1.53) 
 
 Onde γ é uma quantidade real positiva definida por: 
 
2
2
PL ka
mL
γ −= (1.54) 
 
 A equação (1.54) representa um movimento não oscilatório onde θ aumenta 
exponencialmente com o tempo, conseqüentemente, o movimento é instável. Fisicamente, 
significa que o momento restaurador provocado pela mola 2ka θ , que tenta puxar o sistema para 
a posição de equilíbrio, é menor do que o momento restaurador devido à gravidade PLθ− , o 
qual induz o movimento da massa para fora da posição de equilíbrio. Apesar, das condições de 
estabilidade ter sido ilustrada para o exemplo da figura 1.9 desta seção, condições similares 
precisam ser examinadas na análise vibracional de muitos sistemas em engenharia. 
 
 
1.8. Molas Equivalentes 
 
 Na análise vibratória a substituição de um membro elástico por uma mola equivalente, é 
na maioria das vezes conveniente. O problema pode reduzir-se a um modelo massa-mola mais 
simples. Este procedimento envolve o cálculo da constante de mola equivalente. Como exemplo, 
considere uma viga em balanço, figura 1.10 (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10. Sistemas mecânicos. 
 
A deflexão estática ∆ na extremidade direita da viga em balanço, quando submetida a 
uma carga concentrada, é dada por 3max 3y PL EI∆ = = , onde E é o módulo de elasticidade do 
material da viga, I o momento de inércia da seção, e L o comprimento da viga. Assim, a 
constante de mola equivalente é: 
 
k
P EI
L
 = ∆
3
3 (1.55) 
 
 De maneira semelhante, o sistema da figura 1.10(b), tem deflexão estática ∆ no centro da 
viga, provocado pela carga P , igual a 3 48PL EI∆ = , e a constante k para a mola equivalente é: 
 
k
P EI
L
 = ∆
48
3 (1.56) 
 
Assim, uma expressão geral para a constante de mola equivalente de uma viga, seria: 
 
k
P EI
L
 
1= ∆ γ 3 (1.57) 
 
Onde γ é uma constante, cujo valor dependerá da carga e do suporte da viga. Note que, o 
lado direito da equação (1.57) reduz-se à força por unidade de deslocamento. 
( )a
( )c
L
δ
P
( )b
∆
2
L
2
L
( )d
L
T
Para o caso de uma barra uniforme em tração-compressão elástica, figura 1.10 (c), a 
constante de mola equivalente pode ser obtida da relação dedeformação PL AEδ = , onde 
A é a área da seção transversal da barra e E o módulo de elasticidade tração-compressão do 
material da barra. A constante de mola equivalente k é a força por unidade de deslocamento, ou 
P δ P/δ, assim: 
 
k
P AE
L
 = =δ (1.58) 
 
 O sistema torcional pode ser tratado de forma semelhante. O ângulo de torção θ , para 
uma barra submetida ao torque T , é dado por TL GJθ = , onde G é o módulo de elasticidade 
cisalhamento e J o momento de inércia polar da seção circular. Então, para a figura 1.10 (d), A 
constante de mola torcional equivalente Tk , é definida por: 
 
k
T GJ
LT
 = =θ (1.59) 
 
 Onde o lado direito da equação (1.59) tem a dimensão de momento por radianos e 
representa o momento necessário para produzir um ângulo de torção unitário. 
No estudo de sistemas dinâmicos considera-se que a massa da mola seja desprezível. 
Uma força F aplicada numa extremidade da mola terá de ser equilibrada na outra extremidade 
por outra igual, como mostra a figura 1.11 (a). Devido à força F , a mola sofre uma deformação 
que é igual à diferença entre os deslocamentos 1x e 2x . Na zona linear de deformação, o 
deslocamento entre as extremidades da mola, é proporcional à força aplicada e dada pela 
equação (1.60). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 . Força aplicada em mola 
 
Na zona linear de deformação, o deslocamento entre as extremidades da mola, é 
proporcional à força aplicada e dada pela seguinte equação: 
 
( )2 1F k x x= − (1.60) 
 
A rigidez k de uma mola é numericamente igual à declividade da reta na zona linear de 
deformação da mola. 
Zona Linear
( )b
( )a
Quando combinamos molas, para formar um conjunto mais rígido, podemos realizar essa 
associação de duas formas diferentes: em série ou em paralelo, conforme mostra as Figuras 1.12 
e 1.13. 
As figuras 1.12 (a) e (b) representam combinações de molas em paralelo. Para este 
sistema, faça ∆ representar o deslocamento provocado pela carga P . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 . Molas em paralelo 
 
Note que todas as molas se deformam igualmente, e P será a soma das forças exercidas 
em cada mola separadamente, portanto: 
 
P k k kn = + + +1 2∆ ∆ ∆" (1.61) 
 
 Para a mola simples da figura 1.12 (c), que substitui o conjunto, tem constante de mola 
equivalente k ′ defina por: 
 
P k= ′∆ (1.62) 
 
Já que o deslocamento é o mesmo. Então, das equações (1.61) e (1.62), 
 
′ = + + + +k k k k kn∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 1 2 3 " (1.63) 
 
De modo que, 
 
′ = + + +k k k kn 1 2 " ou ′ =
=
∑k k j
j
 
 
n
1
 (1.64) 
 
As figuras 1.13 (a) e (b) representam combinações de molas em série. Faça ∆ representar 
o deslocamento do sistema de molas provocado pela carga P . Faça também j∆ representar a 
deformação da mola j . A carga P , colocada em B , é transmitida para todo o sistema, de modo 
que a força sobre cada mola é P . Assim, pode-se escrever: 
 
P k k kn = = = =1 2∆ ∆ ∆" 
1k 2k 3k nk
P ∆( )a
1k 3k 1nk −
2k
∆
4k nk
( )b
k ′
∆
P
( )c
P k= ′∆ (1.65) 
 
Onde k ′ é a constante de mola equivalente mostrada na figura 1.13 (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 . Molas em série. 
 
 Conseqüentemente, pela equação (1.65), tem-se: 
 
1 2
 
n
P P P P
k k k k
= + + +′ " (1.66) 
 
 De modo que: 
 
1 2
1 1 1 1 
nk k k k
= + + +′ " (1.67) 
 
 Ou, 
 
1
1 1 
n
j jk k=
=′ ∑ (1.68) 
 
 
1.9. O Método da Energia 
 
 A energia total em um sistema conservativo é constante e a equação diferencial de 
movimento é estabelecida pelo princípio da conservação da energia. A energia na vibração livre 
de um sistema não amortecido é parte cinética e parte potencial. A energia cinética T é 
conservada na massa em razão da sua velocidade, enquanto a energia potencial V é conservada 
sob a forma de esforço na deformação elástica ou trabalho realizado num campo de força como a 
gravidade. Sendo constante a energia total, sua taxa de variação é zero, assim escreve-se: 
 
1k
2k
3k
nk
P ∆
( )a
B ( )b
P ∆
k ′
constanteT V+ = (1.69) 
 
 E 
 
 ( ) 0d T V
dt
+ = (1.70) 
 
 A derivada temporal da equação (1.70) conduz à equação diferencial que governa o 
movimento do sistema mecânico. 
 Este procedimento pode ser aplicado a qualquer sistema simples sem amortecimento com 
um grau de liberdade. Por exemplo, considere o oscilador massa-mola mostrado na figura 1.14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14 . Molas em série. 
 
 Para este caso, a energia cinética é: 
 
21
2
T mx= � (1.71) 
 
 Usando a posição de equilíbrio como referência, a energia potencial pode ser expressa 
como a integral do trabalho mecânico executado pelas forças restauradoras do sistema em 
retorno da posição dinâmica à posição de referência. Isto é: 
 
( )0 0 2
2x x
kxV P k x dx k x dx= − ∆ + = − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ (1.72) 
 
 A equação (1.70) resulta em: 
 
2 2
0
2 2
d mx kx
dt
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
�
 
 
( ) 0mx kx x+ =�� � 
 
m
k
x
dx
( )k x∆ +
P
( )+
de equilíbrio
Posição
m
( )b( )a
 E 
 
0mx kx+ =�� (1.73) 
 
 A solução trivial fornecida por 0x =� é descartada. A equação (1.73) é idêntica a equação 
diferencial obtida anteriormente para o caso da segunda lei de Newton, com a mesma solução. O 
método da energia pode ser usado em sistemas mecânicos em que a massa do membro elástico é 
significativa e não pode ser desprezada. 
 
 
1.10. Massa Efetiva 
 
 Até agora se admitiu, no cálculo da freqüência natural, a inexistência da massa na mola. 
Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração ponderável da 
massa total do sistema, que desprezada pode resultar freqüências naturais muito altas. 
 Para se obter uma estimativa melhor da freqüência natural, pode-se computar a energia 
cinética adicional dos elementos móveis, que não foi considerada anteriormente. Isto requer uma 
suposição ao movimento dos elementos distribuídos. O resultado integrado da energia cinética 
adicional pode ser então, expresso em função da velocidade x� da massa concentrada da seguinte 
forma: 
 
21
2ad ef
T m x= � 
 
 Onde efm é a massa efetiva a ser adicionada à massa concentrada e adT é a energia 
cinética adicional. 
 O método da energia para um modelo massa-mola é mostrado na figura 1.15 incluindo a 
massa da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 . Sistema massa-mola, incluindo a massa da mola. 
 
 É conveniente aqui considerar a mola como uma barra elástica equivalente 
em tensão e compressão. 
 
( )b( )a
M
k
y
dy L Barrau
M
Faça: 
 
coordena de posição da mola ou barray = ; 
peso por unidade de comprimento da mola ou barraρ = ; 
massa da mola ou barram = ; 
massa do elemento com comprimento dm dy= ; 
deslocamento do elementoda mola ou barrau = ; 
massa suspensa da mola ou barraM = ; 
comprimento da mola ou barraL = ; 
deslocamento de x M= . 
 
 Fazendo x� igual à velocidade da massa concentrada m , supõe-se que a velocidade de um 
elemento da mola, localizado à distância y da sua extremidade fixa, varie linearmente com y da 
seguinte forma: 
 
yx
L
� 
 
 A energia cinética da mola pode então ser integrada para: 
 
2
2
0
1 1
2 2 3
t
ad
y m mT x dy x
L L
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ � � (1.74) 
 
 A equação (1.74) representa para a massa efetiva o valor de um terço da massa da mola. 
Adicionando-se o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da freqüência 
natural será: 
 
1
3
k
M m
ω =
+
 (1.75) 
 
 
1.11. Método de Rayleigh 
 
Em um sistema linear simples do tipo massa-mola com movimento harmônico sem atrito 
e sem amortecimento pode-se muitas vezes determinar a freqüência natural sem se obter a 
equação diferencial de movimento. Este método é conhecido como o Método de Rayleigh. 
 No movimento harmônico simples o princípio da conservação da energia implica que a 
energia cinética é máxima e a energia potencial é mínima na posição de equilíbrio 0x = . 
Quando o deslocamento é máximo a energia potencial é máxima, mas a energia cinética é zero. 
Pela conservação da energia: 
 
max min min maxT V T V+ = + 
 
Assim, 
max min max0T V V+ = + 
Ou, 
 
max max minT V V= − (1.76) 
 
 Por exemplo, para o sistema massa-mola oscilando verticalmente como mostra a figura 
1.16, 2 2T mx= � e ( )2 2V k x mgx⎡ ⎤= + ∆ −⎣ ⎦ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.16 . Sistema massa-mola. 
 
E pela equação (1.76), tem-se: 
 
( ) ( )2 2 2max max max min max1 1 12 2 2T m x V V k x mgx k= = − = − ∆ − − ∆� (1.77) 
 
Ou 
 
( ) ( )2 2max max1 12 2m x k x=� 
 
 Onde se usa o fato de que k mg∆ = . No movimento harmônico max maxx xω=� , e então: 
 
( ) ( )2 2max max1 12 2m x k xω = 
 
 Cancelando 2maxx e resolvendo para ω se obtém k mω = . Este exemplo simples 
obteve a expressão para ω que já conhecíamos. Entretanto, em outras aplicações as expressões 
para T e V podem ser diferentes, mas se o movimento é harmônico simples pode-se determinar 
diretamente a freqüência natural usando de fato que max maxx xω=� para expressar maxT como 
função de maxx e então a equacionando maxT para max minV V− . Esta aproximação é à base do 
método de Rayleigh. 
M
k Posição de equilíbrio∆
L
x
estático
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
 
 Na realidade, todas as vibrações são amortecidas, em maior ou menor grau, pela ação das 
forças de atrito. Estas forças podem ser causadas por atrito seco (entre corpos rígidos), por atrito 
fluido (quando um corpo rígido se desloca num fluido), ou por atrito interno (entre as moléculas 
que constituem um corpo). A figura 2.1 representa um sistema mecânico com amortecimento 
viscoso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1. Sistema massa-mola-amortecedor. 
 
 
2.2. Vibração Livre Amortecida 
 
Um tipo de amortecimento com especial interesse é o amortecimento viscoso em que a 
força de atrito é proporcional e oposta à velocidade do corpo em movimento. 
 
 F cx= − � (2.1) 
VVVIIIBBBRRRAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS LLLIIIVVVRRREEESSS CCCOOOMMM 
AAAMMMOOORRRTTTEEECCCIIIMMMEEENNNTTTOOO::: 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS LLLIIINNNEEEAAARRREEESSS CCCOOOMMM 
UUUMMM GGGRRRAAAUUU DDDEEE LLLIIIBBBEEERRRDDDAAADDDEEE 
k
m
∆
Posição não
deformada
m
k∆
P
x
Posição de
equilíbrio estático
kx
P
x� x��
c
cx�
( )+
 
A constante c expressa em N s m× chama-se coeficiente de amortecimento viscoso. 
Na posição de equilíbrio estático, o sistema está em repouso, portanto no amortecedor 
não se desenvolve força. Aplicando a segunda lei de Newton ( )extF mx=∑ �� para uma posição 
qualquer caracterizada na figura 2.1 pela posição x e pela velocidade x� , tem-se: 
 
mx kx cx�� �= − − (2.2) 
 
Ou dividindo pela massa: 
 
�� �x c
m
x
k
m
x + + = 0 (2.3) 
 
Esta é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A presença da 
primeira e segunda derivada sugere admitir a solução na forma: 
 
 tx Ceλ= (2.4) 
 
 Onde: tx C eλλ=� e 2 tx C eλλ=� . 
 
Substituindo (2.4) em (2.3), obtém-se a equação característica: 
 
2 c k 0
m m
tCeλλ λ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.5) 
 
 Visto que C e teλ não podem desaparecer, exceto para o caso trivial, é necessário fazer: 
 
2 0c k
m m
λ λ+ + = (2.6) 
 
 A equação (2.6) é conhecida como equação auxiliar, e determina as condições para que a 
equação (2.4) represente uma solução, cujas raízes 1λ e 2λ são: 
 
2
1,2 2 2
c c k
m m m
λ ⎛ ⎞= − ± −⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.7) 
 
Designa-se por coeficiente de amortecimento crítico, cc o valor do coeficiente de 
amortecimento c que anula o radical da equação (2.7): 
 
2 2c
kc m m
m
ω= = (2.8) 
 
O amortecimento de um sistema costuma ser dado em percentagem sobre o valor do 
amortecimento crítico, assim define-se fator de amortecimento como: 
 
c
c
c
ζ = (2.9) 
Conseqüentemente, 
 
c
m
c
c
c
mc
c
2 2
 = ⋅ = ζω (2.10) 
 
Os valores recomendados para o fator de amortecimento ζ no cálculo de estruturas 
variam entre 5 a 10% (nas estruturas metálicas), 7 a 10% (nas estruturas de concreto) e 10 a 20% 
(nas estruturas de madeira). Com a notação das expressões (1.4) e (2.10), a equação diferencial 
das vibrações livres amortecidas (2.3) toma a seguinte forma: 
 
2 2 0x x xζω ω+ + =�� � (2.11) 
 
Assim, a solução geral definida pela equação (2.4) pode ser escrita sob a forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tmkmcmctmkmcmc
eCeCx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+− +=
222
2
222
1 (2.12) 
 
Com a condição de que 2 c m k m≠ . Utilizando as expressões (1.4) e (2.10) a 
equação (2.12) pode ser escrita como segue: 
 ( ) ( )x C e C et t= + ≠− + − − − − para 1 1 2 12 2 1ζ ζ ω ζ ζ ω ζ (2.13) 
 
 
2.3. Análise Complementar da Solução 
 
Dependendo do valor do coeficiente de amortecimento, distinguem-se três casos: 
 
2.3.1. Caso em que 1ζ > ou 2 c m k m> - Amortecimento Supercrítico. 
 
 Neste exemplo já que 2 1 1ζ − < , as raízes da equação característica (2.6) são reais e 
distintas, ambas negativas, e a solução pode ser escrita na forma: 
 ( ) ( )2 2 1 1 
1 2 para 1
t t
x C e C e
ζ ζ ω ζ ζ ω ζ− + − − − −= + > (2.14) 
 
 Isto representa a soma de dois decaimentos exponenciais, em conseqüência, o movimento 
é não periódico , ou aperiódico . Pode-se observar que x tende para zero quando t aumenta 
indefinidamente, ou seja, o sistema readquire a sua posição de equilíbrio estático após um 
intervalo de tempo suficientemente longo. 
 
2.3.2. Caso em que 0 1ζ< < ou 2 c m k m< - Amortecimento Subcrítico. 
 
 Para esta condição, ( )2 1ζ − é negativo, e os multiplicadores exponenciais de tω na 
equação (2.13) são númerosconjugados complexos. Portanto, a solução pode ser escrita como: 
 
 ( ) ( )2 2 1 1 
1 2 
i t i t
x C e C e
ζ ζ ω ζ ζ ω− + − − − −= + (2.15) 
 
Ou ainda, 
 
2 21 1 1 2
i t i ttx e C e C e
θ θ
ζ ω ζ ωζω
⎛ ⎞⎜ ⎟− − −− ⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���� 
����
 (2.16) 
 
 Utilizando a relação de Euler ( ) ( ) cos sinie iθ θ θ± = ± na equação (2.16), pode-se 
escrever: 
 
2 2 2 2
1 2
 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1tx e C t i t C t i t
θ θ θ θ
ζω ζ ω ζ ω ζ ω ζ ω
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − + − − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
���� 
���� 
���� 
����
 
( ) ( )2 21 2 1 2 cos 1 sin 1
C C
tx e C C t i C C t
θ θ
ζω ζ ω ζ ω
′′ ′⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
���� 
����
���� 
����
 
 
P ( ) P ( )2 2 sin 1 cos 1 t A Bx e C t C t
θ
ζω
θ
ζ ω ζ ω−
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′′= − + −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
������ 
������
 
 
( )2 sin 1 
d
tx X e t
θ
ζω
ω
ζ ω φ−
⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
������
���	��
 
 
( ) sin 1t dx Xe t paraζω ω φ ζ−= + < (2.17) 
 
Onde 
 ( )2 1 dω ζ ω= − (2.18) 
 
A expressão (2.18) representa a freqüência circular amortecida . Ambos X e φ 
são determinados utilizando as seguintes condições iniciais: 
 
 
0
0
 
quando 0
 
x x
t
x x
= ⎫ =⎬= ⎭� �
 (2.19) 
 
 
Substituindo-se as condições iniciais (2.19) na equação (2.17), obtêm-se: 
 
2
2 0 0
0 
d
x xX x ζ ωω
⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
�
 (2.20) 
 
E, 
 
1 0
0 0
tan dx
x x
ωφ ζ ω
− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠�
 (2.21) 
 
Assim a solução, torna-se: 
 
 
( ) ( ) ( )0 0 0 sin cos t d d
d
x xx t e t x tζ ω ζ ω ω ωω
− ⎡ ⎤+= +⎢ ⎥⎣ ⎦
�
 (2.22) 
 
 
2.3.3. Caso em que 1ζ = ou 2 c m k m= - Amortecimento crítico. 
 
 A equação característica tem uma raiz dupla. Para obter a solução geral, a equação (2.17) 
pode ser usada, fazendo ζ aproximar-se da unidade. Quando 1ζ → , 0dω → , de modo que 
para t finito, ( )sin d dt tω ω→ e ( )cos 1dtω → . Assim, a primeira forma da equação (2.17), 
fornece: 
 ( ) t dx e C t Cω ω− ′ ′′= + 
 
 
( )x A Bt e parat = + =− ω ζ 1 (2.23) 
 
 
O movimento não é vibratório, retomando o sistema a sua posição de equilíbrio no menor 
tempo possível, sem oscilar. Esta relação representa também uma função não periódica. 
A figura 2.2 representa as curvas respostas das equações (2.14) (amortecimento 
supercrítico), (2.17) (amortecimento subcrítico) e (2.22) (amortecimento crítico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Amortecimento supercrítico, amortecimento subcrítico e amortecimento crítico. 
 
 
2.4. Movimento Sub-Amortecido 
 
 O amortecimento correspondente a 0 1ζ< < é considerado sub-amortecido ou 
amortecimento sub-crítico. Para esta condição, a solução é especificada pela equação (2.17). O 
movimento tem forma harmônica, com decaimento exponencial da amplitude, como é mostrado 
pela figura 2.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3. Movimento com amortecimento subcrítico. 
 
 
 Sem perda de generalidade pode-se fazer um exame mais detalhado da equação (2.17) 
considerando o ângulo de fase φ igual a zero, assim escreve-se: 
 
 
( ) sint dx Xe tζω ω−= (2.24) 
 
 
A equação (2.24) pode ser agora representada pela figura 2.4. 
 
 
( ) sin t dx Xe tζω ω φ−= +( )sinx φ
φ
x
dtω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
t
( )1 am ortecim ento críticoζ =
( )1, 3 supercríticoζ =
( )0, 4 am ortecim ento subcrítico ζ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4. Curva resposta da equação (2.24). 
 
 Tomando a derivada temporal da equação (2.24), obtém-se: 
 
( ) ( ) 2 sin 1 cost d dx Xe t tζω ζ ω ω ζ ω ω− ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦� (2.25) 
 
 Os pontos de máximos e mínimos são definidos fazendo a equação (2.25) igual a zero, 
assim: 
 
( ) ( ) 2 sin 1 cos 0t d dX e t tζ ωω ζ ω ζ ω− ⎡ ⎤− + − =⎣ ⎦ (2.26) 
 
 Esta condição é satisfeita para 0 =ζω− te , que define o valor final mínimo para x = 0, 
quando t torna-se muito grande. A condição é também satisfeita para, 
 
 
( ) ( )2 sin 1 cos 0d dt tζω ω ζ ω ω⎡ ⎤− + − =⎣ ⎦ 
 
Conseqüentemente, 
 
( ) ( )( )
2
d
d
sin 1 tan 
cosd
t
t
t
ω ζω ω ζ
−= = (2.27) 
 
Utilizando a relação trigonométrica do seno, tem-se: 
 
( ) ( )( )2
tan
sin 
1 tan
d
d
d
t
t
t
ωω ω= ± + 
 
( ) ( )
2
2
2
1 sin 
1 1 
d t
ζ ζω
ζ ζ
−= ±
+ −
 
 
( ) 2sin 1 d tω ζ= ± − 
 
x
β
2π π γ
3 2π 2π
2β π+
5 2π
3π 4π
7 2π2γ π+
21 tx Xe ζ ωζ −= −
21 tx Xe ζ ωζ −= − −
d tω
De modo que, 
 
( ) 2sin 1 d tω ζ= − (2.28) 
 
( ) 2sin 1 d tω ζ= − − (2.29) 
 
 A equação (2.28) define o tempo 1t para os pontos de máximos sobre a curva, de modo 
que: 
 
1 = , 2 , + 4 ,d tω β β π β π+ … (2.30) 
 
 Onde 
 
β π <
2
 
 
 Isto é porque 21 1ζ− < e 21 ζ ζ− < ∞ ; conseqüentemente, pelas equações 
(2.27) e (2.28), β deve está no primeiro quadrante. De maneira semelhante, a equação (2.29) 
define o tempo 2t para os pontos de mínimos sobre a curva, de modo que: 
 
2 = , 2 , + 4 ,d tω γ γ π γ π+ … (2.31) 
 
 Onde: 
 
3 
2
πγ < 
 
 Aqui, já que o seno é negativo e a tangente positiva, as equações (2.27) e (2.29), 
especificam o valor de γ no terceiro quadrante. Pode-se notar que γ β π= + . 
A curva cruzará o eixo d tω nos pontos onde ( )sin 0d tω = . Este cruzamento ocorrerá 
em: 
 
3 , 2 , 3 , d tω π π π= … (2.32) 
 
 Um exame das equações (2.30) a (2.32), revelam que em qualquer instante o tempo entre 
um ponto 0x = e o próximo ponto maxx , é menor do que o tempo entre este máximo maxx e o 
ponto seguinte 0x = . De forma semelhante, o tempo entre um ponto 0x = e o próximo ponto 
minx , é menor do que o tempo entre este mínimo minx e o ponto seguinte 0x = . A desigualdade 
no tempo ocorre, porque o amortecimento soma-se à mola durante o movimento para fora, e 
opõe-se durante o movimento de retorno. 
 A figura 2.4 mostra que o período τ é definido pelo tempo entre pontos sucessivos de 
mesma classe, dado por: 
 
 2dω τ π= 
 
2
2 2 
1 d
π πτ ω ζ ω= = − (2.33) 
 
 Das equações (2.24) e (2.28) obtém-se a curva que passa pelos pontos de máximos, que é: 
 
2 1 tx X e ζ ωζ −= − (2.34) 
 
 De maneira idêntica, a substituição da equação (2.25) em (2.28) obtém-se a curva que 
passa pelos pontos de mínimo, definida por: 
 
2 1 tx X e ζ ωζ −= − − (2.35) 
 
 
2.5. Efeito do Amortecimento no Movimento Livre 
 
 Para uma melhor compreensão do efeito do amortecimento nas estruturas estuda-se a 
família de curvas traçadas para diferentes valores do fator de amortecimentoζ . A figura 2.5 
mostra as curvas respostas das equações (2.14), (2.17) e (2.19), traçadas em função de tω . As 
condições iniciais são as mesmas para cada curva, ou seja, 0 0x = e 0 1x =� . As equações 
podem então ser escritas: 
 
( )
( )
( ) ( )2 2
 
2
2
 
 1 1
2
1 sin 0
 sin 1 1
1 
 1
 1
2 1
t
t
t t
x t para
ex t para
x t e para
e ex para
ζ ω
ω
ζ ζ ω ζ ζ ω
ω ζω
ζ ω ζω ζ
ζ
ζω ζ
−
−
− + − − − −
⎫= = ⎪⎪⎪= − < ⎪⎪− ⎬= = ⎪⎪⎪−= > ⎪− ⎪⎭
 (2.36) 
 
O amortecimento tem o efeito de reduzir a amplitude do movimento oscilatório. O tempo 
para ocorrer um máximo é sempre menor à medida que o amortecimento aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5. Efeito do amortecimento nas estruturas. 
x
1 ω
tω0
0ζ =
0,259ζ =
0,259ζ =
0,866ζ =
1ζ =
2ζ =
 
 
2.6. Decremento Logarítmico 
 
 Para um sistema amortecido, a taxa de decaimento do movimento é convenientemente 
expressa pela razão de qualquer duas amplitudes sucessivas. Se jx e 1jx + representam estas 
amplitudes, então pela equação (2.30), tem-se: 
 
 2 1 jtjx X e
ζωζ −= − 
(2.37) 
( ) 2
 1 1 
jt
jx X e
ζ ω τζ − ++ = − 
 
Em conseqüência, 
 
2
( )2
1
1 constante
1 
j
j
t
j
t
j
x Xe e
x Xe
ζ ω
ζ ωτ
ζ ω τ
ζ
ζ
−
− +
+
−= = =− (2.38) 
 
 Pode-se observar que esta relação é a mesma para qualquer duas amplitudes sucessivas. 
A medida do decaimento usada é o logaritmo natural do cociente das amplitudes sucessivas. 
Assim, é chamado decremento logarítmico, e é designada por δ. Então, 
 
j
j 1
x
 ln
x
δ
+
= (2.39) 
 
2
2 ln 
1 
eζ ωτ π ζδ ζωτ ζ= = = − (2.40) 
 
Para pequenos valores do amortecimento, tem-se: 
 
 2δ π ζ≈ (2.41) 
 
 Pode-se também calcular o decremento logarítmico pela razão das amplitudes entre 
diferentes ciclos. Assim, se nx representa o enésimo ciclo e 0x a amplitude inicial, tem-se: 
 
0 0 11 2
1 2 3 1
 
n
jn
n n j
xx x xx x
x x x x x x
−
+
⎛ ⎞= × × ×⋅⋅⋅× = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 (2.42) 
 
 O logarítmico natural é então: 
 
0
 1
ln ln j
n j
xx n n
x x
δ
+
⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
 Conseqüentemente: 
 
01 ln
n
x
n x
δ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.43) 
 
 Esta relação pode ainda ser escrita da seguinte forma: 
 
01 ln
n
xn
xδ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2
01 ln
2 n
x
x
ζ
πζ
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 (2.44) 
 
 A equação (2.40) é conveniente quando se quer determinar o número de ciclos que um 
sistema pode alcançar após uma redução de amplitude. Pode-se notar que n não é 
necessariamente um número inteiro. O intervalo de tempo t∆ para se chegar a uma determinada 
perda de amplitude é calculado a seguir. Já que o período amortecido é definido por 
2 2 2 1 dτ π ω π ζ ω= = − , tem-se: 
 
2
0
2
1 2 ln
2 1 n
xt n
x
ζ πτ π ζ ζ ω
⎡ ⎤⎛ ⎞−∆ = = ⎢ ⎥⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
01 ln
n
xt
xζ ω
⎛ ⎞∆ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
 (2.45) 
 As expressões anteriores podem ser usadas como base para a determinação experimental 
do amortecimento de um sistema. Elas são particularmente valiosas onde o mecanismo e a 
quantidade de amortecimento, expressas por ζ ou c , não podem ser diretamente determinadas 
pela medida do decaimento exponencial. Assim a equação (2.36) pode ser reescrita da seguinte 
forma: 
 
 
( )ζ
δ
π δ
 
 
=
+2 2 2
 (2.46) 
 
 
 Pela observação experimental a variação da amplitude e o número de ciclos, podem ser 
calculados da expressão (2.40). Então ζ pode ser obtido da equação (2.42). Se k e m são 
conhecidos ou podem ser determinados pelas medidas da deflexão estática, então o valor da 
constante de amortecimento c pode ser calculado. 
 
 
2.7. Vibração Livre Com Amortecimento de Coulomb 
 
 O amortecimento de Coulomb ocorre devido ao atrito seco entre o contato de duas 
superfícies sólidas. A força de atrito ( )dF Nµ= para produzir o deslizamento é diretamente 
proporcional à força normal atuante no plano de contato e é sempre contrária à direção do 
movimento. A figura 2.6 representa um modelo massa-mola com amortecimento de Coulomb e a 
tabela 2.1 os coeficientes de amortecimento aproximados µ para alguns materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6. Amortecimento de Coulomb. 
 
 
 
Material Cinético Estático 
 
Metal sobre metal 0,07 0,09 
Madeira sobre madeira 0,2 0,25 
Aço sobre aço 0,3 0,75 
Borracha sobre aço 1,0 1,20 
 
 
Como o sentido da força de atrito varia com o sentido da velocidade, a equação 
diferencial governando o movimento pode ser escrita como segue: 
 
( ) sgn dmx k x F x= − −�� � (2.47) 
 
Onde ( )sgn x� significa o sinal de x� . O estudo do sistema da figura 2.6 (a) compreende 
dois movimentos. Movimento 1: o deslocamento x é positivo e a velocidade x� é positiva ou o 
deslocamento x é negativo e a velocidade x� é positiva, ou seja, no meio-ciclo em que a massa 
vai da esquerda para a direita, conforme figura 2.6 (b). Movimento 2: o deslocamento x é 
positivo e a velocidade x� é negativa ou o deslocamento x é negativo e a velocidade x� é 
negativa, ou seja, no meio-ciclo em que a massa vai da direita para a esquerda, conforme figura 
2.6 (c). A equação diferencial (2.43) representa os dois movimentos que pode ser separados pelas 
seguintes equações: 
 
 para 0dmx k x F x= − + <�� � (2.48) 
 
 para 0dmx kx F x= − − >�� � (2.49) 
 
Estas equações diferenciais e suas soluções são descontínuas nos pontos extremos do 
movimento. 
 
2.7.1. Movimento 1 
 
 O caso do movimento à esquerda representado pela equação (2.44) será agora estudado, 
ou seja: 
 
k
m
( )a
x
( )c
dF
m
kx
0x <�
Direção do Movimento
( )b
Direção do Movimento
kx
0x >�m
dF
. Amortecimento de Coulomb.Tabela 2.1
 dFkx x
m m
+ =�� (2.50) 
 
 A equação diferencial (2.46) é não homogênea e a solução será composta de duas partes, 
que pode ser escrita como segue: 
 
 a bx x x= + (2.51) 
 
Onde: 
 
x = A solução completa; 
ax = A função complementar (a solução da equação diferencial com o lado direito igual a zero) 
( ) ( )sin cosA t B tω ω= + ; 
bx = A solução particular (a solução que satisfaz a equação diferencial completa e não contém 
constantes arbitrárias ou constantes desconhecidas). 
 
 Neste caso é aconselhável que a solução particular deva ser uma constante. Assim, pode-
se admitir: 
 
 bx C= (2.52) 
 
Onde C é determinado pela substituição na equação (2.46), resultando em: 
 
 dFk C
m m
= 
 
Então, dC F k= e, conseqüentemente: 
 
 db
Fx
k
= (2.53) 
 
 A solução geral é então: 
 
( ) ( ) ( ) sin cos 0dFx A t B t x
k
ω ω= + + <� (2.54) 
 
Inserindo as condições iniciais de movimento ( ) 00 xx = e ( )0 0x =� , as constantes 
arbitrárias A e B da equação (2.50)serão encontradas, ou seja: 
 
0 0 e d
FA B x
k
= = − (2.55) 
 
 Com os novos valores das constantes arbitrárias A e B a equação (2.50) toma a seguinte 
forma: 
 
( ) ( )0 cos 0d dF Fx x t xk kω
⎛ ⎞= − + <⎜ ⎟⎝ ⎠ � (2.56) 
 
Isto mantém o movimento à esquerda ou até a velocidade x� tornar-se novamente zero. 
Isto se verifica derivando em relação ao tempo a equação (2.52) e igualando a zero. Então: 
 
( )0 sin t 0dFx x k ω ω
⎛ ⎞= − − =⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ (2.57) 
 
Conseqüentemente, pode-se concluir de (2.53) que tω π= . Então: 
 
( )0 1 d dF Fx x k k
⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
0
2 dFx x
k
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.58) 
 
 Portanto, o deslocamento é negativo, ou à esquerda da posição neutra, e tem uma 
magnitude de 2 dF k menor do que o deslocamento inicial 0x . 
 
2.7.2. Movimento 2 
 
De maneira semelhante pode-se mostrar que o deslocamento da massa para alcançar a 
posição limite à direita, representado pela equação diferencial (2.45) será: 
 
0
4 dFx x
k
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.59) 
 
 Conseqüentemente, em cada ciclo, a amplitude perdida é 4 dF k . O movimento é 
mostrado pela figura 2.7. O decaimento é linear, ou seja, a curva que toca os pontos de máximos 
é uma linha reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7. Movimento com atrito de Coulomb. 
 
t
x
2τ π ω=
0x
dF k
dF k
4 dF k
 O movimento tem forma harmônica e consiste de uma onda seno, oscilando 
sucessivamente para cima e para baixo com um decaimento linear dF k . A freqüência é a 
mesma dos sistemas não amortecidos. 
 Uma eventual parada do movimento é de muito interesse. Para uma amplitude na posição 
jX , a força na mola é jkX . Se esta força é balanceada pela força de atrito, o movimento cessará. 
Assim, o movimento cessa quando j dkX F≤ . O método apresentado aqui é uma técnica geral 
para alguns casos de sistemas não lineares. 
 
 
2.8. Amortecimento Estrutural (ou Histerese) 
 
 O conceito de histerese representado pela figura 2.8 está ligado a sistemas não-lineares, 
resultado do atrito entre moléculas de um corpo quando o mesmo é submetido a deformações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8. Amortecimento estrutural (ou histerese). 
 
No estudo de propriedades mecânicas dos materiais, são importantes as deformações 
provocadas por compressão, cisalhamento e tração. O amortecimento estrutural é atribuído à 
perda de energia devida à histerese dos materiais elásticos que experimentam tensões cíclicas. 
Em materiais metálicos, adicionalmente aos efeitos da viscoelasticidade linear, existem outros 
mecanismos de dissipação de energia (não linearidades, deformação plástica, amortecimento 
interno de Coulomb). A figura 2.8 mostra uma variação típica para a força de mola conduzindo 
ao amortecimento de histerese , onde P é à força da mola, x o deslocamento e X a amplitude. 
Todos os materiais apresentam este fenômeno, assim como a borracha e o aço. Se U∆ 
representa a perda de energia por ciclo, então: 
 
,P xU P dx A∆ = =∫ (2.60) 
 
 Ou seja, a perda de energia por ciclo é representada pela área dentro da curva fechada. 
Experimentalmente, pode-se provar que a perda de energia é independente da freqüência, mas é 
(aproximadamente) proporcional ao quadrado da amplitude e também diretamente 
relacionada à rigidez do membro. Assim, a perda de energia por ciclo pode ser expressa como: 
 
2XbkU π=∆ (2.61) 
 
Onde b é uma constante adimensional de amortecimento do material. O fator kb está 
relacionado com a perda de energia, à forma, dimensões e características do material. Enquanto, 
b é considerado ser propriedade apenas do material. A inclusão do fator π é associada à relação 
P B
C
XX
x0
de dissipação de energia para manter o movimento harmônico com amortecimento viscoso. O 
expoente de X varia de 2 a 2,3 para determinados aços e pode ser considerado igual a 2 na 
maioria dos materiais. 
 Na realidade, a equação (2.57) torna-se uma definição para a histerese ou constante de 
amortecimento sólida b . 
Na maioria das vezes U∆ é pequeno e o movimento aproxima-se muito da forma 
harmônica. A perda de amplitude por ciclo pode ser determinada de uma consideração na 
energia. Referindo-se à figura 2.9 a perda de energia para um quarto de ciclo é admitida ser 
( )21
4 j
k b Xπ , onde jX é a amplitude. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9. Perda de energia por ciclo no amortecimento histerese. 
 
A equação da energia para meio ciclo entre A e B é então: 
 
2 22 2
1,5 1,51 1
2 4 4 2
k b X k Xk X k b X ππ− − = (2.62) 
 
 
 
Conseqüentemente, 
( ) ( )2 21 1,52 2b X b Xπ π− = + 
 
1
1,5
2
2
X b
X b
π
π
+= − (2.63) 
 
De maneira semelhante, para o meio ciclo seguinte, entre B e C , tem-se: 
 
1,5
2
2
2
X b
X b
π
π
+= − (2.64) 
 
Multiplicando as equações (2.59) e (2.60), tem-se: 
 
1
2
2 constante
2
X b
X b
π
π
+= =− 
 
1
2
21
2
X b
X b
π
π= + − (2.65) 
x A C
0 t
1X 2X
1,5X
B
 
1
2
1X b
X
π≈ + (2.66) 
 
Visto que b é muito pequeno. 
 Já que a relação de amplitudes é constante, o decaimento é exponencial. O decremento 
logarítmico é definido por: 
 
1
2
ln X
X
δ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.67) 
 
( )ln 1 bδ π≈ + (2.68) 
 
bδ π≈ (2.69) 
 
Esta expressão também sugere um método para a determinação experimental da constante 
de amortecimento sólido b . Portanto, b pode ser determinado pela equação (2.65), ou 
diretamente pela equação (2.62). O valor de b obtido poderia incluir o efeito do atrito entre as 
paredes adjacentes e dentro do material. 
 A freqüência aqui é definida admitindo um movimento harmônico, ou seja: 
 
1
2 2
kf
m
ω
π π= = (2.70) 
 
 Pode-se admitir uma substituição do movimento descrito acima por um equivalente do 
tipo viscosamente amortecido, que poderia exibir as mesmas características. O correspondente 
fator de amortecimento viscoso eζ e a constante de amortecimento ec são definidos igualando 
as relações aproximadas de δ para os dois casos. Assim: 
 
2 e bπ ζ δ π≈ ≈ 
 
Conseqüentemente, 
 
2e
bζ = (2.71) 
E, 
 
2
2e c e
b bkc c m k b m kζ ω= = = = (2.72) 
 
 Estes valores equivalentes poderiam ter sido usados na equação (2.17) para o 
amortecimento viscoso, resultando em: 
 
( )sine tx X e tζ ω ω φ−= + 
 
( ) ( )2 sinb tx X e tω ω φ−= + (2.73) 
 
No qual ω foi substituído por dω , visto que ζ é pequeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. Introdução 
 
 Os sistemas dinâmicos, máquinas ou estruturas , são na maioria das vezes, submetidas 
a excitações. As excitações podem surgir sob a forma de uma força ou de um movimento. Elas 
aparecem integradas ao sistema, e são geralmente produzidas pelo desequilíbrio em máquinas 
rotativas ou externamente aplicadas,são as vibrações transmitidas pelas máquinas vizinhas. 
 As excitações podem ser harmônicas , não harmônicas (mas periódicas), não 
periódicas (mas de forma definida) ou aleatórias. Embora as excitações harmônicas puras 
sejam menos freqüentes que as periódicas ou de outros tipos, é essencial a noção do 
comportamento de um sistema a elas submetido, a fim de se compreender como o mesmo 
responderá a tipos mais comuns de excitações. 
 A figura 3.1 representa um sistema forçado de um grau de liberdade sem amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1. Vibração forçada sem amortecimento. 
 
 
VVVIIIBBBRRRAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS FFFOOORRRÇÇÇAAADDDAAASSS SSSEEEMMM 
AAAMMMOOORRRTTTEEECCCIIIMMMEEENNNTTTOOO::: 
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS LLLIIINNNEEEAAARRREEESSS CCCOOOMMM 
UUUMMM GGGRRRAAAUUU DDDEEE LLLIIIBBBEEERRRDDDAAADDDEEE 
k
m
x
( )+
m
kx
P( )0 sinP P t= Ω
( )a ( )b
 
A forma mais geral para a força harmônica seria ( )0 sinP P t χ= Ω + , onde 0P é uma 
constante representando a amplitude da força , Ω a freqüência circular forçada e χ a 
o ângulo de fase . O valor de χ depende das condições iniciais da força, que normalmente é 
desprezado considerando a força como ( )0 sinP P t= Ω , sem perda de generalidade. 
 
 
3.2. Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 O modelo para um sistema sem amortecido, submetido a uma força harmônica 
( )0 sinP P t= Ω é representado pela figura 3.1. O correspondente diagrama de corpo livre para 
uma posição x positiva é também mostrado. 
Usando os teoremas gerais da dinâmica, a equação diferencial do movimento pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
( )0 sinmx k x P t+ = �� (3.1) 
 
A solução geral da equação (3.1) tem a seguinte forma: 
 
 a bx x x= + (3.2) 
 
Onde: 
 
ax = Uma função complementar [a solução para a equação diferencial (3.1) com o lado direito 
igual a zero]; 
bx = Uma solução particular (a solução que satisfaz a equação diferencial completa). 
 
 A função complementar representa a vibração livre, e a solução particular o movimento 
vibratório forçado. A solução completa consiste da soma das duas partes. O movimento livre foi 
analisado no capítulo 1. O movimento forçado será analisado a seguir. 
 É razoável admitir a solução particular bx sob a forma: 
 
( )sinbx C t= Ω (3.3) 
 
Onde C deve ser determinada de modo que a solução completa da equação diferencial 
seja satisfeita. Substituindo-se a equação (3.3) dentro da equação diferencial (3.1), tem-se: 
 
( ) ( ) ( )2 0sin sin sinm C t kC t P t− Ω Ω + Ω = Ω 
 
Sendo esta expressão válida para qualquer valor de t o ( )sin tΩ pode ser cancelada, 
resultando na seguinte relação: 
 
 0 2
PC
k m
= − Ω (3.4) 
 
Assim, 
( )0 2 sinb Px tk m= Ω− Ω 
 
( ) ( )02 sinb
P kx t
k m k m
= Ω− Ω 
 
( )0 2 sin1b
Xx t
r
= Ω− 
 
( )sinbx X t= Ω (3.5) 
 
Onde: 
 
0
21
XX
r
= =− Amplitude de bx ; 
 
0
0
PX
k
= = Deslocamento estático da mola provocado pela força constante de magnitude 0P 
(este é um deslocamento de referência fictício); 
 
r ω
Ω= = A razão de freqüência, ou seja, razão da freqüência forçada pela freqüência livre. 
 
 Dependendo do valor admitido para r , a expressão da amplitude nos leva à análise de 
três casos, ou seja, r menor do que 1, r igual a 1 ou r maior do que 1. Se 1r < , então 21 r− é 
positivo, e o movimento forçado é definido pela equação (3.5). Neste caso, bx estará em fase 
com a força, como mostra a figura 3.2. Assim, a amplitude do movimento é definida por: 
 
0
2 11
XX r
r
= <− (3.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2. Amplitude do movimento forçado em fase com a força. 
 
( )0 sinP P t= Ω
2τ πΩ =
( )sinbx X t= Ω
τΩ
τΩ
1r <
P
0P0
x
0
X
 Quando 1r > , 21 r− torna-se negativo, sendo aconselhável escrever a solução como 
segue: 
 
( )
( )
0
2 sin 11
sin
b
Xx t r
r
X t
⎫= − Ω >⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎪− ⎪⎪⎬⎪= − Ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎪⎪⎭
 (3.7) 
 
 A amplitude do movimento é positiva e definida por: 
 
0
2 11
XX r
r
= >− (3.8) 
 
 O movimento é mostrado na figura 3.3. Note que o movimento está fora de fase com a 
força. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3. Amplitude do movimento forçado fora de fase com a força. 
 
 Se a função forçada for definida por ( )0 cosP P t= Ω a solução particular assume a forma: 
 
( )0 2 cos 11b
Xx t r
r
= Ω ≠− (3.9) 
 
Com 0X e r definidos como anteriormente. 
 Finalmente, o caso onde 1r = . A amplitude definida por ( )20 1X X r= ± − , tende para 
infinito. Esta condição onde a freqüência forçada Ω torna-se igual à freqüência natural ω do 
sistema, é conhecida como ressonância e a amplitude resultante, de amplitude ressonante . 
Quando r = 1 a solução expressa pela equação (3.5) não define a variação do 
deslocamento bx com o tempo, tornando-se inválida. Posteriormente, será mostrado que para 
este caso a solução seria: 
 
 
 
( )0 sinP P t= Ω
( )sinbx X t= − Ω⎡ ⎤⎣ ⎦
tΩ
tΩ
0P
P
0
2τ πΩ =
bx
0
X
1r >
( )0 cos 1
2b
X tx t rΩ= − Ω = (3.10) 
 
 O movimento forçado representado por esta função é mostrado na figura 3.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4. Amplitude do movimento forçado na ressonância. 
 
A solução pode também ser escrita na forma: 
 
0 sin
2 2b
X tx t πΩ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Ω −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.11) 
 
O movimento é de forma harmônica, mas tem uma amplitude que aumenta linearmente 
com o tempo. Desta forma, a amplitude não tende a infinito instantaneamente, requer um 
intervalo tempo. Observe que o movimento está defasado da força de 090 . 
 
 
3.3. Amplitude Forçada e Fator de Amplificação 
 
 A consideração mais importante da amplitude pode ser observada traçando a curva da 
amplitude X em função da razão de freqüência r . Desta forma, 0X pode ser tomado como 
referência e definir o fator de amplificação FA como: 
 
0
XFA
X
= (3.12) 
 
Que é a razão da amplitude forçada pelo referencial arbitrário 0X . Observe das equações 
(3.6) e (3.8), que: 
 
1
1
1
2
0
<−== rrX
XFA (3.13) 
 
1
1
1
2
0
>−== rrX
XFA (3.14) 
 
 A influência da amplitude forçada pode ser estudada na curva da figura 3.5, traçando o 
fator de amplificação FA em função da relação de freqüência r . 
 
 
bx
2t πΩ =
0
t tωΩ =
1r =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5. Fator de amplificação para amortecimento nulo. 
 
Esta curva mostra que o fator de amplificação é maior do que 1 quando r varia de 0r = 
a 1r = , tendendo a infinito quando r aproxima-se da unidade. Como foi anteriormente 
explicado, a amplitude ressonante não alcança um valor infinito instantaneamente, necessita de 
um intervalo de tempo para atingi-la. Entretanto, uma grande variação na amplitude proveniente 
de uma condição ressonante poderá trazer danos irreparáveis às estruturas. Quando r assume 
valores grandes a amplitude torna-se pequena. 
Como r ω= Ω , e k mω = , então r pode variar alterando Ω , m ou k . A figura 3.5 é 
ideal