UCA001 Estatistica Completo

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ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
Edina Domingues
José Tadeu de Almeida
José André Mota de Queiroz
Rafael Botelho Barbosa
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Autoria da Disciplina Edina Domingues, José Tadeu de Almeida, José André Mota de Queiroz, 
Rafael Botelho Barbosa
Validação da Disciplina Marcio Mori
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Produção do Material Didático-Pedagógico Dtcom
Sumário
01 Estatística descritiva e indutiva e conceitos básicos ........................................................ 7
02 Método estatístico e técnicas de amostragem ...............................................................14
03 Apresentação de dados estatísticos ..................................................................................22
04 Distribuição de frequências por intervalo e pontos .........................................................29
05 Histogramas e polígonos ......................................................................................................36
06 Medidas de tendência central: média, moda e mediana ................................................44
07 Medidas de posição: separatrizes .......................................................................................51
08 Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão ...................................................59
09 Coeficiente de variação e propriedades .............................................................................67
10 Assimetria ................................................................................................................................74
11 Experimentos aleatórios, espaço amostral e evento.......................................................83
12 Probabilidade: eventos complementares, eventos independentes, eventos 
mutuamente exclusivos ........................................................................................................90
13 Probabilidade condicional e regra do produto, regra da adição ....................................97
14 Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade .................................................. 105
15 Distribuição normal da probabilidade.............................................................................. 113
16 Correlação linear simples e coeficiente de correlação e covariância ....................... 122
17 Regressão linear .................................................................................................................. 130
18 Amostragem ......................................................................................................................... 139
19 O uso das tecnologias como ferramenta da estatística .............................................. 146
20 Aplicação da estatística em diferentes setores ............................................................ 153
Estatística descritiva e 
indutiva e conceitos básicos
Édina Domingues e José Tadeu de Almeida
Introdução
Você sabia que a Estatística vai muito além das representações de tabelas e gráficos? Nesta 
aula, você ampliará seus conhecimentos sobre o tema. Para isso, estudaremos a definição de 
Estatística, seus aspectos históricos e conceitos fundamentais. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer os conceitos básicos de Estatística;
 • diferenciar a Estatística Descritiva da Indutiva.
1 Introdução à Estatística
A Estatística é uma ciência que se utiliza de metodologias para explicar fenômenos. Por meio 
dela, dados pesquisados e coletados permitem a comparação, analise e interpretação de diferen-
tes situações, que contribuem para a compreensão de um determinado evento. 
Segundo Crespo (2011, p. 03), “a Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece 
métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização 
dos mesmos para tomada de decisões”.
Figura 1 – Estatística
Fonte: TaLaNoVa/Shutterstock.com 
 – 7 – 
TEMA 1
EXEMPLO
Ao pesquisar preços, condições de pagamento e taxas de juros para a compra de 
um bem, você coleta dados, analisa, compara e, assim, toma sua decisão, certo? 
Estas ações fazem parte das técnicas da Estatística.
2 Aspectos históricos
A história da Estatística acompanha a evolução do homem. No Império Romano, por exemplo, 
eram realizados levantamentos sobre a população. Porém, apenas no século XVIII a Estatística passou 
a ser considerada como ciência, quando o matemático Godofredo Achenwall (1710-1772) sistematizou 
processos para organizar os bens e cidadãos de um Estado, e organizou-os para criar um novo ramo 
científico, com o nome Staatenkunde, que mais tarde passou a ser conhecida por Statistic (em portu-
guês, Estatística), determinando seus objetivos e suas relações com as ciências (MEMÓRIA, 2004).
FIQUE ATENTO!
Note que o termo Estatística tem uma raiz no latim status, ou seja, Estado. Neste 
sentido, temos que sua vocação inicial em termos de uma disciplina analítica pos-
sui raízes na coleta e sistematização de dados para a organização do Estado e seu 
controle, por meio dos sistemas de governo.
Figura 2 – Censos Demográficos
Fonte: Festa/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
Em países e locais onde o registro dos habitantes não era feito por meio civil, como 
nos cartórios, o número era calculado a partir do registro de batismos das igrejas 
(FERREIRA & OLIVEIRA, 2013).
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Atualmente, a Estatística desempenha um papel fundamental para tomada de decisões e 
estudo de fenômenos, tanto no âmbito empresarial quanto político, social, entre outros, sobretudo 
na administração pública. No Brasil, a contagem da população, por meio do Censo, é feita desde o 
Século XIX (BOTELHO, 2005).
SAIBA MAIS!
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o Censo no Brasil, com informações 
históricas e dados sobre o último Censo, de 2010, acesse: <http://7a12.ibge.gov.br/
sobre-o-ibge/o-que-e-censo.html>.
3 Conceitos
A Estatística faz parte do nosso cotidiano. Assim, os estatísticos utilizam conceitos e 
termos específicos, apresentados no quadro a seguir, com importantes temas discutidos pela 
Estatística moderna.
Tabela 1 – Conceitos fundamentais de Estatística 
Termo Conceito Exemplo
Universo ou 
população 
estatística
Conjunto formado por todos os elementos que 
possuem uma determinada caraterística a ser 
catalogada e analisada.
Ao realizarmos uma pesquisa em 
uma escola, o universo será todos os 
alunos que estudam na escola, pois 
possuem a caraterística ou condi-
ção de serem alunos da escola.
Amostra
É um subconjunto do conjunto universo, ou seja, 
é uma fração da população estatística, que ser-
ve como parâmetro para deduzir o comporta-
mento de toda a população.
Em uma pesquisa envolvendo alu-
nos do Ensino Médio brasileiro, 
como trata-se de um número muito 
vasto de alunos, opta-se por pesqui-
sar grupos representativos de estu-
dantes, ou seja, por uma amostra.
Fenômeno 
estatístico 
É qualquer evento que se pretenda analisar, cujo 
estudo seja passível da aplicação de uma técnica 
estatística,como médias gerais e por população.
O número total de presidiários e o 
número de presidiários por grupo 
de cem mil habitantes no Brasil.
Dados 
estatísticos
São as informações coletadas durante a realiza-
ção de uma pesquisa.
Para o exemplo anterior, calcula-se 
o número total de presidiários e o 
número total de habitantes do Brasil.
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Termo Conceito Exemplo
Variável
Dados coletados que podem ser classificados de 
acordo com seus atributos, isto é, podem ser clas-
sificados em variáveis qualitativas (que não são 
expressas numericamente, baseando-se em ca-
racterísticas da amostra) e quantitativas (que po-
dem ser descritas numericamente pela amostra).
Qualitativas: gênero; cor de cabelo; 
religião etc.
Quantitativas: quantidade de filhos; 
quantidade de geladeiras que pos-
sui cada família; idade; peso etc.
Censo
É o levantamento e análise de dados estatísti-
cos relacionados a uma determinada popula-
ção (não necessariamente humana).
Censo demográfico;
Censo escolar;
Censo Agropecuário.
Fonte: adaptado de BUSSAB & MORETTIN (2010).
Como podemos observar, há diferentes categorias e elementos que compõem uma análise 
estatística. No quadro, vimos apenas alguns conceitos e técnicas aplicadas pela Estatística para 
observação, análise e avaliação de um fenômeno estatístico e da evolução das populações. 
4 Estatística Descritiva
A Estatística pode ser classificada em dois blocos de pesquisa, no que diz respeito à obser-
vação dos fenômenos estatísticos, da avaliação das amostras e deduções gerais: a Estatística 
Descritiva e a Estatística Indutiva. Esta divisão nos permite realizar análises de diferentes tipos de 
populações e amostras, visando obter referências sobre o fenômeno estatístico a ser discutido.
A Estatística Descritiva permite a realização da descrição dos fenômenos de forma resumida. Ela é 
considerada como a etapa inicial de uma pesquisa, tendo como meta observar e descrever fenômenos 
da mesma natureza, coletando, organizando e classificando dados numéricos, apresentado gráficos 
e tabelas dos dados observáveis e realizando cálculos de coeficientes (BUSSAB & MORETTIN, 2010). 
Segundo Crespo (2011), a Estatística Descritiva é composta das seguintes fases:
 • definição do problema: o pesquisador definirá o problema a ser estudado e analisará 
outros estudos realizados sobre o tema. Caso não existam, o pesquisador deverá for-
mular o problema com base em seu conhecimento;
EXEMPLO
Uma empresa que produz cerâmicas percebe que a cada 10 mil peças produzidas, 
10% apresentam falhas. Assim, para analisar todas as etapas da produção e en-
contrar as possíveis causas dos erros, a empresa contratou um pesquisador. Neste 
caso, o erro na produção das cerâmicas é o problema a ser identificado.
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 • planejamento: nesta fase, determina-se o procedimento necessário para resolver o pro-
blema, obtendo-se informações sobre o objeto de estudo e verificando quais os cami-
nhos a seguir para obter informações sobre o objeto de estudo. Aqui, organiza-se o 
cronograma de atividades, estipulando prazos e selecionando as fontes bibliográficas;
 • coleta de dados: este passo é considerado como operacional, pois envolve a coleta das 
informações e o registro sistemático dos dados primários (informações obtidas pelo próprio 
pesquisador) ou secundários (dados provenientes de outras fontes ou pesquisadores). A 
coleta de dados pode ocorrer de duas maneiras diferentes: direta ou indireta. A coleta direta 
é gerada a partir de uma fonte direta de pesquisa, como no caso do Censo (entrevistas rea-
lizadas junto aos indivíduos). Já a coleta indireta é realizada por dados de outras pesquisas;
 • apuração de dados: nesta etapa, o pesquisador realiza a tabulação dos dados brutos, 
ou seja, conta e organiza os dados coletados;
 • apresentação de dados: os dados deverão ser organizados em tabelas e gráficos:
 • apresentação tabular: os dados são organizados em linhas e colunas, de forma orde-
nada, de acordo com normas fixadas pelo Conselho Federal de Estatísticas (CONFE);
FIQUE ATENTO!
O Conselho Nacional de Estatística (CONFE) regulamenta a profissão de estatístico. 
 • Apresentação gráfica: os dados são sistematizados de forma a gerarem diferentes cate-
gorias de análise (para o caso da população, por exemplo, categorias como habitantes 
de zero a cinco anos, de cinco a dez anos etc.), possibilitando, assim, serem descritos de 
maneira ilustrativa, por meio de diferentes tipos de gráficos (barras, colunas, linhas etc.);
Figura 3 – Gráficos
Fonte: Scanrail1/Shutterstock.com
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SAIBA MAIS!
As técnicas da Estatística são aplicadas em outras áreas do conhecimento. Confira 
o trabalho de Carlos Augusto de Medeiros, do Ministério da Educação (MEC), 
acesse: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf>.
Portanto, a Estatística Descritiva representa a etapa inicial da análise, objetivando a descrição 
dos dados coletados e utilizando tabelas e gráficos para apresentar os resultados analisados.
5 Estatística Indutiva
A Estatística Indutiva refere-se ao processo de generalização das conclusões que o pesquisa-
dor faz a partir dos resultados obtidos, ou seja, ele infere as propriedades da parte para o todo, da 
amostra à população (BUSSAB & MORETTIN, 2010).
O processo da indução não é exato, pois o pesquisador pode cometer erros ao selecionar uma 
amostra. Para a Estatística Indutiva, recomenda-se que o pesquisador use técnicas de amostragem, 
para que as amostras garantam a representatividade da população estudada. Estas técnicas são:
 • amostragem não probabilística: a seleção de amostra baseia-se nas decisões do 
pesquisador;
 • amostragem probabilística: a seleção de amostra não depende do pesquisador e é aleató-
ria. Por exemplo, quando um pesquisador decide investigar quantas vezes o valor “quatro” 
é obtido em uma série de lançamentos de dados, cujos resultados serão catalogados.
6 Diferenças entre a Estatística Descritiva e a Indutiva
A Estatística Descritiva opera com dados e observações bem determinadas, visando estabe-
lecer relações e aplicações de técnicas de pesquisa sobre estes dados, como médias, distribuição 
por classes, entre outros. Para a Estatística Indutiva, o foco reside sobre o tipo e a qualidade da 
amostra, para que se possa fazer um esforço de análise desta amostra para a população geral, que 
não pode ser visualizada naquele momento. 
Por exemplo, o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) realiza Censos de toda a 
população a cada dez anos. Porém, este órgão acompanha, anualmente, a evolução da população e 
outras características (emprego, renda, padrões de consumo), por meio da PNAD (Pesquisa Nacio-
nal por Amostra de Domicílios), que coleta informações sobre uma fração da população geral.
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Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer o termo Estatística;
 • conhecer os principais conceitos utilizados na Estatística;
 • compreender o que é a Estatística Descritiva e Indutiva.
Referências
BOTELHO, Tarcísio. Censos e construção nacional no Brasil Imperial. Tempo Social, v. 17, n. 1, p. 321-
341, 2005. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/ts/v17n1/v17n1a13.pdf>. Acesso em: 10 jan 2017.
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). O que é Censo. Disponível em 
<http://7a12.ibge.gov.br/sobre-o-ibge/o-que-e-censo.html>. Acesso em: 10 jan 2017.
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística Básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
CHAER, Galdino; DINIZ, Rafael Rosa Pereira; RIBEIRO, Elisa Antônia. A técnica do questionário na 
pesquisa Educacional. Evidência. v. 7, n. 7, Araxá, 2011. p.251-266. Disponível em:<http://www.
uniaraxa.edu.br/ojs/index.php/evidencia/article/view/201/187>.Acesso em 10 jan 2017.
COSTA NETO, Pedro Luiz. Estatística. 3.ed. São Paulo: Blucher, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo. Saraiva: 2011.
LARSON, Ron. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2007. 
MEDEIROS, Carlos Augusto de. Estatística Aplicada à Educação. Brasília: Universidade de Bra-
sília, 2007. Disponível em <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf>. 
Acesso em 10 jan 2017.
MEMÓRIA, José Maria Pompeu. Breve História da Estatística (Texto para Discussão 21). Brasília: 
Embrapa Informação Tecnológica, 2004. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~rvicente/JMP-
Memoria_Historia_Estatistica.pdf>. Acesso em: 10 jan 2017.
FERREIRA FILHO, Aurelino José; OLIVEIRA FILHO, Pedro Affonso. Registros eclesiásticos e car-
toriais, fontes e documentação: possibilidades, perspectivas e desafios para as pesquisas em 
escravidão no Brasil – Triângulo Mineiro – MG. Anais do XXVII Simpósio Nacional de História 
da ANPUH (Associação Nacional de Pós-Graduação em História), Natal, 2013. Disponível em: 
<http://www.snh2013.anpuh.org/resources/anais/27/1370111961_ARQUIVO_REGISTROSECLE-
SIASTICOSECARTORIAIS.pdf>. Acesso em: 10 jan 2017.
TOLEDO, Geraldo; OVALLE, Ivo Izidro. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 2014.
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Método estatístico e 
técnicas de amostragem 
Édina Domingues e José Tadeu de Almeidaa
Introdução
A observação e a coleta de informações a partir de fenômenos são ações inerentes à Esta-
tística. Elas são utilizadas para resolver problemas e para compreender fenômenos, portanto, a 
Estatística exerce um papel fundamental para todas as áreas do conhecimento.
Nesta aula, estudaremos técnicas que permitem a manipulação dos dados relacionados a 
um fenômeno estatístico e como estes dados permitem a dedução, por meio da análise estatís-
tica, dos resultados de uma pesquisa.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer os métodos estatísticos e suas fases;
 • identificar as técnicas de amostragem e de arredondamento.
7 Método estatístico
No âmbito dos métodos científicos, entendidos como um conjunto de meios para se obter 
um resultado (CRESPO, 2011), podemos enfatizar dois tipos: o método experimental e o método 
estatístico. O método experimental consiste na aplicação de uma série de procedimentos, que 
ocorrem geralmente em laboratórios, cujo objetivo é realizar o controle dos referenciais de pes-
quisa envolvidos e suas variações. 
SAIBA MAIS!
O método experimental é muito utilizado na área da saúde, em que se elege uma 
referência de pesquisa (comportamento de cobaias mediante o uso de uma 
determinada medicação).
Já no método estatístico os procedimentos estão pautados nas Teorias das Probabilidades, 
que estabelecem relações de causa e efeito de diferentes situações da sociedade, ou de uma 
população qualquer, registrando possíveis variações e probabilidades de ocorrência de certos 
eventos. Assim, coletam-se dados que representam uma população, e, a partir desta amostra, são 
obtidos resultados e possíveis variações de resultados que passam por análises.
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TEMA 2
Figura 1 – Pesquisador 
Fonte: Pressmaster/Shutterstock.com
EXEMPLO
Quando o seu médico lhe pede um hemograma, o técnico de laboratório retira uma 
pequena fração do seu sangue e envia para análise. Assim, os resultados obtidos 
são analisados pelo médico.
7.1 Fases do método estatístico
De acordo com Crespo (2011), as fases do método estatístico são compostas por:
 • definição do problema: ocorre ao se estabelecer um problema, uma hipótese de pesquisa;
 • planejamento: dado pela escolha das técnicas de pesquisa e ferramentas apropriadas 
para a obtenção dos indicadores pretendidos (como médias, por exemplo);
 • coleta de dados: envolve o levantamento de informações que serão posteriormente 
catalogadas e serão a base para uma pesquisa.
 • apuração dos dados: separação e catalogação em variáveis específicas, como faixas 
etárias de uma população, por exemplo;
 • apresentação dos dados: dá-se por meio da catalogação dos dados apurados em 
tabelas e gráficos;
 • análise e interpretação dos dados: ocorre mediante o cálculo de coeficientes e indica-
dores necessários ao esforço de pesquisa.
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Figura 2 – Base de dados
Fonte: kuruneko/Shutterstock.com
O método estatístico pressupõe a coleta de dados, cuja finalidade é de estabelecer uma base 
para estudo e descrição das variáveis que compõem uma análise.
8 Coleta de dados
A coleta de dados consiste na pesquisa de informações necessárias para análise e estudo 
de um determinado problema. Para efetivar uma coleta de dados adequada, deve-se definir o tipo 
de variável a ser estudada. Uma variável é o referencial que representa uma característica proemi-
nente da base de dados de uma pesquisa.
FIQUE ATENTO!
A variável de pesquisa é definida pelo agente observador, o próprio pesquisador, a 
partir de um problema, uma pergunta que ele deseja responder.
Os tipos de coleta de dados são:
 • coleta direta: obtida diretamente a partir da fonte da pesquisa, dividindo-se em:
 • coleta direta contínua: quando a coleta de dados se dá de forma continua, sem 
interrupções, em um determinado período (durante um ano, por exemplo, para o 
cálculo da pluviosidade mensal de uma região);
 • coleta direta periódica: quando a coleta de dados ocorre em épocas determinadas 
(como o Censo, no Brasil, que ocorre a cada 10 anos); 
 • coleta direta ocasional: quando a coleta de dados ocorre de forma casual, aten-
dendo a um estudo de uma situação (como o levantamento dos casos de epidemia 
do vírus Ebola, na África); 
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 • Coleta de dados indireta: obtida por meio de fontes e bases de dados já registradas em 
revistas, jornais, livros, documentos, entre outros. Divide-se em:
 • por analogia: ocorre a partir de outros estudos já realizados, nos quais o pesquisador 
identifica e relaciona aspectos de causalidade entre a sua pesquisa;
 • por proporcionalização: quando a coleta ocorre por meio de uma amostra de uma 
população, permitindo posteriores generalizações;
 • por indícios: ocorre a partir de situações não factuais, ou seja, pela via de indícios que 
levam ao estudo pretendido;
 • por avaliação: ocorre por meio de informações autênticas ou de estimativas cadas-
trais. Assim, a partir destas informações, estima-se a relação quantitativa de um fenô-
meno (CRESPO, 2011).
A coleta de dados é uma das primeiras fases da análise estatística. Com ela, podemos 
obter as bases de dados necessárias para um estudo, por meio de amostras ou pelo exame de 
toda uma população.
FIQUE ATENTO!
A chamada Estatística Indutiva estuda as características de uma população a partir 
de uma amostra, ou seja, permite a generalização por meio de fenômenos observa-
dos na amostra escolhida.
9 Apuração
A apuração de dados associada a uma variável, sobretudo para as variáveis quantitativas, 
que podem ser numericamente ordenadas, é o processo por meio do qual o pesquisador irá contar, 
manualmente ou por softwares, o número de vezes que a variável pesquisada assumiu um deter-
minado valor, inserindo este determinado número dentro de uma série de dados. 
EXEMPLO
Em uma pesquisa para verificar o tamanho da População Economicamente Ativa 
(PEA) de um país, ou seja, o número de indivíduos em potencial condição de traba-
lhar, após os dados serem coletados, há a apuração e separação por faixas etárias, 
conforme o conceito da PEA deste país: idade - 0 a 18 anos; 18 a 65 anos (PEA); 65 
anos em diante (LAMEIRAS, 2013).
A apuração permite que calculemos as porcentagens, as participações de cada variável, em 
termos do número de dados observados, em relação à população total. Por exemplo, nas eleições, 
os votos são apurados,ou seja, contados e distribuídos entre cada um dos candidatos a um cargo 
eletivo (CRESPO, 2011).
ESTATÍSTICA
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FIQUE ATENTO!
A porcentagem de observações em relação ao total da amostra analisada também 
é denominada por frequência (relativa).
10 Técnicas de amostragem
A amostragem é o processo pela qual é determinada a amostra de uma população, uma 
vez que quando uma população é composta por um número elevado de elementos, é impossível 
a coleta de dados envolvendo todos os seus indivíduos. Esta amostra deve possuir as caracte-
rísticas exigidas na pesquisa para que o estudo torne-se viável (por exemplo, “homens acima de 
quarenta anos e de pele clara”, para verificar a incidência de câncer de próstata nesta população), 
ou seja, uma amostra deve ser uma parte representativa da população que a originou e a respeito 
da qual desejamos realizar inferências. 
Há dois métodos para composição de uma amostragem: probabilísticos e não probabilísticos.
Figura 3 – Coleta de dados
Fonte: violetkaipa/Shutterstock.com
 • Métodos probabilísticos: são técnicas de amostragem nas quais os dados são selecio-
nados de maneira totalmente aleatória, de modo que cada unidade da população anali-
sada tenha igual probabilidade de ser escolhida. Por exemplo, um sorteio de 1% da popu-
lação do Brasil pelos dois algarismos finais do seu Cadastro de Pessoas Físicas (CPF).
 • Métodos não probabilísticos: cada elemento do conjunto universo não possui a mesma 
oportunidade de escolha, pois dependem do critério e seleção do pesquisador e do perfil 
ESTATÍSTICA
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da pesquisa (como no caso da seleção de homens de pele clara acima de 40 anos, para 
verifi car a porcentagem de portadores de câncer de próstata nesta população específi ca) 
(CRESPO, 2011). 
SAIBA MAIS!
O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografi a e Estatística) realiza a PNAD (Pesquisa 
Nacional por Amostras de Domicílios), que, pela seleção de uma amostra da 
população brasileira, permite avaliar a evolução de seu padrão de vida (ocupação, 
renda, consumo etc.) a cada trimestre. Para aprofundar seu conhecimento sobre 
a PNAD, acesse: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/pesquisas/pesquisa_
resultados.php?id_pesquisa=40>.
A compreensão das técnicas de amostragem é importante para a análise estatística, a fi m 
de que se componham bases de dados confi áveis para a elaboração dos estudos e pesquisas 
desejados. Entender estas técnicas permite que os métodos sejam aplicados com precisão, 
gerando análises efi cientes.
11 Técnicas de arredondamento
Ao realizarmos cálculos estatísticos, é comum encontrarmos valores com diversas casas 
decimais, até mesmo milhares ou infi nitas; ou as chamadas dízimas periódicas, que são valores 
que apresentam uma série infi nita de algarismos na mesma disposição (como a fração =1 0,333...3 ).
Figura 4 – O número “pi” contém trilhões de casas decimais
Fonte: tschitscherin/Shutterstock.com 
O con ceito de casas decimais, embora usual, não é costumeiramente aplicado em Estatís-
tica. Usa-se o termo algarismo signifi cativo, que consiste no algarismo (ou uma série deles) que 
se segue após a vírgula e é diferente de zero, ou seja, o número 3,008, por exemplo, possui um 
algarismo signifi cativo após a vírgula.
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O arredondamento de dados pode acontecer quando:
 • o número tem mais de dois algarismos significativos, se o algarismo do lado posterior 
for maior que 5, o arredondamento será feito somando mais uma unidade ao número 
da esquerda. Por exemplo, se a dízima periódica (D) for 0,678678..., temos que seu 
arredondamento (A) = 0,68;
 • o número for menor que 5, o arredondamento será desprezando os números posterio-
res. Por exemplo, D = 0,12345345..., temos que A = 0,12.
Porém, se o algarismo de referência for 5, as regras mudam:
 • caso qualquer algarismo que venha após o algarismo 5 for diferente de zero, acrescen-
ta-se uma unidade ao algarismo à esquerda. Por exemplo: 0,8250002, torna-se 0,83.
 • se ao algarismo 5 não seguirem outros algarismos, ou eles forem zero, só se aumenta 
uma unidade ao algarismo à esquerda do algarismo 5 se ele for ímpar.
 • Exemplos:
 • 25,650000 passa a 25,6;
 • 78,750000 passa a 78,8.
As técnicas de arredondamento permitem uma descrição de dados mais resumida e efi-
ciente, tornando menos exaustiva a sua apresentação final, e permitem que os cálculos matemá-
ticos sejam, quando possível, simplificados, disponibilizando apenas as informações necessárias 
à pesquisa em seu estágio final (CRESPO, 2011).
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • verificar que o método estatístico propõe o planejamento e a coleta de dados visando 
sua apuração, análise e interpretação;
 • compreender como são realizadas as técnicas de obtenção de amostras de uma população;
 • conhecer os métodos para arredondamento de valores com muitos algarismos.
Referências
BRASIL. Instituto brasileiro de geografia e estatística (IBGE). Pesquisa Nacional por Amostras 
de Domicílios (PNAD). Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/pesquisas/
pesquisa_resultados.php?id_pesquisa=40.>. Acesso em: 11 jan. 2017.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo. Saraiva: 2011.
LAMEIRAS, Maria Andréia Parente. Efeitos da população economicamente ativa sobre a taxa de 
desemprego. Carta de Conjuntura – Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (ipea). dez. 2013. 
Disponível em: <http://repositorio.ipea.gov.br/bitstream/11058/4309/1/Carta_Conjuntura_n21_
efeitos.pdf.>. Acesso em: 17 jan. 2017.
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ESTATÍSTICA
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Apresentação de dados estatísticos
José André Mota de Queiroz
Introdução
Nesta aula, estudaremos as formas de apresentação dos dados estatísticos mais usuais. 
Para isso, conheceremos como organizar os dados na forma de tabelas, seja na forma bruta, em 
porcentagem ou na forma de intervalos com frequências, ou em gráficos, que podem ser de linhas, 
colunas, barras, setores, entre outros. 
Objetivo de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer quais são as diferentes maneiras de apresentar os dados estatísticos.
Bons estudos!
12 Apresentação de dados estatísticos
A apresentação de dados estatísticos é uma ferramenta aplicada para o resumo das informa-
ções contidas nestes dados, evidenciando seus aspectos mais importantes (MARTINEZ, 2015). 
Para isso, é indispensável que o pesquisador faça a descrição completa das características mais 
marcantes dos dados, para, depois, tomar a decisão de qual ferramenta utilizará no tratamento 
estatístico.
Assim, cabe ao pesquisador identificar se os dados são variáveis quantitativas, variáveis 
“numéricas”, ou seja, que expressam grandezas matemáticas (que podem ser contínuas ou discre-
tas) ou variáveis qualitativas, que descrevem classificações, atributos ou qualidades (divididas em 
ordinal ou nominal) (MARTINEZ, 2015).
FIQUE ATENTO!
Os dados estatísticos podem ser classificados em variáveis quantitativas contínuas 
ou discretas e em variáveis qualitativas ordinal ou nominal. 
Para classificar as variáveis quantitativas em discretas ou contínuas, basta identificar se o valor 
que pode ser contado (variável quantitativa discreta) ou medido (variável quantitativa contínua). Por 
exemplo, a quantidade de livros em uma estante é uma variável quantitativa discreta; já a medição 
dos níveis de colesterol em dado grupo de pessoas será uma variável quantitativa contínua. 
 – 22 – 
TEMA 3
Já para diferenciar as variáveis qualitativas em nominal ou ordinal, é necessário identificar 
se a ordem dos dados faz diferença. Por exemplo, ao classificar um grupo em fumantes ou não 
fumantes, ou se são do sexo masculino ou feminino, ou, ainda, no caso de peças de uma fábrica, 
em defeituosas ou não defeituosas chamamos de variável qualitativanominal; porém, quando 
classificamos as pessoas de determinada cidade em classe A, B ou C, ou quanto ao salário que 
ganham podemos chamar de variável qualitativa ordinal.
Depois de identificar a natureza dos dados, cabe ao pesquisador organizar os dados brutos.
12.1 Dados brutos
Os dados brutos são aqueles que acabaram de ser coletados, porém, ainda não passaram 
por nenhum tratamento estatístico, nem foram organizados para serem apresentados de uma 
maneira mais didática, ou seja, de uma forma que facilite a interpretação do leitor das caracterís-
ticas mais marcantes dos dados.
Por exemplo, a quantidade de pessoas que moram nas casas de uma determinada rua foram 
assim coletadas:
Quadro 1 – Dados brutos
4 3 2 4 6 2 1 0 4 5
2 3 6 4 3 6 2 1 0 3
1 2 3 4 0 5 0 2 1 0
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
Assim, poderíamos representar os dados brutos em forma de rol (dados apresentados 
seguindo uma ordem do menor para o maior – crescente - ou do maior para o menor - decres-
cente). O rol facilita que o menor e maior valor e a amplitude do intervalo dos dados (amplitude é a 
diferença do maior para o menor valor do intervalo de dados) seja visualizado na tabela.
Quadro 2 – Dados na forma de rol 
0 0 0 0 0 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 5 5 6 6 6
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
 Depois de identificar a natureza e computar os dados brutos, cabe ao pesquisador organi-
zá-los em uma tabela. 
ESTATÍSTICA
 – 23 – 
12.2 Organização em tabelas
Na tabela, os dados podem ser inseridos em ordem crescente ou decrescente, o que for 
mais conveniente para o pesquisador. Quando se trata de uma série de dados em que sua ordem 
é definida pelo tempo, como a quantidade de chuva mensal em uma cidade ao longo do ano, a 
organização deve seguir uma ordem cronológica. Além disso, os dados podem ser trabalhados 
por porcentagens.
Algumas vezes, é útil conhecer a proporção dos valores situados em um determinado inter-
valo de uma distribuição de frequências em vez do número absoluto. A frequência relativa para um 
intervalo é a proporção do número total de observações que nele aparece. Ela é calculada ao divi-
dir-se o número de valores dentro de um intervalo pelo número total de valores na tabela (PAGANO; 
GAUVREAU, 2012). Assim, em uma tabela, os dados podem ser apresentados com a frequência 
absoluta e a frequência relativa. No exemplo da pesquisa da quantidade de pessoas que moram 
em casas de uma determinada rua, os dados seriam apresentados conforme tabela a seguir.
Tabela 1 – Quantidade de moradores nas casas da rua x
Número de 
pessoas
Frequências 
absolutas
Frequências 
relativas
0 5 16,7%
1 4 13,3%
2 6 20%
3 5 16,7%
4 5 16,7%
5 2 6,6%
6 3 10%
Total 30 100%
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
FIQUE ATENTO!
Dados na forma relativa são as variáveis apresentadas na forma de porcentagem, 
muito utilizada em tabelas e gráficos.
Além disso, podemos ter uma tabela de dupla entrada, com duas variáveis sendo apresenta-
das. Com a organização dos dados em uma tabela, podemos ter a dimensão de como representar 
em um gráfico.
ESTATÍSTICA
 – 24 – 
EXEMPLO
Na autoavaliação do estado de saúde de pessoas que praticam atividade física (es-
portistas) e de pessoas que não praticam nenhum esporte (sedentários), temos 
uma variável qualitativa nominal (esportista, sedentário) e uma variável qualitativa 
ordinal (bom, regular e ruim). Assim, os dados seriam apresentados conforme ta-
bela a seguir.
Tabela 2 – Autoavalição do estado de saúde 
Bom Regular Ruim Total
Condição número % número % número % número %
Esportista 20 80% 9 90% 0 0% 29 71%
Sedentário 5 20% 1 10% 6 100% 12 29%
Total 25 100% 10 100% 6 100% 41 100%
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
12.3 Gráficos estatísticos
Os gráficos estatísticos são ferramentas poderosas para descrição de dados, uma vez que 
possuem a capacidade de transmitir várias informações ao leitor, em apenas uma figura. Além 
disso, quando o gráfico é bem construído, o leitor entenderá as principais características dos 
dados com rapidez. 
Os gráficos mais utilizados são:
 • Linhas e curvas
São indicados para representar variáveis ao longo do tempo. Para exemplificar, observe 
a figura a seguir, que apresenta a quantidade da venda de um carro em cada mês do ano.
Figura 1 - Vendas do carro X em 2016
 
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
ESTATÍSTICA
 – 25 – 
Com os gráficos de linhas, o pesquisador observa os períodos de crescimento e decresci-
mento da série de dados ao longo do tempo, fato que pode ser importante para sua pesquisa.
 • Barras, colunas e de setores
Os gráficos de barras são usados para exibir uma distribuição de frequências para os 
dados nominais e ordinais. Neles, as várias “categorias”, nas quais as observações 
são classificadas, estão apresentadas ao longo de um eixo horizontal. Além disso, a 
barra vertical represente a frequência, ou a frequência relativa, das observações dentro 
daquela classe. As barras devem ser de igual largura e separadas uma da outra de 
modo a não implicar continuidade (PAGANO; GAUVREAU, 2012). 
Figura 2 – Gráfico de colunas
 
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Há, ainda, uma variação do gráfico de barras, no qual o eixo é das categorias aparece na ver-
tical, conforme figura a seguir. 
Figura 3 – Gráfico de barras
 
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
ESTATÍSTICA
 – 26 – 
O gráfi co de setores descreve uma variável qualitativa, de preferência nominal. Ele tem a 
forma de um círculo dividido em setores, sendo que cada área representa uma classe da variável 
de interesse. A área de cada setor é proporcional à frequência relativa da classe que ele representa 
(MARTINEZ, 2015).
Figura 4 – Gráfi co de setor
 
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
FIQUE ATENTO!
Para um mesmo conjunto de dados, podemos construir gráfi cos de colunas, barras 
ou setores. Porém, para uma variável qualitativa ordinal, o mais indicado é o gráfi co 
de barras, pois possibilita observar a ordem das categorias.
Nos gráfi cos há, ainda, a possibilidade do pesquisador trabalhar com os valores relativos, ou 
seja, em porcentagem. Para a transformação dos dados reais em valores relativos, basta fazer 
uma regra de três simples. 
EXEMPLO
Nos valores reais representados nos gráfi cos da classifi cação do peso (subpeso, 
peso normal, sobrepeso e obesidade) de 960 alunos de uma escola, vimos: subpe-
so (130); peso normal (430); sobrepeso (330); obesidade (70); e total (960). Assim, 
para encontrar a porcentagem dos dados, como “subpeso (130)” do total (960), bas-
ta dividir. Veja:
130 430
subpeso = = 14%      peso normalsubpeso = = 14%      peso normal
130 430
subpeso = = 14%      peso normal
130 430
 = = 45% = = 45%
130 430
 = = 45%
130 430
960 960
subpeso = = 14%      peso normal
960 960
subpeso = = 14%      peso normal
330 70
sobrepeso = = 34%        obesidade = sobrepeso = = 34%        obesidade = sobrepeso = = 34%        obesidade = 
330 70
sobrepeso = = 34%        obesidade = 
330 70
= 7%
960 960
sobrepeso = = 34%        obesidade = 
960 960
sobrepeso = = 34%        obesidade = 
ESTATÍSTICA
 – 27 – 
SAIBA MAIS!
No link a seguir, você encontrará uma ferramenta que permite a visualização de 
gráficos de barras e de setores: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1222>
Os gráficos podem, ainda, serem feitos em 3D. Há vários programas, gratuitos e pagos, que 
constroem os gráficos a partir da inserção de dados. Uma das opções é o Excel, da Microsoft Office 
(que também funciona como uma planilha de cálculo). Como opções gratuitas, há o Calc da Open 
Office, que funciona em plataforma Linux e Windows, e o R, modelo mais complexo que os outros, 
porém mais completo.SAIBA MAIS!
Para saber mais sobre o programa R, como instalar e tutoriais visite: 
<https://www.r-project.org/>.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer a classificação de variáveis estatísticas: qualitativa e quantitativa;
 • conhecer a diferença de dados brutos e rol;
 • conhecer várias formas de representação gráfica de um conjunto de dados.
Referências 
CRESPO, Antônio. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.
LAPPONI, Juan Carlos. Estadística usando Excel. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008.
LEVINE, David et al. Estatística. Teoria e Aplicações. 6. ed. São Paulo: LTC, 2008. 
MARTINEZ, Edson Zangiacomi. Bioestatística para cursos de graduação da área da Saúde. São 
Paulo: Blucher, 2015.
PAGANO, Marcello; GAUVREAU, Kimberlee. Princípios de Bioestatística. 2. ed. São Paulo: Cen-
gage Learning, 2012.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2004.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harbra, 2007.
TOLEDO, Geraldo; OVELLE, Ivo. Estatística Básica. 2. Ed. São Paulo: Editora Atlas, 2011.
ESTATÍSTICA
 – 28 – 
Distribuição de frequências por 
intervalo e pontos
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, estudaremos conceitos relacionados à manipulação e distribuição de dados de 
uma pesquisa. Para isso veremos, por meio das noções de frequência e classe, como os dados 
podem ser organizados de modo a viabilizar análises e gerar maior precisão na apresentação e 
possíveis deduções decorrentes de uma análise estatística.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como é realizada a distribuição de dados por intervalos e pontos.
13 Distribuição de Frequência
A coleta de dados para pesquisa gera informações que precisam ser adequadamente trata-
das, a fim de que seja possível realizar uma análise estatística adequada. Um destes mecanismos 
é a separação dos dados coletados por intervalos, agrupando dados com as mesmas caracterís-
ticas dentro de um determinado grupo.
FIQUE ATENTO!
Uma pesquisa estabelece uma hipótese, uma pergunta, que gera uma variável, 
que consiste em um conjunto de possíveis resultados de um fenômeno estatís-
tico (CRESPO, 2005). A partir desta variável, coletam-se os dados pertinentes à 
análise pretendida.
Para esta aula, adotaremos um exemplo de aplicação. Suponha que foram coletados dados 
relacionados ao peso (nossa variável de estudo) de quarenta funcionários de uma empresa, de 
maneira aleatória. Os dados foram computados sem organização inicial, gerando a chamada 
tabela primitiva.
 – 29 – 
TEMA 4
Tabela 1 – Peso dos funcionários
Peso dos funcionários
72 60 89 80 87
61 90 74 80 76
63 82 98 65 56
86 82 89 64 59
83 67 72 85 77
74 73 76 68 75
79 68 74 73 96
71 68 78 89 60
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Organizando os dados de maneira simples, ou seja, em função de algum critério específico, 
teremos o rol. Neste caso, os pesos dos funcionários foram organizados em ordem crescente. 
Acompanhe! 
Tabela 2 – Rol de peso dos funcionários
Rol de peso dos funcionários
56 67 73 78 86
59 68 74 79 87
60 68 74 80 89
60 68 74 80 89
61 71 75 82 89
63 72 76 82 90
64 72 76 83 96
65 73 77 85 98
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
FIQUE ATENTO!
Em um rol, os dados estão organizados para facilitar sua visualização e permitir 
algumas considerações iniciais. Esta organização pode ser por ordem crescente 
ou decrescente, por exemplo.
Assim, é possível estabelecer alguns referenciais a respeito dos dados coletados. Por exem-
plo, podemos observar que o funcionário de menor peso tem 50 kg e o de maior peso, 98 kg. 
A diferença, em quilos, do funcionário de maior peso para o de menor é 98-50 = 48kg. Percebemos, 
ainda, que há oito funcionários pesando entre 50 e 59kg, outros oito pesando entre 60 e 69 kg, oito 
pesando entre 70 e 79kg, oito com 80 a 89 kg e mais oito com 90 a 99 kg.
ESTATÍSTICA
 – 30 – 
A nossa variável de pesquisa, no exemplo, é o peso dos funcionários. Neste sentido, podemos 
estabelecer as frequências associadas aos dados, ou seja, o número de vezes que um dado (ou 
uma série deles) é observada em função de uma variável. Por exemplo, a frequência de funcioná-
rios com o peso de 50 kg tem valor 2, enquanto que o peso de 85 kg tem valor 1. Vejamos, na tabela 
a seguir, a distribuição de frequências do peso dos funcionários.
Tabela 3 – Distribuição de frequências de peso
Distribuição de frequências de peso
Peso Freq. Peso Freq. Peso Freq. Peso Freq.
56 1 67 1 76 2 85 1
59 1 68 3 77 1 86 1
60 2 71 1 78 1 87 1
61 1 72 2 79 1 89 3
63 1 73 2 80 2 90 1
64 1 74 3 82 2 96 1
65 1 75 1 83 1 98 1
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Há distribuições em que as frequências se associam aos valores observados na variável de 
estudo. A tabela anterior demonstra o conceito de distribuição de frequências por pontos. Neste 
caso, cada frequência, um número inteiro, está ligada a uma das observações da variável de 
estudo (por exemplo, há frequência 3 para o peso de 68 kg, e 2 para o peso de 80 kg).
Na figura a seguir, podemos verificar a distribuição de frequência por pontos dos dados da 
tabela anterior.
Figura 1 – Distribuição de frequências por pontos dos dados 
4
3
2
1
0
56 59 60 61 63 64 65 67 68 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 82 83 85 86 87 89 90 96 98
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
ESTATÍSTICA
 – 31 – 
Pode-se também agrupar os dados por intervalos, sobretudo em situações nas quais as 
amostras são grandes. No exemplo, podemos agrupar os funcionários por faixas de peso, como 
entre 50 e 59 kg, 60 e 69 kg e assim por diante, até o maior valor visualizado em nossa amostra. 
Tabela 4 – Frequência por intervalos
Frequência por intervalos
Peso Frequência
50 a 59 2
60 a 69 10
70 a 79 14
80 a 89 11
90 a 99 3
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Em algumas situações, torna-se conveniente estabelecer intervalos relacionados às frequ-
ências para a melhor visualização do comportamento dos dados relacionados a uma variável. 
Por exemplo, identificar que há um funcionário com 51 kg e um com 54 kg é importante, mas, para 
o pesquisador, pode ser mais útil saber que oito funcionários pesam de 50 a 59 kg. Este julga-
mento é feito pelo pesquisador na análise estatística.
A tabela anterior, portanto, mostra uma distribuição de frequências por intervalos, associada 
a uma variável contínua: o peso dos funcionários. No intervalo “60 a 69 kg”, há infinitas possibi-
lidades de resultados que podem ser incluídos. Assim, as frequências podem ser divididas em 
absolutas e relativas. As frequências absolutas dizem respeito aos dados brutos relacionados à 
variável de estudo, como na tabela anterior, que apresenta o número de observações associadas 
a cada intervalo de classe: a frequência de funcionários com peso entre “70 a 79 kg” é igual a 14, 
por exemplo 
Já as frequências relativas consistem na divisão percentual dos dados de cada classe em 
relação ao total de observações/frequências. Na tabela anterior, podemos verificar as frequências 
relativas, uma vez que, na primeira classe, há uma frequência no valor 2 em relação ao total de 40. 
Logo, a frequência relativa da primeira classe é de 2/40 = 5%. A segunda classe, por sua vez, tem 
frequência relativa de 25%, e a terceira, quarta e quinta classes, respectivamente, têm frequências 
relativas de 35%, 27,5% e 7,5%, totalizando 100% das observações. 
14 Classe
Quando separamos os dados coletados para uma pesquisa, definimos a variável (como no 
exemplo dos pesos dos funcionários) por intervalos e verificamos as frequências, assim, encon-
tramos as classes de frequência (ou classes), que são os intervalos de variação da variável ana-
ESTATÍSTICA
 –32 – 
lisada. No caso do exemplo estudado, observamos que o intervalo ‘50 a 59 kg’ é uma classe, e 
assim por diante.
A notação para a classe é a letra i, sendo que i = 1,2,3...k (com k representando a última classe 
de uma variável) (CRESPO, 2005). No exemplo, temos 5 classes, logo, a última classe é dada 
por i = 5.
EXEMPLO
Uma pesquisa salarial da população de uma cidade do interior teve os dados se-
parados, pelo pesquisador, por classes, da seguinte forma: trabalhadores que ga-
nham ‘de um a dois salários mínimos (SM)’; ‘de dois a três SM’, ‘de três a cinco SM’; 
‘de cinco a dez SM’; ‘de dez a 50 SM’; e uma classe ‘de 50a 200SM’; Neste caso, 
temos seis classes, sendo a última classe representada por i = 6
14.1 Limites de classe
Os limites de classe podem ser entendidos como os pontos extremos de cada classe de uma 
variável (CRESPO, 2005). Assim, são definidos pelos pontos mínimo e máximo, respectivamente, 
li e Li, para uma classe i. No exemplo que estamos trabalhando no decorrer da aula, que analisa o 
peso de um grupo de pessoas (tabelas 1 a 4), a terceira classe da distribuição de frequências tem 
o valor l3 = 70 e L3 = 79.
SAIBA MAIS!
Dependendo da variável, o limite superior pode tender ao infinito. Se a última classe 
do exemplo mencionado nas tabelas 1 a 4, fosse ‘mais de 90 kg’, o limite superior 
da classe tenderia ao infinito, pois não haveria um limite superior da classe. Assim, 
caberiam funcionários que pesassem 100 kg, 130 kg, 180kg, 454 kg, ou até o limite 
da resistência humana. 
14.2 Determinando a amplitude de um intervalo de classe
A amplitude de um intervalo de classe pode ser compreendida pela diferença entre os pontos 
máximo e mínimo de um intervalo de classe. Assim, hi = Li – li; em que hi representa a amplitude de 
intervalo da classe i. 
Recorrendo ao exemplo da tabela de frequências por intervalos, vemos que a segunda classe 
tem amplitude igual a 9(69 – 60 = 9). O mesmo ocorre, neste exemplo, para as demais classes, 
pois como elas foram divididas de maneira igual, todas com a mesma distribuição de faixas de 
peso (50 a 59kg, 60 a 69 kg...), terão amplitude igual a 9.
ESTATÍSTICA
 – 33 – 
FIQUE ATENTO!
Nem sempre as classes de dados possuem a mesma amplitude. É comum que 
pesquisas tragam classes com amplitudes diferenciadas, de acordo com o com-
portamento da amostra. Por exemplo, se analisarmos a renda per capita dos bra-
sileiros, algumas classes terão amplitude maior que outras, para que se observe 
melhor a dinâmica dos dados. Convém, por exemplo, usar classes como ‘de zero a 
meio salário mínimo (SM)’, ‘de meio a um SM’, ‘de um a dois SM’, ‘de dois a cinco 
SM’, ‘de cinco a 10 SM’ e assim por diante. Como boa parte da população estará na 
categoria ‘entre zero e dois SM’, os dados serão melhor visualizados, ainda que as 
classes não possuam igual amplitude. A PNAD de 2015 mostra que 76,57% da po-
pulação em condições de trabalhar, a chamada População Economicamente Ativa, 
recebe de zero a dois salários mínimos, ou não possui rendimentos, incluindo-se 
nesta base aqueles que recebem algum tipo de auxílio do governo, como o Progra-
ma Bolsa Família (IBGE, 2016).
15 Calculando a amplitude total da 
frequência de dados
Podemos verificar a amplitude total de uma distribuição de frequência observando o ponto 
mínimo da primeira classe e o ponto máximo da última classe. Neste caso, a amplitude total (AT) 
obedece à seguinte equação:
AT = Lmáx k – lmin1 
Assim, a amplitude total é obtida quando subtraímos do limite máximo da última classe, k, o 
limite mínimo da primeira classe. Para o nosso exemplo, temos: AT = 99 – 50 = 49.
EXEMPLO
Com base em uma situação hipotética, na qual o pesquisador coletou dados rela-
cionados à renda dos habitantes de uma cidade do interior, e verificou que poderia 
estabelecer uma distribuição de frequências baseadas em seis classes: ‘de um a 
dois salários mínimos (SM)’; ‘de dois a três SM’, ‘de três a cinco SM’; ‘de cinco a 
dez SM’; ‘de dez a 50 SM’; e uma classe, com frequência igual a 1, ‘de 50 a 200SM’, 
observaremos que a Amplitude Total da frequência de dados é dada por: 
 
AT = Lmáx 6 – lmin1 = 200 – 1 – 199
Agora, passaremos ao cálculo do ponto médio do intervalo de classe.
ESTATÍSTICA
 – 34 – 
16 Ponto médio do intervalo de classe
É possível defi nir o ponto médio (xi) de um intervalo de classe no ponto onde a classe é divi-
dida em duas partes iguais, como se segue:
xi = 
Li + li
   2
Retomando o exemplo da pesquisa sobre o peso dos funcionários de uma empresa, vamos 
calcular o ponto médio da quarta classe, que contém as frequências dos trabalhadores que pos-
suem entre 80 e 89 kg. Assim, temos que: x4 =
 (80 + 89) = 169 = 84,5.
  2   2
SAIBA MAIS!
Um exemplo de aplicação dos conceitos desta aula, no campo de estudos das 
Ciências da Saúde, pode ser encontrado no segundo capítulo (em especial, o tópico 
2.1) do trabalho de Luís Guillermo Coca Velarde (UFF), acesse: <http://www.uff.br/
poscienciasmedicas/images/arquivos/apostila_estatistica.pdf.>.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • verifi car como os dados coletados em uma pesquisa podem ser separados em 
frequências;
 • compreender que frequências podem ser organizadas em classes;
 • conhecer alguns índices de cálculo sobre frequências, como amplitude de classe, 
limites de classe, amplitude total e ponto médio de um intervalo de classe.
Referências
BRASIL. Instituto Brasileiro De Geografi a e Estatística (IBGE). Síntese de Indicadores da Pesquisa 
Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD). 2015. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/
estatistica/populacao/trabalhoerendimento/pnad2015/sintese_defaultxls.shtm>. Acesso em: 17 
jan. 2017.
CRESPO, Antônio. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.
VELARDE, Luís Guillermo Coca. Noções de Bioestatística. Universidade Federal Fluminense (UFF), 
s.d. Disponível em: <http://www.uff.br/poscienciasmedicas/images/arquivos/apostila_estatistica.
pdf>. Acesso em: 15 jan. 2017.
ESTATÍSTICA
 – 35 – 
Histogramas e polígonos
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, descreveremos algumas formas de apresentação gráfica de dados. A Estatística 
Descritiva, por meio de suas metodologias de análise, tem por objetivo realizar deduções e con-
clusões a respeito de determinados fenômenos e sua ocorrência. Assim, a forma correta de sua 
expressão torna viável a compreensão precisa de eventos estatísticos. Estudaremos, dentre estas 
apresentações, os histogramas e polígonos de frequências.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender o que são histogramas e polígonos de frequências.
17 Histograma
Nesta aula, utilizaremos um referencial de aplicação para os estudos que desenvolveremos. 
Para isso, suponha que estamos verificando a altura de um grupo de cinquenta alunos de uma 
escola. A partir destes dados, elaboramos uma tabela de distribuição de frequências, que nos 
mostra o número de vezes que cada dado é observado dentro de uma classe, sendo a classe 
definida pelo intervalo de variação de uma variável (CRESPO, 2005):
Tabela 1 - Frequência por intervalos
Altura Frequência
110 ˫ 114 6
115 ˫ 119 11
120 ˫ 124 6
125 ˫ 129 5
130 ˫ 134 3
135 ˫ 139 5
140 ˫ 144 7
145 ˫ 149 7
Fonte: elaborada pelo autor, 2017. 
 – 36 – 
TEMA 5
O histograma pode ser definido como uma forma de apresentação gráfica de dados, organi-
zadas em um conjunto de retângulos dispostos em um gráfico de colunas, de modo que a altura 
destes retângulos corresponda à frequência, e os pontos médios coincidam com os pontos médios 
dos intervalos de classe.
18 Representação de um histograma
O histograma associado à tabela de frequências por intervalos (ilustrada na figura anterior) 
pode ser visualizadoa seguir.
Figura 1 – Histograma
 
6
11
6
5
3
5
7 7
0
2
4
6
8
10
12
14
110 ˫ 114 115 ˫ 119 120 ˫ 124 125 ˫ 129 130 ˫ 134 135 ˫ 139 140 ˫ 144 145 ˫ 149
Fr
eq
uê
nc
ia
Classes
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Você pode perceber que, no histograma, normalmente as classes possuem a mesma ampli-
tude (na figura 1, todas são iguais a 4: 110 a 114, 115 a 119...), de modo que a altura de cada retân-
gulo é proporcional à sua frequência em relação àquela classe. Um histograma permite verificar 
com precisão a distribuição de frequências associadas a uma variável, identificando tendências 
sobre os dados coletados. No histograma ilustrado, vemos que a amplitude total da frequência 
de dados, calculada pela diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da 
primeira classe, tem valor 149 – 110 = 39.
SAIBA MAIS!
Para aprofundar seus conhecimentos, leia o artigo “Utilizando o histograma como 
uma ferramenta estatística de análise da produção de água tratada de Goiânia”, dis-
ponível em: <http://estprob.pbworks.com/w/file/fetch/53332540/artigo-histograma-
-capacidade-proc.pdf>.
Por consequência, o ponto que divide as classes em duas partes iguais, com a mesma amplitude, 
é dado por ( )149 - 110
2
 = 129,5. Observamos que mais da metade dos dados está localizada no “lado 
esquerdo” do histograma, demonstrando que, dentro da amplitude total da distribuição de frequências, 
há mais alunos com menos da metade da altura máxima, definida pelo limite superior da última classe, 
uma vez que há 28 alunos com menos de 129,5 cm, e apenas 22 com mais de 129,5 cm.
ESTATÍSTICA
 – 37 – 
19 Polígono de frequência
O polígono de frequência é uma forma de apresentação gráfica de dados que permite ao 
pesquisador observar a frequência de dados de uma variável, por meio de um gráfico em linha. 
Ele é obtido na ligação dos pontos formados pelo ponto médio dos intervalos de classe, no eixo 
horizontal e as frequências observadas (no eixo vertical) (CRESPO, 2005).
A partir desta avaliação, pode-se também visualizar o comportamento dos dados associados à 
variável; se eles tendem mais para a esquerda, para as classes inferiores, ou para a direita nas classes 
superiores, ou se são distribuídos proporcionalmente à média das classes, por exemplo. Um polígono 
de frequência, ainda, permite a observação da amplitude total da distribuição de frequências.
É importante enfatizar que, para que o polígono (que é uma figura fechada) seja visualizado, é 
feito um ‘arremate’ nos seus limites inferior e superior, por meio da ligação dos pontos extremos das 
linhas obtidas aos pontos médios das classes anterior à primeira e posterior à última, ou seja, são clas-
ses que não existem em sua tabela, mas são usadas para viabilizar a análise, criando-se o polígono.
FIQUE ATENTO!
Não traz impacto à análise atribuir, nos pontos extremos dos limites das classes, 
duas classes que possuam frequência zero, uma vez que uma classe que não exis-
te não tem nenhuma frequência.
20 Representação de um polígono de frequência
Um polígono de frequência associado à tabela de frequências por intervalo (citada no início 
da aula) pode ser visualizado na figura a seguir, na qual os pontos médios são representados no 
eixo horizontal e as frequências no eixo vertical.
Figura 2 – Polígono de frequência
 
0
2
4
6
8
10
12
107 112 117 122 127 132 137 142 147 152
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
ESTATÍSTICA
 – 38 – 
Um polígono de frequência permite analisar as tendências de distribuição dos dados e 
frequências associados a uma variável de estudo; podemos verificar que os dados coletados 
concentram-se na metade inferior (ou esquerda) do plano de frequências, indicando que há uma 
concentração de dados abaixo da média relacionada à variável de pesquisa.
21 Polígono de frequência acumulada
Um polígono de frequência acumulada mede as chamadas frequências acumuladas de 
dados associados a uma variável, que são a soma das frequências associadas a uma variável de 
maneira acumulada, ou seja, trata-se de somas que vão sendo realizadas à medida que são adicio-
nadas classes a este somatório.
EXEMPLO
Utilizando o exemplo que estamos estudando, a frequência associada à primeira 
classe (consulte a tabela 1) tem o valor seis. Assim, a frequência acumulada das 
classes 1 e 2 é dada por 6 + 11 = 17. Para a terceira classe, o valor da frequência 
acumulada é de 17 + 6 = 23, e assim por diante, até que a frequência acumulada da 
última classe atinja 100% dos dados, ou seja, 50. Observe a tabela:
Tabela 2 - Frequências acumuladas
Altura Frequência acumulada
109 0
114 6
119 17
124 23
129 28
134 31
139 36
144 43
149 50
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O polígono de frequências acumuladas tenderá ao valor máximo no ponto relacionado à 
última classe, pois a frequência acumulada será correspondente ao total das frequências, ou 100% 
de frequência acumulada. Observe a figura a seguir, relativo ao nosso exemplo.
ESTATÍSTICA
 – 39 – 
Figura 3 – Gráfi co de frequências acumuladas
 
0
10
20
30
40
50
60
109 114 119 124 129 134 139 144 149
Frequência acumulada
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
SAIBA MAIS!
Quando há um certo número de classes à direita, com uma frequência baixa, 
veremos que o polígono de frequências exibirá uma tendência de tornar-se uma reta. 
Isto é comum, por exemplo, quando analisamos os salários da população: como a 
parcela de pessoas que ganham altos salários é muito pequena, estas classes têm 
uma frequência bastante pequena em relação às classes de salários menores.
A apresentação do polígono de frequências acumuladas é útil para verificarmos as 
concentrações das frequências em torno de determinadas classes. 
22 Curvas de frequências
Quando analisamos um polígono de frequências, observamos que ele nos traz os dados 
brutos associados às frequências. Para amostras e classes pequenas, como as que estamos 
utilizando, a tendência é que este polígono apresente arestas bem defi nidas. Porém, à medida 
que a amostra se amplia, estes ‘lados’ do polígono vão tendendo a tornarem-se mais oblíquos, 
formando curvas – as chamadas curvas de frequências. A curva de frequências mostra uma 
imagem tendencial da série de dados, enquanto o polígono de frequências mostra a imagem real 
dos mesmos (CRESPO, 2005).
Esta operação de ‘polimento’ dos dados, ou seja, de remoção das ‘arestas’, é dada adicio-
nando-se frequências àquelas observadas na tabela de distribuição de frequências, conhecidas 
como frequências calculadas, que se localizam nos pontos médios das frequências observadas, 
de acordo com a equação:
i-1 i i+1
i
f + 2f + fi-1 i i+1f + 2f + fi-1 i i+1fc =ifc =i 4
Em que: fci corresponde à frequência calculada da classe i; fi–1 é a frequência da classe imediata-
mente anterior à classe i, dada por fi; e fi +1 é a frequência da classe imediatamente posterior à classe i. 
ESTATÍSTICA
 – 40 – 
Assim, estamos dividindo quatro frequências por 4, identifi cando o ponto médio, que corres-
ponde à frequência acumulada.
EXEMPLO
Vamos calcular a frequência calculada da primeira classe (fc1) do exemplo estuda-
do nesta aula (da altura dos cinquenta alunos de uma escola), dada por:
( )0 1 2
1
0 + 6 × 2 + 11(0 + 6 × 2 + 11( )0 + 6 × 2 + 11)f + 2f + f0 1 2f + 2f + f0 1 2 23fc = = = = 5, 75fc = = = = 5, 75(fc = = = = 5, 75( )fc = = = = 5, 75)fc = = = = 5, 75fc = = = = 5, 750 1 2fc = = = = 5, 750 1 21fc = = = = 5, 751
0 + 6 × 2 + 11
fc = = = = 5, 75
0 + 6 × 2 + 11(0 + 6 × 2 + 11(
fc = = = = 5, 75
(0 + 6 × 2 + 11( )0 + 6 × 2 + 11)
fc = = = = 5, 75
)0 + 6 × 2 + 11)f + 2f + f
fc = = = = 5, 75
f + 2f + f0 1 2f + 2f + f0 1 2fc = = = = 5, 750 1 2f + 2f + f0 1 2 23fc = = = = 5,7523
4 4 4
fc = = = = 5, 75
4 4 4
fc = = = = 5, 75
Transpondo-se estes cálculos para todas as classes do nosso exemplo, temos a tabela a 
seguir.
Tabela 2 - Frequências calculadas (fc) e reais (f)
fc1 5,75 f1 6
fc2 8,50 f2 11
fc3 7,00 f3 6
fc4 4,75 f4 5
fc5 4.00 f5 3
fc6 5,00 f6 5
fc7 6,50 f7 7
fc8 5,25 f8 7
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
A partir desta tabela, podemos verifi car a curva de frequência associada à série de classes.
Figura 4 – Curva de frequência
 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
100 110 120 130 140 150 160
Freq. reais Freq. calculadas
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
ESTATÍSTICA
 – 41 – 
Como o nosso exemplo apresenta uma distribuição de frequências com valores menores nas 
classes centrais e maiores nas classes menores e maiores, observa-se que a curva de frequência 
apresenta um comportamento em onda, com dois pontos ‘de pico’, um modelo conhecido como 
bimodal. Caso os valores mais altos associados às frequências estivessem nas classes centrais, o 
gráfico tenderia a ser semelhante a um ‘sino’, com um ponto máximo, apenas. Observe:
Figura 5 – Modelos de curvas de frequência
1 2 3 4 5 6 7
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Para simplificar nossa análise, colocamos os diferentes modelos de curvas de frequência em 
um mesmo plano. O modelo 1 é chamado de curva simétrica, ou seja, todas as frequências estão 
distribuídas de forma equidistante em relação ao ponto máximo. 
As curvas 2 e 3 são chamadas de curvas assimétricas, pois as frequências estão distribuídas 
de forma diferente ao longo da curva em relação ao ponto de máximo. Neste caso, o sentido do 
alongamento da curva determina o viés que ela assume. Dizemos que acurva 2 é enviesada à 
direita, e a 3 à esquerda.
As curvas 4 e 5 são chamadas ‘em formato de J’, e resumem distribuições de frequências 
muito assimétricas.
FIQUE ATENTO!
Curvas em formato de J são muito usadas na Economia para associar relações 
como preços e demanda por mercadorias, por exemplo. No caso, a curva5 ilustra 
esta situação, pois quanto maior o preço, no eixo vertical, menor será o consumo, 
no eixo horizontal.
A curva 6 configura a chamada ‘curva em U’, que ocorre quando a distribuição de frequências 
tem pontos de máximo nas extremidades da curva. 
FIQUE ATENTO!
Curvas em U são costumeiramente associadas a equações do 2º grau. Além disso, 
elas são utilizadas em Economia, sobretudo para a determinação de certos custos 
de produção de bens.
ESTATÍSTICA
 – 42 – 
Por fim, a curva 7 configura a chamada distribuição retangular, que ocorre quando todas as 
frequências são absolutamente iguais. Nesse caso, a razão que demonstra a frequência observada 
será sempre uma constante.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer alguns métodos de organização de dados por frequências, como histogramas 
e polígonos de frequência;
 • entender que a frequência acumulada é dada pela soma das frequências de diferentes 
classes, e conhecer as frequências calculadas, como forma de obter uma curva de 
frequência.
Referências
CRESPO, Antônio. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 2005.
KUROKAWA, Edson; BORNIA, Antonio Cesar. Utilizando o histograma como uma ferramenta esta-
tística de análise da produção de água tratada de Goiânia. In: Anais do XXVIII Congresso Interame-
ricano de Engenharia Sanitária e Ambiental, Cancún (México), out. 2002. Disponível em: <http://
estprob.pbworks.com/w/file/fetch/53332540/artigo-histograma-capacidade-proc.pdf>. Acesso em: 
24 jan. 2017.
ESTATÍSTICA
 – 43 – 
ESTATÍSTICA
 – 44 – 
Medidas de tendência central: 
média, moda e mediana
Rafael Botelho Barbosa
Introdução
As medidas de posição são utilizadas para representar e descrever um conjunto de dados. Elas 
são divididas em duas categorias: medidas de tendência central e separatrizes. Nesta aula, estuda-
remos as principais medidas de tendência central: média (simples ou ponderada); moda; e mediana.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar as principais medidas de tendência central;
 • entender como calcular as principais medidas de tendência.
23 Medidas de tendência central
De acordo com Medri (2011), as medidas de tendência central produzem um valor, e, em 
torno deste valor, as observações distribuem-se. Assim, os valores das medidas de tendência cen-
tral são utilizados para sintetizar um conjunto de dados. 
As principais medidas de tendência central são: média (simples e ponderada); moda; e 
mediana. A seguir, estudaremos sobre cada uma das medidas. Acompanhe!
23.1 Média
A média é a soma dos valores de um conjunto de dados dividido pelo número de dados 
somados. Ela pode ser dividida em média simples e ponderada. 
 • Média simples
	 De acordo com Duquia e Bastos (2006), a média simples – também chamada de média 
aritmética – é a medida de tendência central mais utilizada e melhor compreendida por 
todos, devido sua facilidade de cálculo e à utilização em inúmeras situações do coti-
diano. Para calcular a média aritmética, basta somar todos os valores de um conjunto 
de dados e dividir pelo número de valores somados.
TEMA 6
ESTATÍSTICA
 – 45 – 
A expressão geral para o cálculo da média simples é:
=
∑
n
i
i 1=i 1=
X
X
n
Em que:
X é a média simples ou aritmética;
n
i
i 1
X
i 1=i 1
∑
 
é o somatório dos valores X, com X variando de 1 a n, ou seja, estamos somando todos 
 os valores de X;
n é o número de dados em análise. 
EXEMPLO
No conjunto de dados (2, 2, 2, 4, 5), a média simples será calculada somando todos 
os valores (2 + 2 + 2 + 4 + 5 = 15) e dividindo pelo número de valores somados (5). 
Logo 15/3 = 5. Assim, podemos dizer que a média simples ou aritmética desse 
conjunto de dados é 3.
 • Média ponderada 
	 A média ponderada deve ser utilizada quando os dados não possuem a mesma proba-
bilidade de ocorrência, ou seja, é quando há diferenças de pesos (ou frequências) entre 
os valores que queremos analisar.
FIQUE ATENTO!
Imagine duas frequências: F1 > F2. Neste caso, a probabilidade de ocorrência do 
dado referente a F1 é maior que a probabilidade de ocorrência do dado referente a 
F2. Assim, caso tenhamos uma observação que se repita 5 vezes e outra se repita 
10 vezes, temos que a probabilidade de ocorrência da segunda observação é maior 
que a da primeira.
A expressão geral para o cálculo da média ponderada é:
n
i i
i 1
P n
i
i 1
X .fi iX .fi i
X
fifi
i 1=i 1
i 1=i 1
=
∑
∑
Em que:
PX é a média ponderada;
ESTATÍSTICA
 – 46 – 
∑
n
i i
i 1=i 1=
X fi iX fi i
 
é o somatório dos produtos de cada valor pela respectiva frequência, com i variando de 1 a n.
 n é o número de dados em análise;
∑
n
i
i 1=i 1=
fifi é o somatório das frequências, variando de 1 a n.
EXEMPLO
No conjunto de dados (2, 2, 2, 4, 5), para calcular a média ponderada deve-se mul-
tiplicar cada valor pela sua repetição, e dividir pela soma das frequências. Assim, 
tem-se (2 x 3) + (4 x 1) + (5 x 1) = 15. A soma das frequências é dada por 3 + 1 + 1 = 
5. Logo, a média ponderada é 15/5 = 3.
Duquia e Bastos (2006) afi rmam que a média apresenta algumas vantagens e desvantagens. 
Entre as vantagens estão: o fato de que ela considera todos os valores estudados; que é utilizada, 
na maioria dos casos, para entender as diferenças entre dois conjuntos de dados; e que é uma 
medida de tendência central de fácil entendimento. A desvantagem é que a média é infl uenciada 
por valores extremos (valores muito acima ou muito abaixo da média dos dados). Assim, quando 
há valores muito discrepantes, ela não é a medida adequada para representar o conjunto de dados. 
Por exemplo, no conjunto (1, 10, 100), amédia dos dados é 37. Note que este não é um bom valor 
para representar os dados, pois existem dois valores muito distantes (1 e 100).
Além disso, a média é recomendada, preferencialmente, quando a distribuição dos 
dados é simétrica.
23.2 Mediana
A mediana é o valor em que metade (50%) dos dados está abaixo dela e metade (50%) está 
acima. Assim, para descobrir a mediana, deve-se colocar os dados em ordem crescente, o ele-
mento que ocupar a posição central é a mediana. 
Quando o número total de dados é par, a mediana é dada pela média aritmética dos dois 
elementos centrais Por exemplo, no conjunto de dados (1, 2, 3, 4), como o número de dados é par, 
a mediana é dada pela média dos elementos centrais. Logo, (2+3)/2 = 2,5. Assim, a mediana é 2,5. 
Porém, quando o número total de dados é ímpar, a mediana é o elemento central do conjunto de 
dados organizados de maneira crescente. Caso uma amostra contenha muitos dados, basta esco-
lhermos o elemento que ocupa a posição ((n+1)/2). Por exemplo, no conjunto de dados (1, 2, 3, 4, 5), 
como o número de dados é ímpar, a mediana é o valor 3, pois é o valor central do conjunto de dados.
A fi gura a seguir mostra como é o comportamento das medidas de tendência central (média, 
mediana e moda) quando a distribuição é simétrica ou assimétrica. A distribuição é simétrica quando 
existe uma divisão de um conjunto de dados em duas partes iguais, em relação a um ponto central; 
e é assimétrica quando estas duas partes não possuem a mesma quantidade de dados.
ESTATÍSTICA
 – 47 – 
Figura 1 – Distribuição simétrica e assimétrica
Média = Mediana = Moda
Frequência 
DadosMédia Moda Dados
Frequência
Mediana
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
A vantagem da mediana é que não é influenciada por valores extremos (valores muito distan-
tes da média) e pode ser utilizada tanto para distribuições simétricas quanto assimétricas. Entre 
as desvantagens, está o fato de ela ser de difícil compreensão e não ser considerada em grande 
parte dos testes estatísticos (DUQUIA E BASTOS, 2006). 
FIQUE ATENTO!
Lembre-se de que, para calcular a mediana, devemos sempre utilizar os dados em 
ordem crescente.
A mediana sempre tenderá a ocupar uma posição central de um conjunto de dados, diferente 
da média. Observe a figura a seguir, que apresenta um histograma para uma distribuição simétrica.
Figura 2 – Histograma para distribuição simétrica 
De
ns
ity
Média e mediana
Peso dos sacos de arroz
1000 2000 3000 4000 5000
0
2.
0e
 -0
4
4.
0e
 -0
4
6.
0e
 -0
4
8.
0e
 -0
4
00
1
Fonte: Duquia e Bastos, 2006, p. 191.
ESTATÍSTICA
 – 48 – 
Na figura, percebemos que há uma distribuição simétrica. Neste caso, a média, mediana 
e moda apresentam os mesmos valores. Agora, observe a figura 3, em que a distribuição 
é assimétrica.
Figura 3 – Histograma para distribuição assimétrica
De
ns
i
Média
Peso dos sacos de arroz
0 2000 4000 6000 8000
0
2.
0e
 -0
4
4.
0e
 -0
4
6.
0e
 -0
4
8.
0e
 -0
4
10000
Mediana
Fonte: Duquia e Bastos, 2006, p. 191.
No caso da figura 3, temos uma distribuição assimétrica positiva, assim a média é maior do 
que a mediana.
SAIBA MAIS!
Para aprofundar seus conhecimentos sobre a assimetria, leia o tópico 6.4 do tex-
to “Análise Exploratória de Dados”, do Professor Dr. Waldir Medri (UEL). Acesse: 
<http://www.uel.br/pos/estatisticaeducacao/textos_didaticos/especializacao_es-
tatistica.pdf>.
23.3 Moda 
A moda é o elemento que mais se repete, ou seja, que possui a maior frequência no conjunto 
de dados. É possível que um conjunto de dados tenha uma moda (unimodal), duas modas (bimo-
dal), três ou mais modas (multimodal), ou nenhuma moda (amodal). 
Para compreender melhor o que é a moda, atende aos exemplos:
 • no conjunto de dados (2, 2, 2, 4, 5), a moda é o elemento que mais se repete. Observe 
que o elemento 2 se repetiu 3 vezes, logo ele é a moda. Aqui, então, temos uma única 
moda; ou seja, o conjunto de dados é unimodal;
ESTATÍSTICA
 – 49 – 
 • no conjunto de dados (1, 1, 2, 2, 5), há duas modas, ou seja, dois elementos repetidos. 
Logo, é um conjunto bimodal;
 • no conjunto de dados (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5), temos três modas (1, 2 e 3), uma vez 
que os números foram repetidos três vezes. Logo, trata-se de um caso multimodal (ou 
polimodal);
 • no conjunto de dados (2, 4, 5), não há moda, pois nenhum elemento se repetiu mais que 
os demais. Trata-se de um conjunto de dados amodal;
FIQUE ATENTO!
A moda considera apenas a frequência de ocorrência das observações. Sendo as-
sim, em geral, não é uma boa medida para se representar um conjunto de dados.
A figura a seguir traz um histograma que mostra a distribuição de um conjunto de dados em 
função da frequência. Assim, na figura, o elemento que possui a maior frequência será conside-
rado a moda.
Figura 4 – Histograma de dados
Dados
Fr
eq
uê
nc
ia
 
8 9 10 11 12
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
Neste caso, identificamos que a moda do conjunto de dados é 10, pois é o elemento que 
possui a maior frequência na figura. 
ESTATÍSTICA
 – 50 – 
24 Comparações entre medidas de tendência central
Para decidir qual medida de posição tendência central é mais adequada para um conjunto 
de dados, é bastante importante fazer a representação gráfica deste conjunto. Esta representação 
pode ser por meio de um histograma, no qual consegue-se verificar se a distribuição é simétrica 
ou assimétrica.
Caso a distribuição seja simétrica, tanto a média quanto a mediana quanto a moda apre-
sentarão o mesmo valor. Dessa forma, podemos usar qualquer uma das medidas de posição de 
tendência central para representar um conjunto de dados. 
No entanto, é muito comum que a distribuição não seja simétrica, e sim assimétrica. Nestes 
casos, a média é um valor que sofre grandes influências de valores extremos, assim, não é capaz 
de representar de maneira satisfatória um conjunto de dados. Uma alternativa para este caso é 
utilizar a mediana, que sempre tende a assumir um valor central de um conjunto de dados (como 
observamos na figura 2).
SAIBA MAIS!
Das páginas 82 a 96 do link a seguir, você pode aprofundar seus conhecimentos so-
bre a média, mediana e moda para distribuições simétricas e assimétricas. Acesse: 
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf>.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer as principais medidas de tendência central;
 • observar como é o comportamento destas medidas para distribuições simétricas e 
assimétricas.
 • aprender a calcular cada uma das medidas de tendência central. 
Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Estatística aplicada à educação. Brasília, 2007. Disponível em: 
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf>. Acesso em: 07 dez. 2016.
MEDRI, Waldir. Análise exploratória de dados. Universidade Federal de Londrina, Londrina, 2011. 
Disponível em: <http://www.uel.br/pos/estatisticaeducacao/textos_didaticos/especializacao_
estatistica.pdf>. Acesso em: 07 dez. 2016.
DUQUIA, Rodrigo Pereira; BASTOS, João Luiz Dornelles. Medidas de tendência central: onde a 
maior parte dos indivíduos se encontra? Scientia Medica, 2006.
Medidas de posição: separatrizes
Rafael Botelho Barbosa
Introdução 
As medidas de posição têm por finalidade representar um conjunto de dados por meio de um 
valor. Nesta aula, conheceremos as medidas de posição chamadas separatrizes, bem como suas 
principais classificações.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar as medidas separatrizes.
Bons estudos!
25 Medidas de posição
Por meio da análise das medidas de posição, conseguimos verificar