Conversão Eletromecânica de Energia

Prévia do material em texto

entendimento certamente será a base para o estudo das 
máquinas elétricas e dos seus acionamentos elétricos.
Joel Rocha Pinto
10
Conversão Eletromecânica de Energia
Sumário
1. Introdução a Conversão
Eletromecânica de Energia ............................................. 13
1.1 Magnetismo ................................................................... 14
1.2 Ciclo de Histerese -
Perdas Histeréticas e Perdas Foucault..................... 23
1.3 Circuitos Magnéticos.................................................. 33
1.4 Circuito Magnético Funcionando
em Corrente Alternada ................................................... 37
1.5 Exercícios........................................................................ 45
2. Sistemas Eletromecânicos........................................ 57
2.1 Balanço de Energia em Sistemas 
Eletromecânicos de Excitação S im p les................... 57
2.2 Análise Gráfica do Balanço
de Energia em Sistemas Eletromecânicos 
de Excitação S im p les........................................................ 64
2.3 Exercícios......................................................................... 74
3. Conversores Eletromecânicos -
Cálculo de Forças e Conjugados................................ 91
3.1 Conversor Eletromecânico Excitado
com Corrente Alternada .................................................. 96
3.2 Balanço de Energia nos Conversores 
Eletromecânicos com Dupla Excitação ................... 99
3.3 Exercícios........................................................................ 109
4. Transformadores ............................................................ 115
4.1 Transformador Ideal .................................................. 119
4.2 Transformador Real .................................................... 128
4.3 Perdas, Rendimentos e
Regulação de Tensão ........................................................ 142
4.4 Ensaios em Vazio e de
Curto-Circuito em Transformadores........................ 155
4.5 Transformadores Trifásicos ................................... 160
11
Joel Rocha Pinto
4.6 Valores em Por Unidade - P.U............................. 166
4.7 Harmônicas em Transformadores ..................... 175
4.8 Deslocamentos Angulares..................................... 191
4.9 Paralelismo de Transformadores....................... 195
4.10 Autotransformador.................................................. 202
4.11 Exercícios....................................................................... 209
Referências.............................................................................. 231
12
Conversão Eletromecânica de Energia
1. Introdução a Conversão 
Eletromecânica de Energia
O estudo de alguns processos básicos de conversão 
eletromecânica de energia, nos quais se baseiam os 
equipamentos e sistemas eletromecânicos, é de grande 
Importância para o entendimento e compreensão dos 
assuntos a serem abordados no decorrer deste trabalho.
Os conceitos de campos elétricos e magnéticos são 
muito úteis para a análise dos processos de conversão de 
energia, mas normalmente depara-se que a solução 
completa e detalhada dos campos magnéticos da maioria 
das aplicações de interesse prático necessita das equações 
de Maxwell e de uma grande quantidade de informações 
contida na abordagem do campo e das relações 
constitutivas que descrevem as propriedades dos 
materiais, ou seja, encontrar uma solução exata na 
prática é um trabalho laborioso. Normalmente utiliza-se de 
suposições simplificadoras que permitem obter soluções 
úteis, através da extração de alguns parâmetros 
descritivos que apresentam propriedades operacionais 
Importantes dos equipamentos.
Em muitos casos, a extração de parâmetros resulta 
em um circuito elétrico análogo, em outros resulta em um 
(onjunto de equações para o desenvolvimento de soluções 
nnalíticas. As soluções numéricas, embasadas em 
ferramentas computacionais tornaram-se comuns e são 
Indispensáveis na análise e projetos de equipamentos e 
•.Istemas eletromecânicos, mas o seu uso não contribui de 
forma definitiva para o entendimento e compreensão dos 
processos básicos de conversão eletromecânica de 
energia.
Joel Rocha Pinto
1.1 Magnetismo
A partir do século XIX, Hans Christian Oersted, 
André-Marie Ampère, Michael Faraday, Heinrich Lenz e 
outros, conseguiram realizar as primeiras experiências 
relacionadas ao eletromagnetismo e obtiveram resultados 
práticos.
Em 1820, Oersted observou que um condutor 
elétrico ao conduzir corrente contínua, produzia linhas de 
campo magnético ao seu redor que orientava uma 
pequena bússola magnética ao ser aproximada do mesmo.
O sentido das linhas de campo magnético pode ser 
determinado pela "regra da mão direita", onde o polegar 
indica o sentido da corrente no condutor e os dedos 
indicadores o sentido das linhas de campo magnético, 
conforme ilustra a figura 1-1.
%
Figura 1-1: Condutor elétrico conduzindo corrente
contínua.
Conversão Eletromecânica de Energia
Outras experiências foram realizadas para se 
determinar os fatores que influenciam na intensidade de 
< .impo magnético, onde verificou-se que: 
a intensidade do campo magnético varia diretamente 
( om a intensidade da corrente elétrica;
quando um único condutor é substituído por uma bobina 
com N espiras concêntricas, verifica-se que a intensidade 
do campo magnético varia diretamente com o número de 
i". piras.
Mlg ura 1-2: Linhas de campo magnético estabelecidas na 
bobina de três espiras.
A figura 1-2 permite reportar para uma 
configuração simples de um imã, onde verifica-se o 
cnminho das linhas de campo magnético estabelecidas do 
pólo norte para o pólo sul.
4* ’'***t , — ’\ J s , —
íS •*»»
s >)/.
^ N '
) V
' 4* /
figura 1-3: Espectro magnético de um imã.
15
Joel Rocha Pinto
Analisando as figuras 1-2 e 1-3, é possível concluir 
que na figura 1-2 fora produzido um eletroímã com pólo 
norte e pólo sul. Também, pode-se utilizar a figura 1-3 
para fazer uma breve revisão das grandezas magnéticas.
Fluxo Maanético (ó)
Fluxo magnético é a quantidade de linhas de campo 
magnético em um imã ou em um eletroímã.
108 linhas de campo magnético * 1 Weber [Wb] de 
fluxo magnético.
Campo maanético: Indução Magnética ou 
Densidade de Campo Maanético (B ).
O fluxo magnético <f>queatravessa uma superfície S 
é a integral de superfície da componente normal de B:
Analisando a equação 1.2 é possível verificar que o 
fluxo magnético líquido que entra ou sai de uma certa 
superfície fechada é zero, ou seja, qualquer fluxo 
magnético que entrar em uma superfície delimitando um 
volume deverá deixar esse volume passando por outra 
região dessa superfície, porque as linhas de fluxo 
magnético formam laços fechados.
Diante dessas justificativas é possível supor que a 
densidade de campo magnético B é uniforme em uma 
seção reta. Assim a equação 1.1 pode ser simplificada por 
uma equação escalar simples:
Na figura 1-4 observa-se um anel de seção reta S 
colocado próximo ao pólo norte e o mesmo anel de seção 
reta postado um pouco mais afastado do pólo norte.
[1.2]
[1.1]
s
[1.3]
16
Analisando a equação 1.3 é possível afirmar que a 
inaior densidade de campo magnético no anel de seção 
reta S é o da figura 1-4A.
Conversão Eletromecânica de Energia
A B
Figura 1-4: Densidade de campo magnético no anel de 
soção reta S.
Intensidade de Campo Magnético (H)
A indução magnética B se relaciona com a 
Intensidade do campo magnético H através das 
< nracterísticas intrínsecas de cada material. A densidade 
de campo magnético B depende da intensidade do vetor 
de polarização H dos momentos magnéticos ou domínios 
magnéticos de cada material.
Cada átomo é considerado como um pequeno 
drcuito fechado de corrente que produzefeitos 
magnéticos dentro dos materiais. A orientação desse 
«iicuito pode ser alterada, variando somente as direções 
dos eixos de spins dos elétrons, ou pela presença de um 
• itomo adjacente.
Em função da simetria da disposição eletrônica, o 
momento magnético da maioria dos átomos é zero. 
'iomente em átomos com camadas internas de elétrons 
Incompletas é que o átomo tem um momento magnético 
llgnificativo. Esse momento magnético tem principal 
Origem nos spins de elétrons que não formam pares com 
elétrons de direção de spins opostos.
Os materiais que apresentam um momento 
mncjnético significativo e quando submetidos a um vetor 
polarização de intensidade magnética têm os seus
17
Joel Rocha Pinto
domínios magnéticos orientados facilmente, são 
denominados materiais fermmagnéticos. Entre eles 
pode-se citar: o ferro, níquel, cobalto.
Utilizando-se a bobina da figura 1-2, coloca-se no 
interior da mesma uma barra de um material 
ferromagnético qualquer, onde os domínios magnéticos 
ficam orientados conforme o vetor polarização H, que 
depende diretamente da intensidade da corrente elétrica e 
do número de espiras.
Figura 1-5: Representação de um eletroímã em uma 
barra ferromagnética.
O alinhamento dos domínios magnéticos, 
estabelecendo as linhas de campo magnético é função do 
vetor polarização H e da característica intrínseca do 
material de se alinhar com maior ou menor facilidade, ou 
seja, o estabelecimento do fluxo magnético depende da 
permeabilidade magnética do material (n ). Assim, tem-se:
m [1 .4]B = j u . H
171
E:
M=
B _
77
Wb m ~H~------- ou
j n 1 Ae _ _ m _
[1.5]
A relação da intensidade do campo magnético com 
a corrente elétrica que produz as linhas de campo
18
Conversão Eletromecânica de Energia
magnético pode ser definida pela Lei Circuitual de 
Ampère:
| J.da=j H.dl [1.6]
5
Onde:
J = densidade de corrente (A/m2)
H = intensidade de campo magnético (A/m)
Na figura 1-5 tem-se:
J J.da=<f H.dl => N.i H .i
H = NJ
í
Ae
m
[1.7]
Onde:
l\l = número de espiras. 
j = corrente elétrica (A).
£ = comprimento da barra ferromagnética.
Curva Normal de Maanetizacão de Materiais 
Ferromaanéticos
Através da figura 1-6, pode-se verificar o 
comportamento do campo magnético B em função da 
intensidade de campo magnético H.
Joel Rocha Pinto
Figura 1-6: Representação dos domínios magnéticos do 
eletroímã.
Inicialmente na figura l-6a os domínios magnéticos 
da barra ferromagnética estavam desorientados. Quando 
submetida uma corrente elétrica I pelas espiras da 
bobina, o vetor polarização H orienta uma grande 
quantidade de domínios magnéticos e à medida que 
aumenta-se a intensidade da corrente elétrica através da 
fonte de tensão contínua variável, é possível aumentar a 
intensidade do campo magnético H, conforme a equação 
1.7, e consequentemente o maior alinhamento das linhas 
do campo magnético. Esse alinhamento é limitado, ou 
seja, em um determinado ponto, não adiantará aumentar 
mais a corrente elétrica I para aumentar a intensidade do 
campo magnético H, pois todos os domínios magnéticos já 
foram orientados, ou seja, ocorreu a saturação magnética. 
Esse comportamento pode ser representado pela curva 
normal de magnetização do material na figura 1-7.
20
Conversão Eletromecânica de Energia
Figura 1-7: Curva normal de magnetização.
Permeabilidade Magnética íu)
A permeabilidade magnética é a propriedade do 
jpiterial que estabelece o comportamento da orientação 
|0 I domínios magnéticos quando submetidos a um vetor 
polarização H. Cada material apresenta a sua curva 
intimai de magnetização de acordo com sua 
|H’i ineabilidade magnética
Figura 1-8: Curva normal de magnetização para três 
fllfm entes materiais.
21
Joel Rocha Pinto
A seguir, alguns valores típicos de saturação 
magnética:
Bsaturação do Ferro = 2,2 Wb/m 
s^aturação do Cobalto = 1/8 Wb/m 
Bsaturação do Níquel — 0,64 Wb/m 
- Bsaturaçã0 d0 Ferhte = 0,4 Wb/m2 (ferrite: ferro pulverizado 
em um material de ligação isolante).
A permeabilidade magnética dos materiais pode se 
relacionar com a permeabilidade magnética do vácuo pQ, 
tal que;
, , _________ __M m aterial K M m r -t o i
M r e l a t i v a ----------------- = > M , ~ ------ L 1 ' ^
M o M o
JL10 = 471.10'7 [H /m ]
Alguns materiais quando submetidos a uma 
intensidade de campo magnético H não estabelecem uma 
ligação externa com as 'bobinas condutoras de corrente 
elétrica de forma significativa e os seus domínios 
magnéticos ficam levemente orientados com o vetor 
polarização H, resultando no interior desses materiais uma 
densidade de campo magnético um pouco maior do que 
existiria no vácuo. Esses materiais são denominados de 
paramagnéticos. Entre eles pode-se citar: o alumínio, 
bário, cálcio, cromo, estrôncio, oxigênio, platina, sódio, 
urânio, magnésio.
Outros materiais têm os seus domínios levemente 
orientados, mas em oposição ao vetor polarização H, tal 
que, o resultado no interior desses materiais é uma 
densidade de campo magnético um pouco menor da que 
existiria no vácuo. Esses materiais são denominados 
diamagnéticos. Entre eles estão: o vidro, água,
antimônio, bismuto, chumbo, cobre, prata, ouro, 
mercúrio, zinco.
Na construção dos núcleos do estator e dos rotores 
das máquinas elétricas e dos núcleos dos 
transformadores, é comum utilizar materiais 
ferromagnéticos comerciais que apresentam
22
Conversão Eletromecânica de Energia
Permeabilidade relativa fir na ordem de 5.000 a 10.000.
I.imbém existem algumas famílias de ligas metálicas 
< nino o Permalloy (70 a 90% de níquel e o restante ferro
• "in pequenos teores de outros elementos como o cobre, 
•»* uno e o molibdênio), o Supermalloy (79% de níquel, 
S% de molibdênio e o restante ferro) e o Mumetal (76%
• l<- níquel, 17% de ferro, 5% de cobre e 2% de cromo e 
mngnésio) que se pode utilizar na construção dos núcleos 
n .ipiesentam uma permeabilidade relativa jur de 30.000
A 200.000.
I i Ciclo de Histerese - Perdas Histeréticas 
« Perdas Foucault
Supondo que a barra de um material 
Imiomagnético da bobina na figura l-9a esteja 
Inicialmente desmagnetizada. Através do aumento da 
Çmicnte elétrica da fonte de tensão contínua variável é 
lO liível aumentar o vetor de intensidade de campo 
magnético H, conforme a equação 1.7, até ocorrer a 
©limitação completa dos domínios magnéticos, atingindo a 
ilnir. Idade magnética de saturação Bsatf esse 
iMiiiportamento é representado pelo caminho 1 na figura 
I 10.
Na figura l-9b , a intensidade da corrente elétrica 
sendo diminuída gradativamente e 
fcfliequentemente o vetor polarização H também está 
llmlnuindo, mas os domínios magnéticos não mudam de 
(jlrtVio no mesmo instante, o material se opõe à 
Í*MiMgnetização, produzindo um atraso no retorno da 
hnftlclade magnética. Pode-se zerar a corrente elétrica, 
■II ©eja, estabelecer uma intensidade de campo magnético 
H nula, que ainda alguns domínios magnéticos continuam 
•flriilados, produzindo um campo residual ou remanente 
»m inpresentado pelo caminho 2 na figura 1-10. Esse
Joel Rocha Pinto
atraso na orientação dos domínios magnéticos é 
denominado de Histerese.
Para anular esse magnetismo residual Br+/ deve-se 
inverter o sentido da fonte de tensão contínua, mostrado 
na figura l~9c, para que a corrente elétrica estabeleça um 
vetor de intensidade de campo magnético H contrário e a 
medida que a corrente vai sendo aumentada, os domínios 
magnéticos vão se orientando conforme o sentido do vetor 
polarização H até ocorrer novamente a orientação 
completa dos domínios magnéticos, atingindo a densidade 
magnética de saturação Bsat de sentido oposto, conforme 
o caminho 3 na figura 1-10.
No caminho 3, apresentado na figura 1-10, 
verifica-se que a intensidade de campo magnéticoH 
necessária para reduzir a densidade de campo magnético 
a zero, anulando o campo residual Br+ é denominada de 
força coerciva Hc_.
Já na figura l-9d , a intensidade da corrente elétrica 
é diminuída e observa-se novamente o atraso dos 
domínios magnéticos até quando zera a corrente elétrica e 
alguns domínios magnéticos ainda continuam orientados, 
produzindo um campo residual Br_. Esse processo pode ser 
verificado através do caminho 4 na figura 1-10.
Para anular esse campo residual Br_, deve-se 
inverter o sentido da corrente elétrica, mostrado na figura 
l-9e , aumentando-a gradativamente até que o vetor 
polarização H consiga reduzir a densidade de campo 
magnético a zero, nesse ponto tem-se a força coerciva 
Hc+. Tal procedimento pode ser verificado pelo caminho 5 
na figura 1-10.
Caso a corrente elétrica da bobina, na figura l-9e 
continue sendo aumentada, ter se a o caminho 6 na figura 
1 - 1 0 .
Através dos caminhos 1, 2, 3, 4, 5 e 6
estabelecidos na figura 1-10 é possível verificar um ciclo 
de alinhamento do campo magnético denominado de ciclo 
de histerese.
24
Conversão Eletromecânica de Energia
plfurn 1-9: Ciclo de magnetização no eletroímã.
IttllWWHÉHHBHBaM
Joel Rocha Pinto
atraso na orientação dos domínios magnéticos é 
denominado de Histerese.
Para anular esse magnetismo residual Br+, deve-se 
inverter o sentido da fonte de tensão contínua, mostrado 
na figura l-9c, para que a corrente elétrica estabeleça um 
vetor de intensidade de campo magnético H contrário e a 
medida que a corrente vai sendo aumentada, os domínios 
magnéticos vão se orientando conforme o sentido do vetor 
polarização H até ocorrer novamente a orientação 
completa dos domínios magnéticos, atingindo a densidade 
magnética de saturação Bsat de sentido oposto, conforme 
o caminho 3 na figura 1-10.
No caminho 3, apresentado na figura 1-10, 
verifica-se que a intensidade de campo magnético H 
necessária para reduzir a densidade de campo magnético 
a zero, anulando o campo residual Br+ é denominada de 
força coerciva Hc_.
Já na figura l-9d , a intensidade da corrente elétrica 
é diminuída e observa-se novamente o atraso dos 
domínios magnéticos até quando zera a corrente elétrica e 
alguns domínios magnéticos ainda continuam orientados, 
produzindo um campo residual Br_. Esse processo pode ser 
verificado através do caminho 4 na figura 1-10.
Para anular esse campo residual Br_, deve-se 
inverter o sentido da corrente elétrica, mostrado na figura 
l-9e , aumentando-a gradativamente até que o vetor 
polarização H consiga reduzir a densidade de campo 
magnético a zero, nesse ponto tem-se a força coerciva 
Hc+. Tal procedimento pode ser verificado pelo caminho 5 
na figura 1-10.
Caso a corrente elétrica da bobina, na figura l-9e 
continue sendo aumentada, ter se a o caminho 6 na figura 
1 - 1 0 .
Através dos caminhos 1, 2, 3, 4, 5 e 6
estabelecidos na figura 1-10 é possível verificar um ciclo 
de alinhamento do campo magnético denominado de ciclo 
de histerese.
24
0 0
Conversão Eletromecânica de Energia
s
 k
t K 2 -
© N
ik
H
€ 'J *
s
© S
m
N
© N
||Urn 1-9: Ciclo de magnetização no eletroímã.
Joel Rocha Pinto
Figura 1-10: Ciclo de histerese de um material
ferromagnético.
Através de técnicas especiais de laminação é 
possível produzir lâminas de material ferromagnético, nas 
quais os momentos magnéticos estão orientados ao longo 
da direção de magnetização desejada. Nestes materiais 
com grãos orientados, a rotação dos domínios magnéticos 
é praticamente eliminada. A curva característica B-H de 
um material ferromagnético típico dessa natureza (50% 
níquel e 50% ferro) é apresentada na figura 1-11.
26
Conversão Eletromecânica de Energia
HU ura 1-11: Curva característica B-H do material 
fmiomagnético (50% níquel e 50% ferro).
A figura 1-12 apresenta a curva característica B-H 
'i' um material magnético permanente, o Alnico V (51% 
ir ro , 24% cobalto, 14% níquel, 8% alumínio e 3% 
IMin»).
Nuura 1-12: Curva característica B-H do Alnico V.
27
Joel Rocha Pinto
Materiais magnéticos que têm uma força coerciva 
Hc baixa, são denominados "macios" e os que têm Hc 
elevada são denominados "duros" ou materiais 
magnéticos permanentes.
Perdas oor Histerese - perdas histeréticas
O processo de orientação dos domínios magnéticos 
conforme um ciclo de corrente simétrica, produz um 
armazenamento e uma liberação de energia que não é 
totalmente reversível, ou seja, é necessário gastar uma 
quantidade de energia para magnetizar um material 
ferromagnético, essa energia é perdida na forma de calor 
no núcleo do material, daí o nome de perdas histeréticas, 
cujo fator preponderante é a reorientação lenta dos 
domínios magnéticos em função do vetor polarização H 
que varia ciclicamente com a corrente.
A figura 1-13, mostra o ciclo de histerese em um 
material ferromagnético enfatizando que a quantidade de 
energia armazenada no campo magnético excede à 
energia que é liberada. A diferença de potencial magnético 
representa as perdas no meio do ciclo, em destaque.
Ou seja, a diferença de energia representa a 
quantidade que não é devolvida à fonte, essa energia é 
dissipada na forma de calor quando os domínios são 
reorientados em resposta à intensidade de campo 
magnético variável H.
B [w b /m 2]I -■
Conversão Eletromecânica de Energia
I rm-se:
AUDA: Energia armazenada durante meio ciclo de H. 
n AhCA: Energia liberada durante meio ciclo de H.
Mgin.i 1-13: Ciclo de Histerese de um material 
druivnign ético.
A equação 1.9 descreve a energia como a 
Ifrnllzação da potência em um intervalo de tempo.
/2
u>=\p.dt [J ] [1.9]
'.abendo que:
/> e.i
M W <■ N —
dt
[1.10]
Jocl Koclia Pinto
Através da equação 1.7 é possível obter:
N.i = H .i [1.12
Substituindo as equações 1.11 e 1.12 na equação 
1.9, obtém-se:
42
E inserindo a equação 1.14 na equação 1.13, fica:
Analisando a figura 1-13, chega-se a energia 
magnética armazenada no campo magnético durante o 
meio ciclo de H (admitindo-se que o material já esteja 
num estado cíclico) através da equação 1.17.
A equação 1.18 mostra a energia que é liberada 
pelo campo magnético e devolvida à fonte, nota-se que 
B2> B3/ assim w2 será negativa, indicando que a energia 
está sendo liberada em lugar de armazenada pelo campo 
magnético.
[1.13]
Da equação 1.3 extrai-se:
(f) — B.S [1.14]
52
[1.15]
51
Onde:
v = £.S= volume do material ferromagnético
Logo a densidade de energia é:
[1.16]
[1.17]
30
( uiivi-i■.,!() I lot.romucânlca de Energia
n \ c . ' J 'r-r, II.dH [1.18]
J
H)
A diferença entre wx e w2 é a energia perdida no 
pulo 1 1< Io de H, graficamente é a área BCDB na figura 1- 
l \
I ‘oiItanto, conclui-se que a perda de energia por 
exatamente a área do ciclo de histerese, 
ilMfninif equação 1.19.
wh arca do ciclo de histerese
m .ciclo
[1-19]
A perda de energia por histerese pode ser expressa 
Im Wdlts, o que é normalmente utilizado na prática,
energia _ potência
11 volume, ciclos , ciclos volume.
segundos
rhWJYi. ----
v ./
>\ w l r v - f 
Onde:
l[ = perdas histeréticas, em Watts;
v volume do material ferromagnético, em m3; 
/ frequência da variação de H, em Hertz;
[1.20]
i/m
HY
i l< l().
= perda de densidade de energia, em
C.im facilitar o cálculo das perdas histeréticas, em 
M K Meinmetz obteve uma fórmula empírica, através 
t um l.iborioso estudo e de uma grande quantidade de 
para vários materiais ferromagnéticos. A 
JpçWo 1.21 indica as perdas histeréticas em Watts, 
ido Meinmetz:
31
Joel Rocha Pinto
Ph = K h.v.f.BZix. [1.21]
Onde:
Ph = perdas histeréticas, em Watts;
Bmáx = densidade de campo magnético máxima;
r/ = constante de Steinmetz, depende do materialferromagnético.
r/ situa-se na faixa de 1,5 <r|< 2,5;
v = volume ativo total do material ferromagnético,
em m3.
v = a.b .h .Ke; Ke = fator de empacotamento das 
lâminas do material ferromagnético;
/ = frequência da variação de H, em Hertz;
K h = constante de histerese, que depende do
material, por exemplo:
Aço forjado = 0,025 
Chapa de aço-silício = 0,001 
Permalloy = 0,0001
Correntes Parasitas - Perdas Foucault
Quando um fluxo magnético varia com o tempo, 
produz um campo elétrico induzido em torno da região de 
variação do fluxo magnético. Essa é a premissa da Lei de 
Faraday, expressa na equação 1.22.
e(f)=— N ~ - [1.22]
dt.
A tensão induzida também ocorre dentro do 
material ferromagnético e sendo um material condutor, 
possibilita a circulação das correntes induzidas ou 
correntes parasitas, pois existe um percurso fechado 
dentro d.o núcleo do material ferromagnético. Essas 
correntes parasitas produzem um aquecimento no núcleo 
do material ferromagnético, causando uma perda de 
energia, denominada de Perdas Foucault, atribuída ao seu 
descobridor Jean Bernard Leon Foucault (1819 - 1868).
32
Conversão Eletromecânica de Energia
IMra atenuar as perdas Foucault, pode-se 
inmnnl.li .1 resistência do material ferromagnético com a 
fftlMn tl<‘ silício na produção do material. O ferro puro 
um um.) resistividade de 10'7Q.metro. Com a adição de 
1'*" <i■ * ••Ilido ao ferro, a resistividade do material aumenta 
{trim (i~ l() fu.metro.
Normalmente o núcleo dos materiais 
pruuníignéticos é composto por finas lâminas, isoladas 
pUfe *.i < om verniz. Assim a corrente induzida fica sitiada 
iliniti área menor e difunde mais rapidamente nas 
Blitliiív. Isoladas, que impedem a circulação de correntes 
l.imina para outra.
A equaçãol.23 apresenta uma forma de se 
ttüt üimlnar as perdas Foucault.
r, = K F .v .f2.T2.Bláx [1.23]
Onde:
/’ = perdas Foucault, em Watts;
/•mn = densidade de campo magnético máxima; 
v volume ativo total do material ferromagnético,
»f\ m1;
V a.b .h .Ke; Ke = fator de empacotamento das 
■ lllins do material ferromagnético;
/ frequência da variação de H, em Hertz;
| ' i * espessura de laminação;
l K, = constante de Foucault, depende do material 
(plju HI jíldo.
Clrc ultos Magnéticos
A*, máquinas elétricas são constituídas por circuitos 
j|0 » e magnéticos acoplados entre si. Por um circuito 
p é tlco entende-se um caminho para o fluxo 
lyhélif o, assim como um circuito elétrico estabelece um 
ilnlm para a corrente elétrica. Nas máquinas elétricas, 
1...... ores percorridos por correntes interagem com os
Joel Rocha Pinto
campos magnéticos (originados ou por correntes elétricas 
em condutores ou de imãs permanentes), resultando na 
conversão eletromecânica de energia.
A lei básica que determina a relação entre corrente 
e campo magnético é a lei circuitual de Ampère, conforme 
a equação 1.6, que aplicada ao circuito magnético simples 
da figura 1-14, resulta:
| J.da=j H.dl
N i = HA [1.24]
Ni = H J n
V Nespiras
ln=ramprimeüto médio ctes
lin h a s cam po roaign&fàbo
núcleo cie material ferromagnético
Figura 1-14: Circuito magnético simples.
Os dispositivos de conversão eletromecânica de 
energia que incorporam um elemento móvel, 
normalmente exigem entreferros nos núcleos. Um circuito 
magnético com um entreferro (vácuo) é apresentado na 
figura 1-15.
fâ
núcleo de material ferromagnético
Figura 1-15: Circuito magnético com entreferro.
r
I
V N esp iras;
<(>
34
Conversão Eletromecânica de Energia
[1.25]
l’ara o circuito da figura 1-15, pode-se afirmar que: 
K # t|>u <|>, assim:
Os termos entre colchetes da equação 1.26 
flinMi.im uma grande identidade com a definição de
u:ia elétrica em um circuito elétrico, que depende
leslstividade intrínseca do material, do seu
Sihpilmento e de sua seção. Esses termos, no caso, Jienri rm da permeabilidade intrínseca do material, do 
Kiii Mimprimento e de sua seção, e são denominados de 
pDtAncia magnética do núcleo 9in e relutância magnética 
AH üntxeferro 9*g, demonstrando a limitação para a
jgnético t)>. A equação 1.26, então,
3 N.i 
Onde:
Relutância magnética do núcleo [A/Wb]; 
ii,, Relutância magnética do entreferro [A/Wb];
& força magnomotriz ou magnetomotriz [Ae].
A equação 1.27 permite fazer uma analogia com 
Itllln elétrico, estabelecendo a lei de ohm para 
lyndlMno, onde a diferença de potencial magnético
[1.26]
[1.27]
A equiv.
35
Joel Rocha Pinto
responsável por impor a circulação de fluxo magnético é 
denominada de força magnomotriz ou magnetomotriz 3.
Assim, é possível apresentar na figura 1-16 o 
circuito elétrico análogo ao circuito magnético da figura 1-
Embora a permeabilidade magnética não seja uma 
constante total no comportamento B-H do material, o que 
faz com que a relutância magnética do núcleo também 
não seja linear, pode-se usar em muitos casos práticos o 
conceito de permeabilidade constante do material que 
conduzirá à resultados de exatidão aceitáveis na 
engenharia, sendo uma maneira rápida e objetiva para 
analisar um circuito magnético. Para esses casos 
considera-se que o material ferromagnético está 
trabalhando na região linear da curva normal de 
magnetização B-H.
Figura 1-16: Circuito elétrico análogo ao circuito
magnético com entreferro.
15.
Rn
Rg
36
1.4 Circuito Magnético Funcionando em 
| »«i • «mio Alternada
I in estruturas magnéticas com enrolamentos, 
f$mu o do íigura 1-17, o campo variável produz uma força 
wlHiumot ii/ (e) nos terminais do enrolamento, conforme a 
ei »i" i .imday apresentada na equação 1.28.
Conversão Eletromecânica de Energia
V) - N & 
dt
1 N.</> ^ e ( / ) = " 
dt
[1.28]
B
1
< )nde:
r è chamado de fluxo concatenado [Wb.e], que 
inMMita a quantidade de fluxo magnético que enlaça as
ii.i . <l.i bobina, com N espiras.
m
V(t) e(t)|
I I !
4, — —! ► *
>
>
> . .
> N
>
* >
* . . . . . . . . . . . *
f i t-17: Circuito magnético simples alimentado com 
í | .ilternada.
I'.ira um circuito magnético no qual existe uma 
linear entre B-H, devido à permeabilidade 
i< .i constante do material ou à predominância do 
jfmio, pode-se relacionar o fluxo concatenado À. com 
Hente i, através da indutância L, de acordo com a 
■90 1.29.
À N.(/> = L.i [1.29]
37
Joel Rocha Pinto
Assim a força eletromotriz (e) pode ser expressa 
pela equação 1.30.
. . _ d ó 7N.é jL .i dÀ
e(t)=N — = d — - = d — = — [1.30]
dt dt dt dt
Para circuitos magnéticos onde a indutância L é 
fixa, pode-se apresentar a força eletromotriz (e) nos 
terminais do enrolamento de acordo com a equação 1.31.
e(t)=L — [1.31]
dt
Mas para máquinas elétricas e outros dispositivos 
eletromecânicos, a indutância também pode ser variável 
no tempo e a equação 1.30 é reescrita da seguinte forma:
e(t)=L— + i — [1.32]
dt dt
Indutância
É a capacidade que tem um determinado corpo em 
produzir em si mesmo ou em um outro corpo ou condutor 
uma tensão induzida, caracterizando a sua maior ou 
menor capacidade de produção de fluxo magnético para 
uma corrente imposta.
Também já é sabido que para se criar uma força 
eletromotriz induzida num condutor é necessário que o 
mesmo esteja submetido a um campo magnético variável.
Portanto, a indutância de um corpo é a propriedade 
que apenas se manifesta quando a corrente que passa por 
esse corpo é variável, produzindo um campo magnético 
variável, ao qual está submetido o próprio corpo ou outro 
condutor.
■ Quando o corpo induz em si mesmo uma força 
eletromotriz, denomina-se o fenômeno de autoindução e 
diz que o corpo apresenta auto indutância. A força 
eletromotriz induzida, neste caso, é conhecida como força 
eletromotriz de autoindução ou força contra eletromotriz.
O outro caso de indutânciaé conhecido como 
indutância mútua e o fenômeno é conhecido como indução
38
Conversão Eletromecânica de Energia
ft^ Hno Sompre que dois condutores são colocados um 
■MMmn do outro, conforme a figura 1-18, mas sem 
<*ntre eles, há o aparecimento de uma tensão 
■MlJii/lilo num deles quando a corrente que passa pelo 
fuiiM i' variável.
A Imsão induzida (e2) é devido a interação de fluxo 
Éltinntlco produzido no enrolamento 1 que se concatena 
■ih m rnroiamento 2, ou seja, devido ao fluxo mútuo.
11.
A lonsão induzida (e2) fica:
[1.33]
dt
( )nde:
1/ : é a mútua indutância entre os enrolamentos 1
Analisando a equação 1.37, pode-se definir a 
'HIH, ni,no magnética entre os enrolamentos 1 e 2 com as 
iivas espiras Ni e N2, da seguinte forma:
 [1.34]
equiv.\
i»*« i-1 8 : Circuito magnético com dois enrolamentos.
| A Indutância é uma propriedade de todos os 
fôutnios, podendo ser útil ou prejudicial; no segundo 
é nncessário eliminar, ou pelo menos, reduzir os seus 
HMi
Joel Rocha Pinto
Um corpo pode apresentar pequena ou grande 
indutância conforme suas características físicas e do 
material empregado para a confecção do núcleo.
Da equação 1.29, tem-se:
X = N.(j) = L.i
_ N 4 [1.35]
jL —
Da equação 1.27, tem-se: 
3=^.9? .Y equiv.
3= N.i
t = ^ [1.36]
* equiv.
NÁ(f) = 91 .equiv.
Substituindo a equação 1.36 na equação 1.35, fica:
N N i N 2
L = — .------- = ------- [1.37J
i 91 . 91 .equiv. equiv.
Sabe-se que a relutância magnética é definida por:
£
91 = - [1 .38|
ju.S
Logo a indutância L depende apenas da geometri<)
e do material do indutor, conforme a equação 1.39.
L = [1.39]
£
Onde:
N = número de espiras enroladas em um núcleo; 
i = comprimento médio do núcleo, em metros;
S = seção transversal do núcleo, em m2; 
ju = permeabilidade magnética do núcleo.
40
Conversão Eletromecânica de Energia
tiwra/a Magnética
A potência nos terminais de um enrolamento de 
tfh ilhulto magnético é uma medida da taxa de fiuxo de 
Iftffhjin que entra no circuito através deste particular 
PmlnmcMitO e vale:
dX
[1.40]
/>,<// i.dÀ
A variação da energia magnética armazenada Aw 
H in iillo magnético no intervalo de tempo t l a t2 é dado 
M
i?. Ã2
Air J p.dt => Aw=ji.dÀ [1.41]
l> /•(’ =í> p=i.— 
dt
him núcleo com permeabilidade constante:
. AL i i = -
L
[1.42]
'.ubstituindo a equaçãol.42 na equação 1.41, tem-
À2A2
■ Í T ML
A w=
2.L
[1.43]
ã\
( onsiderando-se X.i igual a zero, a energia 
,i total armazenada, fica:
A2
ir
2.L
ou, substituindo a equação 1.42, fica:
min :iolorm ,= - L . i 2 ( J )
[1.44]
[1.45]
41
Eneraia magnética armazenada no entreferro
Quando os sistemas eletromecânicos apresentam 
entreferros ou gaps, pode-se determinar a energia 
magnética armazenada no entreferro conforme 
apresentado na equação 1.16, sendo que a energia 
magnética armazenada no entreferro por unidade de 
volume pode ser expressa da seguinte forma:
Joel Rocha Pinto
w -gC'P
w =gap
I X ^
' J '
J o O nr _
[1.46
r B
\— 'dBg
' J "
T.
_ m
w - ——g^ p
[1.47|
r B ,
 ^ ——.c/B .volume [ J ]
Dessa forma, a energia magnética armazenada no 
entreferro ficará:
1 7
w g a p = -B g -volume [ 1.48 I
2.jig
Onde:
jug = permeabilidade magnética no entreferro;
B = densidade magnética no entreferro;
volume = volume do entreferro;
volumeg = a.b.g (desprezando o espraimento 
magnético);
volumeg = [a+g].[b+g]-cj (considerando o
espraimento magnético).
Em muitos casos práticos é normal desconsiderar o 
espraimento magnético, no contexto desse trabalho, ser«H 
desprezado.
42
Conversão Eletromecânica de Energia
■
l 20: Circuito magnético alimentado com tensão 
min,
li» r» 1-19: Circuito magnético
l/nndo o espraimento magnético.
com entreferro,
Tensão Induzida Eficaz
Soja o circuito magnético da figura 1-20, pode-se 
in.n a tensão induzida e(t) na própria bobina de N 
< nnforme a equação 1.49.
j di _ dcf) _ d A
dt dt dt
[1.49]
43
Joel Rocha Pinto
Supondo um fluxo magnético alternado, tal que: 
<t>(t) = <f>máx.>coswt [1.501
E substituindo a equação 1.50 na equação 1.49,
tem-se:
e{t> . N d l = _ N d j L ^ ^ n 
dt dt
e(t) = N.w .(/)máx. sen wt
e ( t ) = E máx. Se l1 Wt 
Assim:
E . = N.w.é .max. r max.
E cr,ca,-^ 2 = N27r- fA » .
E <flcaz = 4 , 4 4 . / . N 
Onde:
N = número de espiras da bobina; 
/'= frequência, em Hertz;
(f)máx = fluxo magnético máximo
[1.51
[1.52
Vale lembrar que na operação em corrento 
alternada, em regime permanente, o valor eficaz de unn 
função periódica, de período T, pode ser expressa como:
44
Conversão Eletromecânica de Energia
F„:á
l - f F mát2 s
71 0
í C«i.v.2 sen2 6 d6rrK
F . . ,
2 n
K 0
m K u J ~ 0 sen 2 9
n
n _2 4 0
U má x. 71 1 ~ — sen 2n - 
4
0
71 _2 2
F 2má x. 71
7T 2
 ^ máx.
[1.53]
Sirciclos
* 0 i Ircuito magnético da figura 1-21, calcular:
,« HHromotriz induzida (f.em .i.) quando Bn = sen 
Wli/nr’).
p ân r Ins no ferro (Rn) e no entreferro (Rg).
In< In (L).
fyin magnética armazenada para Bn = 1 Wb/m2.
IN - 500; Sn = Sg = 9 cm2; ln = 30 cm; lg = 0,05 
li, - 5000.
45
Joel Rocha Pinto
1 *9
Figura 1-21
R esp . :
a) e (t)=169,65cos377t (V ); b) 53 .051,65 A/Wb e 442.097,06 
A/Wb; c) 0 ,5 H; d) 0 ,2OJ
2) O circuito magnético da figura 1-22 foi projetado paru 
operar com um fluxo magnético na perna central d<- 
2mWb. Sabendo-se que a bobina 1 tem Ni=600 espiras n 
a curva do material magnético está na figural-23, 
Determinar:
a) A indutância do circuito magnético e a permeabilidade' 
relativa do material magnético.
b) A corrente contínua necessária na bobina 1 (Ni) pain 
estabelecer o fluxo especificado na perna central.
c) A tensão contínua que será aplicada, sabendo-se que ,1 
resistência elétrica dos enrolamentos da bobina é de 3 D.
d) A energia magnética armazenada nos entreferros e nu 
ferro.
e) O valor da tensão alternada eficaz e da correntn 
alternada eficaz para obter um fluxo magnético eficaz n| 
perna central igual quando alimentado com correi il a 
contínua.
f) Quais as tensões induzidas eficazes nas bobinas N2 e N
g) A mútua indutância entre Ni e N2 e a mútua indutância 
entre Ni e N3.
)
M I A 1-22
Conversão Eletromecânica de Energia
N1 = 600 espiras 
N2 = N3 = 1000 espiras 
Cotas sem unidades 
estão em centímetros
H (Ae/m)
♦t I 23
\H § 4.897; b) 4,05A ; c) 12,15V; d )2 ,3873J e 39 ,87m J; 
àiV; t) 753,5V e 376 ,7V; g) 0,494H e 0,247H
llrculto magnético da figura 1-24 é composto de 
uma peça de chapas aço silício médio e a 
ilr . iço fundido doce, que apresentam curvas 
<!<• magnetização conforme o gráfico da figura 1-
n I (Nt) é percorrida com uma corrente eficaz 
|ln (1|) e produz um fluxo magnético eficaz 
ftilii <lr 2,5 mWb. Calcular:
«Im.incia magnética do circuito.
' T
b) O valor, da corrente eficaz alternada que deve circulm 
na bobina 1 (Ni) para produzir o fluxo magnético eficaz «l«•
2,5 mWb.
c) Qual a tensão induzida eficaz na bobina 2 (N2) e qu.il o 
valor da tensão eficaz que é aplicada na bobina 1 (N(), 
desprezando a queda de tensão na bobina 1 e a dispers.tu 
de fluxo magnético.
d) Qual o valor da corrente eficaz da bobina 2 (N2), st' .t 
mesma estivesse com carga.
e) Qual o valor da tensão contínua que pode ser aplicarln 
na bobina 1 (Ni) para produzir um fluxo rnagnétim 
contínuo de 2,5 mWb, considerando o valor da resistênc ia 
interna da bobina 1 (Ni) de 0,5 Q.
Joel Rocha Pinto
iMiMiiinft Aço Fundido Doce
Aço Silício Médio
DADOS:
Todas as cotas em centímetro» 
m - 500 espiras 
N2 = 250 espiras 
Entreferro: vácuo
Resistência interna da bobina i ll< j 
Frequência * 60 Hz
Figura 1-24
48
Conversão Eletromecânicade Energia
liitwniildade do campo magnético, ampere-espiras/metro (Ae/m)
• »« I 25
IH, h) 1,37A; d)6,74A
|ln mio magnético da figura 1-26 é construído de liga 
Ht" níquel e está operando com uma densidade 
i n.i perna central de 0,9 T. Sabendo-se que a 
n U)0 espiras, calcule a corrente elétrica.
* otus apresentadas estão em centímetros.
JoeL Rocha Pinto
5) O circuito magnético da figura 1-27 é construído de llg.t 
de ferro níquel e está operando com uma densidade 
magnética na perna central de 0,9 T. Sabendo-se que n 
bobina tem 300 espiras, calcule a corrente elétrica.
Todas as cotas apresentadas estão em centímetros e * 
vale 3mm.
Figura 1-27
Resp.: 14,14A
§) Necessita-se desenvolver um projeto para construir um 
indutor de 500 mH. Para tal, tem-se o núcleo conforme $ 
figura 1-28, inclusive conhecendo as curvas normais do 
magnetização dos materiais A e B em questão (figura I 
29). De posse dessas curvas chega-se à conclusão da 
estabelecer uma densidade de campo magnético de 0,n i 
(região linear de operação) no material B. Portanto ó 
solicitado o número de espiras e qual a energia magnéth | 
armazenada no indutor necessária para estabelecei 0 
campo magnético pretendido de 0,6 T no material B.
50
Joel Rocha Pinto
1) Necessita-se desenvolver um projeto para construir um 
indutor toroidal com 400 mH. Tem-se a toróide conformn 
a figura 1-30, inclusive conhecendo sua curva normal do 
magnetização do material em questão. De posse dev.n 
curva chega-se à conclusão de estabelecer uma densidade 
de campo magnético de 0,8 T (região linear do 
operação).Portanto é solicitado o número de espiras e qunl 
a corrente necessária para estabelecer o campo magnéth o 
pretendido de 0,8 T.
DADOS:
A = 1 cm R = 5 cm r = 2 cm
Resp .: 242 espiras e 0,145mA
8) O circuito magnético da figura 1-31 fora construído cuin 
dois materiais diferentes, sendo a parte (A) de Aço 
Fundido Doce e a parte (B) de Liga de Ferro Níquel. A 
bobina tem 350 espiras e o circuito está operando com mi» 
fluxo magnético de 0,8 mWb. Calcule:
a) A corrente elétrica na bobina para estabelecer um fluxfl 
magnético de 0,8 mWb.
b) A energia magnética total armazenada e a energia 
magnética armazenada no entreferro.
OBS: cotas em centímetros.
52
Conversão Eletromecânica de Energia
r* i 3 i
1$) í, l IA; b )0 ,467J e 0,4223
$|t< ulto magnético da figura 1-32 é construído de aço 
tlf ui.ío orientado cuja permeabilidade relativa é de 
9 ilt á operando tal que o fluxo magnético em uma 
mu pernas laterais é de 4mWb. Sabendo-se que a 
tem 700 espiras, calcule a corrente elétrica.Todas 
íí .ipiesentadas estão em centímetros.
Joel Rocha Pinto
Figura 1-32
Resp. :1 ,1 a
|0 ) O circuito magnético da figura 1-33 fora construldu 
com chapas de aço silício médio e projetado p.u* 
trabalhar com uma intensidade magnética eficaz de lOU 
Ae/rrçna perna central, determinar:
À corrente alternada eficaz aplicada na bobina Ni, |».n* 
produzir a intensidade magnética projetada na pomn 
central.
54
Conversão Eletromecânica de Energia
I I \
1 HA
N1 = 37 espiras
Cotas estão em centímetros
”
Joel Rocha Pinto
í *
c1
<***'
www .bibfiotec524horas.com
56
C«nversã© Eletromecânica de Energia
*M<'inns Eletromecânicos
a . onversão eletromecânica de energia ocorre 
ii*. campos magnéticos são acoplados e estão 
Ijilii'. de tal maneira que a energia magnética 
flfniMtl.i varia com o movimento mecânico. Um 
Hetromecânico de energia transforma energia 
||l!iin «*l<‘trica para a mecânica e vice-versa. Estes 
pivô*, ou são dispositivos de força, tais como 
m*. (' motores elétricos, ou são dispositivos de 
n, tfils como transdutores eletromecânicos.
0*» d e ito s básicos de cam pos m ag nético s, 
M «'in criação de fo rças são :
IPiito de linhas de fluxo m agnético ;
entre campos magnéticos e condutores 
lln*. por correntes, conforme o fenômeno bem 
.1 lorça de Lorentz. 
forças são desenvolvidas nas partes 
néticas que são acondicionadas por condutores 
nle elétrica. Essas forças são mecânicas, mas a 
•iliii.il é elétrica. Daí denomina-se essas forças 
i om o símbolo Fe.
• de Energia em Sistem as 
in lcos de Excitação Simples
um ('xemplo, será considerado o caso especial 
lolmã composto por duas partes: uma fixa e a 
iWd, atraindo uma massa de ferro, como 
n.i figura 2-1; onde (1) e (2) indicam, 
mente, as posições inicial e final da parte móvel, 
i * * um deslocamento - dx (contrário à direção
57
Joel Rocha Pinto
positiva de x). Se a corrente na bobina permanecer 
constante para i = I0, durante o movimento de (1) para 
(2 ), então para qualquer deslocamento da parte móvel (2) 
em relação à parte fixa (1 ), a lei da conservação de 
energia exige que:
R
, Fonte
<
<
ç
J~
>
--------- p
e^ça Fixa
F e <~
MOLA 
04-~ _yvvvv.
dx
© 0>
Figura 2-1: Exemplo de circuito magnético simples.
Aumento na Energia 'Entrada de 
Energia da 
fonte Elétrica
(Saída de Energia] 
[ Mecânica J
armazenada no 
campo magnético 
\ do acoplamento J
Energia Perdida 
na forma de 
Calor
[2.1]
Energia Energia
Elétrica = Mecânica +
çde Entrada \de Saída
Variação 
da Energia 
Magnética 
no acoplamento
Perdas Mecânicas 
+ Perdas no Núcleo 
v+ Perdas nos Enrolamentos
[2 .2]
í Energia Elétrica 
de Entrada 
— Perdas nos 
Enrolamentos .
Energia Mecânica 
de Saída + Perdas 
Mecânicas
Variação da Energia Magnética | 
no acoplamento + Perdas Associadas )
[2.3]
58
Conversão Eletromecânica de Energia
j + (Variação da Energia Magnética)
[2.4]
À We — Trabalho Mecânico + A Wmag. [2.5]
Através da equação 2.5 pretende-se desenvolver 
uma expressão para a força Fe/ considerando que há uma 
relação linear entre o fluxo magnético e a corrente 
elétrica, para qualquer posição do sistema eletromecânico.
Inicialmente, tendo um deslocamento incrementai 
ilx na peça móvel em um intervalo de tempo dt, a 
equação 2.5 pode ser representada da seguinte forma:
dWe = Fe.dx + dWmag. [2.5]
A força Fe foi a responsável pelo deslocamento dx e
pelos incrementos de energia elétrica líquida dW e e de
nrmazenamento de energia magnética dWmag.
Eneraia Elétrica Líquida ( AfVe)
Num intervalo de tempo dt, o incremento de
energia elétrica líquida dWe, fica:
dWe = v.i.dt - r.i2.dt
dWe = (v - r.i \i.dtv [2.8]
dWe = e.i.dt
Onde:
e — v — r.i
Onde:
Trabalho Mecânico - zmec = Fe.dx [2.7]
XTd<f> jN.Ó . L.i dX
e=N— = d — — = d — = — 
dt dt dt dt
[2.9]
Assim:
Joel Rocha Pinto
dWe = — .i.dt
dt [2.101
dWe = i.dX
Para determinar a energia elétrica líquida AWc, 
basta integralizar a equação 2.10.
A We= f dWe - j i.dÀ [2.11 |
Sabendo que i = I0 = constante, a equação 2.1 I
fica:
A We = I 0(À2- X l) [2.12|
X — N.(j) — L.i [2.13 |
Substituindo a equação 2.13 na equação 2.12, 
tem-se:
A We = I0{L2J , - L lJ . )
A We = I 20(L2 - L l)
Ou através de:
 = N.ó
[2.14
3 = N.i = 0M 
NA
, , r N.i N .i
X = N . = -----
Que ao substituir a equação 2.15 na equação 2 .1 2, 
também tem-se:
60
Conversão Eletromecânica de Energia
A IVc = I 0 ( Ã 2 - Ã , )
f AT2
\Wc = /, N .1 N .1
\ll V = /
2 ( N 2 N 2 ^
[2.16]
V^2
\IVc = l l ( L 2 - L {)
61
Joel Rocha Pinto
Variação da Eneraia Magnética( AWmag.) 
Utilizando a equação 2.6 pretende-se obter .1 
variação da energia magnética AWmag., conforme já
abordado no capítulo 1. Mas para 0 momento da análise, 
pode-se considerar a força Fe desenvolvida na parte m ó v e l 
da figura 2-1, responsável pelo deslocamento dx. Atravé*. 
de uma força externa inserida no sistema (uma mola, poi 
exemplo), a peça móvel permanece estática, assim ,1 
equação 2.6 fica:
dWe — Fe.dx + dWmag. — dWmag. [2.1 / |
Sendo que0 diferencial de energia elétrica líquida ó 
igual ao diferencial de energia magnética no sistema, ou 
seja, a energia elétrica líquida é convertida em energia 
magnética. Portanto a variação da energia magnétii.i 
AWmag. será:
AWmag. = ---- [2.18]
AWmag. —
AWmag. = —L .i2 
2 i.
Portanto:
AWmag. = d l 2[L2- £ ,]
62
Conversão Eletromecânica de Energia 
Ii abalho Mecânico Realizado pelo Sistema
)
Mib*.tituindo as equações 2.14 e 2.19 na equação 
i H Imn se:
\ 11 ‘<' Trabalho Mecânico + À Wmag.
i ,
I J I : - L l) = Tmec. + - J 20lL2 - L l] [2.20]
r * , M 0[L2- L l] = AWmag.
logo, o trabalho mecânico realizado pelo sistema 
im< .mico é a variação da energia magnética.
fo rca Eletromagnética Desenvolvida (Fe)
i imforme a equação 2.20 tem-se:
Bw Fe.dx = A Wm ag.
Wmag. [2.21]
I d
dx
onde:
1 _ „
[2 .22]
Av.lm a força eletromagnética desenvolvida Fe,
II tnag. = —.L.i22
W L - - . U 2
dx 2
,2 * L
[2.23]
" 2 '' A dx
A direção da força Fe sobre o material magnético é 
M’ tende a aumentar a indutância do sistema 
hm .mico.
&Xe.
63
Joel Rocha Pinto
2.2 Análise Gráfica do Balanço de Energia em 
Sistem as Eletromecânicos de Excitação Simples
Considerando o eletroímã da figura 2-2, sendo 
excitado com uma fonte de tensão contínua e mantido 
nessa posição (x i) pela ação de uma força externa F. É 
possível verificar que a força desenvolvida pelo sistema 
eletromecânico Fe é contrária à força externa F, isto é, 
tem sentido sempre tendendo a diminuir a relutância do 
circuito magnético ou armazenar menos energia no 
circuito, principalmente no entreferro.
A figura 2-3 apresenta a relação <j> vs. 3 para os 
entreferros na posição Xi e x2, onde x 2> Xi. As retas 1 e 2 
representam essa relação para os respectivos entreferros 
na posição Xi e x2. A curva representa a relação para o 
trecho ferromagnético do circuito, mostrando o efeito da 
saturação magnética.
Analisando a figura 2-3 pode-se obter a figura 2-4 
que é o comportamento resultante da força 
magnetomotriz no entreferro 3 g com a força 
magnetomotriz no material ferromagnético 3 fe rro-
Portanto o circuito magnético do eletroímã é não 
linear, embora seja razoável supô-lo linearizado ou admitir 
que toda a força magnetomotriz se estabeleça no 
entreferro o que tornaria o sistema linear.
64
Conversão Eletromecânica de Energia
Figura 2-3: Relação (j> vs. 3 para os entreferros na 
posição Xi e x2.
Figura 2-4: Comportamento resultante da força
magnetomotriz no entreferro 3g com a força 
magnetomotriz no material ferromagnético 3 fe rro-
Na estrutura magnética da figura 2-2, estabelece 
um fluxo magnético <|> quando a bobina é excitada. 
Supondo que não haja nenhum movimento entre as 
partes fixa e móvel num intervalo de tempo dt, conforme 
a equação 2.5 o balanço de energia fica:
55
Joel Rocha Pinto
AWe = Trabalho Mecânico + AWmag. 
v.i.dt - r .i1 .dt = r „ + dWmag.
[2 .2 4 1
c/fFe = Fe.dx + dWmag. 
dWe = dWmag.
Analisando a equação 2.24, verifica-se que a 
energia elétrica líquida suprida no intervalo de tempo dl 
será armazenada no campo magnético. Assim: 
dWe = e.i.dt
dWe = — ./.ífr 
dt
dWe = i.dà [2.25|
dWe = i.dN.(j) 
dWe = N.i.dtf) 
dWe =
Portanto o acréscimo de energia armazenada no 
campo magnético AWmag. para uma situação tal que o
fluxo magnético varie de <|>i até <j>2, será dado por:
dWe — dWmag. =
<p2
AWmag. = T^s.dxj) [2 .261
A
a,
AWmag. = | z.d/l
4
O que corresponde a área tracejada da figura 2 '» 
para uma curva de magnetização <|> vs. 3genérica.
66
Conversão Eletromecânica de Energia
ri» 2-5: Energia armazenada no campo magnético 
iihn:. para uma situação tal que o fluxo magnético 
0 di* (J>i até (j)2.
No eletroímã da figura 2-2, quando o entreferro 
n <l.i posição Xi para x2, imaginando situações de 
r permanente, a corrente deve ser a mesma, pois é 
*ln pela fonte de tensão contínua Vcc na resistência 
mi <1.1 bobina r.
| As energias magnéticas armazenadas no circuito 
íln uma das situações são apresentadas na figura 2 -
|»f> I nergias magnéticas armazenadas no circuito 
u •>., 8 x2.
67
Joel Rocha Pinto
Conforme a equação 2.26 as energias magnética?, 
armazenadas no circuito na posição Xi e x2, são 
respectivamente:
Wmag. V| = área OB(f)x O [ 2 .2 7 |
Wmag. V2 = área O A (j)20 [2.28]
Aplicando a equação da lei de conservação do 
energia 2 . 1 , durante um intervalo de tempo dt da 
abertura de xi até x2, tem-se:
Á We + Trabalho Mecânico = A Wmag. [ 2.29 |
Onde adota-se a convenção de que a energi.i 
entrando no sistema é positiva e saindo é negativa.
O processo de abertura está representado na figura
2-7.
Se a abertura é feita num intervalo de tempo muito 
longo, tendendo para infinito, a curva vs. 3 enquanto a 
peça móvel está movimentando, aproxima-se do 
segmento ( l ) - » ( 2 ), pois a tensão induzida na bobina 
(f.e .m .i) nesse transitório é muito pequena e a corrente 
praticamente não se altera (regime permanente). Mas se 
a abertura é feita rapidamente, num intervalo de tempo 
tendendo a zero, a curva <j> vs. 3 aproxima-se do 
segmento (1 )—>(3) e após o movimento (transitório), o 
fluxo magnético e a força magnetomotriz decrescem ao 
longo da curva de magnetização (3)-»(2).
Na prática, normalmente, a curva <J) vs. 3 durante o 
transitório de abertura estará entre os dois casos 
extremos, ou seja, no caminho (l)->(4)->(2), dependendo 
da carga útil e dos parâmetros do sistema mecânico 
(inércia e atritos), bem como os parâmetros do sistema 
elétrico.
68
Conversão Eletromecânica de Energia
I H: Representação do transitório de abertura do 
fl d.v. posições Xi para x2.
i 2-7: Representação do processo de abertura do 
in.t da posição Xi para x2.
Al invés da equação 2.29 e do gráfico da figura 2-8, 
determinar o trabalho mecânico introduzido 
movimentar a peça móvel da posição Xi para x2.
Ml <- i / ’/ 'abalho M ecânico - Á Wmag.
[2.30]
I » Wmec.mA - A
69
Joel Rocha Pinto
De acordo com a equação 2.25, a energia elétrica 
líquida AWe é:
A We = \ d W e = i Z.d(/>
J J [2.31]
A We = área{(f) {(])2 12)
A energia magnética antes do movimento é dado
por:
Wmag. [2.32]
A energia magnética depois do movimento fica:
Wmag. V2 = área(02(f>2 O) [2.33]
Portanto o trabalho mecânico introduzido para 
movimentar a peça móvel da posição Xi para x 2 será:
Tmec.mtroduzido= área<,02\0) [2.34]
Figura 2-9: Representação do trabalho mecânico
introduzido para movimentar a peça móvel da posição x i 
para x 2.
Analogamente o trabalho mecânico realizado 
(retirado) pelo sistema para vencer a força F aplicada 
externamente durante um processo de fechamento da 
posição x 2 para x x será:
T niec. realizado = “ ^ « ( 0 2 \ 0 ) [2 .35 ]
70
Conversão Eletromecânica de Energia
Figura 2-10: Representação do trabalho mecânico
tealizado para movimentar a peça móvel da posição x 2 
para Xi.
Analisando os gráficos da figura 2-9 e 2-10 conclui-
sc que:
* mecânico = A Wmagnética [2.36]
Ou seja:
O trabalho mecânico ou energia mecânica no 
llstema eletromecânico é igual a variação da energia 
magnética armazenada no sistema.
Sabendo que:
T m e c à n i c o = W m e C - = F e -d x [ 2 -3 7 ]
Obtendo o trabalho mecânico elementar no 
Intervalo de tempo dt, pode-se determinar a força 
eletromagnética desenvolvida Fe pelo sistema 
Hotromecânico em função da posição do entreferro x.
Conforme a equação 2.20, tem-se:
TmeaSmco = WmeC' = Fedx = A [2.38]
Portanto:
Joel Rocha Pinto
Fe = d ^ ^ [2.39]
dx .
A força Fe para a posição de abertura do entreferro 
x é dada pela variação da energia magnética com o 
espaçamento x.
Como a energia magnética armazenada é função 
de x e do fluxo magnético <j>, tem-se:
Fe = dm n a ^ ) ^ [24Q]
Ou colocando a energia magnética em função de 3
e x, tem-se:
Fe = á Wmag(3,x)\ [2 41]
dx
Caso o sistema magnético seja linear, ou para o 
caso do eletroímã, admitindo-se que toda a energia 
magnética estará armazenada no entreferro, pode-se 
escrever:
F ‘ = \ J l j d Í Í 2A 2 ]
O comportamento de abertura e fechamento da 
peça móvel do sistema eletromecânico da figura 2 - 2 fora 
representado na curva <j> vs. 3 das figuras 2-9 e 2-10 
respectivamente. A seguir será apresentado o 
comportamento da corrente elétrica que alimenta a bobina 
do sistema nos transitórios de abertura e fechamento da 
peça móvel.
Em regime permanente a corrente elétrica é 
constante, pois depende apenas da tensão contínua 
aplicada Vcc e da resistência elétrica das espiras da bobina 
(r ) . Assim, a corrente elétrica em regime permanente é 
dada por:
I cc = ^ [2.43]
r
Porém, nos transitórios de abertura e fechamento, 
a corrente elétrica pode variar com a posição x da peça 
móvel, devido à variação da relutância magnética e
72
Conversão Eletromecânica de Energia
consequentemente da variação do fluxo magnético que 
Induz uma força eletromotriz induzida (e) na bobina, que 
altera o valor da corrente elétrica no circuito. Dessa forma 
tem-se:
3 = (j).\K
dZs 
dt
e(t) = N
dM m dó — + sJ i — 
dt dt
d(f)
[2.44]
dt
Pela Lei de Kirchhoff de tensão no circuito, fica:
dcj)
dt 
dcj)
K - r l - N 0
- N [2.45]
L , = dt
Supondo o caso de abertura rápida do entreferro, a 
relutância magnética do circuito aumenta e o fluxo 
magnético <j> diminui rapidamente. Portanto a variação do 
fluxo magnético no tempo é decrescente ou negativa. 
Assim no transitório de abertura, a corrente elétrica I cc 
ficará:
d(/)
V„+ N
dt [2.46]
Após o intervalo de tempo dt, a relutância 
magnética deixa de variar e a força eletromotriz induzida 
fica nula, a corrente elétrica volta ao valor de regime.
No caso de fechamento rápido do entreferro, a 
relutância magnética do circuito SR diminui e o fluxo 
magnético <j> aumenta rapidamente. Portanto a variação do 
fluxo magnético no tempo é crescente ou positiva. No 
transitório de fechamento, a corrente elétrica I cc ficará: 
d(f)
- N
dt [ 2 .4 7 ]
73
Joel Rocha Pinto
A figura 2-11 apresenta o comportamento da 
corrente elétrica nos transitórios de abertura e 
fechamento do entreferro.
V cc
R
Transitório de Abertura
Transitório de 
Fechamento
t
Figura 2-11: Representação da corrente elétrica para os 
transitórios de abertura e fechamento do entreferro.
2.3 Exercícios
Um eletroímã, como o da figura 2-12, é ligado, 
mantendo-se o entreferro constante e igual a 3 mm 
através da força da mola de 51 kgf. A bobina tem 500 
espiras e sua resistência é de 3 Q. A permeabilidade 
magnética relativa do material vale 3.500, o comprimento 
médio do circuito magnético é igual a 650 mm, a = 25 
mm e b = 80 mm.
a) Qual a tensão contínua a ser aplicada para se obter 
uma força de 51 kgf.
b) Qual a tensão alternada eficaz de 60 Hz, para se obter 
essa mesma força (51 kgf médio).
c) Comente e justifique a diferença de comportamento de 
um circuito magnético com entreferro variável operando 
com excitação C.C. e C.A.
74
Conversão Eletromecânica de Energia
Mgura 2-12
hsp.:
. 1 ) 12V; b) 297 ,3V
jf) A figura 2-13 mostra um soienóide com geometria 
• «•l.ingular. O embolo de ferro de massa M é suportado por 
iimn mola e guiado verticalmente por espaçadores não 
m.Kjnéticos de espessura t e permeabilidade |^ 0. Suponha- 
1 0 o ferro infinitamente permeável e despreza-se o 
uspiaimento magnético e os campos dispersos.
A soienóide está ligada a uma fonte de tensão e o 
»nliciferro é mantido constante através da ação da mola.
I Mormine:
o) (,)ual a tensão contínua a ser aplicada para se obter 
min.i força de 7 kgf.
li) (^ ual a tensão alternada eficaz de 60 Hz, para se obter 
l l i a mesma força (7 kgf médio), 
i lados:
d = 4,0 cm w = 5,0 cm
Ni = N2 = 500 espiras
i - 2 , 0 mm 
» 0 , 1 dm
5 ü
75
Joel Rocha Pinto
Figura 2-13
R esp .:
a) 3 ,5V ; b) 22 IV
3) O circuito magnético da figura 2-14 é composto de 
duas peças, uma peça fixa de aço silício médio e a outra 
móvel de aço fundido doce conforme a figura 1-25. Sabe- 
se que a densidade magnética na peça fixa é de 0 , 8 
Wb/m2. Determine:
a) A força desenvolvida na mola quando a bobina é 
alimentada com tensão contínua e o entreferro é mantido 
constante e igual a 0,5 cm.
b) Qual a tensão contínua para desenvolver a força do 
item a.
c) Qual o fator de potência do circuito magnético se a 
bobina for alimentada com tensão alternada e o entreferro 
for mantido constante e igual a 0,5 cm.
Dados:
R = 4 Q N = 1300 espiras 
OBS: cotas em centímetros.
76
Conversão Eletromecânica de Energia
l lgura 2-14
Ifvsp.:
.») I.277N; b) 20V c) 0,02 indutivo
i j ) O circuito magnético da figura 2-15 representa um 
uintator eletromagnético onde tem-se uma bobina na 
pnrna central de 750 espiras e uma resistência ôhmica de 
'I U, desprezando a relutância magnética do núcleo e a 
ilhpersão de fluxo magnético, determinar:
«) A força eletromagnética instantânea e média 
<lf.envolvida na peça móvel quando uma tensão alternada 
dr 270 V é aplicada na bobina e o espaçamento x é de 
Miinm.
I>) Qual seria o valor da tensão contínua a ser aplicada 
Iara obter a mesma força eletromagnética desenvolvida 
nn puça móvel?
H S : cotas em centímetros.
Joel Rocha Pinto
Figura 2-15
R esp .:
a) 192 .sen2(w t - 86 ,56°)N ; 96N b)13 ,2Vcc
•<f') Para o circuito da figura 2-16, a mola está 
desenvolvendo uma força de 100 N para deixar a peça 
móvel afastada de 0,5cm da peça da fixa. Sabendo que a 
bobina apresenta 6 . 0 0 0 espiras com uma resistência 
ôhmica de 2 Q e o material ferromagnético das peças fixa 
e móvel têm uma permeabilidade relativa de 15.000. 
Determinar:
A corrente contínua necessária para "atracar" a peça 
móvel com a fixa. Qual seria o valor da tensão contínua a 
ser aplicada.
78
Conversão Eletromecânica de Energia
Nuura 2-16
$) > 0,21 A ; > 0 ,42V
Jfr') () sistema eletromecânico da figura 2-17 apresenta 
um.» peça fixa e uma móvel. A peça móvel tem um peso 
ti* l,0N que juntamente com o suporte plástico fixo, 
(nmprime a mola em di= 18mm. Nessa condição a mola 
tlrMMivolve uma força de 3,6N (F i= k*d i) sustentando a 
móvel conforme ilustra a figura 2-17.
A bobina de 1.300 espiras sendo energizada com uma 
liiiirn te contínua de 2,5A conseguirá fazer com que a 
(hm.íi móvel atraque na peça fixa?
justificar a resposta calcule a força eletromecânica 
(Imumvolvida no sistema eletromecânico, sabendo-se que: 
M entreferro x vale 4mm.
I o espraimento magnético e a relutância no material 
■imm.ignético são desprezíveis.
I n i onstante k da mola vale 200N/m. 
m p.ii.i que a peça móvel atraque na peça fixa a mola 
v*’i >i ser comprimida em d2 =2 2 mm.
79
Joel Rocha Pinto
OBS: a unidade das cotas está em centímetros.
U P O R T E P L Á S T IC O
P E Ç A M O V E L
P E Ç A F IX A
Figura 2-17
R esp .: 20 ,74N
7) O circuito magnético da figura 2-18 é um esquemático 
de um relé, constituído de duas partes: fixa e móvel. 
Todas as cotas apresentadas estão em centímetros. O 
número de espiras da bobina é de 900 e sua resistência 
ôhmica é de 4 Q
Considerando que o núcleo do relé apresenta 
permeabilidade infinita, não existe dispersão do fluxo
80
Conversão Eletromecânica de Energia
magnético ao longo dos enrolamentos e espraimento 
magnético nos entreferros. Determinar:
a) A força eletromecânica desenvolvida na peça móvel 
para um espaçamento nos entreferros de 3 mm, quando é 
aplicada uma corrente contínua de 2 A.
b) A tensão contínua necessária para desenvolver a força 
eletromecânica do item a.E qual seria a tensão alternada 
eficaz para desenvolver uma força média 
aproximadamente igual a do item a?
Hyura 2-18
/><“>/),;
M) V>5,5/V; b) 8Vcc; 639,6Vca
§N) O detroímã da figura 2-19 está sendo alimentado com 
pinn corrente elétrica que está percorrendo as duas 
llh lnas ligadas em série. Com essa corrente o núcleo 
N lomagnético está trabalhando conforme o ponto de 
Hcrflçno da sua curva normal de magnetização. As duas 
MM*' estão espaçadas por um gap de comprimento x, 
K trm ln ar a força eletromagnética entre as peças quando 
* ii,1) cm.
BÉNItlnrar as unidades das cotas em centímetros e Nx = 
- 1 . 0 0 0 espiras.
81
Joel Rocha Pinto
Figura 2-19
R esp .: 1 .272,8N
9) O eletroímã da figura 2-20 apresenta geometria 
retangular e está sendo alimentado com uma corrente 
elétrica de 5 A que circula pelas duas bobinas ligadas em 
série, onde Ni =N2= 1.000 espiras. Calcule a força 
desenvolvida no êmbolo quando x = 10 mm. Desprezar a 
relutância magnética do material do núcleo e considerar a 
permeabilidade relativa das placas isoladoras de alumínio 
igual a 1,0. Todas as cotas apresentadas na figura 2-20 
estão em centímetros.
82
5
Conversão Eletromecânica de Energia
Figura 2-20
H v.p .: 1 .005 ,3 IN
1 0 ) O eletroímã da figura 2 - 2 1 apresenta geometria 
i lllndrlca e está sendo alimentado com uma corrente 
• d* Irica de 5 A que circula pelas duas bobinas ligadas em 
B r^le, onde Ni = N2= 1.000 espiras. Calcule a força
tlmi-nvolvida no embolo quando x = 10 mm. Desprezar a 
iHui.íncia magnética do material do núcleo e considerar a 
l"'Mneabilidade relativa da luva isoladora de alumínio igual 
ri 1,0. Todas as cotas apresentadas na figura 2-21 estão 
fcm ( ontímetros.
83
Joel Rocha Pinto
Figura 2-21
R esp .: 994 ,77N
1 1 ) O sistema eletromecânico da figura 2 - 2 2 representa o 
princípio de funcionamento básico de um solenóide e fora 
construído com 2 . 0 0 0 espiras enroladas no material de 
aço silício médio para operar com uma densidade 
magnética no núcleo de 0,8 Wb/m2. Determinar:
a) A força desenvolvida na peça móvel quando o 
entreferro está com G = 5 mm e operando com tensão 
contínua.
b) Qual o valor da tensão contínua a ser aplicada na 
bobina, sabendo que a resistência ôhmica da bobina vale 
3 n .
c) Se a bobina fosse excitada com tensão alternada, qual 
deveria ser o valor da tensão eficaz para obter a mesma 
força média equivalente ao do item a.
d) A energia magnética total armazenada e a energia 
magnética armazenada no entreferro quando o entreferro 
está com G = 5 mm e operando com tensão contínua. 
Todas as cotas apresentadas na figura 2-22 estão em 
centímetros.
84
Conversão Eletromecânica de Energia
PEÇA FIXA
f N
\ \
...JULL
>
O
§
<o
LU
A*
MOLA
y w w .
10
Figura 2-22
Hiwp,:
í») I .2 7 3 N ; b) 9,6 6 V c) 1 .5 0 5 V d) 6 ,4 2 8 J e 6 ,3 6 6 3
I») 0 dispositivo eletromecânico da figura 2-23 apresenta 
iiiim geometria cilíndrica e fora construído por dois 
mntoriais ferromagnéticos diferentes A e B. O material A 
bresenta uma permeabilidade relativa de 4.000 e o 
mniiírial B apresenta uma permeabilidade relativa de 
Í i)()0. Sabe-se que a força de atração entre os dois 
innlorlais é de 51,02 Kgf para um entreferro de 0,5 cm 
ÉUrtiido uma corrente contínua de 3A é aplicada na bobina 
■p N espiras. Admitindo-se que o entreferro em questão 
ft|)n o vácuo, qual o número de espiras da bobina N? 
Considere g = 9,8 m/s2 e todas cotas em centímetros.
85
Joel Rocha Pinto
Figura 2-23
R esp .: 1 .125 espiras
13) O circuito da figura 2-24 representa um soienóide de 
uma válvula automotiva e fora construído com dois tipos 
de materiais, a peça fixa ( 1 ) é de aço silício médio e a 
peça móvel é de liga de ferroníquel.
Essa válvula opera com um fluxo magnético de projeto no 
lado da peça móvel de 2mWb.
O diâmetro de ambas as peças é de 56,4mm, mas o 
comprimento médio é diferente, a peça fixa tem um 
comprimento médio de 2,5cm e a peça móvel tem um 
comprimento médio de 3 cm. O número de espiras é de 
5.500, o que caracteriza uma resistência ôhmica da 
bobina de 0,3 n .
Determinar:
a) A força mecânica desenvolvida na peça móvel quando o 
entreferro está com g = 3 mm e o soienóide é alimentado 
com tensão contínua.
b) Qual o valor da tensão contínua a ser aplicada na 
bobina, sabendo-se que a resistência ôhmica da bobina 
vale 0,3 Q.
c) Se a bobina fosse excitada com tensão alternada, qual 
deveria ser o valor da tensão eficaz para obter a mesma 
força média equivalente ao do item a.
86
Conversão Eletromecânica de Energia
D
figura 2-24
$) 1,290,5N; b) 0 ,21V c) 4 .174 ,8V
H ) O circuito magnético da figura 2-25 é um esquemático 
iU) um relé, constituído de duas partes: fixa e móvel, 
iodas as cotas apresentadas estão em centímetros.
O número de espiras da bobina é de 1 . 0 0 0 e sua 
Insistência ôhmica é de 4 Q.
t tiir.lderando que o núcleo do relé apresenta 
§#iinoabilidade infinita, não existe dispersão do fluxo 
Blgnético ao longo dos enrolamentos e espraimento 
■mynético nos entreferros. Determinar:
■) A lorça eletromecânica desenvolvida na peça móvel 
{IHm um espaçamento nos entreferros de 3 mm, quando é
S'*" nda uma corrente contínua de 1,5 A.| A tensão contínua necessária para desenvolver a força 
iMlomecânica do item a. E qual seria a tensão alternada 
para desenvolver uma força média 
iimuun ladamente igual a do item a?
87
Joel Rocha Pinto
Figura 2-25
R esp .:
a) 5 6 ,7 9N; b) 6Vcc e 85,85Vca
15) O eletroímã da figura 2-26 está sendo alimentado com 
uma corrente elétrica de 5A. A mola exerce uma força de 
50Kgf para manter a peça móvel em uma posição de 
lOmm da peça fixa. Determinar o número de espiras da 
bobina do eletroímã. Desprezar a relutância magnética do 
material do núcleo e considerar todas as cotas 
apresentadas na figura 2-26 em centímetros.
88
Conversão Eletromecânica de Energia
f igura 2-26 
i f ip . : 1.117
lf») A figura 2-27 representa um sistema eletromecânico 
mimposto de duas peças ferromagnéticas, sendo uma fixa 
" .i outra móvel. Ambas são construídas de um mesmo 
Minterial que apresenta uma permeabilidade relativa de 
i DOO. A bobina tem 1.600 espiras e uma resistência 
Ahmlca de 6 Q. Admitindo-se que o entreferro seja 
Conílderado como vácuo e com uma área média de 6 cm2, 
| u comprimento médio das peças ferromagnéticas vale 
St» ( m, determinar:
1) A força mecânica desenvolvida na peça móvel quando o 
uniu ferro está com G = 5 mm e operando com uma 
mu ente contínua de 2A.
10 A força mecânica instantânea e média quando é 
.ida uma corrente alternada (corrente de 
Rlgnetização) I(t) = 2,83 sen(377t - 87,58°) A,
í: | | mr.hlerar o mesmo G = 5mm.
B 0 valor da tensão contínua para o item (a) e o valor da 
Bnhftn alternada eficaz para o item (b). 
ti) <) trabalho mecânico realizado para mover a peça 
wflòvel de GiniCiai = 6 mm para Gfinai = lmm quando uma 
contínua de IA é aplicada na bobina.
89
Joel Rocha Pinto
Figura 2-27
R esp .:
a) 147 ,26N; b) 294,52 sen2(377t-87 ,58°) c) 12Vcc 284,5Vca d) 
0 ,704J
90
vv
Conversão Eletromecânica de Energia
3. Conversores Eletromecânicos - 
Cálculo de Forças e Conjugados
Muitas aplicações de sistemas eletromecânicos 
consistem da utilização de forças desenvolvidas no 
sistema para produção de um movimento de translação ou 
tio um movimento de rotação. É comum denominar esses 
sistemas que produzem movimento de rotação de 
tonversores eletromecânicos. A figura 3-1 permite 
lucilmente verificar que a força desenvolvida na peça 
móvel produzirá um deslocamento da mesma em função 
d i sua posição angular em relação à peça fixa. Portanto 
um conjugado eletromagnético é desenvolvido no sistema.
Por analogia ao sistema eletromecânico da figura 
I é possível definiro balanço de energia da seguinte 
maneira:
Joel Rocha Pinto
Energia Elétrica 
Liquida
Energia Mecânica
Total
j + (Variação da Energia Magnética)
[3-1]
AWe = Trabalho Mecânico + À Wmag. [3.2]
E sabendo que:
Trabalho Mecânico = Tmec = AWmag. [3.3]
Pode-se afirmar que:
Trabalho Mecânico = rmec = Celetro.d6 = AWmag.
[3 .5]
Assim, tem-se o conjugado eletromagnético 
desenvolvido no conversor:
Ou, em analogia com a equação 2.23:
Para o conversor eletromecânico da figura 3-1, 
pode-se obter o conjugado eletromagnético da seguinte 
forma:
I a Hipótese:
Sar = Sperro/ ou seja, não há espraimento de fluxo 
magnético.
2a Hipótese:
Circuito magnético não saturado:
PFerro'> ^ M-ar
[3.7]
92
..
Conversão Eletromecânica de Energia
IFerro ^ lar 
F^erro = Saj-
Portanto:
Ferro ^ ^ < *^ar 
•^ Total~*^ ar
3a Hipótese:
Dispersão do fluxo magnético é desprezível.
M-o = Par
Voltando na equação 3.7 e sabendo que:
N 2
L =
01
Pode-se dizer que: 
L = N \ P 
Onde:
1
[3.8]
[3.9] 
[3.10]P = —
P = é a permeância magnética do circuito, sendo o 
Inverso da relutância magnética.
Hiv
Substituindo a equação 3.9 na equação 3.7, tem-
r - 1 -2 j n 2-p
eletro ndO
N 2.i2 P
e,etro 2 de
A relutância magnética total do circuito vale:
[3.11]
01 = L ,
Mar'^ a
[3.12]
Logo, a permeância magnética total do circuito
93
Joel Rocha Pinto
p = M a r - S a ,. [ 3 . 1 3 ]
Para uma posição qualquer de x na figura 3-1, em 
seu dx, tem-se:
tdX r ^ . . - 1dP = H ,.- — [3 .14]
x.O
Para se obter as permeâncias dos entreferros na 
figura 3-1 e necessário fazer:
P = jd P [3.15]
No entreferro superior a permeância Pi 2 é:
p = ? / V dx
12 J e ' x
X\
P12 = •[ln X2 ln ] [3.16]
6
12 e %,
Analogamente, no entreferro inferior, a permeância
P34 é:
PM = ik £ . in £ t [3.17]
(9 x3
No circuito magnético, sabe-se que:
* W = * l2 + *3 4 t3-18]
1 1 1+ — [3.19]
? P Pr Total 12 34
P P
Pr , , = 1-2‘ -34- [3.20]roto/ p p
12 ^ 34
Substituindo as equações 3.16 e 3.17 na equação 
3.20, tem-se:
94
Conversão Eletromecânica de Energia
P =1 Total
f mJ ' f
l o - ,
Í mJ )
f
e J V
i , r T' .b v-
X , X 3 7
ln — + ln —
X, X 3
Total
l^n — .ln — ^
[3.21]
\
V x, X 3 7
ln
í \x0 x.
V X) *3 7
O termo K, a seguir, é uma constante em função 
l i * i «iracterísticas físicas do circuito magnético:
( x r N 
ln — .ln —
V
X , X
^ X-, X . ^
[3.22]
ln
V X , * 3 7
Assim, a permeância total do circuito fica 
K
P -1 Total 0
[3.23]
Substituindo a equação 3.23 na equação 3.11,
iii
2 - 2
1'lctro
N À
.d—2 de
(
'ortanto:
- K .N 2.i2
flctro 2.0
N \ i2 d_(K^ 
2 ’ dOyO j
[3.24]
[3.25]
'•c o conversor eletromecânico da figura 3-1 é 
■II mio com tensão contínua, o comportamento do
ShjUiH-lo eletromagnético desenvolvido ficará em função Hfidrado da posição angular 9, uma vez que a corrente
95
BPPWWBWIIBIWlinwnBwnwTiiwiiiii .. ..
Joel Rocha Pinto
elétrica em regime permanente depende apenas da 
resistência ôhmica dos enrolamentos. Este 
comportamento está sendo representado na figura 3-2.
Figura 3-2: Comportamento do conjugado
eletromagnético desenvolvido em função do ângulo 0 .
3.1 Conversor Eletromecânico Excitado com
Corrente Alternada
Caso o conversor eletromecânico da figura 3-1 seja 
excitado com tensão alternada, de modo que a corrente 
elétrica na bobina seja:
/ ( ') = r««-.-COSHV
O conjugado eletromagnético desenvolvido pode 
ser expresso, tal que:
c - « ( f ) = — [ 3 ' 2 7 ]
Para esse conversor então, o conjugado 
eletromagnético instantâneo, fica:
= ~ K 'N2 gl MÀX -eos2 wt [3.28]
Para um determinado 0 constante é possível 
escrever:
96
Conversão Eletromecânica de Energia
e^letro ( 0 M^ÁX.' [3.29]
O valor médio do conjugado eletromagnético é 
cinflnldo por:
A figura 3-3 apresenta o comportamento do 
"•niugado eletromagnético instantâneo do conversor.
Nyura 3-3: Comportamento do conjugado
flHmiriagnético instantâneo.
Em corrente alternada, a corrente elétrica que 
«iin. rnta a bobina depende da tensão alternada aplicada e 
l | Impedância do circuito, ou seja:
Onde:
f XL = wL = reatância indutiva 
Conforme a equação 3.8, tem-se a dependência da 
lulAncia do circuito pela posição angular do entreferro
[3.30]
Assim:
C ■MAX. [3.31]2.0,2
c .MED IO [3.32]2
t nlotro(t)
t
[3.33]
*nndo:
97
Joel Rocha Pinto
[3.34]
Dessa forma, a corrente elétrica é proporcional à 
posição angular 9. O gráfico da figura 3-4 apresenta o 
comportamento da corrente elétrica da bobina do 
conversor eletromecânico da figura 3-1, para os 
movimentos de abertura e fechamento do entreferro, 
sendo a bobina energizada com uma tensão alternada 
constante.
Conjugado
ÍCA a
Transitório 
de Abertura
Transitório 
de Fecham ento
0
O
0 2 > 0 I t
Figura 3-4: Representação da corrente elétrica para os 
transitórios de abertura e fechamento do entreferro.
Conversão Eletromecânica de Energia
1.2 Balanço de Energia nos 
i letromecânicos com Dupla Excitação
Conversores
A lei da conservação de energia pode ser aplicada 
nos conversores eletromecânicos das figuras 3-5, 3-6 ou 
l /. Percebe nas figuras mencionadas o fluxo de energia 
mpresentado para o conversor eletromecânico operando 
tomo motor elétrico, gerador elétrico e na condição de 
fionagem, que poderá ser regenerativa, se a fonte elétrica 
moitar o retorno de energia, ou simplesmente pode ser 
um freio dissipativo, com introdução de energia elétrica e 
mocânica.
Perdas
Elétricas
Perdas
Mecânicas
Aw magnética Aw mecânica a w elétrica 
armazenada armazenada armazenada
Ngura 3-5: Fluxo de energia para um motor elétrico.
Perdas
Elétricas
Perdas
Mecânicas
Aw magnética Aw mecânica Aw elétrica 
armazenada armazenada armazenada
hdtirn 3-6: Fluxo de energia para um gerador elétrico.
Joel Rocha Pinto
Perdas Perdas
Elétricas Mecânicas
Aw magnética Aw mecânica Aw elétrica 
armazenada armazenada armazenada
Figura 3-7: Fluxo de energia para um freio.
Para análise do balanço de energia, será utilizado o 
conversor eletromecânico na condição de frenagem. 
Sendo que essa análise serve para as condições de motor 
e gerador. Será convencionado que a energia elétrica ou 
mecânica introduzida no conversor como positiva e a 
energia retirada como sendo negativa.
Para o entendimento da análise, considera-se o 
conversor eletromecânico na condição de frenagem 
apresentado na figura 3-7 como um conversor genérico 
com dois enrolamentos, conforme a figura 3-8.
Parte Fixa
Celetro, Wr
P a r t e M ó v e l
Figura 3-8 : Conversor genérico com dois enrolamentos
100
Conversão Eletromecânica de Energia
Dessa forma, tem-se:
I inrgia Elétrica 
Introduzida no 
i nnversor
Energia Mecânica ' 
Introduzida no 
Conversor
Variação da 
Energia Magnética 
armazenada no 
acoplamento )
 ^ í Energia 
Perdida 
na forma 
de Calor )
[3.35]
Wintro. + EM intro. = àWmag + Perdas Mecânicas + Perdas Elétricas
[3.36]
Em um intervalo de tempo dt, tem-se o seguinte 
Uilanço de energia:
1M W + d E M m ,o . = dWmag + dPerdasMecãnicas + dPerdasElélrlcas
[3.37]
Isolando os diferenciais de energia mecânica, fica:
•/; r i„in, ~ dPerdasmricas - dWmag = -dEM lnlr0 + dPerdasMecãnicas
[3.38]
" d P e r d a S Elétricas ~ dWtflüg = d E M mtrada + dPerdaSMecânicas
i„n . - dP erdasmricas - dW m ag = dE M TOTAL
[3.39]
[3.40]
S »
»
terminando o diferencial da energia elétrica 
111C) ÓUZida (dEEintroc)uzida) *
d E E huro. = E E létrica lntro. [ 3 - 4 1 ]
[3.42]P,Elétrica In tro. = V , + v, i2 U2
Joel Rocha Pinto
Assim Vi e v2 ficam:
_ d l . d L , , dL