Aula 10 - Sistemas Hídricos

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Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
1
 
 
 
 
Modelagem Matemática de 
Sistemas Hidráulicos 
 10 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Os fluidos, estejam na forma líquida ou gasosa, constituem os meios mais versáteis para a transmissão de 
sinais e de potência, sendo largamente empregados na indústria, principalmente em processos químicos, 
sistemas automáticos de controle, atuadores, automação de máquinas, etc. Os sistemas fluidos são 
normalmente interconectados a sistemas mecânicos através de bombas, compressores, válvulas e 
cilindros. Uma turbina acionada por água e usada para movimentar um gerador elétrico é um exemplo em 
que interagem elementos hidráulicos, mecânicos e elétricos. 
 
Basicamente, líquidos e gases podem ser diferenciados por suas compressibilidades: um líquido é 
considerado praticamente incompressível, ao passo que um gás deforma-se facilmente com a mudança de 
pressão. Além disso, um líquido pode apresentar uma superfície livre, enquanto que um gás expande-se de 
modo a ocupar totalmente o seu reservatório. Vamos utilizar o termo sistema hidráulico para descrever 
sistemas que usam um líquido como fluido de trabalho e sistema pneumático para sistemas que utilizam 
um gás como fluido de trabalho. 
 
Uma análise exata de um sistema hidráulico usualmente não é viável, por causa da sua natureza 
distribuída (propriedades distribuídas ao longo da massa) e não linear (resultando em modelos 
matemáticos não lineares). Contudo, na maioria dos casos, a operação de um sistema hidráulico se dá nas 
proximidades de um ponto de operação, de modo que ele pode ser linearizado em torno desse ponto, o 
que faz com que obtenhamos modelos lineares em termos de variáveis incrementais. 
 
Tendo em vista que os sistemas hidráulicos envolvem o escoamento e a acumulação de líquidos, as 
variáveis usadas para descrever o seu comportamento dinâmico são a vazão volumétrica [m3/s], o volume 
[m3], a altura de líquido [m] e a pressão [N/m2] (ou [Pa]). 
 
Devido a sua grande importância, dividiremos o estudo dos sistemas hidráulicos em dois grandes ramos: 
 
(a) Sistemas de nível de líquido; 
(b) Sistemas servo-hidráulicos. 
 
Algumas características dos líquidos que indicam sua aplicação são: positividade, precisão, flexibilidade 
de uso, alta relação potência/peso, rápidas partida e parada, reversão de movimento com suavidade e 
precisão. Por esse motivo, o conhecimento de sistemas hidráulicos é básico na formação de engenheiros, 
principalmente engenheiros mecânicos, químicos e de controle e automação. 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
2
A maior parte dos sistemas hidráulicos é não-linear. Às vezes, contudo, é possível linearizar tais 
sistemas, de modo a reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam ainda suficientemente 
precisas. Nos exemplos que veremos será mostrada uma técnica de linearização usando o desenvolvimento 
em Série de Taylor. 
 
Um estudo mais detalhado dos componentes de um sistema servo-hidráulico será feito nas disciplinas de 
Sistemas Fluidomecânicos, Controle Hidráulico e Pneumático e Laborat6rio de Controle Hidráulico e 
Pneumático. Aqui, portanto, serão apresentados apenas os conceitos básicos necessários para o 
entendimento da sua modelagem matemática. 
 
 
2 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM SISTEMA HIDRÁULICO 
 
Os sistemas hidráulicos exibem três tipos de propriedades que podem ser aproximadas por parâmetros 
concentrados: resistência, capacitância e inertância. Apresentaremos apenas as duas primeiras 
propriedades, já que a inertância, que leva em conta a energia cinética do líquido, normalmente é 
desprezível para as baixas velocidades encontradas industrialmente. 
 
 
RESISTÊNCIA HIDRÁULICA 
 
Quando um líquido escoa em uma tubulação, dá-se uma queda na pressão do líquido ao longo da mesma, 
devida ao atrito com as paredes da tubulação, a qual é conhecida como perda de carga normal. Também 
ocorre uma queda de pressão sempre que o líquido passa através de acidentes, tais como curvas, válvulas, 
orifícios, restrições, alargamentos, contrações, etc., a qual recebe o nome de perda de carga acidental. 
Tais quedas de pressão normalmente são descritas por expressões algébricas não lineares que relacionam 
a vazão volumétrica com a queda de pressão. Por exemplo, a expressão 
 
(1) PkQ ∆= 
 
descreve razoavelmente bem a relação entre a vazão volumétrica Q e a queda de pressão ∆P no caso de 
um escoamento turbulento de um líquido através de um orifício ou de uma válvula como a ilustrada na 
fig. 1: 
 
 Fig. 1 
 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
3
Na eq. (1), k é uma constante que depende das características do escoamento, da tubulação, válvula ou 
orifício, a qual deve ser obtida experimentalmente. Uma representação gráfica da eq. (1) é mostrada na 
fig. 2, onde ( ) é o ponto de operação: 
−−
∆ Q,P
 Fig. 2 
 
Como a eq. (1) é uma relação não linear, devemos linearizá-la em torno do ponto de operação, a fim de 
obter um modelo matemático linear para o sistema hidráulico. Para isso, traçamos uma tangente à curva 
no ponto de operação (ver fig. 2) e definimos como resistência hidráulica R o inverso da inclinação dessa 
tangente, ou seja: 
 
(2) =
dQ1
−
∆∆ PPdR 
 
Desenvolvendo a eq. (1) em série de Taylor em torno do ponto de operação e retendo apenas os termos 
lineares: 
(3) )PP(
Pd
dQ
P
−
∆
−
∆−∆
∆
+
−
QQ = 
 
Podemos, agora, definir as variáveis incrementais Q como 
^^
P e ∆
(4a) 
−
−= QQQ
^
(4b) 
−
∆−∆=∆ PPP
^
 
Levando as eqs. (2), (4a) e (4b) na eq. (3) obtemos: 
 
^
^
Q
PR ∆=(5) 
 
 
Por outro lado, a eq. (1) pode ser aplicada no ponto de operação, logo: 
−−
∆= PkQ 
Derivando e usando a eq. (2), chegamos a 
(6) 2
 
Podemos, também, exprimir R em termos de . Para isso, da eq. (1) obtemos 
−
Q
k
PR
−
∆
=
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
4
 
 
−−
∆= PkQ 
que, levada na eq. (6), nos permite chegar a 
2k
Q2R
−
=
 
(7) 
 
Os sistemas hidráulicos típicos são compostos por tubulações, válvulas, orifícios, etc., sendo que tais 
elementos possuem suas resistências hidráulicas. Assim, muitas vezes necessitamos combinar tais 
resistências hidráulicas em série e/ou paralelo, de modo que é extremamente útil desenvolver expressões 
para essas associações. 
 
Associação série 
 
Consideremos a fig. 3, na qual temos duas válvulas de constantes ka e kb e resistências hidráulicas Ra e Rb 
em série, assim como uma válvula equivalente de constante keq e resistência hidráulica Req. Queremos 
achar keq e Req. 
 Fig. 3 
 
Tendo em vista que as duas válvulas estão em série, elas têm a mesma vazão volumétrica Q, sendo que a 
diferença total de pressão é (usando a eq. (1)): 
 
 ∆P = ∆Pa + ∆Pb = 22
b
2
a
Q)
k
1
k
1( + 
donde obtemos P
kk
kk
Q
2
b
2
a
ba ∆
+
= 
 
Comparando essa última expressão com a eq. (1), vemos que 
 
(8) 
2
b
2
a
ba
eq
kk
kk
k
+
=
 
 
Aplicando a eq. (7) para a válvula equivalente: 
 



+=
−
−
2
b
2
a
2
eq
eq k
1
k
1Q2
k
Q
=
2R 
 
Por outro lado, aplicando a eq. (7) para as válvulas a e b: 
 2
b
b2
a
a k
Q2R e 
k
Q2R
−−
== 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
5
o que permite concluir que
(9) 
 
que é a mesma expressão
analogia eletro-hidráulic
 
(10) 
 
 
Associação paraleloPodemos nos valer da 
simplesmente que a resist
 
(11) 
 
 
 
 
CAPACITÂNCIA HIDRÁ
 
Quando um líquido é arma
de líquido e a pressão no
função A(h), onde h é a a
volume de líquido é dado p
(12) 
 
onde λ é uma variável mud
 
Por outro lado, a pressão 
 
(13) 
 
onde Pa é a pressão atmos
g é a aceleração da gravid
 
As eqs. (12) e (13) estão l
P e V. A fig. 4 mostra uma
 
 
 
 
 
 
 
 
Req = Ra + Rb 
 para resistências elétricas em série, o que vem mostrar a existência de uma 
a. Generalizando a eq. (9) para n resistências hidráulicas em série: 
 ∑=R
=
n
1i
ieq R
conclusão anterior sobre a analogia eletro-hidráulica para estabelecer 
ência hidráulica equivalente a n resistências hidráulicas em paralelo é dada por 
 
=R
∑
=
n
1i i
eq
R
1
1
ULICA 
zenado em um reservatório aberto, existe uma relação algébrica entre o volume 
 fundo do reservatório. Se a área da seção reta do reservatório é dada pela 
ltura da superfície livre do líquido em relação ao fundo do reservatório, então o 
or 
 ∫ λλ= h0 d)(AV
a usada na integração. 
absoluta no fundo do reservatório e a altura de líquido h estão relacionadas por 
P = Pa + ρgh 
férica (nas condições normais de temperatura e pressão Pa = 1,013 x 105 N/m2), 
ade (usualmente g = 9,81 m/s2) e ρ é a massa específica do líquido em kg/m3. 
igadas pela variável h, de modo que é possível obter uma relação não linear entre 
 curva característica típica dessa relação: 
 
 
Fig. 4 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
6
 
 
 
Para linearizar tal relação, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 4) e definimos 
como capacitância hidráulica C o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja: 
 
 
(14) dP
1C = 
dP
dV
dV
=
 
 
A partir da regra de cadeia da derivação, podemos escrever 
 
(15) 
dP
dh
dh
dVC = 
 
Por outro lado, da eq. (12) tiramos dV/dh = A(h) e da eq. (13) obtemos dh/dP = 1/ρg, de modo que 
podemos rescrever a eq. (15) como 
 A
g
)h(C
ρ
=(16) 
 
 
Da eq. (16) podemos verificar facilmente que a unidade SI de C é [m5/N]. 
 
No caso de reservatórios com seção reta constante A, a eq. (12) reduz-se a V = Ah, de modo que 
podemos substituir h = V/A na eq. (13) para obter 
 
(17) aPVA
g
+P
ρ
= 
 
que é a equação de uma reta, conforme mostra a fig. 5: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 5 
 
Da definição de capacitância podemos facilmente obter, para esse caso: 
 
(18) C
g
A
ρ
=
 
Modelagem Matem
 
 
O volume ins
que entra no 
 
 
 
Derivando, ob
 
(19) 
 
que nada mais
 
 
 
 
 
No caso de r
temporal da a
 
 
 
onde dV/dt é
a 
(20) 
 
 
Da mesma fo
reservatório 
 
 
 
onde dV/dt é
 
 
(21) 
 
onde C(h) é d
 
 
Exemplo: Co
contem um líq
(a) e (b) da f
ática de Sistemas Hidráulicos 
7
tantâneo de líquido em um reservatório é dado pela integral da vazão volumétrica líquida 
reservatório, somada ao volume inicial, ou seja: 
 λλ−λ+= ∫ d)](Q)(Q[)0(V)t(V ot0 i
temos uma forma alternativa: 
 Q(t) = Qi(t) - Qo(t) 
 é do que a equação da continuidade para um fluido incompressível: 
A vazão instantânea é igual à vazão que entra menos a vazão que sai do 
reservatório 
eservatórios com seção reta variável A(h), podemos obter uma expressão para a variação 
ltura h a partir da regra de cadeia da derivação: 
 
dt
dh
dh
dV
dt
=
dVQ = 
 dada pela eq. (19) e dV/dh é dada por dV/dh = A(h). Logo, podemos isolar dh/dt para chegar 
 1h
.
= )]t(Q)t(Q[
)h(A oi
−
rma, podemos obter uma expressão para a variação temporal da pressão P no fundo do 
a partir da regra de cadeia da derivação: 
 
dt
dP
dP
dV
dt
dVQ == 
 dada pela eq. (19) e dV/dP = C(h). Logo, podemos isolar dP/dt para chegar a 
 P
.
= )]t(Q)t(Q[
)h(C
1
oi −
ada pela eq. (16). 
nsideremos um reservatório formado por um cilindro de diâmetro D e comprimento L que 
uido de massa específica ρ. Achar a capacitância hidráulica do reservatório para as posições 
ig. 6. 
 
Fig 6
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
8
 Solução 
 
(a) Nesta configuração A = constante = πD2/4, logo podemos usar a eq. (18): 
 
 
g4
D
g
AC
2
a ρ
π
=
ρ
= 
 
(b) Agora, A varia com a altura h. Do triângulo OAB, ilustrado na fig. 7, podemos tirar: 
 
 
22
22
)]hD(
2
D[)
2
D(
2
y
OAOBAB
−−−=
−=
 
 
Após simplificações: 2hDh2Y −= 
 
Usando a eq. (16): 
 
 
g
hDhL2
g
yL
g
)h(AC
2
b ρ
−
=
ρ
=
ρ
= 
 
 
 Fig. 7 
3 FONTES DE ENERGIA HIDRÁULICA 
 
Na imensa maioria dos sistemas hidráulicos industriais a fonte de energia é uma bomba, a qual 
normalmente é acionada por um motor elétrico. A representação simbólica de uma bomba está mostrada 
na fig. 8: 
 
 
 
Relações típicas obtidas experimentalmente entre a diferença de pressão ∆P e a vazão volumétrica Q 
estão mostradas na fig. 9 para diferentes velocidades de rotação da bomba. Podemos notar, na fig. 9, a 
não linearidade de tais relações. 
Fig. 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9 Fig. 10 
 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
9
Para fazer a linearização, devemos inicialmente determinar o ponto de operação para a velocidade de 
rotação em regime permanente, calculando os valores de ∆ , conforme ilustra a fig. 10. Após, 
traçamos a tangente a curva no ponto de operação, e definimos a sua inclinação como sendo - K, a qual 
tem unidades [N.s/m
-
Q e P
−
5] no SI. Tendo feito isso, podemos exprimir a diferença de pressão incremental em 
termos da vazão volumétrica incremental como 
(22) 
^^
QKP −=∆
 
onde K é sempre positiva. Resolvendo a eq. (22) para , obtemos 
^
Q
(23) 
^^
P
K
1 ∆Q −= 
 
Para obter a relação linear dada pela eq. (23) podemos desenvolver Q em série de Taylor retendo apenas 
os termos lineares: 
(24) )PP(
Pd
dQ
P
−
∆
−
∆−∆
∆
+
−
QQ = 
 
Comparando as eqs. (23) e (24), vemos que 
−
∆∆ PPd
dQ é a inclinação da tangente à curva Q = Q(∆P) no ponto 
de operação, dada por -1/K. 
 
 
 
 
4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO 
 
Vamos considerar um exemplo ilustrativo. 
 
 
Exemplo Ilustrativo: Seja o sistema de nível de líquido simples da fig. 11: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 11 
 
 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
10
Sendo a vazão volumétrica na saída da válvula, Qo(t), dada pela relação não linear ao PPk −=Q onde P 
é a pressão absoluta no fundo do reservatório e Pa é a pressão atmosférica, desenvolver um modelo 
matemático linearizado para o sistema, sendo a entrada Qi(t) e a saída P(t). 
 
Solução 
 
Como a seção reta do reservatório é constante, temos C(h) = constante = C, logo a eq. (21) se torna 
 
 )]t(Q)t(Q[
)h(C oi
.
−
1P = 
 
Aplicando a eq. (1) à válvula de saída, ao PPkQ −= 
logo 
(25) ]PPk)t(Q[C
1
ai
.
−−=P 
 
Para linearizar o modelo, vamos desenvolver a eq. (25) em série de Taylor, retendo apenas os termos 
lineares: 
 )QQ(]]PPk)t(Q[
C
1[
dQ
dPP i
_
i
Q
ai
i
_.
i
_
.
−


−−+= 
 
Podemos rescrever a equação acima em termos das variáveis incrementais 
 
(26) = PP 
−
− P
^
(27)−
−= ii
^
i Q)t(Q)t(Q
 
obtendo 
(28) i
^
Q
ia
i
^
Q
a
i
^
Q)
dQ
dP
PP2
1k1(
C
1Q)]PPk(
dQ
d1[
C
1
i
_
i
_
.




−
−=


−−=P 
Por outro lado, P e Qi devem satisfazer a eq. (1), isto é 
 
 ai PPkQ −= 
donde tiramos 
 
2
i2a Qk
1PP += 
Derivando a equação acima em relação a Qi: 
(29) i2
i
Q
k
2
dQ
dP
= 
Levando a eq. (29) na eq. (28): 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
11
(30) i
^
a
i
_
i
^
Q
i
a
^
Q)
PPk
Q
1(
C
1Q)Q
k
1
PP
11(
C
1
i
_
.
−
−=



−
−=P 
 
Multiplicando a eq. (30) RC: 
 i
^
a
i
_
i
^
i
^
a
i
_
^
Q
PPk
Q
RQRQ)
PPk
Q
1(RPRC
.
−
−=
−
−= 
 
Levando em conta a eq. (1) aplicada ao ponto de operação e a eq. (5) (definição de R), temos 
 
 
i
_
i
_
^
i
^
i
^
a
i
_
i
^
^
i
^^
Q
Q
PQRQ
PPk
Q
Q
PQRPRC
.
−=
−
−= 
 
donde chegamos ao modelo linearizado em termos das variáveis incrementais: 
 
)t(QRPPRC i
^^
.
^
=+
(31) 
 
 
que é uma EDOL de 1a ordem, não homogênea. Notemos que o produto RC tem dimensão de tempo e é 
definido como a constante de tempo do sistema: 
 
(32) τ = RC 
 
Podemos escrever a eq. (31) em termos de Qo Para isso, basta derivar a eq. (29) em relação ao tempo e 
substituir na eq. (31), donde obtemos 
 
)t(QQQRC i
^
o
^
o
.
^
=+
(33) 
 
 
que é também uma EDOL de 1a ordem, não homogênea. Podemos observar que o sistema de nível de líquido 
é análogo ao circuito elétrico e ao sistema mecânico das fig. 12 e 13, respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 12 Fig. 13 
 
cujo modelos matemáticos são dados respectivamente pelas EDOL's 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
12
 
(34) (35) ee
de
RC =+ iodt
o ioo
.
xxx
k
c
=+ 
 
 
 
Comparando as eqs. (33), (34) e (35), temos a seguinte analogia eletro-mecânica-hidráulica: 
 
Sistema Hidráulico Sistema Elétrico Sistema Mecânico 
R R b 
C C 1/k 
i
^
Q 
ei xi 
o
^
Q eo xo 
 
 
 
 
5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS SERVO-HIDRÁULICOS 
 
Será ilustrada através de exemplos. 
 
Exemplo Ilustrativo 
 
A fig. 14 mostra um servo-hidráulico consistindo de uma válvula deslizante de controle e de um cilindro 
hidráulico, o qual constitui a unidade de potência do sistema. Os parâmetros do sistema envolvidos são: 
 
ps = pressão manométrica (acima da pressão atmosférica) de serviço, [Pa]; 
po = pressão manométrica de retorno, [Pa]; 
p1 e p2 = pressões manométricas nas tubulações 1 e 2, respectivamente, [Pa]; 
q1 e q2 = vazões mássicas nas tubulações 1 e 2, respectivamente (saídas do sistema), [kg/s]; 
x = deslocamento da válvula deslizante (entrada do sistema), [m]; 
y = deslocamento do pistão de potência, [m]; 
A1 e A2 = áreas dos orifícios 1 e 2, respectivamente, [m2]; 
c1 = c2 = c = coeficientes de descarga dos orifícios; 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
13
 
 
Fig. 14 
 
 
 
Hipóteses simplificadoras (HS): 
 
(1) a válvula "fecha" perfeitamente os orifícios, não havendo nem sobrepassagem e nem subpassagem, 
em relação ao orifício; 
(2) as áreas dos orifícios 1 e 2 são proporcionais ao deslocamento x da válvula (a entrada do sistema); 
(3) os coeficientes de descarga dos orifícios e a queda de pressão através dos orifícios são 
constantes, não dependendo da posição da válvula, ou seja, não dependem de x; 
(4) a pressão de retorno po é muito pequena, podendo ser considerada nula, já que o ó1eo vai para um 
reservatório que normalmente está aberto à atmosfera, i.é, po = 0; 
(5) o fluido hidráulico (ó1eo) é considerado incompressível, i.é., o seu peso específico é assumido como 
constante: γ = constante; 
(6) as forças de inércia e de atrito viscoso são desprezíveis na presença da força hidráulica 
desenvolvida pelo pistão hidráulico; 
(7) as vedações do cilindro hidráulico e da válvula são perfeitas, não havendo passagem de ó1eo de um 
lado para o outro dos pistões. 
 
Vamos obter a função de transferência do sistema, considerando como entrada o deslocamento x da 
válvula de controle e como saída a vazão volumétrica de óleo q1. Devido à HS2: 
 
 A1 = A2 = kx 
 
onde k é uma constante de proporcionalidade. A vazão através dos orifícios (ver textos de Mec Flu) é 
dada por: 
 
xpg2ckpg2cA)pp(g2cAq
xppg2ck)pp(g2cAq
222o222
1s1s11
γ
=
γ
=−
γ
=
−
γ
=−
γ
=
 
 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
14
Fazendo ck
 
Temos: 
 
Da Equação da Continuidade: 
 
Logo 
 
Definindo a queda de pressão no pistão como 
 
 
 
então p1 = ps
 
 p1
 
Também p2
 
E a vazão q1 pode ser dada por 
 Cq1 =
a qual é uma função não-linear. Vamos li
0q e 0p ,0x 1
___
==∆= , usando a Série de Taylor
 
 
p
f)xx(
x
fqq
__
11 ∆∂
∂
+−
∂
∂
+=
 
onde as derivadas parciais são obtidas no ponto
 
 
2
Cx
p
f
pC
x
f s
=
∆∂
∂
=
∂
∂
Logo: 
 q1 =
 
Chamando C
2
ps = c
Então: 
γ
g2 = constante = C 
xpCq
xppCq
22
1s1
=
−=
 
 q1 = q2 
ps – p1 = p2 
∆p = p1 - p2 
 – p2 = ps – p1 + ∆p 
 = (ps + ∆p)/2 
 = (ps - ∆p)/2 
)p,x(fx
2
pps ∆=∆− 
nearizar a equação em torno do ponto de operação 
 e retendo apenas os termos lineares: 
)0p(
p
f)0x(
x
f0)pp(
_
−∆
∆∂
∂
+−
∂
∂
+=∆−∆ 
 de operação (0, 0, 0), ou seja: 
0)
2
1(
2
pp
11
2
pC
2
p
)0,0,0(
s
s
)0,0,0(
=−
∆−
=
∆−
 
 C
2
ps x 
onstante = Kp 
q1 = Kp x 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
15
(36) 
 
Em termos de função de transferência: Q1(s) = Kp X(s) 
Logo 
(37) G(s) = 
)s(X
)s(Q1 = Kp 
 
O que mostra que a saída é diretamente proporcional à entrada: 
 
 
Vejamos o que ocorre se for escolhida como saída o deslocamento do pistão hidráulico, y(t). A 
Equação da Continuidade aplicada ao cilindro hidráulico permite que escrevamos: 
 
 q1 = ρA dt
dy 
 
onde ρ = γ/g é a massa específica do fluido hidráulico, [kg/m3] 
 A = área do pistão hidráulico, [m2] 
 
dt
dy = velocidade do pistão hidráulico, [m/s] 
 
Como já vimos (eq. (36)) que q1 = Kpx 
 
então ρA
dt
dy = Kpx 
donde dy = 
A
Kp
ρ
xdt 
Chamando 
A
Kp
ρ
 = constante = Ki 
 
então dy = Kixdt 
e 
 y = Ki ∫ xdt 
Em termos de função de transferência: 
 
 Y(s) = Ki )s(Xs
1 
donde 
(38) 
s
K
)s(X
)s(Y)s( i==G 
 
o que mostra que o deslocamento y(t) (a saída) é proporcional à integral do deslocamento x(t) (a entrada):Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
16
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Ilustrativo 
 
Seja o sistema hidráulico mecânico da fig. 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 15 
 
Serão adotadas as mesmas HS anteriores, com exceção das HS5 e HS7, ou seja, agora 
 
o fluido apresenta uma certa compressibilidade 
existe passagem entre os pistões e os cilindros 
 
Além disso, a HS6 só valerá em parte, devendo ser 
 
considerada a força de iné cia do pistão hidráulico, cuja massa será acrescentada à massa do sistema 
mecânico, ou seja, m repres nta as duas massas. 
 
A obtenção do modelo mate
 
 
Sistema hidráulico 
 
Conforme já foi visto, a vaz
 
(36) 
 
Por outro lado, a vazão q po
r
e
mático é feita separadamente para os sistemas hidráulico e mecânico. 
ão q é dada, após linearização, por 
 q = Kpx 
de ser considerada como composta de 3 parcelas: 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
17
 
(39) q = qo + qL + qC 
 
onde qo = vazão útil, que move o pistão 
 qL = vazão através da folga entre pistão e cilindro 
 qC = vazão equivalente à compressibilidade 
 
Expressões para qo, qL e qC: 
 
• Equação da Continuidade aplicada ao pistão hidráulico: 
 
(39) qo = A ρ dy/dt 
 
• A componente qL pode ser escrita como 
 
(40) qL = L ∆p 
 
onde L = coeficiente de vazamento do sistema (constante) 
 
• Para obter qC, temos que levar em conta o módulo de expansão volumétrica: 
V
dV
pdKc
−
∆
=
onde V é o volume de óleo sob compressão (notemos que como dV é negativa, o sinal (-) faz com que KC 
seja positivo). Então: 
pd
K
VdV
c
∆=−
dt
pd
K
V
dt
dV
c
∆ρ
=
−ρ
 
(41) q
dt
pd
K
V
c
c
∆ρ
=
 
 
Levando as eqs. (38), (39), (40) e (41) na eq. (36), obtemos: 
 
(42) A xK
dt
pd
K
VpL
dt
dy
p
c
=
∆ρ
+∆+ρ
 
Sistema mecânico 
 
Por outro lado, a equação diferencial do sistema mecânico acionado pelo cilindro hidráulico é obtida 
aplicando-se a 2a Lei de Newton: 
2
2
2
2
y dt
yd
mky
dt
dy
cpA
dt
yd
mF =−−∆⇒=∑
 
 
 
 
onde A ∆p é a força desenvolvida pelo pistão hidráulico. Então: 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
18
 
(43) d(1=∆ )ky
dt
dy
c
dt
y
m
A
p 2
2
++
 
Derivando em relação ao tempo: 
 
)
dt
dy
k
dt
yd
c
dt
yd
m(
A
1
dt
pd
2
2
3
3
++=
∆(44) 
 
 
Sistema hidráulico-mecânico 
 
Levando as eqs. (43) e (44) na eq. (42): 
 
xK)
dt
dy
k
dt
yd
c
dt
yd
m(
AK
V)ky
dt
dy
c
dt
yd
m(
A
L
dt
dy
A p2
2
3
3
c
2
2
=++
ρ
++++ρ
 
 
 
 
Ordenando, chegamos ao modelo matemático constituído por uma EDOL de 3a ordem: 
 
 
xKy
A
Lk
dt
dy
)
AK
Vk
A
cLA(
dt
yd
)
A
Lm
AK
Vc(
dt
yd
AK
Vm
p
c
2
2
c
3
3
c
=+
ρ
++ρ++ρ+ρ
 
(45) 
 
 
 
Exemplo Ilustrativo 
 
Como um terceiro exemplo, consideremos o atuador hidráulico da figura 16: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O atuador hidráulico é capaz de fornecer grandes aumentos de potência. O fluido hidráulico está 
disponível a partir de uma fonte de pressão constante. Considera-se o líquido incompressível. Um 
deslocamento x(t), para baixo, move a válvula de controle e faz com que o líquido force o pistão para 
baixo, levando a carga M a deslocamentos maiores, y(t). A vazão volumétrica Q é função do deslocamento 
x(t) (excitação) e da diferença de pressão nas faces do pistão, P: 
Fig. 16 
 
(46) Q )P,x(g=
 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
19
Linearizando a eq. (46) pela série de Taylor: 
 (47) P
P
g
x
x
g
)PP(
P
g
)xx(
x
g P
x,P
x
P,x
0
P
x,P
0
x
P,x 00000000
∂
∂
+
∂
∂
=−
∂
∂
+−
∂
∂
=Q 
onde (x0,P0) é o ponto de operação. Chamando: 
(48) 
0x
x x
g
∂
∂
=K 
(49) 
0P
P P
g
∂
∂
=K 
a eq. (47) fica: 
(50) Q PKxK Px +=
 
A força de excitação é dada pelo produto da área do pistão, A, pela diferença de pressão P. Logo, 
aplicando a 2a Lei de Newton ao pistão: 
...
yMycAP =−−
 
Levando o valor de P da eq. (50) na equação acima: 
...
x
P
yMyc)Qx.K(
K
A
=−− 
ou, como , temos, após ordenamento: 
.
yAQ =
 (51) x
K
K.Ay)
K
Ac(yM
P
x.
P
2..
=++ 
 
que é o modelo matemático do sistema. Para achar a função de transferência: 
)s(X
K
AK)s(sY)
K
Ac()s(YMs
P
x
P
2
2
=++
 
(52) 
s)
K
Ac(Ms
K
AK
)s(X
)s(Y
P
2
2
P
x
++
= 
Notemos que para um atuador em alta pressão e requerendo resposta rápida da carga, o efeito da 
compressibilidade do fluido deve ser levado em conta. Neste caso, a eq. (52) se tornaria bem mais 
complexa. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1 Desenvolver um modelo matemático para o sistema da figura, constituído por um sistema de nível 
de líquido com interação entre os dois reservatórios: 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
20
Resp.: 
1
2
1
11
1 R
hq
R
h
dt
dhC +=+ 
 
1
1
2
21
2
2 R
hh)
R
1
R
1(
dt
dhC =++ 
 
 
2 Desenhar o circuito elétrico análogo ao sistema de nível de líquido do Exercício 1. 
 
 
3 No sistema de nível de líquido da figura, o nível H inicialmente é igual a 1 m. No instante t = 0, é 
aberto o registro de enchimento e é atingida uma vazão constante de 0,05 m3/s. A capacitância 
do tanque é de 2 m2. Admitindo que a vazão de saída Q e a carga H estão relacionadas pela 
expressão H02,0Q = , para H em m e Q em m3/s, calcular o tempo necessário para que o 
líquido atinja o nível de 2,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 116,23 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 A fig. (a) mostra um sistema hidráulico em que uma bomba envia um líquido de massa específica ρ 
para o interior de um reservatório de seção reta A. As características da bomba estão mostradas 
na fig. (b), onde α e β são, respectivamente, a vazão máxima e a diferença de pressão máxima. A 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 
21
válvula encontra-se inicialmente fechada e, no instante t = 0, é aberta. Desprezando a resistência 
da válvula, pedem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) verificar que a altura h(t) do líquido dentro do reservatório, após a abertura da válvula, é 
dada pela EDOL 
A
h
A
g. α
=



β
αρ
+h ; 
(b) expressões para a constante de tempo e a altura h em regime permanente; 
(c) resolver a EDOL, obtendo uma expressão para h(t). 
 
Resp.: (b) 
g
A
αρ
β
=τ (c) )e1(
g
)t(
t
τ
−
−
ρ
β
=h 
 
 
5 Considerando o deslocamento do pistão x como entrada e o deslocamento do cilindro y como saída, 
achar a função de transferência do sistema hidráulico dafigura, onde q é a vazão mássica em kg/s 
do fluido de massa específica ρ constante e A é a área do pistão. Desprezar a força de inércia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 
ρ
+
=
2RA
ks
s
)s(X
)s(Y