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Calculo Diferencial Integral Aula 2: Limites Professor Guilherme Lemermeier Rodrigues CONVERSA INICIAL Seja bem-vindo(a) à aula 2 de Cálculo Diferencial Integral! Este é o nosso segundo encontro, no qual estudaremos os limites. Reflita por um instante: Quando você pensa neste termo, qual é a primeira ideia que vem a sua mente? Contextualizando Fora do contexto matemático, a noção de limite logo nos remete à ideia geográfica. Isto é, pensamos na ideia de limites territoriais, não é mesmo? Entretanto, quando pensamos em limites dentro do contexto matemático, vamos além dessa ideia: para a disciplina de Cálculo, o estudo de limites vem amarrado, sobretudo, à ideia de funções, lateralidades, tendências à valores, continuidades, entre outros fatores relacionados a esta área de estudo. Parece muita coisa, mas calma: veremos detalhadamente estas funções ao longo desta aula! Confira a seguir os nossos temas de estudo para esta aula: Definição Limites Laterais Cálculo usando propriedades Limites infinitos (assíntotas verticais) Indeterminações Continuidades Limites no Infinito Assíntotas horizontais Limites Infinitos no Infinito Definições Primeiramente, vamos conhecer a definição de limite de uma função. De forma geral, podemos nos apoiar na definição encontrada em Stewart (2014, p.91): Suponha que f(x) seja definida quando está próximo ao número a, exceto possivelmente no próprio a. Então escrevemos: Assim, podemos dizer: “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L”. Se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximo de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. Nesse caso podemos compor a ideia de que: É: Quando: Estudando esta ideia por meio de gráficos, temos: Observe que, nos três casos, se aplica a mesma ideia: . Título Limites Laterais Os limites laterais são uma extensão do conceito visto anteriormente. Neste caso, vamos aproximar pela direita e pela esquerda o valor de x ao valor de a. Acompanhe a ideia no gráfico a seguir: Portanto, se estudarmos este conceito através da definição anterior... Suponha que f(x) seja definida quando está próximo ao número a, exceto possivelmente no próprio a. ... teremos a ideia dos limites laterais! Pois: se e somente se (vindo pela direita) e (vindo pela esquerda). Exemplo Como base no gráfico que representa a função f(x), considere os resultados: a) 1 b) 3 c) (não existe) d) 2 e) 2 f) 2 Compreendendo os resultados Os valores obtidos vieram da observação da representação gráfica. Clique em cada gráfico para conferir a explicação: No item a) deve ser verificada a posição do gráfico no lado direito de x=2, onde é verificável que o valor de y ou f(x) se aproxima de 1. No item b) verifica-se a posição no gráfico no lado esquerdo de x=2, onde a função y ou f(x) se aproxima de 3. No item c) a resposta é conceitual, pois o limite em um determinado valor de x, somente existirá se tiver o mesmo valor à esquerda e à direita, o que não se verificou nos itens a) e b). Nos itens d) e e) observando o gráfico à direita de x=3, têm-se que f(x) se aproxima de 2, e à esquerda de x=3, a função f(x se aproxima de 2. No item f) a resposta é conceitual pois à esquerda e à direita de x=3, a função se aproxima do mesmo valor (2), que é então o valor do limite buscado. Saiba Mais Não deixe de acessar os vídeos a seguir para reforçar seu aprendizado através de mais exemplos práticos sobre limites matemáticos! https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/introduction-to-limits- hd https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/introduction-to-limits Propriedades dos Limites Quando nos deparamos com expressões mais elaboradas para as funções que desejamos determinar os limites, é interessante aplicar as propriedades que podem facilitar na obtenção dos resultados. Estas propriedades envolvem operações com adições, subtrações, produtos, quocientes, e potenciação de funções. Exemplo 1 Vamos conhecer alguns exemplos de fórmulas de limites a seguir! Para isso, avance e clique nos números. O limite da soma de funções, é a soma dos limites das funções. O limite da diferença de funções, é a diferença dos limites das funções. O limite de uma constante que multiplica uma função, é a constante que multiplica o limite da função. O limite do produto de funções, é o produto dos limites das funções. O limite do quociente de funções, é o quociente dos limites das funções, desde que o limite do denominador seja não-nulo. , sendo O limite da potência de uma função, é a potência do limite da função. O limite de uma constante, é a própria constante. 8 O limite de x, quando x tende a “a”, é o próprio “a”. O limite de uma potência de x, quando x tende a “a”, é a potência de “a”. Exemplo 2 Vejamos a aplicação das propriedades de limites para a resolução detalhada de um exemplo. Acompanhe: Usando limite de quociente de funções, propriedade v. Usando limite de soma e diferença de funções, propriedades i e ii. Usando limite de produto de constante e função, propriedade iii, e limite de potência de função, propriedade vi. Realizando a substituição da variável x, pelo valor de tendência. Propriedade da Substituição Direta Visto que podemos usar as Propriedades Limites para calcularmos o valor de um limite, também podemos recorrer à Propriedade da Substituição Direta para esse cálculo. O uso dessa propriedade, basicamente, consiste em substituir o valor de tendência diretamente na incógnita da função. Exemplo Calcule o limite a seguir usando as propriedades estudadas: RESPOSTA: “Quando não ocorrer indeterminação nos valores dos cálculos de limites, podemos usar a substituição de x pelo valor de tendência e realizar o cálculo. Em casos de ocorrer indeterminação, deve- se levantar a indeterminação por algum procedimento algébrico (que será apresentado posteriormente) e calcular o limite da função. ” Saiba Mais Reforce seus conhecimentos assistindo aos vídeos a seguir: http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites2.php https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/2-sided-limit-from-graph Limites Infinitos Embora a ideia de simplesmente substituir o valor da tendência na função seja muito prática, por vezes nos deparemos com problemas cuja especificidade é bem complexa para julgarmos na simples substituição de valores. Vamos conferir um exemplo a seguir! Exemplo Prove que: Se substituirmos diretamente o valor de 0 na função não iremos obter um valor conclusivo. Portanto, nesse caso se formos pelas lateralidades poderemos identificar a tendência de valor, e assim chegaremos ao real valor do limite da função. Para melhor visualizar o comportamento da função, vamos fazer uma pequena tabela: x f(x) x f(x) -2 0,25 2 0,25 -1 1 1 1 -0,54 0,5 4 -0,1 100 0,1 100 -0,01 10000 0,01 10000 -0,001 1000000 0,001 1000000 -0,0001 100000000 0,0001 100000000 Agora que já conseguimos identificar o comportamento do gráfico da função, clique nos gráficos para conferir as conclusões: Nesse gráfico podemos ver a tendência crescente de ambos os lados do limite da função quando o valor tende ao zero. Portanto, provamos que Usando o mesmo gráfico, percebemos a presença de uma assíntota vertical, isto é, uma reta vertical que indicaria essa tendência de valor. Sendo então a reta x=0 Indeterminação A indeterminação ocorre quando, em meio a um cálculo de limites, nos deparamos com um resultado inconclusivo, como: , Contudo, por estarmos trabalhando dentro da teoria dos limites, podemos lançar mão de algumas propriedades algébricas para sairmos dessa indeterminação. Vamos conhecê-las a seguir? Exemplo Calcule: Se substituirmos direto teremos, , portanto, uma indeterminação. Contudo, podemos utilizar a regra do produto notável da soma pela diferença e então temos: = 2 Nesse momento, cabe o aviso de que as teorias que envolvem os Fundamentos da Matemática da aula 1 são muito bem-vindos. Acesse o artigo a seguir e aprenda o método de Briot-Ruffini de divisão de polinômios e relembre a aula 1: http://www.mundoeducacao.com/matematica/dispositivo-pratico-briotruffini.htm Exemplo Calcule: = = (indeterminação) Sendo assim, fatorando temos: = = 2 - 3 = -1 Exemplo Calcule: Se substituirmos diretamente teremos uma indeterminação. Portanto, para eliminar essa indeterminação usaremos Briot-Ruffini no numerador e produto notável no denominador, ficando assim: = = = Saiba Mais Acesse o arquivo a seguir (no AVA) e realize mais alguns exercícios sobre limites para fixar seus conhecimentos: Confira a seguir mais sugestões de exercícios online! http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/limites/limite.html http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limits/LimitConstant.html Continuidade Segundo Stewart (2014, p.109) “uma função f é contínua em um número a se ”. Essa definição nos traz três implicações: i. f(a) é definido ii. existe iii. Veja no modelo gráfico a seguir. No gráfico de f a seguir, vamos identificar os valores de x nos quais f é descontínua e para cada um dos valores indicados, determinaremos se f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles. 1º valor: x = -5, a função é descontínua à esquerda. 2° valor: x= 3, a função é descontínua em ambos os lados. 3º valor: x= 5, a função é descontínua em ambos os lados. Exemplo Determine cada um dos seguintes limites, dada a função f: IR → IR, definida por: Limites no Infinito Na definição de Stewart (2014, p.120), temos: Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ). Então: Significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente grande. Graficamente, temos: Exemplo Vamos analisar o comportamento da função para valores de x muito elevados, ou seja: Calcule: (indeterminação) Saindo da indeterminação: Outra técnica é evidenciar o valor de mais alto grau. Calcule: simplificando: Conceitualmente, Portanto: ∞ Saiba Mais Acesse os seguintes artigos e aprofunde seus conhecimentos sobre Continuidade e Limites do Infinito: http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/Continuity.html http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limitinf/LimitInfinity.html Assíntotas Horizontais Vamos verificar um exemplo de como determinar a assíntota horizontal de uma função: Logo, a assíntota horizontal é y=2. Desta forma podemos simplificar dizendo que a assíntota horizontal é o valor do limite da função quando o x tende ao ou até mesmo . Para saber mais sobre os conceitos das assíntotas horizontais, acesse o artigo a seguir: http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html#VII-3_AssintotasHorizontaisVerticais Limites Infinitos no Infinito Esse caso tem a notação , valendo de forma análoga ao Encontre: Uma definição muito importante é que . Encontre o limite ou demonstre que não existe de . Título Saiba Mais Acesse o arquivo a seguir (no AVA) e realize mais alguns exercícios para fixar seus conhecimentos: NA PRÁTICA Vamos resolver um exercício de limites! Leia com atenção: A lei de Charles para gases afirma que se a pressão permanece constante, então a relação entre o volume V que um gás ocupa e a sua temperatura T (em °C) é dada por , onde é o volume inicial do gás. A temperatura -273°C é o zero absoluto. O que acontece com o Volume quando a temperatura se aproxima do zero absoluto? Para calcular o volume do gás, deve-se usar a técnica de limite pois o zero absoluto nunca pode ser atingido, mas pode-se estar bastante próximo deste valor, ou seja, ocorre uma tendência a este valor. SÍNTESE Encerramos aqui nossa segunda aula de Cálculo Diferencial Integral! Agora você já sabe que a noção de limite na Matemática abrange uma grande gama de possibilidades e aplicações. Não deixe de realizar os exercícios para fixar os conhecimentos! Até a próxima aula! Referências BOULOS, P.; Cálculo diferencial e integral. vol. 1. São Paulo: Makron Books, 1999. CASTANHERIA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. DEMANA, F. D. et al. Pré-Cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013. FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B.; Cálculo A: Função de uma variável. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. Rev. e Ampl. São Paulo: Pearson, 2007. LEITHOLD, L.; Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
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