aula dois limites

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Calculo Diferencial Integral 
Aula 2: Limites 
Professor Guilherme Lemermeier Rodrigues 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Seja bem-vindo(a) à aula 2 de Cálculo Diferencial Integral! Este é o nosso segundo encontro, no 
qual estudaremos os limites. 
 
Reflita por um instante: 
Quando você pensa neste termo, qual é a primeira ideia que vem a sua mente? 
 
 
 
 
Contextualizando 
Fora do contexto matemático, a noção de limite logo nos 
remete à ideia geográfica. Isto é, pensamos na ideia de 
limites territoriais, não é mesmo? 
Entretanto, quando pensamos em limites dentro do contexto 
matemático, vamos além dessa ideia: para a disciplina de 
Cálculo, o estudo de limites vem amarrado, sobretudo, à 
ideia de funções, lateralidades, tendências à valores, 
continuidades, entre outros fatores relacionados a esta área 
de estudo. 
Parece muita coisa, mas calma: veremos 
detalhadamente estas funções ao longo desta aula! 
 
 
Confira a seguir os nossos temas de estudo para esta aula: 
 
Definição 
Limites Laterais 
Cálculo usando propriedades 
Limites infinitos (assíntotas verticais) 
Indeterminações 
Continuidades 
Limites no Infinito 
Assíntotas horizontais 
Limites Infinitos no Infinito 
 
 
 
 
Definições 
Primeiramente, vamos conhecer a definição de limite de uma função. De forma geral, podemos nos 
apoiar na definição encontrada em Stewart (2014, p.91): 
 
Suponha que f(x) seja definida quando está próximo ao número a, exceto possivelmente no próprio a. 
Então escrevemos: 
 
 
Assim, podemos dizer: 
 
“o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L”. 
 
 
Se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximo de L quanto 
quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. 
Nesse caso podemos compor a ideia de que: 
 
 
É: 
 
Quando: 
 
Estudando esta ideia por meio de gráficos, temos: 
 
 
 
 
Observe que, nos três casos, se aplica a mesma ideia: 
. 
 
Título Limites Laterais 
Os limites laterais são uma extensão do conceito visto anteriormente. Neste caso, vamos aproximar pela 
direita e pela esquerda o valor de x ao valor de a. 
Acompanhe a ideia no gráfico a seguir: 
 
Portanto, se estudarmos este conceito através da definição anterior... 
 
 
Suponha que f(x) seja definida quando está próximo ao número a, exceto possivelmente no próprio a. 
 
... teremos a ideia dos limites laterais! 
Pois: 
 se e somente se (vindo pela direita) e 
(vindo pela esquerda). 
 
 
 
Exemplo 
Como base no gráfico que representa a função f(x), considere os resultados: 
 
 
 
 
 
a) 1 
b) 3 
c) (não existe) 
d) 2 
e) 2 
f) 2 
 
 
Compreendendo os resultados 
Os valores obtidos vieram da observação da representação gráfica. 
Clique em cada gráfico para conferir a explicação: 
 
No item a) deve ser verificada a posição do gráfico no lado direito de x=2, onde é verificável que o valor 
de y ou f(x) se aproxima de 1. 
 
No item b) verifica-se a posição no gráfico no lado esquerdo de x=2, onde a função y ou f(x) se 
aproxima de 3. 
 
 
 
No item c) a resposta é conceitual, pois o limite em um determinado valor de x, somente existirá se tiver 
o mesmo valor à esquerda e à direita, o que não se verificou nos itens a) e b). 
 
Nos itens d) e e) observando o gráfico à direita de x=3, têm-se que f(x) se aproxima de 2, e à esquerda 
de x=3, a função f(x se aproxima de 2. 
 
No item f) a resposta é conceitual pois à esquerda e à direita de x=3, a função se aproxima do mesmo 
valor (2), que é então o valor do limite buscado. 
 
Saiba Mais 
Não deixe de acessar os vídeos a seguir para reforçar seu aprendizado através de mais exemplos 
práticos sobre limites matemáticos! 
 
 
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/introduction-to-limits-
hd 
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/introduction-to-limits 
 
Propriedades dos Limites 
Quando nos deparamos com expressões mais elaboradas para as funções que desejamos determinar os 
limites, é interessante aplicar as propriedades que podem facilitar na obtenção dos resultados. 
Estas propriedades envolvem operações com adições, subtrações, produtos, quocientes, e potenciação 
de funções. 
 
Exemplo 1 
Vamos conhecer alguns exemplos de fórmulas de limites a seguir! Para isso, avance e clique nos 
números. 
O limite da soma de funções, é a soma dos limites das funções. 
 
 
O limite da diferença de funções, é a diferença dos limites das funções. 
 
 
O limite de uma constante que multiplica uma função, é a constante que multiplica o limite da função. 
 
 
 
 
O limite do produto de funções, é o produto dos limites das funções. 
 
 
O limite do quociente de funções, é o quociente dos limites das funções, desde que o limite do 
denominador seja não-nulo. 
, sendo 
 
O limite da potência de uma função, é a potência do limite da função. 
 
 
O limite de uma constante, é a própria constante. 
 
8 
O limite de x, quando x tende a “a”, é o próprio “a”. 
 
 
O limite de uma potência de x, quando x tende a “a”, é a potência de “a”. 
 
 
 
Exemplo 2 
Vejamos a aplicação das propriedades de limites para a resolução detalhada de um exemplo. 
Acompanhe: 
 
 
 
Usando limite de quociente de funções, propriedade v. 
 
Usando limite de soma e diferença de funções, propriedades i e ii. 
 
Usando limite de produto de constante e função, propriedade iii, e limite de potência de função, 
propriedade vi. 
 
 
Realizando a substituição da variável x, pelo valor de tendência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade da Substituição Direta 
Visto que podemos usar as Propriedades Limites para calcularmos o valor de um limite, também 
podemos recorrer à Propriedade da Substituição Direta para esse cálculo. O uso dessa propriedade, 
basicamente, consiste em substituir o valor de tendência diretamente na incógnita da função. 
 
Exemplo 
Calcule o limite a seguir usando as propriedades estudadas: 
 
 
RESPOSTA: “Quando não ocorrer indeterminação nos valores dos cálculos de limites, podemos usar a 
substituição de x pelo valor de tendência e realizar o cálculo. Em casos de ocorrer indeterminação, deve-
se levantar a indeterminação por algum procedimento algébrico (que será apresentado posteriormente) e 
calcular o limite da função. ” 
 
Saiba Mais 
Reforce seus conhecimentos assistindo aos vídeos a seguir: 
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites2.php 
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/2-sided-limit-from-graph 
 
 
 
 
Limites Infinitos 
Embora a ideia de simplesmente substituir o valor da tendência na função seja muito prática, por vezes 
nos deparemos com problemas cuja especificidade é bem complexa para julgarmos na simples 
substituição de valores. 
 
Vamos conferir um exemplo a seguir! 
Exemplo 
Prove que: 
 
Se substituirmos diretamente o valor de 0 na função não iremos obter um valor conclusivo. Portanto, 
nesse caso se formos pelas lateralidades poderemos identificar a tendência de valor, e assim chegaremos 
ao real valor do limite da função. 
Para melhor visualizar o comportamento da função, vamos fazer uma pequena tabela: 
x f(x) 
 
x f(x) 
-2 0,25 
 
2 0,25 
-1 1 
 
1 1 
-0,54 
 
0,5 4 
-0,1 100 
 
0,1 100 
-0,01 10000 
 
0,01 10000 
-0,001 1000000 
 
0,001 1000000 
-0,0001 100000000 
 
0,0001 100000000 
 
 
Agora que já conseguimos identificar o comportamento do gráfico da função, clique nos gráficos para 
conferir as conclusões: 
 
Nesse gráfico podemos ver a tendência crescente de ambos os lados do limite 
da função quando o valor tende ao zero. 
Portanto, provamos que 
 
 
 
 
 
Usando o mesmo gráfico, percebemos a presença de uma assíntota vertical, 
isto é, uma reta vertical que indicaria essa tendência de valor. 
Sendo então a reta x=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indeterminação 
A indeterminação ocorre quando, em meio a um cálculo de limites, nos deparamos com um resultado 
inconclusivo, como: 
 
 , 
 
Contudo, por estarmos trabalhando dentro da teoria dos limites, podemos lançar mão de algumas 
propriedades algébricas para sairmos dessa indeterminação. 
 
Vamos conhecê-las a seguir? 
 
 
Exemplo 
Calcule: 
 
 
Se substituirmos direto teremos, , portanto, uma indeterminação. 
 
Contudo, podemos utilizar a regra do produto notável da soma pela diferença e então temos: 
 
 = 2 
 
 
 
 
Nesse momento, cabe o aviso de que as teorias que envolvem os Fundamentos da 
Matemática da aula 1 são muito bem-vindos. 
 
Acesse o artigo a seguir e aprenda o método de Briot-Ruffini de divisão de polinômios e relembre a aula 
1: 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/dispositivo-pratico-briotruffini.htm 
 
Exemplo 
Calcule: 
 
 = = (indeterminação) 
 
Sendo assim, fatorando temos: 
 
 = = 2 - 3 = -1 
 
 
Exemplo 
Calcule: 
 
 
 
Se substituirmos diretamente teremos uma indeterminação. Portanto, para eliminar essa indeterminação 
usaremos Briot-Ruffini no numerador e produto notável no denominador, ficando assim: 
 
 = = = 
 
 
Saiba Mais 
Acesse o arquivo a seguir (no AVA) e realize mais alguns exercícios sobre limites para fixar seus 
conhecimentos: 
 
Confira a seguir mais sugestões de exercícios online! 
http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/limites/limite.html 
http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limits/LimitConstant.html 
 
 
Continuidade 
Segundo Stewart (2014, p.109) “uma função f é contínua em um número a se ”. 
Essa definição nos traz três implicações: 
 
 
 
 
 
i. f(a) é definido 
ii. existe 
iii. 
 
Veja no modelo gráfico a seguir. 
 
 
 
No gráfico de f a seguir, vamos identificar os valores de x nos quais f é descontínua e para cada um dos 
valores indicados, determinaremos se f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles. 
 
 
 
 
1º valor: x = -5, a função é descontínua à esquerda. 
2° valor: x= 3, a função é descontínua em ambos os lados. 
3º valor: x= 5, a função é descontínua em ambos os lados. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Determine cada um dos seguintes limites, dada a função f: IR → IR, definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites no Infinito 
Na definição de Stewart (2014, p.120), temos: 
 
Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ). Então: 
 
Significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente grande. 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Vamos analisar o comportamento da função para valores de x muito elevados, ou seja: 
 
Calcule: 
 
 (indeterminação) 
 
 
 
 
 
 
 
Saindo da indeterminação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra técnica é evidenciar o valor de mais alto grau. 
Calcule: 
 
 
simplificando: 
 
Conceitualmente, 
 Portanto: 
 ∞ 
 
 
Saiba Mais 
Acesse os seguintes artigos e aprofunde seus conhecimentos sobre Continuidade e Limites do 
Infinito: 
http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/Continuity.html 
http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limitinf/LimitInfinity.html 
 
 
 
 
 
Assíntotas Horizontais 
Vamos verificar um exemplo de como determinar a assíntota horizontal de uma função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a assíntota horizontal é y=2. 
 
Desta forma podemos simplificar dizendo que a assíntota horizontal é o valor do limite da 
função quando o x tende ao ou até mesmo . 
 
 
 
 
Para saber mais sobre os conceitos das assíntotas horizontais, acesse o artigo a seguir: 
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html#VII-3_AssintotasHorizontaisVerticais 
 
 
Limites Infinitos no Infinito 
Esse caso tem a notação , valendo de forma análoga ao 
Encontre: 
 
 
 
 
 
 
 
Uma definição muito importante é que . 
Encontre o limite ou demonstre que não existe de . 
 
 
 
 
 
 
Título Saiba Mais 
Acesse o arquivo a seguir (no AVA) e realize mais alguns exercícios para fixar seus conhecimentos: 
 
 
 
NA PRÁTICA 
Vamos resolver um exercício de limites! Leia com atenção: 
 
A lei de Charles para gases afirma que se a pressão permanece constante, então a relação 
entre o volume V que um gás ocupa e a sua temperatura T (em °C) é dada por 
, onde é o volume inicial do gás. 
A temperatura -273°C é o zero absoluto. 
O que acontece com o Volume quando a temperatura se aproxima do zero 
absoluto? 
 
Para calcular o volume do gás, deve-se usar a técnica de limite pois o zero absoluto nunca pode ser 
atingido, mas pode-se estar bastante próximo deste valor, ou seja, ocorre uma tendência a este valor. 
 
 
 
SÍNTESE 
Encerramos aqui nossa segunda aula de Cálculo Diferencial Integral! 
Agora você já sabe que a noção de limite na Matemática abrange uma grande gama de possibilidades e 
aplicações. Não deixe de realizar os exercícios para fixar os conhecimentos! Até a próxima aula! 
 
 
Referências 
BOULOS, P.; Cálculo diferencial e integral. vol. 1. São Paulo: Makron Books, 1999. 
CASTANHERIA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-Cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B.; Cálculo A: Função de uma variável. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2007. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. Rev. e 
Ampl. São Paulo: Pearson, 2007. 
LEITHOLD, L.; Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.