Resumo de Séries

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Resumo de Se´ries
Campus Alto Paraopeba - UFSJ
1 Sequeˆncias
• Notac¸o˜es para sequeˆncias:
{a0, a1, a2, ..., an, ...}; {an}; {an}∞n=0
• Definic¸a˜o de Sequeˆncia Convergente:
lim
n→∞ an = L se ∀ε > 0,∃n0 t.q. n > n0 ⇒ |an − L| < ε
• Definic¸a˜o de Sequeˆncia Limitada Superiormente (Inferiormente)
∃M ∈ R (m ∈ R) t.q. an 6M ∀n (an > m ∀n)
• Definic¸a˜o de Sequeˆncia Limitada
∃M,m ∈ R t.q. m 6 an 6M ∀n
• Definic¸a˜o de Sequeˆncia Crescente (Decrescente)
an < an+1 ∀n (an > an+1 ∀n)
* Em ambos os casos diz-se que a sequeˆncia e´ mono´tona.
• Teorema: Toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente.
2 Se´ries
• Definic¸a˜o de se´ries: Sequeˆncia formada pelas somas parciais
sn =
n∑
j=0
aj
• Definic¸a˜o de Se´rie Convergente: O limite das sequeˆnicas parciais esta´
definido ∞∑
j=0
aj = lim
n→∞
n∑
j=0
aj = lim
n→∞ sn = s
• Exemplo: Se´rie Geome´trica
∞∑
n=0
arn =
a
1− r , |r| < 1
• Exemplo: p-se´ries
∞∑
n=1
1
np
= convergente somente quando p > 1
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
(p = 2 > 1)
∞∑
n=1
1
n
= Divergente (p = 1)
• Exemplo: Se´rie Telesco´pica
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 1
• Condic¸a˜o necessa´ria (mas na˜o suficiente) para convergeˆncia de uma se´rie
lim
n→∞ an = 0
* Logo temos um Teste para Divergeˆncia:
lim
n→∞ an 6= 0⇒ serie diverge
2
2.1 Testes para se´ries de termos positivos
• Teste da Integral: Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua, decrescente e positiva
em [1,∞) e f(n) = an, ∀n
Se
∫∞
1
f(x)dx converge ⇒∑∞n=0 an converge.
Se
∫∞
1
f(x)dx diverge ⇒∑∞n=0 an diverge.
• Testes de Comparac¸a˜o: Sejam ∑∞n=0 an e ∑∞n=0 bn se´ries positivas
Se
∑∞
n=0 bn converge e an 6 bn(∀n)⇒
∑∞
n=0 an converge.
Se
∑∞
n=0 bn diverge e an > bn(∀n)⇒
∑∞
n=0 an diverge.
• Teste de Comparac¸a˜o no Limite: Sejam∑∞n=0 an e∑∞n=0 bn se´ries positi-
vas se
lim
n→∞
an
bn
= c, c > 0 finito
Enta˜o ou ambas divergem, ou ambas convergem.
2.2 Se´ries Alternadas
• Definic¸a˜o de Se´ries Alternadas: Se´ries do tipo∑∞n=0(−1)nbn ou∑∞n=0(−1)n+1bn,
onde bn > 0, ∀n.
• Teste da Se´rie Alternada: Se ∑∞n=0 an alternada satisfizer:
|an+1| 6 |an|, ∀n
lim
n→∞ |an| = 0
Enta˜o a se´rie converge.
2.3 Convergeˆncia Absoluta e Convergeˆncia Condicional
• Definic¸a˜o de Convergeˆncia Absoluta:∑∞
n=0 an e´ absolutamente convergente se
∑∞
n=0 |an| convergir.
Exemplo
∑∞
n=1(−1)n 1n2 .
• Definic¸a˜o de Convergeˆncia Condicional:∑∞
n=0 an e´ condicionalmente convergente se ela for convergente pore´m∑∞
n=0 |an| divergir. Exemplo
∑∞
n=1(−1)n 1n .
• Teorema: Toda se´rie Absolutamente Convergente e´ Convergente.
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2.4 Testes da Raza˜o e da Raiz
• Teste da Raza˜o:
lim
n→∞ |
an+1
an
| = L
Se L < 1, a se´rie e´ absolutamente convergente (e portanto convergente).
Se L > 1 (ou o limite e´ infinito), a se´rie e´ divergente.
Se L = 1, o teste e´ inconclusivo.
• Teste da Raiz:
lim
n→∞
n
√
|an| = L
Se L < 1, a se´rie e´ absolutamente convergente (e portanto convergente).
Se L > 1 (ou o limite e´ infinito), a se´rie e´ divergente.
Se L = 1, o teste e´ inconclusivo.
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3 Se´ries de Taylor e de Maclaurin
• Se´rie de Taylor:
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n
• Se´rie de Maclaurin (Se´rie de Taylor em torno do zero):
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn
• Se´rie de Taylor de f(x) = ex, em torno do zero:
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ ... =
∞∑
n=0
xn
n!
(−∞ < x < +∞)
• Se´rie de Taylor de f(x) = sen(x), em torno do zero:
sen(x) = x− x
3
3!
+
x5
5!
− ... =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
(−∞ < x < +∞)
• Se´rie de Taylor de f(x) = cos(x), em torno do zero:
cos(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− ... =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
(−∞ < x < +∞)
• Se´rie de Taylor de f(x) = 11−x , em torno do zero (se´rie geome´trica):
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + ... =
∞∑
n=0
xn (|x| < 1)
• Se´rie de Taylor de f(x) = (1 + x)p, em torno do zero (se´rie Binomial):
(1+x)p = 1+px+
p(p− 1)
2!
x2+
p(p− 1)(p− 2)
3!
x3+... =
∞∑
n=0
p!
n!(p− n)!x
n (|x| < 1)
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