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Resumo de Se´ries Campus Alto Paraopeba - UFSJ 1 Sequeˆncias • Notac¸o˜es para sequeˆncias: {a0, a1, a2, ..., an, ...}; {an}; {an}∞n=0 • Definic¸a˜o de Sequeˆncia Convergente: lim n→∞ an = L se ∀ε > 0,∃n0 t.q. n > n0 ⇒ |an − L| < ε • Definic¸a˜o de Sequeˆncia Limitada Superiormente (Inferiormente) ∃M ∈ R (m ∈ R) t.q. an 6M ∀n (an > m ∀n) • Definic¸a˜o de Sequeˆncia Limitada ∃M,m ∈ R t.q. m 6 an 6M ∀n • Definic¸a˜o de Sequeˆncia Crescente (Decrescente) an < an+1 ∀n (an > an+1 ∀n) * Em ambos os casos diz-se que a sequeˆncia e´ mono´tona. • Teorema: Toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente. 2 Se´ries • Definic¸a˜o de se´ries: Sequeˆncia formada pelas somas parciais sn = n∑ j=0 aj • Definic¸a˜o de Se´rie Convergente: O limite das sequeˆnicas parciais esta´ definido ∞∑ j=0 aj = lim n→∞ n∑ j=0 aj = lim n→∞ sn = s • Exemplo: Se´rie Geome´trica ∞∑ n=0 arn = a 1− r , |r| < 1 • Exemplo: p-se´ries ∞∑ n=1 1 np = convergente somente quando p > 1 ∞∑ n=1 1 n2 = pi2 6 (p = 2 > 1) ∞∑ n=1 1 n = Divergente (p = 1) • Exemplo: Se´rie Telesco´pica ∞∑ n=1 1 n(n+ 1) = 1 • Condic¸a˜o necessa´ria (mas na˜o suficiente) para convergeˆncia de uma se´rie lim n→∞ an = 0 * Logo temos um Teste para Divergeˆncia: lim n→∞ an 6= 0⇒ serie diverge 2 2.1 Testes para se´ries de termos positivos • Teste da Integral: Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua, decrescente e positiva em [1,∞) e f(n) = an, ∀n Se ∫∞ 1 f(x)dx converge ⇒∑∞n=0 an converge. Se ∫∞ 1 f(x)dx diverge ⇒∑∞n=0 an diverge. • Testes de Comparac¸a˜o: Sejam ∑∞n=0 an e ∑∞n=0 bn se´ries positivas Se ∑∞ n=0 bn converge e an 6 bn(∀n)⇒ ∑∞ n=0 an converge. Se ∑∞ n=0 bn diverge e an > bn(∀n)⇒ ∑∞ n=0 an diverge. • Teste de Comparac¸a˜o no Limite: Sejam∑∞n=0 an e∑∞n=0 bn se´ries positi- vas se lim n→∞ an bn = c, c > 0 finito Enta˜o ou ambas divergem, ou ambas convergem. 2.2 Se´ries Alternadas • Definic¸a˜o de Se´ries Alternadas: Se´ries do tipo∑∞n=0(−1)nbn ou∑∞n=0(−1)n+1bn, onde bn > 0, ∀n. • Teste da Se´rie Alternada: Se ∑∞n=0 an alternada satisfizer: |an+1| 6 |an|, ∀n lim n→∞ |an| = 0 Enta˜o a se´rie converge. 2.3 Convergeˆncia Absoluta e Convergeˆncia Condicional • Definic¸a˜o de Convergeˆncia Absoluta:∑∞ n=0 an e´ absolutamente convergente se ∑∞ n=0 |an| convergir. Exemplo ∑∞ n=1(−1)n 1n2 . • Definic¸a˜o de Convergeˆncia Condicional:∑∞ n=0 an e´ condicionalmente convergente se ela for convergente pore´m∑∞ n=0 |an| divergir. Exemplo ∑∞ n=1(−1)n 1n . • Teorema: Toda se´rie Absolutamente Convergente e´ Convergente. 3 2.4 Testes da Raza˜o e da Raiz • Teste da Raza˜o: lim n→∞ | an+1 an | = L Se L < 1, a se´rie e´ absolutamente convergente (e portanto convergente). Se L > 1 (ou o limite e´ infinito), a se´rie e´ divergente. Se L = 1, o teste e´ inconclusivo. • Teste da Raiz: lim n→∞ n √ |an| = L Se L < 1, a se´rie e´ absolutamente convergente (e portanto convergente). Se L > 1 (ou o limite e´ infinito), a se´rie e´ divergente. Se L = 1, o teste e´ inconclusivo. 4 3 Se´ries de Taylor e de Maclaurin • Se´rie de Taylor: f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(a) n! (x− a)n • Se´rie de Maclaurin (Se´rie de Taylor em torno do zero): f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(0) n! xn • Se´rie de Taylor de f(x) = ex, em torno do zero: ex = 1 + x+ x2 2! + x3 3! + ... = ∞∑ n=0 xn n! (−∞ < x < +∞) • Se´rie de Taylor de f(x) = sen(x), em torno do zero: sen(x) = x− x 3 3! + x5 5! − ... = ∞∑ n=0 (−1)nx2n+1 (2n+ 1)! (−∞ < x < +∞) • Se´rie de Taylor de f(x) = cos(x), em torno do zero: cos(x) = 1− x 2 2! + x4 4! − ... = ∞∑ n=0 (−1)nx2n (2n)! (−∞ < x < +∞) • Se´rie de Taylor de f(x) = 11−x , em torno do zero (se´rie geome´trica): 1 1− x = 1 + x+ x 2 + x3 + ... = ∞∑ n=0 xn (|x| < 1) • Se´rie de Taylor de f(x) = (1 + x)p, em torno do zero (se´rie Binomial): (1+x)p = 1+px+ p(p− 1) 2! x2+ p(p− 1)(p− 2) 3! x3+... = ∞∑ n=0 p! n!(p− n)!x n (|x| < 1) 5
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