Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
 
CENTRO TECNOLÓGICO 
 ESCOLA DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flávia Moll de Souza Judice 
 
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro 
 
 
 
 
 
 
2005 
 
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
1
SUMÁRIO 
 
I – Introdução.................................................................................................................... 2 
II – Isostática..................................................................................................................... 4 
III – Tração e Compressão ............................................................................................... 17 
IV – Cisalhamento Puro.................................................................................................... 26 
V – Torção ........................................................................................................................ 28 
VI – Tensões em Vigas..................................................................................................... 32 
VII – Flexão Composta ..................................................................................................... 40 
VIII – Análise de Tensões................................................................................................. 45 
IX – Deformação em Vigas............................................................................................... 54 
X – Flambagem ................................................................................................................ 62 
Bibliografia ........................................................................................................................ 69 
 
 
 
 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
2
I – INTRODUÇÃO 
 
 
 A Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ou 
Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análise 
dos elementos mais comuns em estruturas. 
 O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação de 
teoria e experiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e Galileu 
Galilei (1564-1642) fizeram experiências para determinar a resistência de fios, barras e 
vigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para 
explicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveram 
teorias matemáticas muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância do 
seu achado. 
 O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais, 
tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento de 
elementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento. 
 
 
Sistema Internacional de Unidades (SI): 
 
Quantidade Símbolo 
Dimensional 
Unidade 
Básica 
Comprimento L metro (m) 
Tempo T segundo (s) 
Massa M quilograma (kg) 
Força F Newton (N) 
 
 A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição, 
um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro por 
segundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 2m/s 1kg 1N 1 ⋅= . 
 
Outras unidades derivadas do SI: 
 
Quantidade Unidade Básica 
Área metro quadrado (m2) 
Tensão Newton por metro quadrado (N/m2) 
ou Pascal (Pa) 
 
Prefixos de Unidades: 
 
Prefixo Símbolo Fator 
Giga G 109 
Mega M 106 
Quilo k 103 
Deci d 10-1 
Centi c 10-2 
Mili m 10-3 
Micro µ 10-6 
Nano n 10-9 
 
 
 
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3
 Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), o 
megapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa). 
 
 
2232
1
cm/kgf 1m/kN10N/mm 1 MPa1
tf 1kN 10
kgf 01N 1
≈==
≈
≈ −
 
 
 
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II – ISOSTÁTICA 
 
1 – Grandezas Fundamentais 
 
1.1 – Força 
 
 As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade. 
 
 
 
 
 
1.2 – Momento 
 
 O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto 
provocada por uma força. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Condições de Equilíbrio 
 
 Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático 
caso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forças 
no espaço são: 
 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0F
0F
0F
z
y
x
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0M
0M
0M
z
y
x
 
 
 
 
 
 
 
F1 
F2 
F3 
Fn 
..... 
iii dFM ⋅= 
M2 
F1 
F3 
F2 
M1 
Fi di 
O 
. 
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3 – Graus de Liberdade 
 
 Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três 
rotações segundo três eixos ortogonais. 
 A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade 
precisam ser restringidos. 
 Esta restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que, 
por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforços 
reativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um 
sistema em equilíbrio estático. 
 
 
3.1 – Tipos de Apoio 
 
 Classificam-se em três categorias: 
 
a) Apoio móvel ou do 1º gênero – é capaz de impedir o movimento do ponto 
vinculado do corpo numa direção pré-determinada; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A representação esquemática indica a reação de apoio R na direção do único 
movimento impedido (deslocamento na vertical). 
 
 
b) Apoio fixo ou do 2º gênero ou rótula – é capazde impedir qualquer movimento do 
ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a 
rotação; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOIO 
FIXO 
SÍMBOLO 
rótula V
H 
APOIO 
MÓVEL SÍMBOLO 
 Pino deslizante rolete R
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c) Engaste ou apoio do 3º gênero – é capaz de impedir qualquer movimento do ponto 
vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 – Estaticidade e Estabilidade 
 
a) Estruturas isostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário para 
impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática, 
ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
 
equilíbrio de equações Nreações N oo = 
 
b) Estruturas hipostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o número de movimentos impedidos é menor que o necessário para impedir 
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hipostática, ocorrendo 
uma situação indesejável de equilíbrio instável. 
 
 
c) Estruturas hiperestáticas 
 
 
 
 
 
 
 
SÍMBOLO 
 
 
E 
N 
G 
A 
S 
T 
E 
V 
H 
M 
A B
VA VB 
HB
C
VC 
MC
HC 
A B
VA VB
C
VC 
HC 
A B
VA VB 
HB 
C
VC 
MC 
HCHA 
D
HD 
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Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir 
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo 
uma situação indesejável de equilíbrio estável. 
 Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a 
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 
compatibilidade de deformações. 
 
 
4 – Classificação das Estruturas 
 
a) Vigas – são elementos estruturais geralmente compostos por barras de eixos 
retilíneos que estão contidas no plano em que é aplicado o carregamento. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Pórticos (ou Quadros) – são elementos compostos por barras de eixos retilíneos 
dispostas em mais de uma direção submetidos a cargas contidas no seu plano. 
Apresentam apenas três esforços internos: normal, cortante, momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Treliças – são sistemas reticulados cujas barras têm todas as extremidades rotuladas 
(as barras podem girar independentemente das ligações) e cujas cargas são 
aplicadas em seus nós. Apresentam apenas esforços internos axiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Grelhas – são estruturas planas com cargas na direção perpendicular ao plano, 
incluindo momentos em torno de eixos do plano. Apresentam três esforços internos: 
esforço cortante, momento fletor, momento torsor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viga apoiada viga em balanço 
pórtico plano 
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5 – Tipos de Carregamento 
 
a) Cargas concentradas – são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas 
segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São 
representadas por cargas aplicadas pontualmente; 
 
 
 
 
 
 
 
b) Cargas distribuídas – são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais 
são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de 
empuxos de terra ou água). 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cargas-momento – são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um 
ponto qualquer da estrutura. 
 
 
 
 
 
6 – Esforços Simples 
 
Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrio 
indicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S, 
dividindo-o nas duas partes E e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta 
que apliquemos, na seção S da parte E, um sistema estático equivalente ao das forças que 
ficaram na parte da direita e, analogamente, na seção S da parte D, um sistema estático 
equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estáticos 
equivalentes são obtidos reduzindo as forças à esquerda e à direita da seção S ao centróide 
desta seção. 
 
Resumindo: a resultante R
r
 que atua na parte da esquerda é obtida pelas forças da direita 
e vice-versa. O momento resultante mr que atua na parte da esquerda foi obtido pelas 
forças da direita e vice-versa. 
F 
M
q q
E 
m 
S R 
D 
m 
S 
R 
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Uma seção S de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de 
forças R
r
 e (- R
r
) e a um par de momentos mr e (- mr ) aplicados no seu centróide e 
resultantes da redução, a este centróide, das forças atuantes, respectivamente, à esquerda 
e à direita da seção S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Decompondo os vetores R
r
 e mr em duas componentes, uma perpendicular à seção 
S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N
r
 (perpendicular a S) e 
Q
r
 (pertencente a S) e os momentos T
r
 (perpendicular a S) e M
r
 (pertencente a S), aos 
quais chamamos esforços simples atuantes na seção S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com as 
forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção na prática. Usaremos as forças do 
lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo. 
 
 
a) Esforço normal N
r
 – tende a promover variação da distância que separa as seções, 
permanecendo as mesmas paralelas uma à outra. 
 
O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, quando tender a afastar 
duas seções infinitamente próximas, e negativo quando de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esforço cortante Q
r
 – tende a promover o deslizamento relativo de uma seção em 
relação à outra (tendência de corte). 
 
Dizemos que o esforço cortante Q
r
 é positivo quando, calculado pelas forças 
situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo do eixo y e quando calculado 
pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao sentido positivo do 
eixo y.M 
R 
m 
x 
N 
Q 
T 
x 
C 
C 
N 
N N N 
ds 
⊕
m 
R 
m 
S R C 
C 
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c) Momento torsor T
r
 – tende a promover uma rotação relativa entre duas seções 
infinitamente próximas em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo 
seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça). 
 
O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estiver 
como que tracionando a seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Momento fletor M
r
 – tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo 
situado em seu próprio plano. 
 
Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M
r
 pode ser 
assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma das 
partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que 
fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo, 
sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à 
tração). 
 A figura mostra a convenção de sinais adotada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 
ds 
⊕T 
M ds 
M 
Tração
Compressão
⊕
Q 
Q 
Q Q 
ds 
⊕
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7 – Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído 
 
 Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargas 
concentradas infinitesimais, dsq ⋅ , cuja resultante é: 
 
 ∫ ⋅=
B
A
dsqR (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área Ω 
limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da estrutura. 
 Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon ⇒ o 
momento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante das 
forças. 
 
 Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos: 
 
¾ Momento da resultante: ∫ ⋅⋅=⋅
B
A
dsqssR 
¾ Soma dos momentos das componentes: ( ) sdsqB
A
⋅⋅∫ 
 
Igualando: 
 
∫
∫
⋅
⋅⋅
= B
A
B
A
dsq
dssq
s 
 
que é a razão entre o momento estático da área Ω em relação ao eixo z e o valor Ω dessa 
área. Isto indica que s é a distância do centróide da área Ω ao eixo z. 
 
 Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área 
compreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual 
está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida. 
 
 
s 
s 
R 
q.ds 
z 
Ω 
A B O ds 
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8 – As Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços 
 
 As equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga vertical 
uniformemente distribuída, são: 
 
 s
s Q
ds
dM = (2) 
 )s(q
ds
dQs −= (3) 
 
 Essas expressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da 
viga em função do carregamento q(x) atuante. 
 A representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feita 
a partir dos diagrama de esforços (linhas de estado). 
 Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de 
momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. 
 A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de 
esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com 
o sinal trocado. 
 
 
8.1 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ =⇒= 0H0F Bx 
 ∑ =+⇒= PVV0F BAy 
 
l
bPV
l
aPV0aPlV0M ABBA
⋅=⇒⋅=⇒=⋅−⋅⇒=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B
VA VB 
HB a b
P
l
l
baP ⋅⋅
l
aP ⋅
⊕
⊕ DEC 
DMF 
l
bP ⋅ 
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 Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( 0q = ), o DEC será 
uma reta horizontal ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =−= 0q
ds
dQ
 e o DMF será uma reta ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ == tetanconsQ
ds
dM
. 
 
 
OBS: 
a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos esq s
esq s
Q
ds
dM =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ e 
dir s
dir s
Q
ds
dM =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ e, no caso, dir sesq s QQ ≠ ; 
 
b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da 
seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. 
 
 
Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DEC 
apresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga. 
 
 
8.2 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ =⇒= 0H0F Bx 
 ∑ ⋅=+⇒= lqVV0F BAy 
 
2
lqV
2
lqV0
2
llqlV0M ABBA
⋅=⇒⋅=⇒=⋅⋅−⋅⇒=∑ 
 
 
 Numa seção genérica S, temos: 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅= 2
22
s
l
x
l
x
2
lq
2
xxqx
2
lqM 
 
 xq
2
lqQs ⋅−⋅= 
 
 
 
 
q 
A B
VA VB 
HB x
l
xq ⋅
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14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos 
correspondentes a 0x = e lx = , que são: 
 
 
2
lqQA
⋅= 
 
2
lqQB
⋅−= 
 
 
 O DMF será uma parábola de 2º grau, passando por zero em A e B e por um máximo 
em 2
lx = (seção onde 0
dx
dMQ == ), de valor 
8
lq
4
1
2
1
2
lqM
22
max
⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅= . 
 
Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do 2º grau e o DEC é 
retilíneo. 
 
 
* Construção Geométrica do DMF 
 
a) Sendo 
8
lqMM
2
1
⋅= , marcamos121 MMMM = 
b) Dividimos os segmentos 2AM e 2BM em partes iguais (por exemplo: oito), obtendo 
os pontos I a VII e I´ a VII´ que, ligados alternadamente, nos dão tangentes externas 
à parábola que é, então, facilmente obtida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
lq ⋅
⊕ DEC 
8
lqM 2max ⋅=
DMF 
2
lq ⋅ 
⊕ 
VII´ 
VI´ 
V´ 
IV´ 
III´ 
II´ 
I´ 
VII 
VI 
V 
IV 
III 
II 
I 
B A 
M1 
M2 
M 
8
lq 2⋅ 
8
lq 2⋅ 
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15
8.3 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga-Momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ =⇒= 0H0F Bx 
 ∑ =+⇒= 0VV0F BAy 
 
l
MV
l
MV0MlV0M ABBA −=⇒=⇒=−⋅⇒=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: O DMF, na seção de aplicação da carga-momento, sofre uma descontinuidade 
igual ao momento aplicado. 
 
 
Roteiro para traçado dos diagramas de esforços 
 
a) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática; 
b) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição 
de carga. 
 
 
Normas: 
 
a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas 
perpendiculares ao eixo da peça, nos pontos onde estão atuando; 
b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima 
nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas); 
 
 
 
 
 
 
 
M 
A B
VA VB 
HB 
a b
l
l
aM ⋅
l
M
 
DEC 
DMF 
⊕
l
bM ⋅ 
 
⊕ 
 
⊕N 
 
Q 
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16
c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baixo nas barras 
horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas); 
 
 
 
 
 
 
d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um 
ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de 
intensidade igual ao da carga atuante; 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma 
descontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento; 
 
 
 
 
 
 
f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha 
paralela em relação ao eixo da peça; 
 
g) Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante 
apresenta uma linha inclinada em relação ao eixo da peça. Já o diagrama de 
momento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada de 
carga no trecho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⊕ 
 
⊕M 
DEC DMF 
DMF 
DEC DMF 
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17
III – TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
 
1 – Tensões e deformações em barras carregadas axialmente 
 
 Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forças 
axiais P que produzem tração, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 A tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação da 
força P, é: 
 
 
A
Pσ = 
 
 O alongamento total da barra é designado pela letra δ. O alongamento específico ou 
alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade de comprimento) é dado 
por: 
 
 
L
δε = 
 
 
2 – Propriedades Mecânicas 
 
2.1 – Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação 
 
 A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é 
encontrada por meio de um teste de tração. 
 Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquina 
de testar e sujeito à tração. 
 A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a carga 
aumenta. 
 As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal da 
barra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do 
qual ocorre a deformação. 
 A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal de 
tração e compressão. 
 
 
L 
δ P 
P 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
18
 
 
 A forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte. 
Nesse diagrama, as deformações axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e as 
tensões correspondentes no eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No trecho de 0 a A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o 
diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é 
chamado de limite de proporcionalidade. 
2 
1 – cilindro e êmbolo 
2 – bomba hidráulica (medidor de vazão) 
3 – mesa (chassi) móvel 
4 – corpo de prova para tração 
5 – corpo de prova para compressão 
6 – mesa (chassi) fixo 
7 – manômetro (medidor de pressão) 
8 – fluido hidráulico 
x
x 
1 
7 
3 4 
5 
6 
8 
 1 2 3 4 5 6 7 x10−4 (ε) 
50
100
200
250
300
350
150 
 σ 
(MPa) 
A 
B 
D
E
E
*
F 
O 
C
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19
 Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as 
tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumento 
apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material e 
a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento. 
 Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-se 
plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de 
proporcionalidade. 
 No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, 
acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valor 
máximo ou tensão máxima (tensão de ruptura) no ponto D. Além desse ponto, maior 
deformação é acompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do 
corpo-de-prova no ponto E do diagrama. 
 Durante o alongamentoda barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da 
área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até 
o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão 
verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´). 
 É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas 
como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão 
ligeiramente menores do que os reais. 
 Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos 
os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento 
desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessa 
deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensão-
deformação. 
 A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande 
deformação plástica, é uma das características do aço. 
 
 
 a) diagrama σ x ε típico de b) diagrama σ x ε típico de 
 material dúctil material frágil 
 
 
 Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes 
da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou 
quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações. 
 As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são 
exemplos desses materiais. 
 É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob 
compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de 
proporcionalidade, escoamento e tensão máxima. 
 Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do 
escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão. 
 Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são 
muito maiores que as de tração. 
 
 
 
0 
σ
ε
0 
σ
ε 
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20
3 – Elasticidade 
 
 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando 
carregados por tração (ou compressão). 
 Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é 
gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento 
desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a 
retornar à forma original, é denominada elasticidade. 
 Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente 
elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a 
deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação 
permanente. 
 O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido 
sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo 
descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico. 
 Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade 
são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma 
propriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de 
proporcionalidade. 
 
 
3.1 – Lei de Hooke 
 
 Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região 
inicial de comportamento elástico e linear. 
 A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, 
pode ser expressa por: 
 
 εσ ⋅= E 
 
onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do 
material. 
 
 Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é 
diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo 
de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke. 
 Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é 
A
P=σ e a 
deformação específica é 
L
δε = . 
 Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da 
barra é 
AE
LP
⋅
⋅=δ . 
 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. 
 O produto AE ⋅ é conhecido como rigidez axial da barra. 
 A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga 
unitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é AE
L ⋅ . 
 De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir 
uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a L
AE ⋅ , que é o inverso da flexibilidade. 
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21
 Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados 
aplicando-se a expressão: 
AE
LP
⋅
⋅=δ . 
 A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinação 
da deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC e 
CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada 
parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de 
comprimento da barra, tal que: 
 
 ∑
= ⋅
⋅=
n
1i ii
ii
AE
LPδ 
 
 O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com 
diferentes seções transversais. 
 
 
3.2 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica 
 
 Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento 
axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu 
comprimento cresce. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da 
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por: 
 
 0,5)(0 
axial deformação
lateral deformação ≤≤= νν 
 
 Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, 
denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25. 
P P 
δl
δa L 
P
P
a
b
2P 
2P 
A 
B 
C 
D 
L1 
L2 
L3 
P
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22
 Para fins práticos, o valor numérico de ν é o mesmo, independentemente do material 
estar sob tração ou compressão. 
 Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material, 
pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na 
figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direçãoda 
força P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seção 
transversal do cubo passa a ser ( )21 εν ⋅− e o volume passa a ser ( ) ( )211 ενε ⋅−⋅+ . 
 
 Desenvolvendo a expressão, chega-se a: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )( )32222
22
2
221'V
211'V
11'V
ενενεενεν
ενενε
ενε
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
 
 
 Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se: 
 
 ( )ενε ⋅⋅−+= 21'V 
 
 A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial: 
 
 ( ) ( )νεενε∆ ⋅−⋅=−⋅⋅−+==− 21121VV'V 
 
 A variação do volume unitário é expressa por: 
 
 ( )νε∆ ⋅−⋅= 21
V
V
 
 
 A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra 
tracionada, desde que se conheçam a deformação ε e o coeficiente de Poisson ν. 
 
 Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando 
tracionado, pode-se concluir que ν é sempre menor do que 0,5. 
 
 
 
1 
1
1
ε 
ν.ε 
ν.ε 
P P 
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23
4 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite 
 
 Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas 
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise 
da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança. 
 
 Para os materiais dúcteis, tem-se 
1
y
>γ
σ
. 
 Para os materiais frágeis, tem-se 
1
u
>γ
σ
. 
 
 No concreto armado, 15,1aço =γ e 4,1conc =γ . 
 
 
5 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas 
 
 Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar 
às solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema, 
são encontradas nas condições de deformação. 
 Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura 
seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com 
uma força F em um ponto intermediário C. 
 
 As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades 
não podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio 
é: 
 
 FRR BA =+ 
 
 Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo: 
 
 0∆L∆L 0∆L 21 =+∴= 
 
 
( ) 0
AE
LFR
AE
LR 2A1A =⋅
⋅−+⋅
⋅
 
 
 0LFLRLR 22A1A =⋅−⋅+⋅ 
 
 ( ) 221A LFLLR ⋅=+⋅ 
 
DEN 
F
A
R
L1 L2 
C B
R
+ 
RA 
RA-F 
+ 
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24
 ( ) L
LF
LL
LFR 2
21
2
A ⋅=+
⋅= 
 
 
L
LF
L
LFFR 12B ⋅=⋅−= 
 
 O diagrama real do esforço normal é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – Tensões Térmicas 
 
 Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação 
de temperatura. 
 Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da 
temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou se 
contrair livremente. 
 Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente 
indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas. 
 A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação 
da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é 
denominada coeficiente de dilatação térmica α. 
 
 Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B. 
 Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios 
impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O diagrama de esforço normal é: 
 
 
- 
+ 
L
LF 2⋅ 
DEN 
L
LF 1⋅
A
B
L 
R
R
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se: 
 
 0∆L∆L TN =+ ∆ 
 
 0∆TL
AE
LR- =⋅⋅+⋅
⋅ α 
 
 AE∆TR ⋅⋅⋅= α 
 
 E∆T
A
R
x ⋅⋅−=−= ασ 
 
- 
R 
DEN 
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26
IV – CISALHAMENTO PURO 
 
 Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. 
 
 No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com 
relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em 
componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente 
normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma) e a 
componente vertical V irá provocar tensão de cisalhamento τ (tau). 
 
Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte, 
enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. 
 
 Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD. 
 
 
 
 
 
 
onde a área da seção transversal do rebite é denominada por A. 
 
 Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal 
do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento τ cuja intensidade média é 
A
F
med =τ . 
 
 A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento, 
consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de 
cisalhamento τ na sua face superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção 
horizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e em 
sentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irão 
produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que 
atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também 
iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio. 
 
 Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura 
anterior é dito em cisalhamento puro. 
 
Conclusão: 
a) as tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e 
opostos; 
b) as tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si. 
Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam” 
ou se “afastam” da linha de interseção dos planos. 
τ τ
τ
τ 
C 
F 
D 
AB 
F 
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27
 A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, que 
mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões 
normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam, 
porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo no vértice c, que media 2
π antes da deformação, fica reduzido a γπ −2 . 
Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para γπ +2 . O ângulo γ é a 
medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado 
deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento γ é 
igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela 
distância entre essas duas arestas (altura do elemento). 
 
 A determinação das tensões de cisalhamento τ em função das deformações de 
cisalhamento γ pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o 
diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante 
ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração. 
 Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação 
de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às 
deformações de cisalhamento: 
 
 γτ ⋅= G 
 
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como 
módulo de elasticidade transversal. 
 
 O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade 
longitudinal do material de acordo com a seguinte expressão: 
 
 ( )ν+⋅= 12
EG 
τ
τ
τ 
τ 
a b 
c d 
γ γ
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V – TORÇÃO 
 
1 – Torção em Barras de Seção Circular 
 
 Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas 
extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade 
da barra em relação à outra. 
 Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo 
φ (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na 
superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-
se que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se 
para b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante 
esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. 
 Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que 
a deformação de cisalhamento γ é igual a: 
ab
´bb=γ . 
 Chamando de dφ o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra, 
chega-se a φdR´bb ⋅= . 
 Sabendo que a distância ab é igual a dx, então: 
dx
dR φγ ⋅= . 
 Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa de 
variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta 
constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado porθ . 
 Assim, tem-se: 
 
T 
n 
n´ 
τ 
τ 
L 
x dx 
T φ 
n 
R 
a 
dφ 
dx
γ c b 
d 
d´
b´
R 
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L
RR φθγ ⋅=⋅= 
 
 As tensões de cisalhamento τ que agem nas faces laterais do elemento têm os 
sentidos mostrados na figura anterior. 
 A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke: 
 
 θγτ ⋅⋅=⋅= RGG 
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a ( )ν+⋅ 12
E
. 
 
 O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo, 
bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é: 
 
 θγ ⋅= r 
 
e a tensão de cisalhamento é: 
 
 θτ ⋅⋅= rG 
 
 Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam 
linearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversal 
é: 
 
 JGdArGdArGdArT
A
2
A
2
A
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫∫ θθθτ 
onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a ∫ ⋅
A
2 dAr . 
 Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que 
passam pelo centróide é: 
 
 
32
dJ
4⋅= π 
onde d é o diâmetro da seção transversal. 
 
 Tem-se, então: 
 
 
JG
T
L ⋅==
φθ 
 
r 
τ 
R 
d
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30
 A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento é 
diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto JG ⋅ , 
conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo. 
 Substituindo θ na equação da tensão de cisalhamento, tem-se: 
 
 
J
rT ⋅=τ 
 
 Logo, a tensão máxima de cisalhamento é: 
 
 
J
RT
max
⋅=τ 
 
2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada 
 
 Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seção 
circular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte do 
material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a 
economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de 
seção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção 
transversal é: 
 
 
J
rT ⋅=τ , com 21 rrr ≤≤ 
 
onde: 
( )
32
ddJ
4
i
4
e −⋅= π 
 
3 – Eixos Estaticamente Indeterminados 
 
 Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços 
internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura. 
 
Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de 
comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo 
tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinaro momento torsor 
em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB. 
 
r2 
r1 
r1 
τ 
r2 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsores 
desconhecidos, AT e BT , e apenas uma equação de equilíbrio: 
 
 120TT BA =+ 
 
 Devido aos engastes, o ângulo de torção φ total é nulo e, para equilibrar o momento 
torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 21 φφ = . 
 Tem-se, então: 
 
 
2
2B
1
1A
JG
LT
JG
LT
⋅
⋅=⋅
⋅
 
 
( )
AA4
44
A
1
2
B T59,0T
2032
162032T
J
JT ⋅=⋅⋅
−⋅=⋅= π
π
 
 
 Logo: 
 
 
Nm 5,44T
Nm 5,75T
120T59,0T
B
A
AA
=
=
=⋅+
 
125 mm 
125 mm 
120 N.m
B 
A 
C 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
32
VI – TENSÕES EM VIGAS 
 
1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor 
 
 Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de esforços solicitantes são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a 
flexão pura. 
 A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
L 
P P 
a 
P P 
- P 
DEC
P.a DMF
P 
Q = 0 
ρ 
dx 
dθ 
MM
a b
S0 S1
y 
O 
S0 S1 
dx x z 
y 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
33
 Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em 
relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores 
encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida. 
 Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em 
que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua 
interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção. 
 O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é 
representado na figura pelo ponto O. Chamando de θd ao ângulo entre os planos S0 e S1, e ρ ao raio de curvatura, obtém-se: 
 
 
dx
d1k θρ == 
 
onde k é a curvatura. 
 
 O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície 
neutra, é assim determinado: 
 
• Comprimento total da fibra ab: ( ) θρ dy ⋅+ 
• Comprimento inicial da fibra ab: dx 
• Alongamento: ( ) ( ) dxydxdxydxdy ⋅=−⋅+=−⋅+ ρρρθρ 
 
 A deformação correspondente é: 
 
 ykyx ⋅== ρε 
 
 E as tensões normais são: 
 
 yEkx ⋅⋅=σ 
 
 Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga 
em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha 
neutra, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A força longitudinal em dA é: 
 
 dAyEkdAdF x ⋅⋅⋅=⋅= σ 
 
 Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de dAx ⋅σ sobre 
a área da seção é nula: 
 
σ+ 
σ− 
ΜΜ z 
y
dA 
y
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34
 0dAyEkdAF
AA
x =⋅⋅⋅=⋅= ∫∫σ 
 
onde k e E são constantes. 
 
 Logo: 
 
 ∫ =⋅
A
0dAy → momento estático nulo. 
 
 Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal. 
 
 O momento fletor da força em relação à linha neutra é: 
 
 z
A
2
A
xz IEkdAyEkdAyM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫σ 
 
 Daí: 
 
 
z
z
IE
Mk ⋅= 
 
 Substituindo, obtém-se: 
 
 y
I
M
z
z
x ⋅=σ 
 
 Analogamente: 
 
 z
I
M
y
y
x ⋅−=σ 
 
 
Exercício: Qual maxF , se MPa50x ≤σ ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,0 m 2,0 m 
F 
+2F/3 
- F/3
+2/3.103 F 
2F/3 F/3 
DMF (N.mm) 
DEC (N) 
180 mm 
25 mm 
85 8525
z
y 
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35
 mm7,61
45004875
450011548755,12
A
Ay
y
i
ii =+
⋅+⋅=⋅= ∑
∑ 
 472
3
2
3
z mm 107,33,53450012
180252,494875
12
25195I ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= 
 
 50y
I
M
z
z
x ≤⋅=σ 
 
 503,143
107,3
10F3
2
7
3
≤⋅
⋅
⋅⋅
 
 
 N 359.19F ≤ 
 
 Nk 4,19Fmax = 
 
 
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36
2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante 
 
 Consideremos uma viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h , 
sujeita à carga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentos 
fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensões 
cisalhantes. 
 Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de 
dois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço 
cortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da 
largura mn do elemento. 
 Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões de 
cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de 
mesma intensidade (na face perpendicular). 
 A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstrada 
experimentalmente. 
 A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P 
no meio do vão. Verifica-se que, se não houver atritoentre as tábuas, a flexão de uma será 
diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração 
nas inferiores. 
 Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento, 
surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversal 
inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento τ ao 
longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido no 
caso anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela 
condição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversais 
adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra. 
V 
x 
C 
h 
b 
n 
m 
m 
n 
τ 
y 
z 
q 
P
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37
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões. 
Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nesta 
face, atua a tensão de cisalhamento horizontal τ que existe neste nível da viga. 
 Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais xσ produzidas pelos 
momentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equação 
de equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal). 
 Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), as 
tensões normais xσ nos lados np e m1p1 também serão iguais, o que colocará o elemento 
em equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento τ . 
 No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dA 
da face esquerda do elemento será: 
 
 dA
I
yM
dAdF
z
z
x ⋅⋅=⋅= σ 
 
 A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será: 
 
 ∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= 2hy z
z2h
y x
A
xe
11
dyy
I
M
bdybdAR σσ 
 
 De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é: 
 
 ∫ ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅=
2h
y z
z
z
z
d
1
dyydx
dxI
dM
I
M
bR 
 
 A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece: 
 
 ∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅=−
2h
yz
z2h
y z
z
ed
11
dAydx
dxI
dM
dyydx
dxI
dM
bRR 
 
 Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força de 
cisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a 
ed RR − , que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x. 
 
 A força de cisalhamento horizontal é dada por: 
 
 dxb ⋅⋅τ 
b 
y1 
h/2 
M+dM 
dx 
C
y 
y 
z 
n n1 
p p1 
h/2 
dA 
m m1 
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38
 Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e à 
esquerda do elemento, chega-se a: 
 
 ∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
2h
yz
z
1
dAydx
dxI
dM
dxbτ 
 
 ∫ ⋅⋅⋅=⋅ 2hyz 1 dAyI
Qbτ 
 
 
bI
mQ
z
z
⋅
⋅=τ 
 
que é a expressão da tensão de cisalhamento. 
 
 Na expressão anterior, tem-se que: 
 
 zm é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do plano 
em que se deseja determinar τ ; 
 b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar 
τ ; 
 zI é o momento de inércia em relação ao centróide da seção; 
 Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo. 
 
 
Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se: 
 
 
( )
12
hb
2
y
4
hyy2
hQ
bI
mQ
3z
z
⋅
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅−⋅
=⋅
⋅=τ 
 
 Desenvolvendo, chega-se a: 
 
 ( )
3
22
hb2
y4hQ3
⋅⋅
⋅−⋅⋅=τ 
 
que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares. 
b 
h/2 y 
h/2 
y 
z 
P 
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39
 Quando: 
 
 0
2
hy =⇒−= τ 
 
 
A
Q5,1
hb2
Q30y ⋅=⋅⋅
⋅=⇒= τ 
 
 0
2
hy =⇒= τ 
 
 A variação das tensões cisalhantes é parabólica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 – Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T 
 
 A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o 
valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções “I” e 
“T”, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas. 
 Como conseqüência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da 
linha neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da 
tensão cisalhante. 
 Assim, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima (arestas superior e 
inferior), a tensão tangencial é nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula, 
a tensão tangencial atinge seu valor máximo. 
 A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a 
alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h τmax 
h 
b 
ta 
tm 
τ σ 
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40
VII – FLEXÃO COMPOSTA 
 
1 – Flexão e Carga Axial 
 
 Os elementos de uma estrutura estão, algumas vezes, sujeitos à ação simultânea de 
cargas de flexão e axiais. 
 A figura mostra um exemplo desta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões resultantes em qualquer seção transversal da viga são obtidas pela 
superposição das tensões axiais devidas a N e M e podem ser calculadas pela equação: 
 
 z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z
x ⋅−⋅+=σ 
 
 O diagrama final de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 O princípio da superposição dos efeitos poderá ser aplicado, desde que se garanta 
a linearidade da distribuição das deformações longitudinais e das tensões normais em todos 
os pontos da seção transversal do elemento. 
 Quando o momento fletor for conseqüência de uma excentricidade e da carga N em 
relação ao centróide da seção, podemos escrever: 
 
 eNM ⋅= 
 
 A figura ilustra a situação. 
 
 
 
 
 
 
 
N
N
M = N.e
e
y 
=
y
N 
M 
N
M
x 
y 
z 
 σx (M) 
LN LN
σx (N) 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
41
Exercício: Calcular as tensões normais máximas no pilar de seção transversal quadrada 
submetido à força normal excêntrica, sabendo que N=4000 kN. Adotar: cm 20e = ; 
cm 3,13e = ; cm 10e = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os esforços solicitantes são: 
 
 N104N 6⋅−= 
 Nmm e104M 6z ⋅⋅−= 
 
 As características geométricas da seção são: 
 
 25 mm104,6800800A ⋅=⋅= 
 410
3
z mm104,312
800800I ⋅=⋅= 
 
 As máximas tensões normais, para mm200e = , são: 
 
 ( ) MPa6,15
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
⋅⋅⋅−+
⋅
⋅−=σ 
 ( ) ( ) MPa1,3
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =⋅
−⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 As máximas tensões normais, para mm133e = , são: 
 
 ( ) MPa5,12
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
3,1 MPa 
-15,6 MPa 
80 cm 
80 y 
z
zx
N
e
y
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
42
 ( ) ( ) 0
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =⋅
−⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 As máximas tensões normais, para mm100e = , são: 
 
 ( ) MPa 9,10
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 ( ) ( ) MPa6,1
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
−⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Haverá casos em que será importante garantir que, em um pilar comprimido pela 
ação de forças normais excêntricas, não haja inversão do sinal de tensão (como no caso do 
concreto, que é praticamente incapaz de suportar tensões de tração). Nesses casos, será 
necessário limitar uma região da seção, chamada núcleo central, onde as forças de 
compressão nela aplicadas produzirão apenas compressão sobre todas as seções 
transversais. 
 O exemplo mostra um pilar de seção retangular submetido à carga concentrada F 
com excentricidade e em relação ao eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10,9 MPa 
-1,6 MPa 
F
y
z
x
e
-12,5 MPa 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
43
 Os esforços solicitantes são: 
 
 FN −= 
 eFM z ⋅−= 
 
 Para que ocorram apenas tensões normais de compressão: 
 
 ( ) 0
12
hb
yeF
hb
F
3x
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
⋅⋅−+⋅
−=σ 
 ( ) ( ) 0
12
hb
2
heF
hb
F
3
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅−+⋅
− 
 
6
he ≤ 
 
6
hemax = 
 
 Analogamente, se a força F estivesse aplicada com excentricidade e em relação ao 
eixo y, o máximo valor de e seria 6
b . 
 
 A figura mostra o núcleo central da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No caso de um pilar com seção circular, de diâmetro d, o núcleo central tem área 
também circular de raio igual à máxima excentricidade admissível, tal que: 
 
 ( ) ( ) 0
64
d
2
deF
4
d
F
42
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−
ππ
 
 
8
de ≤ 
 
8
demax = 
 
 
 
 
 
y 
z 
b/6
h/6
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
44
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Flexão e Torção 
 
 Tal como vimos anteriormente, os elementos de uma estrutura podem também estar 
solicitados simultaneamente por cargas de flexão e de torção. Sob tais condições, a 
determinação das tensões em um ponto qualquer da seção transversal será feita utilizando 
o princípio da superposição dos efeitos, somando-se algebricamente as tensões devidas 
a cada um dos esforços, isoladamente. 
 
 
d 
d/4 
F
y
zx
e
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
45
VIII – ANÁLISE DE TENSÕES 
 
1 – Tensões em Planos Inclinados 
 
 Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples, as tensões numa seção 
transversal mn, normal ao seu eixo, são uniformemente distribuídas e iguais a A
P . 
 Consideremos as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com 
a seção transversal mn. As forças que representam a ação do lado direito sobre o lado 
esquerdo da barra são uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma vez que a parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da 
carga externa P, conclui-se que a resultante das forças distribuídas sobre a seção inclinada 
é igual a P. 
 Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que são normal e 
tangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtém-se: 
 
 θcosPN ⋅= 
 
 θsenPV ⋅= 
 
 Como a área A´ da seção inclinada é θcosA , as tensões correspondentes a N e V 
são: 
 
 θσθσθ 2x2 coscosA
P
A´
N ⋅=⋅== (1a) 
 
 θθσθθτθ cossencossenA
P
A´
V
x ⋅⋅=⋅⋅== (1b) 
 
onde A
Px =σ é a tensão normal à seção transversal da barra. 
 
 Nas equações anteriores, θσ e θτ são, respectivamente, as tensões normal e de 
cisalhamento no plano pq, cuja orientação é definida pelo ângulo θ. 
q
m
n
p θ 
PP
θ 
RP
N 
V
θ P
σθ 
τ
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
46
 A Eq. (1a) mostra como a tensão normal θσ varia em função do ângulo θ. Quando 
0=θ , o plano pq coincide com mn, acarretando xσσθ = . Se o ângulo θ aumentar, a 
tensão θσ diminuirá até que, em 2πθ = , anula-se. Assim, xmax σσ = . 
 A Eq. (1b) mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando 0=θ e 2πθ = , 
atingindo o valor máximo quando 4
πθ = . Este máximo é 2xmax στ = . 
 
Convenção de sinais: 
 
a) Tensões normais positivas θσ são