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UNIDADE 6: INTEGRAIS MÚLTIPLAS Nesta unidade vamos introduzir a ideia de integrais múltiplas e suas aplicações no cálculo de volumes, áreas, massas, centro de gravidade, além de suas aplicações no campo da estatística. 6.1. Integrais duplas sobre retângulos Antes de iniciarmos o trabalho com integrais múltiplas vamos relembrar os conceitos básicos relativos à integral definida para funções de uma variável. Se 𝑓(𝑥) é definida no intervalo [𝑎, 𝑏] subdividimos então este intervalo em n subintervalos iguais de comprimento ∆𝑥 = ି e altura 𝑓(𝑥∗). Em seguida efetuamos a soma das áreas destes intervalos, no limite de 𝑛 → ∞ para obtermos a integral definida de a até b da função 𝑓(𝑥). න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim →ஶ 𝑓(𝑥∗)∆𝑥 ୀଵ Ainda em relação a integral de uma variável devemos lembrar ainda que esta, definida como no parágrafo anterior, representa a área abaixo da curva formada pela função 𝑓(𝑥) de a até b, para uma função 𝑓(𝑥) ≥ 0. 6.2. Volumes e Integrais duplas De modo semelhante, vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado 𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝଶ| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} e vamos, inicialmente, supor que 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0. O gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) é a superfície com equação 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Seja S o sólido que está contido na região acima e R e abaixo do gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦), ou seja, 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝଷ| 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} Nosso objetivo será determinar o volume de S. Primeiramente vamos dividir o retângulo R em sub-retângulos iguais Rij. Fazemos isto dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos de mesmo comprimento ∆𝑥 = ି e dividindo o intervalo [c,d] em n subintervalos iguais ∆𝑦 = ௗି , como mostrado na figura abaixo. Onde é fácil observar que cada sub-retângulo terá uma área ∆𝐴 = ∆𝑥∆𝑦. Se definirmos que todos os pontos dentro de um mesmo sub-retângulo possuem alturas iguais 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) poderemos aproximar o volume S pela soma dos volumes das caixas formadas abaixo da curva 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) pela subdivisão do domínio R. 𝑉 ≈ 𝑓൫𝑥 , 𝑦൯∆𝐴 ୀଵ ୀଵ Assim como no caso da área abaixo da curva para uma única variável, se levamos m e n à proximidade do infinito teremos o valor exato da área abaixo da superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e definimos assim a integral dupla sobre um retângulo R. Definição: A integral dupla de 𝑓 sobre o retângulo R é ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ோ = lim ,→ஶ 𝑓൫𝑥 , 𝑦൯∆𝐴 ୀଵ ୀଵ 6.2.1. Propriedades das integrais duplas Propriedade 1: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴ோ = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴ோ + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴ோ Propriedade 2: ∬ 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴ோ = 𝑐 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴ோ Propriedade 3: Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) para todo (x,y) em R, então ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ோ ≥ ඵ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ோ 6.3. Integrais iteradas Assim como no caso de integrais de apenas uma variável o calculo das integrais duplas diretamente pela definição é consideravelmente complicado. Dessa forma para calcularmos o resultado de uma integral dupla lançaremos mão do Teorema Fundamental do Cálculo para uma variável, calculando a integral dupla como uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funções de uma variável real. Considere 𝑓(𝑥, 𝑦) sobre um retângulo 𝑅 = 𝑥 × 𝑦 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑]. A integral desta função pode ser escrita como ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ோ Como sabemos que a área 𝑑𝐴 é um retângulo podemos dizer que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥, o que nos permite reescrever a integral acima como න න 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ௗ 𝑑𝑥 = න ቈන 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ௗ 𝑑𝑥 A integral do lado direito da equação acima é chamada integral iterada, significando que para resolvermos a integral devemos primeiro integrar em relação a y (considerando x constante) e depois integrar em relação a x (considerando y constante). Uma vez que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 a integral da função 𝑓(𝑥, 𝑦) também pode ser escrita sobre a forma න න 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 ௗ = න ቈන 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 ௗ O que nos mostra que, desde de que nos atentemos para os limites de integração em x e em y a ordem de integração não altera o resultado final obtido (Teorema de Fubini). Exemplo 6.1. Calcule o valor das integrais: a) ∫ ∫ 𝑥²𝑦ଶଵ ଷ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 b) ∫ ∫ 𝑥²𝑦ଷ ଶ ଵ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Exemplo 6.2. Calcule a integral dupla ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴ோ , sabendo que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 3𝑦² e que 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝଶ| 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}. Exemplo 6.3. Calcule ∬ 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)ோ 𝑑𝐴, onde 𝑅 = [1,2] × [0, 𝜋]. Exemplo 6.4. Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico 𝑥² + 2𝑦² + 𝑧 = 16, os planos 𝑥 = 2e 𝑦 = 2, e os três planos coordenados. Exemplo 6.5. Se 𝑅 = [0, 𝜋/2] × [0, 𝜋/2] determine o valor de V, sabendo que 𝑉 = ∬ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑦)ோ 𝑑𝐴. EXERCÍCIOS: J. Stewart, Cap. 15. Exercícios ímpares da página 992 (434 PDF) do 3 ao 23 e página 993 (435 PDF) do 24 ao 29.
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