equações diferenciais

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Capítulo
1
ObjetivOs
Ao término deste capítulo, você será 
capaz de:
 j Reconhecer a importância das equações 
diferenciais e entender como elas se 
originam nas ciências e na engenharia.
 j Identificar funções contínuas e 
descontínuas.
 j Realizar operações básicas de cálculo, 
tais como diferenciação e integração.
 j Classificar as equações diferenciais de 
acordo com: a ordem, a linearidade, o tipo 
do coeficiente e a homogeneidade.
 j Classificar as soluções da equação 
diferencial como geral, particular, 
explícita ou implícita.
 j Resolver equações diferenciais simples 
por integração direta.
 j Usar programas de computador para 
resolver equações diferenciais simples de 
primeira ordem e representar suas 
soluções por meio de gráficos. 
int rodução às equações 
Di ferenciais
A diferença entre as equações algébricas e as diferenciais está no fato de que estas envolvem derivadas em suas funções. Como o estudo das equações diferenciais requer um bom entendimento de cálculo, o estudante deverá 
revisar alguns tópicos importantes, como variáveis dependentes e independentes, 
funções contínuas e descontínuas, derivadas ordinárias e parciais, diferenciais e 
incrementos, e integração. 
Neste capítulo, abordam-se a importância das equações diferenciais e o valor 
do modelamento matemático para resolver problemas do mundo real. Serão apre-
sentados exemplos de como equações diferenciais são originadas a partir de pro-
blemas práticos e suas soluções. Depois de uma breve revisão sobre alguns 
conceitos de cálculo, apresentaremos a classificação das equações diferenciais e 
trataremos das equações lineares e não lineares, e daquelas com coeficientes cons-
tantes ou variáveis. Apresentaremos a solução de algumas equações diferenciais 
simples por meio de integração direta. Finalmente, alguns programas de computa-
dor serão utilizados para resolver equações diferenciais simples e traçar gráficos. 
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2 Equações Diferenciais
1–1 equações Diferenciais
Uma expressão matemática que possui um sinal de igualdade é chamada de equa-
ção. Uma equação que envolve as derivadas de uma ou mais funções é denomi-
nada equação diferencial. Em outras palavras, uma equação diferencial expressa 
a relação entre as funções e suas derivadas. A expressão “equação diferencial” é 
utilizada desde 1676, quando Leibniz a criou. Há muito tempo esse tipo de equa-
ção é adotado amplamente por cientistas e engenheiros para modelar e resolver 
uma vasta gama de problemas práticos.
Você pode estar questionando o porquê do aprendizado de equações diferen-
ciais, já que, aparentemente, o uso de equações algébricas tem sido suficiente para 
resolver qualquer problema até o momento. A resposta a esse questionamento, de 
maneira resumida, é que até o momento o leitor foi exposto, na maioria dos casos, 
a problemas que resultaram somente em equações algébricas. De agora em diante, 
o estudante conhecerá problemas que são encontrados em vários campos das ciên-
cias e da engenharia, cujas formulações originam equações diferenciais e cujas 
soluções dependem da solução dessas equações.
A descrição da maioria dos problemas científicos envolve razões (taxas) que 
relacionam mudanças entre variáveis-chave. Geralmente, quanto menor for o 
incremento escolhido em uma variável estudada, mais geral será a aplicação do 
modelo e mais exata a descrição do problema. No caso-limite de mudanças infini-
tesimais ou diferenciais nessas variáveis, obtêm-se equações diferenciais que pro-
porcionam formulações matemáticas precisas para as leis e os princípios físicos, 
por meio da representação das razões das mudanças como derivadas. Portanto, 
equações diferenciais são usadas para investigar uma grande variedade de proble-
mas nas ciências e na engenharia, além de fazerem parte da formação educacional 
dessas áreas.
O estudo de fenômenos físicos envolve dois passos importantes. No primeiro 
passo, identificam-se todas as variáveis que afetam o fenômeno, elaboram-se 
pressuposições e aproximações razoáveis sobre ele e investiga-se a independên-
cia das variáveis. As leis e os princípios relevantes da física são empregados, e o 
problema é modelado matematicamente, em geral na forma de uma equação dife-
rencial, a qual é muito instrutiva e mostra o grau de dependência de algumas va-
riáveis em relação a outras e a importância relativa de vários termos. No segundo 
passo, a equação diferencial é resolvida por meio de um método apropriado e 
obtém-se uma razão entre a função desconhecida e as variáveis independentes 
(Fig. 1–1).
 Vários processos que aparentemente se comportam de maneira randômica 
são, na verdade, governados por leis físicas nem sempre perceptíveis. Independen-
temente de nossa percepção, essas leis regem, de forma consistente e predetermi-
nável, os eventos que aparentemente são desconexos. Muitas dessas leis são bem 
determinadas e conhecidas pelos cientistas, o que permite predizer o curso de um 
dado evento mesmo antes da sua ocorrência, ou estudar matematicamente os vá-
rios aspectos de um evento sem a necessidade de experimentos dispendiosos e 
demorados.
Considere, por exemplo, a queda livre de uma rocha que parte do alto de um 
penhasco, conforme Fig. 1–2. Nesse caso, o objetivo é saber em quanto tempo a 
rocha irá atingir o solo. Uma forma de obter essa informação é marcar o tempo de 
lançamento da rocha e o tempo de impacto, quando ela atinge o solo. O tempo 
desejado é obtido pela diferença entre os valores registrados. Outra possibilidade 
figura 1–1 Modelo matemático de 
problemas de física.
Identificar 
variáveis 
importantes Elaborar 
pressuposições 
e aproximações 
razoáveisAplicar 
as leis físicas 
relevantes
Aplicar 
uma técnica 
de solução
Aplicar as 
condições inicias 
e de contorno
Problema de física
Uma equação diferencial
Solução do problema
figura 1–2 Queda livre de uma rocha 
atirada do alto de um penhasco.
Solo
m
h
m
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 3
é a formulação de um modelo matemático desse processo (em que se devem utili-
zar todas as leis físicas relevantes), que deve ser resolvido em função da variável 
de interesse – nesse caso, o tempo de queda. Quanto mais realista for o modelo 
matemático construído, mais exatos serão os resultados obtidos. Como o leitor 
deve se lembrar, a queda livre de um corpo é governada pela lei da gravidade, e o 
tempo de queda é facilmente determinável pela equação ght /2=∆ , onde h é a 
distância vertical e g, a aceleração gravitacional local.
Muitos resultados para problemas práticos relevantes podem ser obtidos com 
boa exatidão ao se utilizarem modelos matemáticos apropriados e realísticos. Por 
exemplo, na análise da resposta da temperatura de uma batata em um forno, po-
dem-se aplicar as propriedades térmicas da água (Fig. 1–3). Além de bom senso, a 
preparação desses modelos requer um conhecimento adequado dos fenômenos 
naturais envolvidos e das leis relevantes. Um modelo não realístico irá produzir, 
obviamente, resultados inexatos e, portanto, inaceitáveis.
Em geral, o analista deve escolher entre um modelo muito exato (porém 
complexo) e um mais simples (porém não tão exato). A escolha correta depen-
derá da situação, o que significa que o analista optará por um modelo simples 
que forneça resultados adequados. A preparação de modelos complexos que for-
necem resultados muito exatos geralmente não é tão difícil. Entretanto, esses 
modelos não serão de grande utilidade se forem difíceis de resolver. No mínimo, 
o modelo matemático deve refletir as características essenciais do problema que 
representa. 
O processo de queda livre, abordado neste capítulo, será formulado com 
base apenas no efeito da gravidade, e não se considerará a resistência do ar e avariação da aceleração da gravidade g com a altura. Essas simplificações são 
bastante razoáveis para a maioria dos objetos em queda, pois permitem a obten-
ção de uma resposta bastante simples para o problema. Porém, elas são obvia-
mente inaceitáveis para objetos em queda submetidos a uma grande resistência 
do ar, como um paraquedas.
Há muitos problemas relevantes do mundo real que podem ser analisados com 
modelos matemáticos simples. Deve-se sempre ter em mente que os resultados 
obtidos da análise desses modelos são totalmente dependentes das suposições fei-
tas para simplificar o problema. Dessa forma, as soluções obtidas não devem ser 
aplicadas a situações não cobertas pelas suposições adotadas.
As soluções que não são consistentes com a natureza do problema indicam 
que o modelo matemático usado carece de refinamento. Na elaboração de um 
modelo mais realístico, uma ou mais das suposições questionáveis devem ser 
eliminadas, o que resultará em uma equação mais complexa, que será obvia-
mente mais difícil de resolver. Qualquer solução de uma equação diferencial 
deve, então, ser interpretada no contexto em que a equação foi originada.
revisão
Os problemas marcados com a letra c são conceituais para discussão 
1–1C Por que as equações diferenciais são utilizadas no lugar de equações algébricas 
para modelar problemas significativos do mundo real?
1–2C Descreva o processo de preparação de modelos matemáticos práticos para aplica-
ções em problemas do mundo real.
Forno
Batata
Ideal Real
175 ºC
Água
figura 1–3 O modelo matemático é 
uma ferramenta poderosa que possibilita 
uma boa percepção e simplificação do 
problema à custa de uma perda parcial 
da exatidão.
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4 equações diferenciais
1–2 cOmO sãO geraDas as equações Diferenciais
Como anteriormente mencionado, as equações diferenciais são geradas quando se 
aplicam as leis e os princípios relevantes da física a um problema, considerando 
variações infinitesimais das variáveis de interesse. Dessa forma, a obtenção de 
uma equação diferencial que governa um problema específico requer conheci-
mento adequado sobre a natureza do problema, as variáveis envolvidas, as suposi-
ções aplicadas com o propósito de simplificação, as leis e os princípios da física 
aplicados, além de uma análise cuidadosa. O processo para obtenção das equações 
diferenciais em algumas áreas será demonstrado por meio de exemplos.
F
O s
m
figura 1–4 Esquema para o 
Exemplo 1–1.
EXEMPLO 1–1 segunda lei de newton do movimento
Usando a segunda lei de Newton do movimento, obtenha a equação que descreve a 
posição s de uma massa m sobre trajetória retilínea, que sofre a influência de uma 
força F ao agir na mesma direção do movimento.
sOluçãO A segunda lei de Newton do movimento é uma relação entre variá-
veis que possuem módulo, direção e sentido, corretamente expressas por meio de 
vetores. Entretanto, a simplificação aplicada ao problema, com a força sendo apli-
cada na direção do movimento retilíneo, como mostra a Fig. 1–4, permite que as 
variáveis envolvidas sejam expressas na forma escalar, usando somente o módulo 
delas. Nesse caso, as grandezas com direções opostas são indicadas por sinais 
contrários.
A velocidade V e a aceleração a são definidas como:
e
aa dVdVdtdt
dd
dtdt aa aa
dsds
dtdt
dd22
22
ss22s22
dtdt
VV dsdsdtdt
Dessa forma, a equação diferencial que relaciona a distância percorrida s é 
obtida pela aplicação da segunda lei de Newton do movimento, que é força = 
massa × aceleração ou:
(1–1)(1–1)
Quando se rearranjam os termos, temosQuando se rearranjam os termos, temos
(1–2)(1–2)
dd22ss22s22
dtdt22
FF((FF(FF tt))
mm
FF((FF(FF tt)) mama((tt)) mmdd
22ss22s22
dtdt22
que é a equação diferencial desejada. Observe que, em geral, não é usada a notação 
que indica explicitamente a dependência de uma função em relação à variável inde-
pendente. Para obtermos uma simplificação, F pode ser adotado no lugar de F(t).
Aqui, F(t) é a função dada que descreve a variação da força com o tempo.
Como um caso especial, considere uma queda livre de um corpo sobre a in-
fluência da gravidade. Quando se descarta a resistência do ar, a única força a atuar 
sobre esse corpo é a força da gravidade. Considerando o sentido para cima como 
positivo, em relação a um eixo cartesiano adotado (como um eixo z), a força gravi-
tacional pode ser expressa como F = –mg, onde g é a aceleração gravitacional local 
(o sinal negativo se deve ao sentido da atuação da força, que, nesse caso, está 
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 5
agindo para baixo). Ao substituirmos s por z e F(t) por –mg, e realizarmos algumas 
simplificações na Eq. 1–2, obtemos a Eq. 1–3
((1–31–3))
dd 22zz
dtdt22 gg
onde z é a distância vertical (altura) em relação a um ponto de referência, como a 
base do penhasco (solo). A queda livre de um corpo com a resistência do ar será 
estudada no Cap. 2.
EXEMPLO 1–2 lei de newton do resfriamento
Considere uma pequena e sólida esfera de cobre, com massa m e raio R, a qual está 
inicialmente estabilizada em uma temperatura Ti = 20 °C. Essa esfera é, então, co-
locada em um recipiente que contém água quente a uma temperatura T0 = 70 °C, 
como mostra esquematicamente a Fig. 1–5.
Como esperado, o calor é transferido da água para a esfera e a temperatura co-
meça a subir. O calor específico do Cu, em uma condição de temperatura próxima 
à condição ambiente, é c = 0,39 kJ/kg °C. Esse valor significa que é necessário 
0,39 kJ para aumentar a temperatura de 1 kg de cobre em 1 °C. Também é dado o 
coeficiente de transferência de calor durante esse processo, que é h = 0,02 kW/°C · m2, 
isto é, 0,02 kJ de calor é transmitido para o cobre, por unidade de tempo, por uni-
dade de área superficial da esfera do cobre e por unidade de diferença de tempera-
tura entre a esfera e a água. Obtenha a equação diferencial que governa a variação 
de temperatura da esfera com o tempo t.
sOluçãO A temperatura de um corpo varia, de maneira geral, com a parte do 
corpo em análise e também com o tempo. Porém, variações de temperatura entre 
as partes do corpo podem ser desprezadas quando este é pequeno e composto de 
metal, ou seja, com base premissa, a temperatura é a mesma em cada ponto 
constituinte desse corpo, em um dado tempo. Dessa forma, a temperatura da es-
fera em análise pode ser considerada apenas como função do tempo. É impor-
tante notar que essa suposição não é realista para corpos de grandes dimensões, 
especialmente quando eles são constituídos por materiais que são pobres condu-
tores de calor.
É sabido que um corpo frio, quando mantido em um ambiente mais quente, 
aquece-se gradualmente e, ao final, atinge a temperatura do ambiente. Entretanto, 
em um determinado tempo t, a temperatura da esfera estará entre 20 e 70 °C, mas 
não sabemos o valor exato. Uma estimativa precisa da temperatura em um tempo 
determinado, como t = 30 segundos, requer uma formulação exata do problema, 
que é obtida pela aplicação da lei de Newton do resfriamento e do princípio de 
conservação de energia 
A lei de Newton do resfriamento é expressa por 
(1(1–4–4))QQ hAhA ((TT00TT0TT TT ))
onde:
Q = razão de transferência de calor para a esfera em um tempo t;
A = área superficial da esfera;
h = coeficiente de transferência de calor entre a esfera e o ambiente;
T = temperatura em um dado tempo t;
T0 = temperatura do ambiente.
O princípio de conservação de energia estabelece que a energia não pode ser 
criada ou destruída. Dessa forma, o aumento da quantidade de energia na esfera 
Água
T0 = constante
Calor
figura 1–5 Esquema para o 
Exemplo 1–2.
Cobre
Ti
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6 equações diferenciais
deve ser igual à quantidade total de calor transferidapara a esfera. Durante o inter-
valo de tempo Δt, a temperatura da esfera será elevada a uma quantidade ΔT, onde 
m é a massa da esfera e c, o calor específico do cobre. O total de calor transferido 
para a esfera durante Δt pode ser calculado simplesmente pelo uso da expressão 
QΔt, pois Q é a razão de transferência de calor (calor transferido por unidade de 
tempo). Dessa forma:
Aumento daAumento da
quantidade dequantidade de
enerenergia da esfera gia da esfera 
durante durante ΔΔtt
 T Transferência total ransferência total T Transferência total T T
de calor para a de calor para a 
esfera durante esfera durante ΔΔtt
==(( (( T T( T T(( ((
ou mcΔt = hA(T0 – T) Δt, onde:
m = massa da esfera;
c = calor específico do cobre.
Dividindo por Δt, tem-se
ΔΔTT
ΔΔtt
hAhA
mcmc ((TT00TT0TT TT ))
Adotando o limite de Δt → 0, chega-se a:
(1–5)(1–5)
dTdT
dtdt
hAhA
mcmc ((TT00TT0TT TT ))
Trata-se da equação diferencial desejada que descreve a variação da temperatura 
com o tempo. A solução dessa equação irá resultar em uma função que relaciona a 
temperatura da esfera em função do tempo. Tal solução será abordada no Cap. 2.
É importante notar que as equações diferenciais descrevem os fenômenos físi-
cos para um intervalo específico das variáveis independentes. Dessa forma, a solu-
ção dessa equação diferencial é aplicável somente a esse intervalo. Por exemplo, a 
Eq. 1–5 descreve a variação da temperatura em função do tempo, limitando-se à 
esfera de cobre do problema, e não pode ser usada para determinar a temperatura 
em um ponto fora dela. Essa equação descreve também o processo desde o início, 
quando a esfera foi imersa no tanque com água quente, sendo aplicável no intervalo 
0 ≤ t < ∞. Sendo assim, a solução não pode ser usada para predizer a temperatura 
da esfera em um tempo inferior à sua imersão.
EXEMPLO 1–3 taxas de capitalização compostas instantâneas
Uma pessoa aplica uma quantia A em um banco que oferece uma taxa de rendi-
mento anual r. Assumindo taxa de capitalização composta instantânea, obtenha a 
equação que rege o comportamento da variação da quantia A aplicada no banco, 
com o tempo t.
sOluçãO Para preparar o terreno para a aplicação das derivadas, podemos 
considerar como exemplo o depósito de $ 100 em um banco cuja taxa de rendi-
mento anual é de 4%, ou 0,04. Assumindo que a capitalização da taxa é anual, 
tem-se, nesse período, um acréscimo de $ 4 ao valor inicialmente depositado. 
Caso o depósito fosse de $ 200, o valor a ser acrescido ao depósito inicial, 
nesse mesmo período, seria de $ 8. Para um período de capitalização de dois 
anos, o valor a ser acrescido em cada caso seria um pouco maior que o dobro do 
total de um ano.
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 7
Pode-se concluir que a quantia a ser acrescentada ao depósito inicial, no final 
do período de capitalização, é proporcional à quantia depositada A e ao tempo de 
depósito em anos. A constante de proporcionalidade é a taxa de rendimento anual r. 
Dessa forma, ΔA = rAΔt
ou 
∆∆AA
∆∆ tt
rArA
Ao adotarmos o limite Δt → 0, obtemos a equação que descreve a variação da 
quantia depositada no banco em relação ao tempo, como resultado da taxa com-
posta instantânea:
(1–6(1–6))
dAdA
dtdt
rArA
Nessa equação, r é a taxa de rendimento anual expressa como número decimal 
e t é o tempo expresso em anos. Como será visto no Cap. 2, a solução dessa equa-
ção diferencial é dada por:
(1–7)(1–7)AA AA00eertrt
onde A0 é a quantia depositada no tempo t = 0.
EXEMPLO 1–4 lei de lambert de absorção
Quando a luz ou outra radiação passa através de um meio, parte dela é absorvida. 
Quanto maior for a distância percorrida pela luz no meio, maior será a quantidade 
absorvida. Adotando E para a quantidade de energia radiante de um feixe de luz, 
obtenha a equação diferencial que descreva a atenuação da luz com a distância s.
sOluçãO Quando a luz ou outra radiação percorre um meio homogêneo, pode-
-se observar que uma fração constante de energia é absorvida por unidade de com-
primento na direção de propagação, como ilustra a Fig. 1–6. Essa é outra forma de 
dizer que a absorção da radiação por unidade de comprimento é proporcional à 
magnitude da radiação. Dessa forma, adotando-se as mesmas premissas dadas no 
Exemplo 1–3, a equação diferencial que rege o processo de absorção pode ser ex-
pressa por:
(1–8)(1–8)
dEdE
dsds
αEαE
onde α é a fração de radiação absorvida por unidade de comprimento denominado 
coeficiente de absorção, cuja unidade é metro–1. A variável independente s é a 
distância percorrida pela luz na direção de propagação, e E, a energia radiante do 
feixe em estudo. Por analogia com o Prob. 1–3, a solução da equação diferencial é 
dada por
(1–9))EE EE00ee αsαs
onde E0 é a energia radiante do feixe em s = 0. Os detalhes dessa solução serão 
apresentados no Cap. 2.
figura 1–6 Absorção da radiação de 
luz na medida em que esta se propaga 
através de um lago.
1 m 10
Lago
9
8,1
2 m
3 m
s
72,9
81
0
90
α = 0,1
100 
unidades
Feixe de 
radiação
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8 equações diferenciais
EXEMPLO 1–5 reação química
Químicos e engenheiros devem ser capazes de predizer as mudanças de concentra-
ções em uma reação. Um modelo usado para vários processos, em que existe ape-
nas um único reagente, é:
Razão da mudança da concentração química =
 
dCdC
dtdt
 – kCn
onde C é a concentração química e k, a constante de reação. A ordem da reação é o 
valor atribuído ao expoente n. As informações a seguir descrevem a reação de pri-
meira ordem, que combina brometo de terc-butil e água para produzir terc-butanol 
e brometo de hidrogênio.
(CHH33))33CBrCBr HH22O →O→ (C(CHH33))33COCOHH HBHBrr
A partir de dados experimentais, o valor de k foi estimado em k = 0,0537 por hora. 
Determine a concentração após 2 horas, com base em uma concentração inicial de 
C0 = 0,1 mol/L.
sOluçãO Usando n = 1 e k = 0,0537, temos:
dCdC
dtdt
0,0,05305377CC
Essa equação é idêntica à apresentada na Eq. 1–8. Por analogia, pode-se chegar à 
solução C(t) = C0e–kt ou C(t) = 0,1e–0,0537t.
Substituindo t = 2 horas nessa equação, obtemos C(2) = 0,1e–0,0537(2) = 0,0892 mol/L.
EXEMPLO 1–6 circuito RC
A Fig. 1–7 mostra um circuito contendo um resistor e um capacitor. A bateria pos-
sui tensão contínua V e o capacitor está inicialmente descarregado. A chave está 
inicialmente fechada no ponto B. Em t = 0, a chave é comutada para o ponto A. 
Obtenha o modelo de equação diferencial que relaciona a tensão no capacitor em 
função do tempo.
sOluçãO A relação tensão-corrente do capacitor estabelece que a tensão v1(t) é 
a integral da corrente i(t) no tempo dividida pela capacitância e somada à tensão 
inicial do capacitor (que, no exemplo, é zero). Dessa forma:
vv11((tt))
11
CC
tt
00
ii((tt))ddttddtdd
Derivando os dois lados da equação 
dvdv11
dtdt
11
CC
ii
A relação de tensão corrente do resistor é dada por
ii
VV vv11
RR
figura 1–7 Circuito RC com tensão 
contínua.
BV
i
v1C
RA
+
–
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 9
Substituindo a última equação na primeira e rearranjando os termos, temos
(1–10(1–10))RRCC
dvdv11
dtdt
vv11 VV
Trata-se de uma equação diferencial linear ordinária de primeira ordem, cuja solu-
ção pode ser obtida aplicando os métodos que serão apresentados no Cap. 2.
EXEMPLO 1–7 fluxo através de um orifício
A Fig. 1–8 apresenta um corte de um tanque que possui paredes laterais e uma base 
de área A. Um líquido é bombeado, com um fluxo volumétrico qvi, e despejado na 
parte superior do tanque. Um furo é feito na lateral do tanque para possibilitar o 
vazamento do líquido. Obtenha o modelo por equaçõesdiferenciais da altura do 
líquido h no tanque.
sOluçãO Por volta de 1640, Torricelli descobriu que o fluxo volumétrico atra-
vés de um orifício é proporcional à raiz quadrada da diferença das pressões. Usando 
o princípio de conservação de massa e assumindo uma densidade da massa do lí-
quido ρ, nota-se que a razão de mudança de massa no tanque, dada por ρAh1, deve 
ser igual à diferença entre a injeção de massa do líquido qmi (líquido despejado pela 
bomba) e a fuga qmo (mensurada pela quantidade perdida pelo vazamento). Dessa 
igualdade, obtém-se
dd((ρAρAhh11 ))
dtdt
qqmimi qqmomo
Fazendo qmi = ρqvi e h1 = h + L, tem-se que dh1/dt = dh/dt. Então,
ρρAA
dhdh
dtdt
ρqρqvivi qqmomo
Como o recipiente é submetido à pressão atmosférica, a queda de pressão ao 
longo do orifício é calculada pela expressão ρgh. Quando se aplica o princípio de 
Torricelli, temos
qqmomo kk!!ρgρg!!ρg!! hhρgρghρgρg
onde k é a constante de proporcionalidade. O modelo resultante pode ser dado por 
(1–11(1–11))ρρAA
dhdh
dtdt
ρρqqvivi kk!!ρgρg!!ρg!! hhρgρghρgρg
Como veremos posteriormente neste capítulo, essa equação é denominada equação 
não linear porque a variável dependente h aparece em uma raiz quadrada. A solução 
dessa equação será vista na Seção 1–6.
revisão
1–3C O que é necessário para se obter uma equação diferencial exata?
1–4C Por que realizamos premissas para simplificar os modelos que se utilizam de equa-
ções diferenciais?
figura 1–8 Tanque contendo um 
orifício.
h1
ρa
qvi
h
LA
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10 Equações Diferenciais
1–5 Considere um paraquedas descendo com uma velocidade constante V0. Com base 
na segunda lei de Newton do movimento, obtenha a equação diferencial que descreve a 
posição do paraquedas em relação ao solo em função do tempo. Considere como positiva a 
direção para cima.
(Resposta: d
2Z
dt 2 z ″ 0, com as condições iniciais z′(0) = V(0) = –V0.)
1–6 Uma pessoa deposita uma quantia A em um banco com taxa de remuneração anual r 
composta continuamente e, ao mesmo tempo, retira o dinheiro a uma taxa constante a. 
Obtenha a equação diferencial que descreve a quantia no banco em função do tempo.
(Resposta: dAdt iA a.)
1–3 revisãO DOs cOnceitOs básicOs1
O estudo de equações diferenciais requer um bom conhecimento dos conceitos 
fundamentais do cálculo. Nesta seção, iremos rever alguns desses conceitos na 
profundidade necessária. O leitor pode consultar qualquer livro de cálculo para 
uma discussão mais profunda.
variáveis dependentes e independentes 
Uma equação geralmente envolve uma ou mais variáveis. Como o próprio nome 
sugere, variável é uma grandeza que pode assumir vários valores durante um es-
tudo. Uma variável com valor fixo durante o estudo é denominada constante. Cons-
tantes são geralmente denotadas pelas primeiras letras do alfabeto: a, b, c e d; e, as 
variáveis, pelas últimas: t, x, y e z. Uma variável cujo valor pode mudar de maneira 
arbitrária é denominada variável independente ou argumento. Uma variável cujo 
valor depende dos valores de outras variáveis é denominada variável dependente 
ou função (Fig. 1–9).
Uma variável dependente y que tem uma relação de dependência com a variável 
x geralmente é expressa por y(x). Porém, essa notação é inconveniente quando y é 
usada muitas vezes na mesma equação. Nesses casos, é mais adequado usar y no 
lugar de y(x) quando fica claro que y é função de x. Essa simplificação melhora a 
aparência e a leitura das equações. O valor de y em relação a um valor fixo de a é 
expresso por y(a).
Durante um estudo, é comum a restrição de uma variável em um certo inter-
valo. Um intervalo tem seus extremos limitados por dois números dos quais um é o 
limite superior e o outro é o limite inferior. Esse intervalo é denominado fechado se 
inclui os valores-limite, do contrário é denominado intervalo aberto. Por exemplo, 
se o limite do raio em uma equação P = 2πr é estabelecido para valores entre r1 = 3 
e r2 = 7,5, incluindo os valores-limite, pode-se dizer que o intervalo de r é de 3 a 7,5, 
expresso por 3 ≤ r ≤ 7,5. Como temos a inclusão dos valores-limite, dizemos que o 
intervalo é fechado.
funções contínuas e descontínuas
No estudo e na caracterização de funções, um conceito de máxima importância é 
o da continuidade. Uma função y é chamada de contínua em um número se (1) a 
função é definida nesse número (isto é, y(a) é um número finito), (2) existe o li-
mite lim y(x)
x→a
 e (3) esse é igual ao valor da função no ponto a. Ou seja a, função y 
é contínua em a se
 (lim y(x)
x→a
 = y(a)) (1-12)
1 Esta seção foi incluída para revisar os conceitos já conhecidos pelos estudantes e pode ser ignorada sem 
prejuízo de continuidade.
figura 1–9 O valor da variável 
dependente possui uma relação de 
dependência com o valor da variável 
independente.
Função y (x) = x2 + 1
Variável 
independente
x
1
2
2,5
8
 2
 5
 6,25
65
Variável 
dependente
y
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 11
Quando uma função não é contínua em a, dizemos que ela é descontínua ou 
possui uma descontinuidade em a. A função é denominada contínua em um inter-
valo se ela é contínua para cada número desse intervalo. A função é denominada 
descontínua em um intervalo mesmo que ela possua descontinuidade em apenas 
um valor desse intervalo.
Funções contínuas podem ser desenhadas em um gráfico sem retirar o lápis 
do papel. Funções descontínuas envolvem saltos abruptos ou tendem ao infinito 
em algum número do intervalo. O gráfico da Fig. 1–10 apresenta uma função 
descontínua em três pontos: a, b e c. É interessante frisar que essa função é con-
tínua em qualquer intervalo que não contenha um desses três pontos.
Derivadas e diferenciais
As derivadas e diferenciais são os tijolos usados para construir as equações dife-
renciais, por isso serão revistas brevemente. A derivada de uma função y(x) em 
um ponto é equivalente à inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele 
ponto e é definida como (Fig. 1–11)
(1–13)y′ (x ) lim
∆x→0
y(x ∆x ) y(x )
∆x
Uma função é denominada diferenciável em x se existe limite da função no 
ponto x. Uma função é denominada diferenciável em um intervalo fechado se é 
diferenciável em cada número desse intervalo. Não podemos associar continui-
dade com diferenciabilidade. Uma função não é diferenciável em um ponto que 
apresenta uma mudança abrupta de inclinação (que pode ser vista pelo apareci-
mento de uma “quina” no gráfico). Por exemplo, o gráfico apresentado na Fig. 
1–12 não é diferenciável em a, já que a inclinação da função, quando é feita de a 
pela direita, é diferente da inclinação quando da aproximação feita pela esquerda.
Pela definição dada, Δx representa uma variação (pequena) na variável inde-
pendente e é denominado incremento de x. A mudança correspondente na função y 
é denominada incremento de y e representada por Δy. Ela é expressa como
(1–14)∆y y(x ∆x ) y(x )
Usando a notação de incremento, a derivada de uma função pode ser expressa 
como
(1–15)y′ (x ) lim
∆x→0
y(x ∆x ) y(x )
∆x
lim
∆x→0
∆y
∆x
A derivada de uma função pode ser vista como a razão entre o incremento Δy 
e o incremento Δx da variável independente. Pode-se afirmar que Δy (e com isso 
também y′(x)) será igual a zero se a função y não variar com x.
O incremento Δx da variável independente x pode também ser representado 
por d x, que é denominado diferencial da variável independente. Então, a diferen-
cial da variável dependente dy é definida como 
(1–16)dy y′(x ) ∆x y′(x )dx
figura 1–10 Função com 
descontinuidades em a, b e c.
y
xcba
y
y (x)
y (x)
y (x + Δx)
x
x
Linha 
tangente
x + Δx
Δx
Δy
figura 1–11 A derivada de uma 
função em um ponto específico 
representa a inclinaçãodessa função 
naquele ponto.
figura 1–12 Uma função com duas 
inclinações em um ponto é não 
diferenciável (não tem uma derivada) 
naquele ponto.
y
y (x)
x
a
Inclinação de y 
quando é feita a aproximação 
de a pela direita
Inclinação 
de y quando é 
feita a 
aproximação de 
a pela esquerda
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12 Equações Diferenciais
É importante notar que o incremento Δx e a diferencial dx da variável indepen-
dente são idênticos, entretanto isso não pode ser afirmado para a variável depen-
dente, a não ser quando ela é uma função linear de x (resultando em uma linha 
reta). O incremento Δy representa a mudança na função y resultante de uma va-
riação Δx em x, enquanto a diferencial dy representa o incremento na linha tan-
gente (ou decremento, quando dy é negativo), resultante de uma mudança de x 
para x + Δx (Fig. 1–13). Quando Δx é pequeno, temos que dy ≈ Δy, e, dessa 
forma, dy pode ser usado como uma aproximação da mudança Δy. Essa observa-
ção se constitui na base de um método numérico popular para solução de equa-
ções diferenciais, denominado método da diferença finita. A experiência 
mostra que, tomando certos cuidados, muitos bons resultados podem ser obtidos 
dessa maneira.
Para dx ≠ 0, a Eq. 1–16 pode ser escrita como
(1–17)y′(x ) dydx
que é uma outra notação bastante usada para derivadas, na qual se utilizam termos 
de diferenciais. Essa notação é originada dos trabalhos de Leibniz, que a usou em 
meados do século XVII.
Quando uma função complexa se deriva como
(1–18)y(x ) (2x2 3x ) 3 5
é conveniente definir uma nova variável, como u = 2x2 – 3x, de forma que y = y(u) 
ou y = y[u(x)]. Uma derivada de uma função desse tipo pode ser determinada pela 
aplicação da regra da cadeia, expressa da seguinte forma: se y = y(u), u = u(x) e 
ambas as derivadas dy/du e du/dx existirem, então a derivada da função y em rela-
ção a x pode ser dada como 
(1–19)
dy
dx
dy
du
du
dx
No exemplo apresentado, y = u3 + 5 e u = 2x2 – 3x. Com isso, a aplicação da regra 
da cadeia resulta em (Fig. 1–14)
(1–20)
dy
dx
dy
du
 
du
dx
(3u2 ) (4x 3) 3(2x2 3x ) 2(4x 3)
A maioria dos problemas encontrados na prática envolve variáveis que sofrem 
variação em função do tempo t, e as primeiras derivadas representam a razão 
de mudança dessas variáveis. Por exemplo, se N(t) representa a população de 
uma colônia de bactérias em um determinado tempo, então a derivada primeira 
N′ = dN/dt representa a razão da mudança da população, denotando o incre-
mento ou decremento da população por unidade de tempo.
A derivada da derivada primeira de uma função, caso ela exista, é denominada 
derivada segunda de y e é representada por y″. Da mesma forma, a derivada 
da derivada segunda de y é denominada derivada terceira e é representada por y‴. 
Em geral, a derivada da derivada (n – 1) de y é denominada derivada n-ésima e é 
representada por y(n). Derivadas de ordem superior são, também, representadas 
usando a notação diferencial, como
figura 1–13 Representação gráfica de 
um incremento Δy e uma diferencial dy 
de uma função y(x).
y
dx = Δx
x
x x + Δx
Δy
dy
y (x)
figura 1–14 Aplicação da regra da 
cadeia para a solução da derivada de uma 
função y que depende de u, que, por sua 
vez, depende de x.
Solução:
Encontre
y = u3 + 5 e u = 2x2 – 3x
= ?dydx
Dada a função
=
= (3u2) (4x – 3)
= 3(2x2 – 3x)2 (4x – 3)
dy
dx
dy
du
du
dx
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 13
(1–21)y″
d 2y
dx2
, y‴
d3y
dx3
 , …, y(n)
dny
dxn
onde n é um número inteiro positivo denominado ordem de uma derivada. A ordem 
de uma derivada não deve ser confundida com outro conceito: o grau da derivada. 
Por exemplo, y″′ representa uma derivada de terceira ordem de y, mas (y′)3 repre-
senta o terceiro grau de uma derivada de primeira ordem de y. A ordem de uma de-
rivada será indicada por algarismos romanos, como em yIV, ou pelo número de 
apóstrofos sobrescritos, como em y′ e y″, ou ainda por um número sobrescrito entre 
parênteses, como em y(n – 2) e y(n). É importante observar que a derivada primeira de 
uma função representa a inclinação ou a razão da mudança de uma função em rela-
ção a uma variável independente, já a derivada segunda representa a razão de mu-
dança da inclinação de uma função em relação à variável independente.
Por vezes, deseja-se analisar a dependência de uma função em relação a apenas 
uma variável independente, mesmo quando uma função depende de duas ou mais 
variáveis (como x e t). Para tanto, deve-se utilizar a derivada da função em relação à 
variável de interesse e manter todas as demais como constantes. Tais derivadas são 
denominadas derivadas parciais. As primeiras derivadas parciais da função y(x, t) 
em relação a x e t são representadas, respectivamente, por yx e yr, e definidas como:
(1–22)yx(x, t) lim
∆x→0
y(x ∆x, t) y(x, t )
∆x
0y
0x
e 
(1–23)yt(x, t ) lim
∆t→0
y(x, t ∆ t ) y(x, t )
∆ t
0y
0t
com a condição de haver esses limites. No cálculo de yt, x é tratado como uma 
constante e realiza-se a derivada de y em relação a t. De forma análoga, no cálculo 
de yx, t é tratado como uma constante e realiza-se a derivada de y em relação a x. 
Nesse caso, a diferencial dy da variável dependente y(x, t) é definida como
(1–24)dy yx dx yt dt
0y
0x
dx
0y
0t
dt
onde dx e dt são, respectivamente, as diferenciais das variáveis independentes x e t 
(Fig. 1–15). Neste capítulo, consideraremos inicialmente funções dependentes 
de apenas uma variável, trabalhando dessa forma principalmente com derivadas 
ordinárias.
integração
A integração pode ser vista como o processo inverso da diferenciação (Fig. 1–16). 
A integração é comumente usada na resolução de equações diferenciais, pois a 
resolução de uma equação diferencial é essencialmente um processo de encon-
trar o resultado de 1y′(x)dx quando y′(x) é dada. A integral dessa derivada é ex-
pressa por
(1–25)
ˇ
y′(x )dx
ˇ
dy y(x ) C
figura 1–15 Representação gráfica da 
derivada parcial (0y/0x).
y
t
t
x
∂y
∂x( (
= 6x + 2 = y
y = 6x + 2
ydx = 3x2 + 2x + CI =
dI
dx
Integral da derivada:
Integral da função:
Função dada:
E
figura 1–16 Diferenciação e 
integração são processos inversos, 
e a integração pode ser conferida pela 
diferenciação da integral.
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14 Equações Diferenciais
já que y′(x)dx = dy (Eq. 1–16) e a integral da derivada de uma função resulta na 
própria função (adicionada de uma constante). Na Eq. 1–25, x é a variável de in-
tegração, e C, uma constante arbitrária, denominada constante de integração.
A derivada de y(x) + C resulta em y′(x), independentemente do valor atribuído 
à constante C. Dessa forma, duas funções que se diferem apenas por suas constan-
tes possuem derivadas semelhantes, e, por isso, sempre é adicionada uma cons-
tante no processo de integração para recuperar a constante perdida durante a 
diferenciação. A integral da Eq. 1–25 é denominada integral indefinida, já que o 
valor da constante arbitrária C é indefinido.
A derivada da Eq. 1–25 pode ser estendida para derivadas de ordens superiores 
(Fig. 1–17). Por exemplo:
(1–26)y″(x )dx y′(x ) C
Isso pode ser provado pela definição de uma nova variável u(x) = y′(x). Nesse 
processo, estabelece-se uma diferenciação para obter u′(x) = y″(x) e, então, aplica-
-se a Eq. 1–25. Em termos gerais
(1–27)y(n)(x )dx y(n 1)(x ) C
Dessa forma, reduz-se a ordem de uma equação diferencial sempre que a ordem é 
submetida a uma integral.
Nesta seção, foram revistos rapidamente alguns aspectos importantes do 
cálculo, de forma a preparar o terreno para as equações diferenciais. Solicita-
-se ao leitor a realização de estudos mais profundospara obter um bom enten-
dimento desses conceitos e a capacidade de usá-los. A experiência mostra que 
a maioria das dificuldades enfrentadas pelos estudantes no estudo das equa-
ções diferenciais advém de um conhecimento deficiente de cálculo. Por exem-
plo, a equação
(1–28)xdx
x2
2
C
está correta, e o mesmo, se pode afirmar em 
(1–29)ydy
y2
2
C
No entanto, a equação
(1–30)ydx
y2
2
C
está INCORRETA. Se a Eq. 1–30 estivesse correta, não precisaríamos mais das 
tabelas contendo as integrais das funções. Basta elevar ao quadrado a integral de 
uma função, dividir o resultado por 2 e acrescentar uma constante arbitrária. Nem 
sempre os estudantes conseguem perceber esses detalhes e, por isso, cometem al-
guns erros.
figura 1–17 Algumas integrais 
indefinidas que envolvem diferenciais 
e derivadas.
dy = y + C#
yʹdx = y + C#
yʺdx = yʹ + C#
yʺʹdx = yʺ + C#
y(n)dx = y(n–1) + C#
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 15
revisão
1–7C O que é uma variável? Em um problema, como distinguir uma variável dependente 
de uma independente?
1–8C Como identificar uma função descontínua?
1–9C Qual é a diferença entre as derivadas ordinárias e as parciais?
1–10C Qual é a diferença entre o grau e a ordem de uma derivada?
1–11C Considerando uma função y(x) e sua derivada dy/dx, pode-se determinar a derivada 
pelo cálculo de dx/dy e depois inverter o resultado?
1–12 Determine os intervalos em que as seguintes funções são contínuas: 
(a) (b)
(c) (d)
ex
x2 1
1
x
(x 1) ln xx 2
(Respostas: (a) Contínuas para todo x. (b) Contínuas para todo x positivo. (c) Contínuas 
para todo x, com exceção de x = 0. (d) Contínuas para todo x, com exceção de x = ±1.)
1–13 Determine a derivada das seguintes funções:
(a) (b)
(c) (d) sen2(x!x )(x2 1)3eln x
e 3x sen xx ln 2x
3!x
2
sen(2x!x
(x2 1)2(7x2 1).e 3x(3 sen x cos x ).ln(2x ) 1.(Respostas: )c()b()a(
(d) ).)
1–14 Resolva as seguintes integrais:
(a)
(b)
5
1
cln 3x 5
x
ddx
3x2 e 3x sen 5x 4dx
( 4 ln 3 4 ln
x3
3
e 3x
3
cos 5 x
5
C.Respostas: .)5)b()a(
1– 4 classificaçãO Das equações Diferenciais
Uma equação diferencial que envolve apenas derivadas ordinárias, de uma ou mais 
variáveis dependentes, em relação a uma única variável independente é denominada 
equação diferencial ordinária, e uma equação diferencial que envolve derivadas 
parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes é denominada equação 
diferencial parcial (Fig. 1–18). Com base nisso, conclui-se que problemas que en-
volvem uma única variável independente resultam em equações diferenciais ordiná-
rias, e problemas que envolvem duas ou mais variáveis independentes resultam em 
equações diferenciais parciais. Aqui, estudaremos apenas as equações diferenciais 
ordinárias, e os problemas a serem resolvidos serão limitados a equações do tipo
(1–31)y‴ 3x2y′ 4y xex 2
que possui uma única variável independente. Nesse exemplo, y é a variável depen-
dente (função desconhecida) e x é a variável independente.
(b) Equação diferencial parcial:
= 2x2 + 6
(a) Equação diferencial ordinária:
– 2d
2u
dx2
du
dx
= 2x2 + et– 2∂
2v
∂x2
∂v
∂t
figura 1–18 Equação diferencial 
ordinária e equação diferencial parcial.
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16 Equações Diferenciais
Uma equação diferencial pode conter muitas derivadas, de várias ordens, de 
uma função desconhecida. A ordem da derivada mais alta de uma equação diferen-
cial é a denominada ordem da equação. Por exemplo, a ordem da equação y‴ + 
(y″)6 = 4x5 é 3, já que essa equação não contém derivadas de ordem superior.
Uma equação diferencial estará na sua forma-padrão quando o coeficiente da 
derivada de mais alta ordem for igual a um. Por exemplo, a Eq. 1–31 está na sua 
forma-padrão, já que o coeficiente de sua derivada mais alta y‴ é 1. Uma equação 
pode ser colocada na sua forma-padrão dividindo toda a equação pelo coeficiente 
da derivada de ordem superior.
Uma equação linear, como 3x – 5 = 0, é mais simples de ser resolvida que a 
equação x4 + 3x – 5 = 0, porque a primeira equação é linear, enquanto a segunda é 
não linear, como podemos nos recordar da álgebra. Essa afirmação também é apli-
cável às equações diferenciais. Dessa forma, antes de resolvermos uma equação 
diferencial, geralmente testamos sua linearidade. Uma equação diferencial será 
chamada de linear se (1) a variável dependente e suas derivadas possuírem grau 
um e (2) seus coeficientes dependerem apenas da variável independente. 
Ou seja, uma equação diferencial será linear se puder ser escrita de uma forma 
que não envolva:
(1) Qualquer potência na variável dependente e suas derivadas (como y3 ou (y″)2).
(2) Qualquer produto das variáveis dependentes e suas derivadas (como yy′ ou 
y′y‴).
(3) Qualquer outra função não linear da variável dependente (como sen y ou ey).
Caso contrário, a equação diferencial é não linear.
Uma equação diferencial linear pode conter:
(1) Potências ou funções não lineares da variável independente (como x2 e cos x).
(2) Produtos da variável dependente (ou suas derivadas) com funções da variável 
independente (como x3y′, x4y ou e–2 2xy″) (ver Fig. 1–19).
Com base nisso, podemos afirmar que o modelo do circuito RC da Eq. 1–10 é 
linear.
(1–10)RC
dv1
dt
v1 V
O modelo de um tanque com vazamento em um orifício, Eq. (1–11), é não linear 
porque a variável dependente h está dentro de uma raiz quadrada, portanto é ele-
vada ao expoente ½.
(1–11)ρA
dh
dt
ρqvi k!ρgh
Uma equação diferencial linear de ordem n pode ser expressa, de forma geral, 
como
(1–32)y (n) f1(x )y (n 1) … fn 1(x )y′ fn(x )y R(x )
Uma equação diferencial que não pode ser colocada dessa forma é não linear.
Uma equação diferencial linear é denominada homogênea se R(x) = 0 para 
todo x em consideração. Caso contrário, ela é não homogênea (Fig. 1–20). Isto é, 
cada termo, em uma equação linear homogênea, contém a variável dependente, ou 
uma de suas derivadas, após a simplificação dos fatores comuns da equação. O 
termo R(x) é denominado termo não homogêneo.
figura 1–19 Equação diferencial 
linear (a) e não linear (b). Quando 
testamos a linearidade, apenas a variável 
dependente é verificada.
3(yʺ)2 – 4yyʹ + e2xy = 6x2
(a) Equação não linear:
3x2yʺ – 4xyʹ + e2xy = 6x2
(b) Equação linear:
Potência Produto
Outra 
função não 
linear
figura 1–20 Equação linear não 
homogênea e sua correspondente 
equação homogênea.
(b) A equação homogênea correspondente é:
(a) Equação linear não homogênea:
yʺ + 3yʹ – 8x2y = 0
Diferente de zero
Zero
yʺ + 3yʹ – 8x2y = 6e–2x – 5
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 17
Uma equação linear homogênea de ordem n pode ser expressa, de forma geral, como
(1–33)y (n) f1(x)y(n 1) … fn 1(x)y′ fn(x )y 0
O termo “homogênea” é também usado para descrever um tipo especial de 
equação diferencial de primeira ordem, que será abordado no Cap. 2.
EXEMPLO 1–8 classificação de equações diferenciais
Determine a ordem das sete equações diferenciais dadas e indique se elas são linea-
res ou não lineares. Indique, também, quais equações lineares são homogêneas.
1.1.
2.2.
3.3.
4.4.
5.5.
6.6.
7.7. yy‴‴ yy′′ sesenn yy 0,0,22
yy″″ 33xyxy44 ee 22xx
yy″″ 33xx44yy44y44 00
yy‴‴ 2 (2 (yy2 (2 (y2 (2 ( ′ )′ )22 33yy 55
yy″″ 33yyyy′′ 00
yy″″ 33yy 22xx 55
yy″″ 33yy 00
sOluçãO Pela análise atenta dessas equações, obtêm-se as seguintes conclusões:
1. Segunda ordem, linear, homogênea.
2. Segunda ordem, linear, não homogênea.
3. Segunda ordem, não linear.
4. Terceira ordem, não linear.
5. Segunda ordem, linear, homogênea.
6. Segunda ordem, não linear.
7. Terceira ordem, não linear.
As equações diferenciais também podem ser classificadasde acordo com natu-
reza dos coeficientes da variável dependente e suas derivadas. Uma equação 
diferencial será denominada coeficientes constantes se os coeficientes de todos 
os termos que envolvem as variáveis dependentes ou suas derivadas forem cons-
tantes. Se, após a simplificação, para eliminação de termos comuns, qualquer 
termo das variáveis dependentes ou de suas derivadas contiver um coeficiente 
com variável independente, a equação será denominada coeficientes variáveis 
(Fig. 1–21). Com exceção das Eqs. (5) e (6), todas as outras do Exemplo 1–8 
têm coeficientes constantes.
Equações diferenciais ordinárias são caracterizadas por possuírem apenas uma 
variável independente. A maioria das equações diferenciais aqui estudadas tem, 
também, uma única variável dependente ou função desconhecida. Entretanto, às 
vezes nos deparamos com duas ou mais funções desconhecidas, em duas ou mais 
equações relacionadas. Essas equações são denominadas sistemas de equações 
diferenciais e normalmente resolvidas usando álgebra linear. Por exemplo,
z″ 2y 2z sen x 0
y″ 3y′ 5z 0
é um sistema de duas equações diferenciais em duas funções desconhecidas, z e y, 
sendo x a variável independente.
figura 1–21 Equação diferencial 
com (a) coeficientes constantes e 
(b) coeficientes variáveis.
(b) Com coeficientes variáveis:
(a) Com coeficientes constantes:
yʺ – 6x2yʹ – y = xe–2x
Variável
yʺ + 6yʹ – 2y = xe–2x
Constante
2
x – 1
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18 Equações Diferenciais
revisão
1–15C Qual é a diferença entre uma equação algébrica e uma diferencial?
1–16C Qual é a diferença entre uma equação diferencial ordinária e uma diferencial?
1–17C Como é determinada a ordem de uma equação diferencial?
1–18C Como pode ser diferenciada uma equação diferencial linear de uma diferencial não 
linear?
1–19 Determine a ordem de cada uma das equações diferenciais dadas, indique se elas 
são lineares ou não lineares e se possuem coeficientes constantes ou variáveis.
)b()a(
)d()c(
(e) xy‴ 2xyy″ 3xy 5x3
y″ 2exy 0y″ x4y′ y 0
y″ 3xyy′ 0y‴ 3y 8x
(Respostas: (a) Terceira ordem, linear, coeficiente constante. (b) Segunda ordem, li-
near, coeficiente variável. (c) Segunda ordem, linear, coeficiente variável. (d) Terceira 
ordem, não linear, coeficiente constante.)
1–5 sOluções Das equações Diferenciais 
A solução de uma equação diferencial pode ser um processo tão fácil quanto resol-
ver uma ou mais integrais, mas trata-se de uma exceção, e não de regra. Não há 
um método de solução geral simples aplicável a qualquer equação diferencial. Ao 
contrário, existem técnicas de soluções diferentes para diferentes classes de equa-
ções diferenciais. Algumas vezes, a solução de equações diferenciais envolve duas 
ou mais técnicas, bem como habilidade e domínio da aplicação dos métodos de so-
lução. Por vezes, algumas equações somente podem ser resolvidas pelo uso de 
manipulações engenhosas. Outras não possuem solução analítica.
Em álgebra, geralmente se procuram valores discretos que satisfaçam uma 
equação algébrica (como x2 – 7x + 10 = 0). Entretanto, no caso de equações dife-
renciais, procuram-se funções que satisfaçam a equação em intervalos específicos. 
Por exemplo, a equação algébrica x2 – 7x + 10 = 0 é satisfeita por apenas dois 
números: 2 e 5. A equação diferencial y′ – 7y = 0 é satisfeita pela função e7x para 
qualquer valor de x (Fig. 1–22).
Considere a equação algébrica x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0. Obviamente x = 1 satis-
faz a equação e, por isso, é uma solução. Entretanto, não é a única solução dessa 
equação. É facilmente demonstrável, por substituição, que x = 2 e x = 3 também 
satisfazem a equação, sendo também soluções dessa equação. Portanto, o conjunto 
1, 2 e 3 constitui a solução completa dessa equação algébrica.
A mesma forma de raciocínio se aplica a equações diferenciais, que possuem 
múltiplas soluções que contêm pelo menos uma constante arbitrária. Qualquer fun-
ção que satisfaça uma equação diferencial em um intervalo é chamada de solução 
da equação diferencial. Uma solução que possui uma ou mais constantes arbitrárias 
representa uma família de funções que satisfazem a equação diferencial e é cha-
mada de solução geral da equação. Uma solução geral poderá ainda ser classifi-
cada como solução completa, se todas as soluções da equação diferencial forem 
obtidas desta. Uma solução obtida a partir da solução geral, por meio da atribuição 
de valores particulares para as constantes arbitrárias, é denominada solução parti-
cular ou solução específica. Uma solução que não pode ser obtida pelo processo 
de atribuição de valores particulares para as constantes arbitrárias na solução geral 
é denominada solução singular.
figura 1–22 Ao contrário das equações 
algébricas, as soluções das equações 
diferenciais geralmente são funções, em 
vez de valores discretos.
(b) Equação diferencial:
Solução: y = 2 e y = 5
Solução: y = e7x
(a) Equação algébrica:
yʹ – 7y = 0
y2 – 7y + 10 = 0
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 19
Em álgebra, um número é solução da equação se ele satisfaz a equação. Por 
exemplo, x1 = 2 é uma solução da equação x3 – 8 = 0, pois a substituição da variável 
x pelo número 2 resulta em um valor nulo. Da mesma forma, uma função é solução 
de uma equação diferencial se a função satisfaz essa equação. Em outras palavras, a 
função-solução conduz à identidade quando a substituímos na equação diferencial.
EXEMPLO 1–9 solução de uma equação diferencial
Mostre que y1 = 3e–2x é solução da equação diferencial y″ – 4y = 0.
sOluçãO A função dada será solução da equação diferencial se sua derivada 
segunda for subtraída do resultado do produto de 4 por essa mesma função e o re-
sultado for igual a zero. As derivadas primeira e segunda da função dada são, res-
pectivamente, y1 = – 6e–2x e y″1 = 12e–2x.
Dessa forma, temos y″ – 4y = 12e–2x – 4(3e–2x) = 0. Com base nisso, pode-se afirmar 
que y1 é solução da equação diferencial.
EXEMPLO 1–10 solução geral de uma equação diferencial
Mostre que y1 = Cxe2x + 2x – 3 é solução da equação diferencial y″ – 4y′ + 4y = 8x 
– 20, independentemente do valor da constante arbitrária C.
sOluçãO A primeira e a segunda derivadas de y1 = Cxe2x + 2x – 3 são:
yy′′11 CC ((ee22xx 22xexe22xx)) 22 CeCe22xx 22CxCxee22xx 22
e
yy″″11 22CeCe22xx 22CC ((ee22xx 22xexe22xx)) 44CeCe22xx 44CxCxee22xx
Dessa forma, temos
88xx 2020
44CeCe22xx 44CxCxee22xx 44CeCe22xx 88CxCxee22xx 88 44CxCxee22xx 88xx 1212
yy″″ 44yy44y44 ′′ 44yy44y44 (4(4CeCe22xx 44CxCxee22xx )) 4(4(CeCe22xx 22CxCxee22xx 2)2) 4(4(CxCxee22xx 22xx 3)3)
Portanto, y1 é a solução da equação diferencial, independentemente do valor de C. 
Trata-se de uma solução geral, pois ela possui uma constante arbitrária.
Examinaremos novamente a equação diferencial que descreve a elevação de tem-
peratura de uma esfera de cobre, quando esta é submersa em um recipiente con-
tendo água quente a temperatura T0 (Eq. 1–5). Como será visto no Cap. 2, a 
solução geral dessa equação é
(1–34)T(t ) T0 (T0 C )e hAt/mc
onde C é uma constante arbitrária. Pode ser facilmente demonstrado, por substi-
tuição direta, que essa solução satisfaz a Eq. 1–15, independentemente do valor 
assumido pela constante C. Em outras palavras, a Eq. 1–15, como qualquer outra 
equação diferencial, tem um número infinito de soluções, já que a constante arbi-
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20 Equações Diferenciais
trária pode assumir um número infinito de valores diferentes. Voltando à esfera de 
cobre, tanto a equação diferencial quanto a solução geral não contêm a tempera-
tura inicial da esfera Ti. Porém, certamente podemos esperar que a temperatura da 
esfera, em um tempo t, dependa de Ti. Substituindo t = 0 na Eq. 1–34, temos que 
C = T(0) = Ti (já que T(0)indica a temperatura da esfera no tempo t = 0), que é a 
temperatura inicial. Substituindo esse resultado, a solução se torna
(1–35)T(t ) T0 (T0 Ti )e hAt/mc
A Fig. 1–23 contém um conjunto de curvas que representam soluções para a 
equação diferencial. Nesse conjunto, fixa-se o valor de hA/mc e atribuem-se dife-
rentes valores a Ti, o que resulta em uma família de curvas sem pontos de interse-
ção. É importante ressaltar que cada curva corresponde a um valor específico de 
Ti, que está marcado no eixo de temperatura, ou seja, em t = 0. Portanto, quando 
uma temperatura inicial é especificada, também temos especificada a solução da 
equação diferencial. A solução de interesse pode, então, ser identificada pela sua 
interseção do eixo T no valor específico Ti.
Esse exemplo mostra que, apesar de um problema bem definido possuir ape-
nas uma solução, a equação diferencial que descreve o problema pode possuir um 
número infinito de soluções. Isso se deve ao fato de que uma equação diferencial 
é uma relação entre as mudanças das variáveis dependente e independente, não 
incorporando informações sobre os valores assumidos pelas funções e por suas 
derivadas em valores fixos da variável independente.
Consequentemente, muitos problemas diferentes, relacionados com o mesmo 
fenômeno físico, possuem a mesma equação diferencial. Por exemplo, a Eq. 1–35 
é a equação diferencial para o aquecimento (ou mesmo resfriamento) de uma 
figura 1–23 Gráfico de curvas que 
representam soluções da temperatura em 
função do tempo para a Eq. 1–35. 
(a) Comportamento das soluções para um 
valor fixo hA/mc e quando se atribuem 
quatro valores diferentes à temperatura 
inicial Ti. (b) Comportamento das 
soluções para um valor fixo de Ti e quatro 
valores diferentes hA/mc.
(a)
t
0
T0
T(t)
Incrementando Ti
(b)
t
0
T0
T(t)
Ti
Incrementando hA/mc
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 21
esfera sólida que se encontra em um ambiente com temperatura T0, independente-
mente da temperatura inicial da esfera.
Dessa forma, para se obter uma solução única para um problema, é necessário 
especificar algo mais que a equação diferencial regente, mas algumas condições 
(como o valor da função, ou das suas derivadas, em um valor específico da variá-
vel independente). A aplicação dessas condições na solução da equação diferen-
cial especificada irá resultar na solução única.
Como não há lugar na equação diferencial para comportar as condições ou informa-
ções adicionais necessárias, é necessário fornecê-las em separado. Essas condições 
serão denominadas condições iniciais, se todas forem especificadas para o mesmo 
valor da variável independente, e/ou condições de contorno, se forem especificadas 
em dois ou mais valores da variável independente. Uma equação diferencial acom-
panhada por um conjunto de condições iniciais é denominada problema de valor 
inicial, enquanto uma equação diferencial acompanhada por um conjunto de condi-
ções de contorno é denominada problema de valor de contorno (Fig. 1–24).
EXEMPLO 1–11 queda livre de um corpo
Quando a resistência do ar é desprezível, a queda livre de um corpo é governada 
pela lei da gravidade. Considere um objeto que está inicialmente em uma elevação 
z = h e, então, inicia uma queda livre em um tempo igual a zero, como mostra a 
Fig. 1–25. Escreva a formulação matemática para o problema e determine se se 
trata de um problema de valor inicial ou de condição de contorno.
sOluçãO A formulação matemática para o problema envolve tanto a equação di-
ferencial apropriada quanto as condições iniciais e de contorno apropriadas. A equa-
ção diferencial desse problema foi determinada no Exemplo 1–1 como (Eq. 1–3)
dd 22zz22z22
dtdt 22
gg
onde z representa a distância vertical (altura) a partir de uma referência, como o 
solo, e g representa a aceleração da gravidade. No tempo t = 0, o objeto está esta-
cionário (velocidade V(0) = 0) em uma elevação h. Dessa forma, as condições ini-
ciais desse problema podem ser expressas como
(1–36)(1–36)
zz(0(0)) hh
VV(0(0VV(0VV ))
dzdz
dtdt
``
tt 00
00
Esta é a formulação completa para o problema e, como será visto na próxima seção, 
resultará em uma solução única para a função desconhecida z.
Esse problema é facilmente identificado como um problema de valor inicial, já 
que ambas as condições são especificadas para um mesmo valor da variável inde-
pendente (t = 0).
Caso a velocidade tivesse sido especificada em um tempo diferente (como t = 15 s) 
e a posição ainda fosse especificada em t = 0, seria um problema de condição de 
contorno.
Na resolução de uma equação diferencial, é desejável que a obtenhamos na forma 
de solução em forma fechada, isto é, uma expressão analítica da função desconhe-
cida em termos da variável independente (como em y = y(x)). Várias equações 
diferenciais de interesse prático podem facilmente ser solucionadas na sua forma 
figura 1–24 Problemas de valor 
inicial e de contorno.
(b) Problema de valor de contorno:
(a) Problema de valor inicial:
yʺ – 3yʹ + y = 2xe–4x
yʺ – 3yʹ + y = 2xe–4x
y(2) = 5
yʹ(2) = –3
y(2) = 5
yʹ(8) = –3
figura 1–25 Esquema para o 
Exemplo 1–11.
Solo
m
z
0
h
m
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22 Equações Diferenciais
fechada, como será visto nos capítulos seguintes. Porém, a maioria das equações 
diferenciais não pode ser resolvida por meio dos métodos disponíveis, por isso um 
tratamento aproximado se torna necessário. Esses problemas podem ser solucio-
nados com razoável exatidão usando métodos numéricos apropriados, que serão 
discutidos no Cap. 9. Quando um método numérico é usado, a solução é obtida em 
pontos discretos, em vez de uma função contínua sobre todo o domínio.
É importante notar que qualquer relação que satisfaça a equação diferencial e en-
volva somente a função desconhecida e a variável independente (sem derivadas) é 
uma solução da equação. Caso a função desconhecida possa ser escrita somente em 
termos da variável independente, a solução é denominada explícita, caso contrário ela 
é denominada implícita. A relação g(x, y) = 0 define y implicitamente como uma fun-
ção de x. Por exemplo, uma solução como y = 3x2 + cos x + 5 é explícita, mas a 
solução y = e2xy + 3xy2 + 5 é implícita, já que não é possível expressar y explicita-
mente em termos somente de x.
revisão
1–20C O que são condições de contorno? Qual é o seu valor na solução de equações 
diferenciais?
1–21C Quando um problema é de valor inicial e quando é de valor de contorno?
Mostre que as funções são soluções das respectivas equações diferenciais dadas em cada 
um dos problemas apresentados a seguir.
1–22 , , e 
1–23 , , e 
1–24 , , e 
1–25 , , e y2 2/xy1 1/x3x2y″ 5xy′ 3y 0
y2 3e 2xy1 e2xy″ 4y 0
y2 5e 3xy1 e 3xy′ 3y 0
y2 2x 1y1 5xy″ 0
1–6 resOluçãO De equações Diferenciais 
pOr integraçãO Direta
Como as equações diferenciais envolvem derivadas e cada integração reduz uma 
ordem da derivada, é natural enxergar a integração direta como um provável 
método para a solução dessas equações. A solução de equações diferenciais por 
integração é mais uma exceção que uma regra, já que a maioria das equações dife-
renciais encontradas na prática não pode ser resolvida dessa forma.
Algumas equações diferenciais importantes são lineares, possuem um termo 
único envolvendo derivadas e não têm termos que envolvam a função desconhe-
cida. Essas equações diferenciais podem ser resolvidas por integração direta, assu-
mindo, é claro, que a integração possa ser feita. Outras equações, incluindo as não 
lineares, podem ser colocadas sob essa forma e resolvidas por integração direta. 
Por exemplo, a equação diferencial
(1–37)y‴ x2e 6x 0
pode ser resolvida por integração direta, pois possui um termo único comuma 
derivada de y e nenhum termo contendo y. Porém, a equação
(1–38)y‴ 3xy x2e 6x 0
não pode ser resolvida por integração direta, pois possui um termo contendo a 
função desconhecida y.
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 23
Na resolução de uma equação diferencial por integração direta, todos os ter-
mos da equação são integrados, um a um, usando as regras de integração. Ao final 
do processo de integração, é adicionada uma constante de integração. Cada vez 
que a equação é integrada, a derivada se reduz de uma ordem e uma nova cons-
tante de integração é introduzida. Dessa forma, uma equação diferencial de ordem n 
é solucionada por meio de n integrações sucessivas, e a solução envolve n cons-
tantes de integração.
EXEMPLO 1–12 solução por integração direta
Determine se as equações diferenciais apresentadas a seguir podem ser resolvidas 
por integração direta, e obtenha as soluções daquelas cuja resposta seja afirmativa.
(a)(a)
(b)(b)
(c)(c) 22yyyy′′ 44 00
yy″″ 66xx22 00
yy′′ 55yy 33 00
sOluçãO (a) Essa equação diferencial não pode ser resolvida por integração 
direta, pois o segundo termo envolve a função desconhecida y. Se tentássemos re-
solver essa equação por integração direta, obteríamos
yy 55 yydxdx 33xx CC11
que não envolve nenhuma derivada. Porém, apesar da aparência de solução, ela 
envolve a integral da função desconhecida, que também não se conhece. Foi obtida 
por meio da integração apenas a conversão de uma equação diferencial para uma 
equação integral (Fig. 1–26).
(b) Essa equação é linear, envolve um único termo com derivadas e não possui 
outro termo contendo a função desconhecida y. Portanto, pode ser solucionada por 
integração direta. Quando se integra uma vez, obtém-se y′ – 2x3 = C1; quando se 
integra mais uma vez, obtém-se y – 0,5x4 = C1x + C2 ou y = 0,5x4 + C1x + C2, que é 
a solução desejada dessa equação diferencial.
(c) Essa equação diferencial é não linear e, à primeira vista, não pode ser solu-
cionada por integração direta. Porém, um exame mais detalhado nos revela que o 
termo 2yy′ não é nada mais que a derivada de y2. Dessa forma, o resultado da integral 
do primeiro termo é y2, já que a integração é o processo inverso da diferenciação. 
Isso implica que cada termo da equação diferencial pode ser integrado, resultando 
em y2 – 4x = C1 ou y = ± √4x + C1, que é a solução da equação diferencial dada.
figura 1–26 Algumas equações 
diferenciais podem ser resolvidas pela 
integração de cada termo, repetidamente, 
até que a equação não tenha mais 
derivadas.
(b) Função não integrável:
(a) Função integrável:
yʺ + y = 12x
yʺ = 12x
Integrando,
Integrando,
yʹ = 6x2 + C1
y = 2x3 + C1x + C2
Solução
Equação 
integral
ydx = 6x2 + C1yʹ + #
EXEMPLO 1–13 queda livre de um corpo
Um audacioso indivíduo pula, usando um paraquedas, de um prédio de 100 m de 
altura, situado em um local cuja aceleração gravitacional é g = 9,8 m/s2. O para-
quedas abre 3 segundos após o início do salto. Desprezando a resistência do ar, 
determine a altura desse indivíduo no momento da abertura do paraquedas.
sOluçãO Esse problema se refere a um processo de queda livre sob influência 
da gravidade e pode ser resolvido facilmente com o do uso de fórmulas físicas per-
tinentes. Nossa abordagem será resolver esse problema por meio de equações dife-
renciais, a fim de demonstrar suas soluções e o emprego de condições iniciais e de 
contorno. Isso também proporcionará um melhor entendimento das relações físicas 
entre as variáveis do problema.
Capitulo_01.indd 23 2/4/14 1:47 PM
24 equações diferenciais
A função procurada nesse problema é aquela que relaciona a distância vertical 
z (altura) como função da variável independente t (tempo). O solo é tomado como 
referência, e a distância z é tomada, então, a partir do nível do solo, como pode ser 
visto na Fig. 1–27. A equação diferencial que rege esse problema já foi determinada 
no Exemplo 1–1, sendo (Eq. 1–3)
dd 22zz
dtdt22dtdt2dtdt
gg
uma equação diferencial linear, de segunda ordem e não homogênea. Uma breve 
análise dessa equação revela que ela possui um único termo que envolve derivadas 
e nenhum outro termo que envolve a função desconhecida z. Com isso, essa equa-
ção pode ser solucionada por integração direta, e, já que se trata de uma equação de 
segunda ordem, a solução será obtida por duas integrações sucessivas, que introdu-
zirão duas constantes arbitrárias.
Integrando cada termo da equação diferencial, obtém-se
(1–39(1–39))
dzdz
dtdt
gtgt CC11
onde C1 é a primeira constante arbitrária de integração. Ressalta-se que a ordem da 
equação diferencial reduz-se a cada integração. Como uma forma de teste, se tomásse-
mos a derivada da Eq. 1–39, o resultado seria a equação diferencial original. Porém, a 
Eq. 1–39 ainda não se constitui da solução procurada, pois ainda envolve uma derivada.
Integrando mais uma vez, obtém-se 
(1–40(1–40))zz((tt ))
11
22
gtgtgtgt 22 CC11tt CC22CC2CC
que é a solução geral da equação diferencial (Fig. 1–28).
Pode ser demonstrado que essa equação possui todas as possíveis soluções. 
Como pode ser verificado, a solução da equação diferencial é uma relação entre a 
função desconhecida e a variável independente e não possui derivadas.
A solução geral para z possui duas constantes arbitrárias, não é possível obter a 
altura do paraquedista referente ao solo quando há a abertura do paraquedas, por 
meio dessa equação. Sabe-se que a distância procurada depende da altura do edifí-
cio, bem como da velocidade inicial do paraquedista, mas a equação geral não pos-
sui esses termos. Uma equação diferencial é uma relação entre as mudanças das 
variáveis dependentes e independentes, e não é afetada por condições ou limitações 
impostas na variável dependente por certos valores da variável independente. Caso 
o edifício tivesse uma altura de 200 m, em lugar dos 100 m, a equação diferencial e 
a solução geral seriam exatamente as mesmas. Porém, a distância do paraquedista 
em relação ao solo em um tempo específico seria obviamente diferente. São as 
constantes arbitrárias contidas na solução geral que garantem a flexibilidade para 
que a solução seja ajustada a diferentes situações.
Como a solução geral contém duas constantes desconhecidas, necessitamos de 
duas equações para que as constantes sejam determinadas e a solução particular do 
problema seja obtida. Essas equações são obtidas forçando a solução geral para que 
as condições iniciais e de contorno sejam satisfeitas. Como a aplicação de cada 
condição produz uma equação, serão necessárias duas condições para que as cons-
tantes C1 e C2 sejam determinadas. Nesse problema, foi especificado que, inicial-
mente (t = 0), a altura do paraquedista era de 100 m e que sua velocidade era zero. 
Dessa forma, como discutido no Exemplo 1–8, essas duas condições podem ser 
expressas matematicamente como
zz (0(0 )) 100100
PP
tt 00 00VV (0(0 ))
dzdz
dtdt
figura 1–27 Ilustração para o 
Exemplo 1–13.
h 
=
 1
00
 m
z
0
Solo
figura 1–28 Obtenção da solução 
geral de uma simples equação diferencial 
de segunda ordem por integração.
gt2 + C1t + C2
= –g
Equação diferencial:
Primeira integração:
Segunda integração:
d 2z
dt2
= –gt + C1
dz
dt
1
2
Solução 
geral
Constantes 
arbitrárias
z(t) = –
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Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 25
Na aplicação de condições iniciais e de contorno a um problema, todas as ocorrên-
cias das variáveis dependente e independente, e suas derivadas são substituídas 
pelos valores especificados.
A primeira condição pode ser implementada pela substituição de todos os termos 
t´s e dz/dt´s por zero na derivada da solução geral. Isto é, 
00 00 CC11 →→ CC11 00
dzdz
dtdtPP
tt 00 gg 00 CC11
dzdz
dtdt
gtgt CC11
A segunda condição pode ser implementada pela substituição de todos os termos t´s 
por zero e z(t) por 100 na solução geral. Isto é (Fig. 1–29)
100100 00 00 CC22CC2CC →→ CC22CC2CC 100100
zz (0(0 ))
11
22
gg 0022 CC11 00 CC22CC2CC
zz ((tt))
11
22
gtgt22gtgt2gtgt CC11tt CC22CC2CC
Substituindo os valores calculados de C1 e C2 na solução geral, obtém-se 
zz((tt))
11
22
gtgtgtgt 22 100100
que constitui a solução específica desejada que satisfaz não apenas a equação diferen-
cial, mas também as condições especificadas para o tempo zero. Dessa forma, a altura 
do paraquedista em relação ao solo quando da abertura do paraquedas é determinada 
pela substituição de g = 9,8m/s2 e t = 3 s na equação, 
z(3 s) = – (1/2)(9,8m/s2)(3 s)2 + 100 m = 55,9 m
Isto é, o indivíduo estará 55,9 m acima do nível do solo quando o paraquedas se abrir. 
figura 1–29 Na aplicação de uma 
condição inicial ou de contorno, todas as 
ocorrências da variável dependente e 
independente devem ser substituídas 
pelos valores especificados dessas 
condições. 
gt2 + C1t + C2
Condições iniciais: z(0) = 100
Solução geral:
 Após a aplicação das condições 
iniciais, não podem existir termos 
envolvendo as variáveis dependente 
e independente.
100
1
2
0 0 0
z(t) = –
g × 02 + C1 × 0 + C2
1
2
100 = –
Mesmo quando uma equação diferencial não pode ser resolvida por integração 
direta, ainda é possível reduzir sua ordem por meio de integrações sucessivas. A 
redução da ordem de uma equação diferencial é uma importante ferramenta para 
sua solução, já que a solução de equações diferenciais de ordem inferior é geral-
mente muito mais fácil que a solução das equações de ordem superior. Quando 
uma equação diferencial linear envolve derivadas da função desconhecida, mas 
não especificamente a função desconhecida, sua ordem pode ser reduzida por m, 
que é a ordem da derivada de menor ordem da equação. Por exemplo, a equação 
diferencial de terceira ordem 
(1–42)y‴ 3y″ 12x 0
pode ser reduzida a uma equação diferencial de primeira ordem por meio de duas 
integrações sucessivas, o que resultará em
y″ 3y′ 6x2 C1
Capitulo_01.indd 25 2/4/14 1:47 PM
26 equações diferenciais
e
(1–43)y′ 3y 2x3 C1x C2
Essa equação não pode ser resolvida por integração direta, já que o segundo termo 
envolve a função desconhecida y.
EXEMPLO 1–14 altura do líquido em um tanque com dreno
Considere o modelo da altura do líquido h quando um tanque tem um orifício em 
sua lateral (Eq. 1–11 e Fig. 1–8):
ρρAA
dhdh
dtdt
ρqρqvivi kk!!ρgρg!!ρg!! hhρgρghρgρg
Resolva essa equação para h(t) com a condição do fluxo de entrada qvi igual a zero.
sOluçãO Aplicando a condição qvi = 0, o modelo resultante é
ρρAA
dhdh
dtdt
kk!!ρgρg!!ρg!! hhρgρghρgρg
Essa equação pode ser simplificada pela combinação das constantes, como
, ,, , ouou (1–44(1–44))
11
!!hh
dhdh
dtdt
bbbb, ,, ,b, ,, ,
kk
AA
, ,, ,
A
, ,, ,ÄÄ, ,, ,Ä, ,, ,ÄÄ
gg
ρρ, ,, ,ρ, ,, ,
dhdh
dtdt
bb!!hh
Reconhecendo que
11
!!hh
dhdh
dtdt
22
dd((!!hh))
dtdt
bb
a equação pode ser integrada como
!!hh CC bb
22
tt !!hh(0(0)) bb
22
tt
Dessa forma, a solução é 
(1–45(1–45))hh((tt )) a!a!hha!a!ha!a! (0(0)) bb22 tt bb
22
EXEMPLO 1–15 projeto de uma máquina de café
Uma máquina de café com reservatório com capacidade de 15 xícaras foi abaste-
cida com água, com o uso de uma torneira, até que o nível indicador de sua capaci-
dade nominal fosse atingido. Com a válvula de saída aberta, a vazão da torneira foi 
ajustada de forma que o nível do reservatório permanecesse inalterado na sua capa-
cidade nominal. Nessa condição, o tempo necessário para que a saída do reservató-
rio pudesse encher uma xícara foi medido. O experimento foi repetido alterando o 
Capitulo_01.indd 26 2/4/14 1:47 PM
Capítulo 1 Introdução às equações diferenciais 27
figura 1–30 Representação 
esquemática da máquina de café do 
Exemplo 1–15.
nível no qual o reservatório era mantido constante pela torneira e os novos níveis 
foram estabelecidos em 12, 9 e 6 xícaras. Os dados resultantes desses experimentos 
estão nas duas primeiras colunas da tabela apresentada a seguir. O fluxo de saída 
foi calculado na terceira coluna.
1515 66 1/61/6 0,0430,043
1212 77 1/71/7 0,0410,041
9 89 8 1/81/8 0,0420,042
6 96 9 1/91/9 0,0450,045
cc ff//ff/ff √√VV√√
Volume de líquido Volume de líquido 
do reservatório do reservatório 
(xícaras)(xícaras)
Tempo para Tempo para 
encher uma xícara encher uma xícara 
(segundos)(segundos)
Fluxo de saída Fluxo de saída 
ff = = ff = ff dVdV//dVdV/dVdV dtdt
(xícaras por segundo)(xícaras por segundo)
(a) Com base nos dados da tabela, é possível notar que o tempo necessário para 
encher uma xícara decresce à medida que o nível do volume mantido no reservató-
rio aumenta. O fabricante está interessado em oferecer uma máquina que tem um 
reservatório com capacidade de 36 xícaras, mas está preocupado com a possibili-
dade de que a saída possa encher uma xícara muito depressa e que o fluxo de saída 
gere respingos. Estime o tempo para o enchimento de uma xícara utilizando um 
reservatório com capacidade de 36 xícaras, o qual tenha água até o nível de capaci-
dade nominal.
(b) Com a torneira fechada, quanto tempo será necessário para esvaziar uma má-
quina de café, cujo reservatório tem capacidade para encher 36 xícaras, com água 
até o nível de capacidade nominal?
sOluçãO (a) Da Eq. 1–44, no Exemplo 1–14
1
""hh
dhdh
dtdt
bb
É importante salientar que o volume V do líquido no reservatório é dado por V = ρAH. 
Com isso, a equação anterior pode ser escrita como
(1–46(1–46))
11
!!VV
dVdV
dtdt
bb!!ρAρA!!ρA!! cc
Usando a primeira e a terceira colunas da tabela, podemos calcular c para cada 
ponto. Esse valor é mostrado na quarta coluna: c = 0,043. Substituindo o valor V = 36 
xícaras na Eq. 1–46 e colocando dV/dt em evidência, temos
dVdV
dtdt
0,0,043043 (6(6 )) 0,0,252588
Dessa forma, o tempo para que uma xícara fique cheia é de 1/0,258 = 3,88 s. De 
fato, o fabricante construiu um reservatório para 36 xícaras e o tempo para encher 
uma xícara foi de 4 s!
(b) Seguindo o mesmo procedimento do Exemplo 1–14, podemos obter a seguinte 
solução para a Eq. 1–46
VV((VV(VV tt)) ((""VV(0(0VV(0VV )) 0,02150,0215tt)) 22
O tempo para que o reservatório fique vazio pode ser encontrado fazendo V(t) = 0, 
para obter t = √V(0)/0,0215 = √36/0,0215 = 279 s.
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28 Equações Diferenciais
revisão
1–26C Que tipo de equação diferencial pode ser resolvido por integração direta?
1–27C Considere uma equação diferencial linear e homogênea que pode ser resolvida por 
integração direta. Quantas constantes arbitrárias possui a solução particular?
1–28 Determine quais das equações diferenciais apresentadas a seguir podem ser resol-
vidas por integração direta e obtenha a solução geral delas.
)b()a(
)d()c(
(e) 2yy″ sen 3x 0
exy″ xe3x 0y′ y 0
y′ x 0y′ 0
(Respostas: Observação: C é uma constante arbitrária. (a) y = C. (b) y x
2
2 C. 
(c) y(t) = eC–t. (d) y e
2x
4 (2x 1) C. (e) y = ±√C – (cos 3x)/3).)
1–7 intrODuçãO aOs métODOs cOmputaciOnais
Os programas de computador mais conhecidos para aplicações na engenharia são: 
Maple, Mathematica, MATLAB, MATLAB Symbolic Math Toolbox e MuPAD. O 
MuPAD é uma interface para notebook fornecida com o MATLAB Symbolic 
Math Toolbox, usando o mesmo pacote de funcionalidades que o Toolbox. Nesta 
seção, mostraremos como resolver problemas dos seguintes tipos:
 j Gerar gráficos de soluções.
 j Realizar avaliações simbólicas das integrais necessárias para a solução das 
equações pelo método de integração direta.
 j Interpretar soluções em termos de funções matemáticas especiais.