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Fenômenos de Transporte III Aula 06 Prof. Gerônimo 1 Z0 ( t = 0 ) Z1 ( t = t1 ) A B z dz dy y 1 C.D N A A BA, zA, 6.2.3- Difusão pseudo-estacionária num filme gasoso estagnado A Figura a seguir ilustra um capilar semipreenchido por líquido puro volátil A. Supondo que sobre esse líquido exista um filme gasoso estagnado B, deseja-se avaliar o coeficiente de difusão do vapor de A nessa película. Após um intervalo de tempo considerável, nota-se a variação do nível do líquido, a partir do topo do capilar desde Z0 (t = 0) até Z1 (t = t1). A equação que descreve o fluxo mássico de um soluto “A” desde Z0 até Z1 em um filme de gás estagnado “B” em um tubo capilar de dimensões infinitas é: 2 O fluxo de A na direção oposta de z é: N Ny dz dy CD N ZB,ZA,A A ABZA, Considerando o fluxo de B estagnado, temos: 0 N ZB, SA,tA,AB01ZA, y yAAB01ZA, Z Z y y A A ABZA, A A AB ZA, y 1Ln y 1LnCD z zN y 1LnCD z zN y 1 dy CD dzN dz dy )y (1 CD N tA, SA, 1 0 tA, SA, 3 Z0 = altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido antes de iniciar o processo de difusão de “A” em “B” ( t = 0 ); Z1 = altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido após iniciar o processo de difusão de “A” em “B” ( t = qualquer ); yA,t = fração molar de “A” no topo do tubo; yA,S = fração molar de “A” na superfície do líquido; C = concentração molar global na coluna gasosa; DA,B = coeficiente de difusão de “A” em “B”. Em muitas operações de transferência de massa, uma das condições de contorno pode mover-se com o tempo. O modelo pseudo-estacionário pode ser usado quando a difusão varia em pequena quantidade sobre um longo período de tempo. Assim, o fluxo molar NA,Z em regime pseudo-estacionário será dado por: y 1 y 1 Ln Z Z C.D N SA, tA, 01 BA, zA, ( 1 ) dt dz . M dt dz .C .vC N A A AAAzA, ( 2 ) 4 Substituindo a equação ( 2 ) na equação ( 1 ) para regime pseudo-estacionário, temos: y 1 y 1 Ln Z Z C.D dt dz . M SA, tA, 01 BA, A A ( 3 ) A = concentração mássica de “A”; MA = massa molecular de “A”. Determine o tempo final de difusão de “A” em “B” (ou num instante qualquer) e o coeficiente de difusão DA,B para um determinado instante qualquer. 1 0 Z Z SA, tA, t 0 BA,A A SA, tA,BA, A A z.dz y 1 y 1 Ln 1 .C.DM ρ dt y 1 y 1 Ln Z C.D dt dz . M 5 2 z 2 z y 1 y 1 Ln 1 .C.DM ρ t 2 z y 1 y 1 Ln 1 .C.DM ρ t 2 0 2 1 SA, tA,BA,A A z z 2 SA, tA,BA,A A 1 0 2 z z y 1 y 1 Ln 1 .C.DM ρ t 2 0 2 1 SA, tA,BA,A A Onde: t é tempo final de difusão da espécie A em B desde Z0 a Z1, ou: 2 z z y 1 y 1 Ln 1 .C.tM ρ D 2 0 2 1 SA, tA,A A BA, Onde: DA,B é o coeficiente de difusão da espécie A em B no tempo t, desde Z0 a Z1. ( 4 ) ( 5 ) 6 Ar (B) Líquido A Z0, nível em t = 0 Z1, nível em t = t1 NA,z z 0 Exemplo 01: A célula de Arnold é um dispositivo que, de forma simples, permite a medição de coeficientes de difusão mássica. Na figura a seguir, é mostrado um esboço da célula. 7 2 Z Z . .t y 1 y 1 C.Ln 1 . M D 2 0 2 1 1 A,s tA,A A AB No experimento, em um intervalo de tempo t = t1, mede-se a quantidade de líquido evaporado através da variação do nível Z = Z1 – Z0. A difusividade de “A” em “B” é então determinada por: em que A é a massa específica do líquido “A”; MA a sua massa molar; C é a concentração molar global na coluna gasosa; yA,t e yA,S são as frações molares de “A” no topo da célula e sobre a superfície do líquido, respectivamente. O modelo que permite essa relação tem como hipóteses: •sistema binário ( A + B ); •o gás“B” insolúvel em “A”; •fluxo difusivo de “A” ao longo da célula dado pela seguinte equação: N Ny dz dy C.D N zB,zA,A A BA,zA, •regime pseudo-estacionário; •sistema a T e P constantes; •difusividade DA,B constante. 8 a) Determine a difusividade mássica de clorofórmio (A) no ar (B), sabendo que, em um experimento com uma célula de Arnold, em 10 horas (36.000 s), a distância entre a superfície do clorofórmio e do topo da célula passou de Z0 = 7,40 cm ( t = 0 ) para Z1 = 7,84 cm ( t = t1 ). Considere que no topo da célula escoava ar puro, ou seja, yA,t = 0, e que na superfície do clorofórmio as condições eram de saturação. A temperatura e a pressão mantiveram-se constantes e iguais a 298 K e 101,3 kPa, respectivamente. A pressão de vapor do clorofórmio nessa temperatura é igual a 26,6 kPa. Apresente o resultado da difusividade em m2/s utilizando o mesmo número de algarismos significativos empregados para representar a distância Z. b) Qual é a característica do processo que permite a adoção de regime pseudo-estacionário na sua modelagem ? Dados: 3A3A Kmol/m 0,0409 C Kg/Kmol, 119 M ,Kg/m 1480 a) 0,263 kPa 101,3 kPa 26,6 P P y VAP SA, SA, 2 0,074m 0,0784m . s .36000 0,263 1 0 1 .LnKmol/m 0,0409 1 . Kg/Kmol 119 Kg/m 1480 D 2 Z Z . .t y 1 y 1 C.Ln 1 . M D 22 3 3 BA, 2 0 2 1 1 A,s tA,A A BA, /sm 9,28.10 D 26BA, b) É o fato de a taxa de evaporação ser muito pequena. 9 Exemplo 4: Um capilar de 30 cm de altura contém 2 cm de etanol. Calcule o tempo necessário para que o nível do álcool decresça em 0,02 cm, considerando que o capilar esteja preenchido por ar seco e estagnado a 1 atm e 25 C. Suponha que o vapor de etanol seja totalmente arrastado no topo do capilar. Nessas condições, são conhecidos: secoAr B Etanol; A g/mol 46,069 M ; mmHg 160,75 P ;g/cm 0,787 ρ A vap A 3 A Etanol Z0 = 28cm, nível em t = 0, yA,S = PA VAP /P Z1 = 28,02cm, nível em t = t1, yA,S = PA VAP /P NA,z yA,t = 0 30 cm 2 cm z Ar seco 10 2 z z y 1 y 1 Ln 1 .C.DM ρ t 2 0 2 1 SA, tA,BA,A A 0,2115 mmHg 760 mmHg 160,75 P P y vap A SA, Solução: 36 3 3 gmol/cm 40,88x10 C 298,15Kgmol.K /m82,05atm.c 1atm C ][gmol/cm RT P C Cremasco) M.A. 1.1 (Tabela /scm 0,132 D2AB 11 horas 2ou s 7462,8 t 2 28,0 28,02 0,2115 1 0 1 Ln 1 s/cm .0,132gmol/cm0ol.40,88x146,069g/gm 0,787g/cm t 2 z z y 1 y 1 Ln 1 .C.DM ρ t 22 236- 3 2 0 2 1 SA, tA,BA,A A 12 6.2.4- Difusão pseudo-estacionário num filme gasoso estagnado. Revalidação do experimento da esfera isolada. A diferença básica entre os estados estacionários (regime permanente) e o pseudo- estacionário é que o último considera a variação espacial no tempo de uma das fronteiras da região onde ocorre a difusão. A taxa de evaporação do líquido (ou da sublimação de um sólido) de um certo corpo- de-prova, em coordenadas esféricas é dado pela seguinte equação: dt dV M ρ W A A rA, ( 16 ) na qual A é a massa específica de A, e V é o volume do corpo-de-prova considerado: R 3 4 V 3 0 dRR 4 dV 020 ( 17 ) 13 Substituindo (16) em (17) torna-se: dt dR M ρ R 4 W 0 A A2 0rA, ( 18 ) Como há decréscimo de R0, a equação ( 18 ) é posta como: dt dR M ρ R 4 W 0 A A2 0rA, ( 19 ) A equação (19) fornece, por exemplo, a taxa molar de evaporação de uma gota líquida ou da sublimação de um sólido como consequência da variação do raio do corpo-de-prova de uma esfera. Entretanto, a taxa molar decorrente da distribuição da concentração do soluto no meio difusivo é dado pela equação (8) (Aula 5): y 1 y 1 Ln.C.DR 4 W A0 A AB0rA, ( 8 ) 14 Igualando-se a equação (8) com a equação (19) e integrando, obtém-se: 2 )t(R 2 )t(R M ρ .t y 1 y 1 LnC.D 2 R M ρ t y 1 y 1 LnC.D dRR M dt y 1 y 1 LnC.D dt dR M ρ R y 1 y 1 LnC.D dt dR M R 4 y 1 y 1 Ln.C.DR 4 0 2 0 2 0 A A A0 A AB )t(R )t(R 2 0 A At 0 A0 A AB )t(R )t(R 00 A A t 0 A0 A AB 0 A A 0 A0 A AB 0 A A2 0 A0 A AB0 0 00 0 00 15 Portanto, o coeficiente de difusão DAB é dado por: ( 20 ) 2 R R y 1 y 1 Ln 1 M ρ C.t 1 D 2 t0 2 t0 A0 AA A AB 0 Quando a contribuição convectiva puder ser considerada desprezível em face à difusiva e não se encontrar traços do soluto antes de começar o fenômeno difusivo no meio considerado, iguala-se a equação (12) (Aula 5) com a equação (19) e integra-se: y.C.DR 4 W A0AB0rA, ( 12 ) dt dR M ρ R 4 W 0 A A2 0rA, ( 19 ) 16 2 )t(R 2 )t(R M ρ .t C C C.D 2 R M ρ tyC.D dRR M dtyC.D dt dR M ρ R yC.D dt dR M ρ R 4 y.C.DR 4 0 2 0 2 0 A AA0 AB )t(R )t(R 2 0 A At 0A0AB )t(R )t(R 00 A As t 0 A0AB 0 A A 0A0AB 0 A A2 0A0AB0 0 00 0 00 2 R R M ρ .tC 1 D 2 t0 2 0t0 A A A0 AB ( 21 ) 17 Exemplo 02: Refaça o exemplo 02, considerando o fenômeno pseudo- estacionário. Considere o término do experimento em t = 330min. Solução: Ao observar os dados do exemplo anterior, verifica-se: t = 0; R0(t0) = 0,85cm e para t = 330min; R0(t) = 0,82cm CA0 = 1,457x10 -7 gmol/cm3 Como no exemplo 2, o meio convectivo foi desprezível, pelo fato de yA0 1 e yA∞ = 0. Assim o coeficiente de difusão é calculado pela seguinte equação: 2 R R M ρ .tC 1 D 2 t0 2 t0 A A A0 AB 0 /s0,0765cm D 2 (0,82cm) (0,85cm) ol128,16g/gm 1,14g/cm )(330x60s)gmol/cm(1,47x10 1 D 2 AB 223 37AB 18 Há de se perceber que esse resultado é para T = 345,15K (72C) e o parâmetro de comparação é T = 25C (298,15K). Admitindo a predição do DAB para essa nova temperatura, temos: s/cm 0,0592 D 345,15K 298,15K /s0,0765cm D T T D D 2 298,15KTAB 75,1 2 298,15KTAB 75,1 1 2 345,15KTAB298,15KTAB Como o valor experimental é igual a DAB = 0,0611cm 2/s, determina-se o desvio relativo por: 3,09% D.R %100x 0,0611 0,0611 0,0592 x100% exp. exp. cal. D.R Verifica-se que ao adotar o modelo do regime pseudo-estacionário houve uma diminuição do valor do desvio relativo. Neste caso foi considerado a variação do raio do naftaleno, o qual torna o modelo mais preciso para o cálculo do DAB. 19 6.2.5- Contradifusão equimolar Este fenômeno ocorre, por exemplo, na simultaneidade da condensação e evaporação de espécies químicas distintas, mas de características físico- químicas semelhantes como o benzeno e tolueno. Para cada mol de tolueno condensado, um mol de benzeno evapora. Outra situação é aquela em que há dois reservatórios (1 e 2) interligados por um tubo. Nesses reservatórios estão contidas misturas binárias A e B. No reservatório 1, yA >> yB; situação inversa para o reservatório 2, yA yB. Ao provocarmos o contato entre os reservatórios, teremos para cada mol de A que migra de 1 para 2; um mol de B irá de 2 para 1. z 1 2 NA,z NB,z 20 Figura 1: Contradifusão equimolar (reservatórios interligados) 21 A relação entre os fluxos molares das espécies A e B é: a qual caracteriza a contradifusão equimolar. Distribuição de concentração de A: Como o regime de transferência é permanente e o meio difusivo não é racional, a equação da continuidade de A que rege a contradifusão equimolar, é dado por: NA,z = - NB,z ( 1 ) ''' AA A R N. t C 0 dz dN N. zA,A ( 2 ) 22 Pela equação 2, observe que devemos conhecer o fluxo molar de A, o qual é obtido depois de substituir a igualdade da equação 1 na equação do fluxo molar da espécie A, ou seja: ZB, N ZA,A A ABZA, N Ny dz dy CD N ZB, dz dy CD N AABZA, dz dC D N AABZA, ( 3 ) 23 Substituindo a equação 3 na equação 2 e considerando o sistema a temperatura e pressão constantes: A solução daequação 4 é uma distribuição linear da concentração de A: As condições de contorno advêm da análise da Figura 1: 0 dz Cd 2 A 2 ( 4 ) C zC )z(C 21A ( 5 ) C C ;z z em :CC2 C C ;z z em :CC1 2 1 AA2 AA1 ( 6 ) 24 Aplicando as condições de contorno (6) na equação (5), obtém-se o seguinte sistema de equações: Resolvendo o sistema (7), chega-se nas seguintes constantes: 221A 211A C zC C C zC C 2 1 ( 7 ) z z C C C 21 AA 1 21 z z z C C C C 1 21 AA A2 21 1 ( 8 ) ( 9 ) 25 Substituindo as soluções das constantes C1 e C2 na equação 5, obtém-se a distribuição da concentração do soluto A: Fluxo de matéria de A: O fluxo global de A é obtido da equação 3 em conjunto coma as condições de contorno 6. Visto que o fluxo é constante, temos: z z z z C C C C 21 2 AA AA 21 1 ( 10 ) dCD dzN 2A 1A 2 1 C C AAB Z Z ZA, 26 C C z D N 12 AA 12 AB ZA, z ( 11 ) Ao admitirmos que o fenômeno da transferência de massa ocorra em um meio gasoso ideal, podemos fazer CA = PA/RT. Desse modo, o fluxo global de A é dado, em termos de pressão parcial de A: A partir da equação 1, para a espécie B, temos: P P )z (RT D N 12 AA 12 AB ZA, z ( 12 ) ( 13 ) P P )z (RT D N 12 AA 12 AB ZB, z ZB,ZA, N N 27 Estas equações 11, 12 e 13 implicam que a concentração molar (ou fração molar) e a pressão parcial de qualquer gás variam linearmente durante a contradifusão equimolar. É interessante notar que a mistura é estacionária numa base molar, mas não é estacionária em uma base mássica, a menos que as massas molares de A e B sejam iguais. Embora a vazão líquida molar através do canal seja zero, a vazão mássica líquida da mistura através do canal não é zero e pode ser determinada através de: Pela equação 1 temos: Se multiplicarmos pela área da seção transversal do tubo por onde escoam os gases, fica: M W M W m m m BBAABA ( 14 ) N N ZB,ZA, AN AN zB,zA, W ZB, W ZA, ( 15 ) 28 Aplicando a relação 15 na equação 14, fica: )M (M W m m m BAABA ( 16 ) Note que a direção da vazão mássica líquida é a direção do escoamento do gás com a maior massa molar. Um dispositivo de medida de velocidade, como um anemômetro, colocado no canal indicaria uma velocidade de v = ṁ/A, onde é a densidade (ou concentração mássica) total da mistura no local da medida. Exemplo 03: A pressão em uma tubulação que transporta gás hélio a uma taxa de 2 kg/s é mantida a 1 atm pela ventilação de hélio para a atmosfera através de um tubo de 5 mm de diâmetro interno, que se estende 15 m no ar, como mostrado na Figura. Supondo que ambos, o hélio e o ar atmosférico, estão a 25 C, determinar: (a) a vazão mássica de hélio perdido para a atmosfera através do tubo, (b) a vazão e a fração mássica de ar que se infiltra na tubulação, (c) a velocidade do escoamento no fundo do tubo onde este está ligado à tubulação que vai ser medida por um anemômetro em regime permanente 29 ṁ = 2 kg/s He He Ar (B) P = 1 atm T = 25C Ar Hélio (A) P = 1atm T = 25C 5 mm x = 15 m x = 0 Suposições: 1- Existem condições de funcionamento permanentes. 2- O hélio e o ar atmosférico são gases ideais. 3- Não ocorrem reações químicas no tubo. 4- A concentração de ar na tubulação e a concentração de hélio na atmosfera são insignificantes, de forma que a fração molar do hélio é 1 na tubulação e 0 na atmosfera (vamos verificar essa hipótese depois). 30 Dados: O coeficiente de difusão do hélio no ar (ou ar no hélio) em condições atmosféricas normais é DAB = 7,2x10 -5 m2/s. As massas molares do ar e do hélio são 29 e 4 kg/kmol, respectivamente. A constante universal dos gases R = 8,314 kPa.m3/kmol.K Solução: Este é um processo típico de contradifusão equimolar, uma vez que o problema envolve dois grandes reservatórios de misturas de gases ideais ligados entre si por um canal e as concentrações das espécies em cada reservatório (a tubulação e a atmosfera) permanecem constantes. a) A vazão mássica de hélio perdido para a atmosfera através do tubo. A área do escoamento, que é a área da seção do tubo, é: 25 22 m 1,963x10 4 π(0,005m) 4 πD A 31 Notando que a pressão parcial do hélio é de 1 atm (yA1 = 1) no fundo do tubo (x = 0) e zero (yA2 = 0) no topo (x = 15m), a sua vazão (ou taxa) molar é determinada a partir da equação 12 como: Portanto, a vazão mássica do hélio, ṁA, é dado por: kmol/s 3,85x10 W atm 101,3kPa 1atm 0 (15m)298K/kmol.K8,314kPa.m /sm7,2x10m1,963x10 W P P )z (RT AD AN W 12 zA, 3 2525 zA, AA 12 AB zA,zA, 12 z kg/s 1,54x10 m 4kg/kmolkmol/s 3,85x10 m M W m 11 A 12 A AAA 32 (b) a vazão e a fração mássica de ar que se infiltra na tubulação. Observando que WA = -WB , durante um processo contradifusão equimolar, a vazão molar de ar para dentro da tubulação é igual a vazão molar do hélio dentro da tubulação. Portanto, a vazão mássica de ar para dentro da tubulação é: A fração mássica de ar na tubulação é: o que valida a suposição inicial de ar desprezível na tubulação. kg/s 1,12x10 m 29kg/kmolkmol/s 3,85x10 m M W m 10 B 12 B BBB 0 5,6x10 kg/s1,54x10 1,12x10 2 kg/s 1,12x10 m m 11 B 1110 10 total B B w w 33 c) A vazão mássica líquida através do tubo capilar. kg/s 9,66x10 m kg/s1,12x10 1,54x10 m m m 11 líquida 1011 BAlíquida A fração de massa do ar no fundo do tubo é muito pequena, como demonstrado anteriormente e, assim, a densidade da mistura em x = 0 pode simplesmente ser considerada a densidade do hélio, que é de: 3 He 3He kg/m 0,1637 298K/kmol.K8,314kPa.m 4kg/kmol101,3kPa RT PM Então, a velocidade média do escoamento na parte do fundo do tubo se torna: m/s 3,01x10 v 4kg/kmolkg/m 0,1637 kg/s 9,66x10 ρM m v 5 3 11 liq
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