RESUMO E EXERCICIOS RESOLVIDOS PIRAMIDE

Prévia do material em texto

PIRÂMIDES 
Prof. Djalma Gonçalves Pereira 
Pirâmide 
Um plano  
Um polígono P contido em  
Um ponto V que não pertence a  
Pirâmide 
A figura geométrica formada pela reunião de 
todos os segmentos de reta que têm uma 
extremidade no ponto V e a outra ponta no 
polígono P denomina-se pirâmide. 
Pirâmide 
As pirâmides são um tipo especial de poliedros, e 
são constituídas por um polígono qualquer, 
chamado de base, e por faces triangulares, as 
faces laterais, obtidas ligando-se 
os vértices do 
polígono da 
base a um ponto 
fora do plano 
dessa base, 
chamado de 
vértice da 
pirâmide. 
Pirâmide 
Base: é o polígono convexo situado 
no plano  
 
Vértice: é o ponto V 
 
Faces laterais: são os triângulos que 
contornam o polígono 
Arestas das bases: são os lados do polígono da base 
 
Arestas laterais: são os segmentos que formam as faces 
laterais 
 
Altura: é a distância entre o ponto V e o plano  
 
Apótema: A medida central da altura do segmento da bissetriz 
do ângulo. 
Pirâmides 
As pirâmides podem ser: 
Triangulares (a base é um triângulo) 
Quadrangulares (a base é um quadrilátero) 
Pentagonais (a base é um pentágono) 
E assim por diante. 
Pirâmide Triangular Pirâmide 
Quadrangular 
Pirâmide 
Pentagonal 
Pirâmides 
Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e 
a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro 
da base. 
Pirâmides 
O polígono da base é 
regular, portanto, 
inscritível numa 
circunferência de raio 
AO=r, chamado de raio 
da base. 
Pirâmides 
O apótema do polígono 
regular da base é chamado 
apótema da base e sua medida 
será indicada por m. 
Pirâmides 
As arestas 
laterais são 
congruentes e 
sua medida será 
indicada por a. 
Pirâmides 
As faces laterais são 
triângulos isósceles 
congruentes. 
Pirâmides 
A altura de uma face lateral (é a 
altura relativa à base de um 
triângulo isósceles) é chamada 
apótema da pirâmide e sua 
medida será indicada por g. 
Pirâmides 
Podemos estabelecer algumas relações entre os elementos de 
uma pirâmide regular. Considere a pirâmide regular da figura e 
observe os triângulos retângulos. 
Pirâmides 
Aplicando o Teorema de Pitágoras: 𝑔2 = ℎ2 +𝑚2 
Pirâmides 
Sendo l a medida do lado do polígono regular que é a base da 
pirâmide, temos: 𝑎2 = 𝑔2 +
𝑙
2
2
 
Pirâmides 
Áreas da superfície de uma pirâmide 
 
Área da base 𝑆𝑏 : é a área do polígono da base. 
 
Área lateral 𝑆𝑙 : é a soma das áreas de todas as faces laterais. 
 
Área total 𝑆𝑡 : é a soma da área lateral e da área da base. 
 
𝑺𝒕 = 𝑺𝒍 + 𝑺𝒃 
EXEMPLO 
Numa pirâmide triangular regular a aresta da 
base mede 12cm e a aresta lateral, 10cm. 
Calcular: 
a) A medida do apótema da pirâmide (g) 
b) A medida do apótema da base (m) 
c) A altura da pirâmide (h) 
d) A área total da pirâmide (St) 
EXEMPLO 
Numa pirâmide 
triangular 
regular a aresta 
da base mede 
12cm e a aresta 
lateral, 10cm. 
EXEMPLO 
a) A medida do apótema da pirâmide (g) 
 
Aplicando Pitágoras: 
102 = 62 + 𝑔2 → 100 = 36 + 𝑔2 
𝑔2 = 64 → 𝑔 = 64 → 𝑔 = 8𝑐𝑚 
EXEMPLO 
b) A medida do apótema da base (m) 
 
O centro O do triângulo equilátero ABC é o ponto 
de encontro da altura e das medidas e OM=1/3MC. 
𝑂𝑀 =
1
3
.
𝑙 3
2
 
𝑂𝑀 =
1
3
.
12 3
2
 
𝑂𝑀 = 2 3 
EXEMPLO 
c) A altura da pirâmide (h) 
 
Aplicando Pitágoras: 
82 = 2 3
2
+ ℎ2 
ℎ2 = 52 
ℎ = 52 
ℎ = 2 13𝑐𝑚 
EXEMPLO 
d) A área total da pirâmide (St) 
𝑆𝑏 =
𝑙2 3
4
→ 𝑆𝑏 =
122 3
4
→ 𝑆𝑏 = 36 3𝑐𝑚
2 
𝑆𝑓 =
𝑙. 𝑔
2
→ 𝑆𝑓 =
12.8
2
→ 𝑆𝑓 = 48𝑐𝑚
2 
𝑆𝑙 = 3. 𝑆𝑓 → 𝑆𝑙 = 3.48 → 𝑆𝑙 = 144𝑐𝑚
2 
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏 → 𝑆𝑡 = 144 + 36 3 → 𝑆𝑡
= 36 4 + 3 𝑐𝑚2 
RESOLVA 
Numa feira de artesanato foi construída uma 
tenda com o formato de uma pirâmide 
hexagonal regular de altura 8m e aresta da base 
4 3m. Considerando que o construtor deixou 
uma das faces laterais como porta (sem 
fechamento do tecido), calcular a quantidade de 
tecido necessário para a cobertura da tenda. 
RESOLVA 
Numa feira de artesanato foi construída uma tenda com o formato de uma 
pirâmide hexagonal regular de altura 8m e aresta da base 4 3m. 
Considerando que o construtor deixou uma das faces laterais como porta 
(sem fechamento do tecido), calcular a quantidade de tecido necessário para 
a cobertura da tenda. 
h=8m 
l=4 3m 
No Triângulo 
OAB, temos que 
m=
𝑙 3
2
 
𝑚 =
4 3. 3
2
 
𝑚 = 6𝑚 
RESOLVA 
Numa feira de artesanato foi construída uma tenda com o formato de uma 
pirâmide hexagonal regular de altura 8m e aresta da base 4 3m. 
Considerando que o construtor deixou uma das faces laterais como porta 
(sem fechamento do tecido), calcular a quantidade de tecido necessário para 
a cobertura da tenda. 
Aplicando Pitágoras no triângulo VOM: 𝑔2 = 62 + 82 → 𝑔2 = 36 + 64 = 100 
𝑔 = 100 → 𝑔 = 10𝑚 
 
Cálculo da área de uma face: 𝑆𝑓 =
𝑙.𝑔
2
→ 𝑆𝑓 =
4 3.10
2
→ 𝑆𝑓 = 20 3𝑚
2 
 
Como uma das faces laterais não usará tecidos: S=5.𝑆𝑓 → 𝑆 = 5.20 3 
𝑆 = 100 3𝑚2 
Qual a área lateral de uma 
pirâmide reta quadrangular de 
altura H=20cm e base 
quadrada de lado a=10cm? 
Para descobrir a altura da face, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo 
sombreado: 
ℎ2 = 𝐻2 +
𝑎
2
2
 Fazendo as substituições, temos: 
ℎ2 = 202 +
10
2
2
→ ℎ2 = 400 + 25 = 425 → ℎ = 425𝑐𝑚 = 5 17𝑐𝑚 
A área de uma face é dada por: 𝐹1 =
1
2
. 𝑎. ℎ →
1
2
. 10.5 17 → 25 17 
A área das faces é dada por: 𝐹 = 4. 𝐹1 → 𝐹 = 4.25 17 → 𝐹 = 100 17𝑐𝑚
2 
 
Resolva 
A figura indica uma pirâmide regular 
quadrangular reta cujas faces laterais são 
triângulos equiláteros. A aresta da base 
dessa pirâmide mede 12cm e a altura é 
17cm. 
Qual a medida da área das faces desta 
pirâmide? 
Resolva 
A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta 
cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da 
base dessa pirâmide mede 12 cm e a altura é 17cm. 
Qual a medida da área das faces desta pirâmide? 
Qual a medida da área total da pirâmide? 
 
ℎ2 = 𝐻2 +
𝑎
2
2
→ ℎ2 = 172 +
12
2
2
→ ℎ2 = 289 + 36 
 
ℎ2 = 325 → ℎ = 325 → 325 → 5 13 
 
𝐹1 =
1
2
. 𝑎. ℎ → 𝐹1 =
1
2
. 12.5 13 → 𝐹1 = 6.5 13 → 𝐹1 = 30 13 
 
𝐹 = 4.30 13 → 𝐹 = 120 13𝑐𝑚2 
Resolva 
A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta 
cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da 
base dessa pirâmide mede 12 cm e a altura é 17cm. 
Qual a medida da área total da pirâmide? 
 
𝐹 = 4.30 13 → 𝐹 = 120 13𝑐𝑚2 → 𝐹 ≅ 432𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑏 = 12
2 → 𝐵 = 144𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑇 = 432 + 144 → 𝐴𝑇 = 576𝑐𝑚
2 
Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de 
prisma hexagonal regular, com uma tampa no 
formato de pirâmide regular, como mostrado na 
figura. 
As faces laterais do porta-joias são quadrados de 
lado medindo 6 cm e a altura da tampa também 
vale 6 cm. 
A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são 
revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a 
área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. 
A área da parte revestida, em cm2, é igual a? 
Resolva 
𝐴𝐿 = 6
2. 6 → 𝐴𝐿 = 36.6 → 𝐴𝐿 = 216𝑐𝑚
2 
 
ℎ2 = 62 +
6
2
2
→ ℎ2 = 36 + 9 → ℎ2 = 45 
ℎ = 45 → ℎ = 3 5 
 
𝐹1 =
1
2
. 6.3 5 → 𝐹1 = 9 5 
 
𝐹𝐿 = 6.9 5 → 𝐹𝐿 = 54 5 
 
𝐴𝑇 = 216 + 54 5𝑐𝑚
2 
 
𝐴𝑇 ≅ 336,7𝑐𝑚
2 
Resolva