AULA 04 _ EDO

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AULA 04
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS E FATOR INTELIGENTE
Nesta aula, veremos as equações diferenciais exatas e como podemos resolvê-las.
Algumas vezes, podemos transformar uma equação diferencial que não é exata em uma equação exata, multiplicando a equação por um fator adequado, dito integrante.
Você sabia que não podemos aplicar os métodos estudados até o momento a uma equação que não seja do tipo homogênea e nem separável?
No entanto, se nossa equação envolve uma diferencial total de alguma função U, teremos uma equação dita equação diferencial exata.
Nesta aula, veremos essas equações e como podemos resolvê-las.
Algumas vezes, podemos transformar uma equação diferencial que não é exata em uma equação exata multiplicando a equação por um fator adequado, dito integrante.
Vamos entender melhor?
Introdução
A definição
Você deve estar se perguntando...
Quando dizemos que uma equação da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é diferencial exata?
Quando seu primeiro membro é a diferencial total de alguma função U, isto é, quando existe uma função U(x, y) tal que dU = Mdx + Ndy.
Observe que, se dU = Mdx + Ndy, temos que:
Além disso, dU = Mdx + Ndy = 0, assim U = C
Mas como identificar uma equação exata?
O teorema a seguir nos auxilia nessa identificação.
Ele nos fornece uma condição necessária e suficiente para que a equação seja efetivamente exata.
Condição necessária e suficiente
Considere:
a condicional p → q
Se p acontece, então q acontece.
O que está junto ao “se" (p) é a condição suficiente, e o que está junto ao “então" (q) é a condição necessária.
o bicondicional p ↔ q
p acontece, se e somente se, q acontece.
"Condição necessária e suficiente" é o bicondicional.
Método de resolução
Depois de mostrarmos que a equação é homogênea, com o auxílio do teorema, precisamos supor que:
O procedimento será integrar uma destas equações, considerando a outra variável como constante, e comparar com a outra equação.
Aplicando o conhecimento
Chegou a hora de aplicar seus conhecimentos.
Resolva a equação diferencial:
Fator integrante
Eventualmente, podemos transformar uma equação diferencial que não é exata em uma equação exata.
Mas como fazer isso?
É simples, multiplicando a equação diferencial dada por uma função adequada, dita fator integrante.