Aplicacões da derivada

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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
 
 
 
 Ticiano A. Campigotto 
 
 
 
 
Uma derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Vista desta forma, as 
derivadas podem representar quantidades como a taxa na qual uma população aumenta a 
velocidade de um objeto que se move o custo marginal de um produto, a taxa de inflação e 
a taxa na quais recursos naturais estão sendo gastos. 
 
A taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente é igual á 
inclinação de seu gráfico, a qual é medida pela inclinação da reta tangente no ponto em 
questão.. Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, segue-se que a 
taxa de derivação é igual à derivada. Para que uma taxa de variação seja igual à derivada, é 
preciso que esta taxa se trate de uma taxa instantânea. 
 
Taxa de variação instantânea: Se y = f(x), a taxa de variação instantânea de y em ralação a 
x é dada pela derivada de f. Isto é: 
 
Taxa de variação = f’(x) = dy/dx 
 
Taxa média e instantânea: Suponha que y seja uma função de x, ou y = f(x). Em resposta a 
uma mudança de x para 
xx 
, a variável y muda por uma quantidade 
)()( xfxxfy 
. A taxa de variação média de y em relação a x resultante é o 
quociente da diferença: 
 
Taxa média de variação = 
x
xfxxf
x
y




 )()(
 
 
A medida que o intervalo sobe o qual você está calculando a média se torna cada vez 
menor. (isto é, a medida que 
x
tende a zero), a taxa média de variação se aproxima 
daquilo que você intuitivamente chama de taxa de variação instantânea de y em relação a 
x, e o quociente da diferença se aproxima da derivada f”(x) ou dy/dx. Isto é: 
 
Taxa instantânea de variação = 
x
xfxxf
x



)()(
lim 0
 
= 
)(' xf
 
= 
dx
dy
 
 
 
 2 
Exemplo 
 
Estima-se que, x meses a partir de agora, a população de certa comunidade será de 
P(x) = x
2
 + 20x + 80000. 
a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15 meses a partir 
de agora? 
b) Qual será a variação da população durante o 16o mês? 
 
Solução: 
 
a) A taxa de variação da população em ralação ao tempo é a derivada da função 
população. Isto é: 
Taxa de variação = P’(x) = 2x +20 
A taxa de variação da população 15 meses a partir de agora será de: 
P’(15) = 2.(15) + 20 
P’(15) = 50 pessoas por mês. 
 
b) A taxa real de variação da população durante o 16o é a diferença entre a população 
no fim de 16 meses e a população no fim de 15 meses. Isto é: 
Variação de população = P(16) – P(15) = 80525 – 80576 = 51 pessoa. 
 
Comentário: 
 
A variação da população durante o 16
0
, calculada no item (b), é diferente da taxa de 
variação no início do 16
o
 mês, calculada no item (a), porque a taxa de variação muda 
durante o mês. A taxa instantânea, como a calculada no item (a), pode ser vista como a 
variação de população que ocorreria durante o 16
o
 mês se a taxa da variação da 
população permanecesse constante durante todo o mês. 
 
Taxa de variação Percentual: Em muitas aplicações práticas, a taxa de variação 
instantânea de uma grandeza não é tão importante quanto a taxa de variação percentual. 
Por exemplo, uma taxa de variação anual de R$ 500,00 no salário não significa muita 
coisa para uma pessoa que ganha R$5 milhões por ano. Nesse caso, a taxa de variação 
percentual é apenas: 
 
%01,0
000.000.5
)500(100

 
 
Por outro lado, para uma pessoa que ganha apenas R$ 2. 000,00 por ano, uma taxa de 
variação anual de R$ 500,00 equivale a uma taxa de variação percentual de: 
 
%25
2000
)500(100

 
 
 
 
 3 
Taxa de variação Percentual: Se y = f(x), a taxa de variação percentual de y em 
relação a x é dada pela fórmula: 
 
Taxa percentual de variação: 
y
dxdy
xf
xf /
100
)(
)('
100 
 
 
Exemplo 
 
O produto Intermo Bruto (PIB) de certo país foi de N(t) = t
2
 + 5t + 106 bilhões de 
dólares, onde t é o número de anos após 2000. Determine: 
a) A que taxa o PIB estava variando em relação ao tempo em 2008? 
b) A que taxa de variação percentual o PIB estava variando em relação ao tempo em 
2008? 
 
Solução 
 
a) A taxa de variação do PIB é a derivada N’(t) = 2t + 5. A taxa de variação em 2008 
foi de N’(8) = 2(8) + 5 = 21 bilhões de dólares por ano. 
b) A taxa de variação percentual do PIB em 2008 foi de: 
%10
210
21
100
)8(
)8('
100 
N
N
 
por ano. 
 
Aproximação: É um procedimento usado no Cálculo para estimar como uma função é 
afetada por uma pequena variação na sua variável independente. Isto é: Se y = f(x), e 
x
 é uma pequena variação em x, então a correspondente variação em y será: 
 
x
dx
dy
y 
 ou 
xxf  )(
 
 
ou, em notação funcional, a variação correspondente em f é: 
 
xxfxfxxff  )(')()((
 
 
Isto é, a variação na função é aproximadamente à derivada da função vezes a variação 
de sua variável independente. 
 
 
Exemplo1 
 
O custo total em reais para fabricar q unidades de certo produto é C(q) = 3q
2
 +5q +10. 
Se o nível de produção é de 40 unidades, estime a variação do custo total se 40,5 
unidades forem produzidas. 
 
Solução: 
 
 4 
Nesse problema, a produção atual é q = 40 e a variação da produção é 
5,0q
. De 
acordo com a aproximação por incrementos, a variação correspondente do custo é: 
 
)5,0)(40('40()5,40( CCCC 
 
 
Como 
 
C’(q) = 6q e C’(40) = 6(40) + 5 = 245 
 
Temos: 
 
50,122$)5,0(245)5,0)(40(' RCC 
 
 
Para praticar, calcule a variação exata de custo causada por um aumento na produção 
de 40 para 40,5 e compare o valor obtido com o resultado aproximado do exemplo 1. A 
aproximação pode ser considerada razoável? 
 
Aproximação para variação percentual: Se 
x
é uma variação (pequena) em x, a 
variação percentual correspondente na função f(x) é: 
 
Variação percentual em f = 
)(
)('
100
)(
100
xf
xxf
xf
f 


 
 
Exemplo 
 
O PIB de certo país foi N(t) = t
2
 + 5t + 200 bilhões de dólares após 2000. Use os 
métodos do cálculo para estimar a variação percentual do PIB durante o primeiro 
trimestre de 2008. 
 
Solução 
 
Use a expressão 
 
Variação percentual de 
)(
)('
tN
ttN
N


 
 
com t = 8; 
25,0t
 e N’(t) = 2t + 5 
 
para obter: 
Variação percentual de 
)8(
25,0)8('
100
N
N
N 
 
%73,1
200)8(5)8(
)25,0](5)8(2[
100
2



 
 5 
Análise Marginal em Economia 
 
 
Em Economia, o uso da derivada para aproximar a variação em uma função produzida 
por uma variação de 1 unidade em sua variável independente é denominada análise 
marginal. Por exemplo, se C(x) é o custo de produção total incorrido por um produto 
quando x unidades são produzidas e R(x) é a receita total advinda de x unidades, então 
C’(x) é denominado de custo marginal, e R’(x) é denominada de receita marginal. Se 
a produção (ou vendas) é aumentada de 1 unidade, então 
1x
, e a fórmula de 
aproximação: 
 
xxCCxxxCC  )('))(
 
 
se torna: 
 
)(')()1( xCxCxCC 
 
 
enquanto: 
 
xxRxRxxRR  )(')(_)(
 
 
se torna: 
 
)(')()1( xRxRxRR 
 
 
Isto é, o custo marginal C’(x) é uma aproximação do custo C(x + 1) – C(x) de produzir 
a (x + 1)
a
 unidade, analogamente, a receita marginal R’(x) é uma aproximação da 
receita advinda da venda da (x + 1)
a
 unidadeResumindo: 
 
Custo Marginal = C’(x) 

 o custo de produzir a (x +1)
a
 unidade. 
Receita Marginal = R’(x) 

 receita advinda da venda da (x +1)
a
 unidade. 
 
Exemplo 
Um produtor estima que, quando x unidades de certo produto são produzidas, o custo 
total será de 
983
8
1
)( 2  xxxC
 reais, e mais ainda, que 
xp
3
1
25
 reais por 
unidade é o preço no qual todas as x unidades serão vendidas. 
a) Encontre o custo marginal e a receita marginal; 
b) Use o custo marginal para estimar o custo de produzir a nona unidade; 
c) Qual é o custo real de produzir a nona unidade? 
d) Use a receita marginal para estimar e receita produzida pela venda da nona 
unidade; 
e) Qual é a recita real produzida pela venda da nona unidade? 
 
 6 
Solução 
a) O custo marginal é 
3
4
1
)('  xxC
. 
Como x unidades do produto são vendidas ao preço de 
xp
3
1
25
 reais por 
unidade, a receita total é: 
R(x) = (número de unidades vendidas) (preço por unidade) 
R(x) = x.p 
2
3
1
25)]
3
1
25[()( xxxxxR 
 
A recita marginal é: 
xxR
3
2
2)(' 
 
 
b) O custo de produzir a nona unidade é a variação do custo à medida que x cresce de 
8 para 9 e pode der estimada pelo custo marginal: 
00,5$3)8(
4
1
)8(' RC 
 
 
c) O custo real de produzir a nona unidade é de: 
13,5$)8()9( RCCC 
 
o qual é razoavelmente bem aproximado pelo custo marginal C’(8) = R$5,00 
 
d) A recita obtida da venda da nona unidade é aproximadamente pela receita 
marginal: 
67,19$)8(
3
2
25)8(' RR 
 
 
e) A receita real obtida da venda da nona unidade é: 
.33,19$)8()9( RRRR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
As aplicações de derivadas em problemas de economia, administração e contábeis exigem o 
conhecimento de algumas funções que definiremos a seguir: 
 
 Receita total: 
xpxR .)( 
( gerada pela venda de x unidades ao preço unitário p). 
 Custo total: 
)(xC
( custo total de produção de x unidades do produto). 
 Receita média: 
x
xR
xRMe
)(
)( 
(gerada pela venda de x unidades) 
 Custo médio: 
x
xC
xCMe
)(
)( 
(custo médio de produção de cada unidade do 
produto) 
 Lucro: 
)()()( xCxRxL 
(lucro ao produzir e vender x unidades do produto) 
 Receita marginal: 
)('
)(
)( xR
dx
xdR
xRMg 
(taxa de acréscimo na receita total, em 
relação ao acréscimo na produção) 
 Custo marginal: 
)('
)(
)( xC
dx
xdC
xCMg 
(ao nível de produção x é 
aproximadamente igual ao custo de produção de uma unidade a mais) 
 Elasticidade-demanda: 
dp
dx
x
p
E .
(aproximadamente a variação percentual na 
demanda que corresponda à variação de 1% no preço) 
 
 
xxff  )('
(técnica de aproximação denominada, Análise Marginal) 
 Taxa de variação percentual: Taxa de variação percentual de f = 
)(
)('
100
xf
xf
 
 Aproximação da variação percentual: Variação percentual de f = 
)(
)('
100
xf
xxf 
 
 
 
 
 
 
 8 
Exercícios 
1. Dadas às funções Receitas e Custo 
23 30)( qqqR 
 e 
125075)(  qqC
. 
Determine a função Lucro e a função Receita Marginal, Custo Marginal e 
Lucro Marginal. 
 
2. Estima-se que daqui a x meses a população de certo município será 
800003)( 2  xxxP
. (a) Qual será a taxa de variação da população daqui 
a 20 meses? (b) Qual será a variação da população durante o 21
o
 mês? 
 
3. O Produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por 
2958)( 2  ttTN
 
bilhões de dólares, onde t é número de anos após 2003. (a) Qual foi à taxa de 
variação do PIB em 2008; (b) Qual foi a taxa percentual do PIB em 2008? 
 
4. Estima-se que daqui a t anos, a circulação de um jornal será 
5000400100)( 2  tttC
. (a) Encontre uma expressão para a taxa de 
variação da circulação com o tempo daqui a t anos, (b) Qual será a taxa de 
variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos? Nessa ocasião a 
circulação está aumentando ou diminuindo?, (c) Qual será a variação da 
circulação durante o sexto ano? 
 
5. Um estudo realizado em certa fábrica mostra que os operários do turno da 
manhã, que chegam para trabalhar às 8 h, terão produzido em média 
xxxxf 156)( 23 
 de certo produto x horas mais tarde. (a) Escreva 
uma expressão para a o número de produtos por hora que os operários 
estarão produzindo x horas depois de começarem a trabalhar. (b) Quantos 
produtos por hora os operários estarão montando às 9 h?; (c) Quantos 
produtos os operários estarão produzindo entre 9 h e 10 h? 
 
6. Os registros mostram que x anos depois de 2003, o imposto predial médio 
que incidia sobre um apartamento de três quartos em certo município era 
6004020)( 2  xxxT
reais. (a) Qual era a taxa de aumento do imposto 
predial no início de 2009?; (b) Qual era a taxa de aumento percentual do 
imposto predial no início de 2009? 
 
7. Qual será a variação da função 
53)( 2  xxxf
quando x aumenta de 5 
para 5,3. 
 
8. Qual a variação percentual da função
92)( 2  xxxf
 quando x aumenta 
de 4 para 4,3. 
 
9. O custo total em reais para fabricar q unidades de certo produto é 
3074)( 2  qqqC
.Se o nível atual de produção é 50 unidades, estime a 
variação do custo total se 50,2 unidades forem produzidas. 
 9 
 
10. O custo total de uma fábrica é 
2005005,01,0)( 23  qqqqC
reais, onde 
q é o número de unidades produzidas. a) Use os métodos de análise marginal 
para estimar o custo de fabricação da quarta unidade. b) Calcule o custo real 
de fabricação da quarta unidade. 
 
11. O custo total de certa fábrica é 
2005001,0)( 2  qqqC
reais quando o 
nível de produção é de q unidades. O nível atual de produção e de 4 
unidades, mas o fabricante pretende aumenta-lo para 4,1 unidades. Estime a 
variação do custo total em conseqüência desse aumento de produção. 
 
12. O custo total em reais para fabricar 
q
unidades de certo produto é 
5003)( 2  qqqC
. Use os métodos de análise marginal para estimar o 
custo de fabricação da 41
a
 unidade. 
 
13. O custo total de um produtor é 
400642
6
1
)( 3  qqqC
 reais, quando q 
unidades são produzidas. O nível atual de produção é de 4 unidades. Estime 
a quantidade da qual o produtor deve diminuir a produção para reduzir o 
custo total de R$130,00 
 
14. O custo de fabricação de x unidades de um produto é 
1003005,01,0)( 23  xxxxC
. Atualmente o nível de produção é de 10 
unidades e o produtor deseja aumenta-la para 10,2 unidades. Calcule, 
aproximadamente, usando diferencial de função, de quanto varia o custo. 
 
15. A função receita de uma empresa é 
22200)( xxxR 
, em que x é o número 
de unidades produzidas e vendidas. Atualmente o nível de produção é de 40 
unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,6 unidades. Usando 
diferencial de função, dê aproximadamente a variação correspondente da 
receita. 
 
16. O custo de fabricação de x unidades de um produtor é 
1003005,.01,0)( 23  xxxxC
. Calcule, usando diferencial de função, 
qual o custo aproximado de fabricação da 21
a
 unidade. 
 
17. O custo para produzir x unidades é 
5502,003,0)( 2  xxxC
 reais, sendo 
a produção diária igual a 20 unidades. (a) Calcule o custo adicional quando o 
nível de produção aumentar de 20 para 21. (b) Calcule o custo marginal para 
x = 20. 
 
18. Sendo 
px 4,0400
a função de demanda de um bem, onde x é a 
quantidadedemanda e p o preço, determine: (a) a função receita total; (b) a 
função receita marginal; (c) a receita marginal para x = 100 unidades. 
 10 
 
19. Uma Companhia fabrica peças de motocicletas, tendo uma função custo 
representada pela função 
xxxxC 1024)( 23 
, onde x representa a 
quantidade. (a) Qual o custo marginal; (b) Qual o custo médio para x = 10?; 
(c) Calcular o lucro para x = 10, sabendo-se que a função receita é 
56)( 3  xxR
. 
 
20. Espera-se que a população de certa cidade, t anos após 1o de janeiro de 2005, 
seja 
500010030)( 2  tttf
. (a) Ache a taxa segundo a qual se espera que 
a população esteja crescendo em 1
o
 de janeiro de 2013; (b) Ache a taxa 
relativa de crescimento da população em 1
o
 de janeiro de 2013. 
 
21. O custo total de um produtor é de 
2004005,01,0)( 23  qqqqC
reais, 
quando o nível de produção é de q unidades. O nível atual de produção é de 
7 unidades, e o produtor está planejando aumenta-lo para 7,4 unidades. 
Determine qual será a variação no custo em conseqüência. 
 
22. O custo de um produtor é de 
750842
6
1
)( 3  qqqC
reais, quando q 
unidades são produzidas. O nível atual de produção é de 4 unidades. 
Determine a quantidade da qual o produtor deverá diminuir a produção para 
reduzir o custo total de R$255,00. 
 
23. A receita bruta de certa companhia foi de 
20101,0)( 2  tttR
mil reais, t 
anos após sua fundação em 2005. Determine a que taxa percentual a receita 
anual bruta estava crescendo em relação ao primeiro trimestre de 2009. 
 
24. Um produtor estima, quando x unidades de certo produto são produzidas, o 
custo será 
574
5
1
)( 2  xxxC
reais e, mais ainda, que 
xp
4
1
9 
 reais 
por unidade, onde p é o preço no qual todas as x unidades serão vendidas. 
Determine: (a) O custo marginal para produzir a 12
a
 unidade. (b) A receita 
marginal gerada pela venda da 12
a
 unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
Respostas 
 
1. 
12507530)( 23  qqqqL
; 
qqqR 603)(' 2 
; 
75)(' qC
; 
75603)(' 2  qqqL
. 
 
2. a) 43 habitantes por mês; b) 44 habitantes. 
 
3. a) 18 bilhões de dólares por ano; b) 5% ao ano. 
 
4. a) 
400200)('  ttC
; (b) 1400, aumentando; (c) 1500 exemplares. 
 
5. a) 
15123)(' 2  xxxf
; b) 24 receptores de rádio/h; c) 26 receptores de rádio. 
 
6. a) R$ 240,00/ano; b) 18,46%/ano 
 
7. 2,1 
 
8. 20% 
 
9. R$ 81,40 
 
10. a) 
70,499$)3(' RC 
; b) 
20,500$)3()4( RCC 
 
 
11. R$ 50.08 
 
12. R$241,00 
 
13. 0,2 unidades 
 
14. R$ 64,00 
 
15. R$ - 24,00 
 
16. R$ 400,00 
 
17. a) R$1,25; b) R$ 1,22 
 
18. a) 
2
5
1000)(
2x
xxR 
; b) 
xxR 51000)(' 
; c)R$500,00 
 
19. a) 
10412)(' 2  xxxC
; b) R$ 370,00; c) R$ 2295,00 
 
20. a) 580 pessoas; b) 7,5% 
 
21. R$163,08 
 
22. 0,3 unidades 
 
23. 4,38% ao ano. 
 
24. a) R$ 8,40; b) R $3,50 
 
 12 
Referências Bibliográficas 
 
 
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo : Um curso moderno e suas aplicações. 7a ed. Tradução de Denise 
Paravato. Rio de janeiro : Livros Técnicos e Científicos, 2002. Tradução de Calculus for Business, 
Economics, and the Social and Life Science. 
LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra,1988. 
MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada Para cursos de: Administração, Economia e Ciências 
Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 
MORETTIN, Pedro A. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Ed. Saraiva, 2003. 
 
WEBER, Jean R. Matemática para Economia e administração. 2a ed. Tradução por Seiji Hariki de 
Mathematical Analysis, Business and Economic Applications. São Paulo: Harba, 1972