ANOVA com+resp

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ANOVA
	5. Análise da Variância (ANOVA)
	É um método desenvolvido por Fisher e usado para testar a igualdade de
	médias de diferentes populações que apresentam variâncias iguais
	(condição de homocedasticidade).
	Pode parecer que o termo análise da variância se mostre mal aplicado, uma
	vez que o objetivo é testar a igualdade de médias populacionais. No entanto,
	é a partir de uma análise de estimativas da variância definidas e calculadas
	de diferentes formas, que se pode tirar conclusões a respeito das médias
	populacionais.
	As ferramentas de ANOVA do Excel corespondem a três técnicas diferentes
	todas destinadas a testar o seguinte par de hipóteses.
	H0 : todas as populações têm médias iguais
	H1 : pelo menos uma das médias populacionais difere das demais
	As técnicas são: ANOVA - fator único, ANOVA - fator duplo sem repetição e
	ANOVA fator duplo com repetição. As ferramentas do Excel correspondentes
	a essas técnicas têm a mesma denominação.
FU
	5.1. ANOVA de Fator Único
	5.1.1. ANOVA de Fator Único (Conceituação)
	Essa técnica trabalha com k amostras de tamanhos diversos retiradas de k
	populações, cujas médias queremos comparar. As populações devem ser
	normais com variâncias iguais (condição de homocedasticidade).
	A ANOVA fator único considera que as populações tenham sido submetidas
	a diferentes tipos de tratamento e procura saber se os mesmos produzem,
	em média, o mesmo efeito. Os tratamentos em questão constituem o fator
	único que dá título à técnica. O seguinte par de hipóteses deverá ser testado.
	H0 : m1 = m2 = ... = mk
	H1 : $ mi <> mj , i <>j
	A não rejeição de H0 significa a não comprovação de diferença significativa
	entre as médias populacionais.
	A ferramenta do Excel para esta técnica é a ANOVA: fator único encontrada no
	menu em Ferramentas, opção Análise de Dados. Essa ferramenta, além de
	fornecer um resumo estatístico dos dados, gera uma matriz de resultados,
	cujo modelo é apresentado abaixo.
	Essa técnica baseia-se em que, sendo H0 verdadeira, existem três maneiras
	pelas quais a variância s², comum implicitamente a todas as populações,
	pode ser estimada.
	Uma maneira consiste em calcular a variância das médias amostrais (s²x|) e
	multiplicar por n, já que a variância das médias amostrais é uma estimativa de
	s²/n, sendo n o tamanho da menor amostra. É chamada de variância entre
	amostras (sE²).
	Outra maneira consiste em estimar a variância a partir dos elementos de cada
	amostra, calculando em seguida a média (ms²) das k estimativas. É chamada de
	variância dentro ou residual (sR²).
	Uma terceira maneira é obtida através da variância de todos os dados considerando
	as k amostras reunidas em uma só. É chamada de variância total (sT²).
	As duas primeiras são fornecidas pela ferramenta do Excel na coluna MQ
	(média dos quadrados) na matriz dos resultados.
	A variância sT² não é fornecida pela ferramenta mas pode ser obtida dividindo-se
	o valor de SQT (soma dos quadrados total) pelo valor de GLT (grau de liberdade
	total), gerados pela ferramenta.
	A matriz de resultados gerada pela ferramenta Anova: fator único traz na
	primeira coluna a fonte da variação e nas demais os valores de SQ (soma
	dos quadrados), gl (graus de liberdade), MQ (média dos quadrados),
	a estatística F, o valor p e o valor de F crítico.
	A seguir é mostrado um modelo da matriz dos resultados gerada pela ferramenta
	Anova: fator único. Nesse modelo, foi escrito em cada célula o que representa
	cada resultado numérico gerado na matriz.
	ANOVA
	Fonte da	SQ	gl	MQ=SQ/gl	F	valor-P	F crítico
	variação
	Entre	SQE	GLE = k-1	sE²=SQE/GLE	FE=sE²/sR²	valor p	Fcrítico
	grupos
	Dentro dos	SQR	GLR=k*(n-1)	sR²=SQR/GLR
	grupos
	Total	SQT=SSQi	GLT=SGLi	sT²=SQT/GLT
	A decisão de rejeitar ou não H0 é feita com base na estatística valor p fornecida
	na matriz de resultados (penúltima coluna) de acordo com a seguinte regra:
	Se valor p < a, H0 será rejeitada indicando haver diferença entre as médias das
	populações.
	A decisão também pode ser feita com base nos valores de F e Fcrítico da
	seguinte maneira: Se F > Fcrítico, H0 será rejeitada.
	5.1.2. ANOVA de fator único (Roteiro)
	Para testar a igualdade das médias de k populações, submetidas a tratamentos diversos,
	através de k amostras que podem ter ou não o mesmo tamanho (n), devemos usar a
	ferramenta ANOVA: fator único obedecendo ao seguinte roteiro:
	1. Clicar sucessivamente em Ferramentas, Análise de dados, Anova: fator único
	e OK;
	2. Transferir para o campo Intervalo de Entrada a matriz dos dados incluindo
	os títulos das colunas;
	3. Manter o botão Colunas ativado;
	4. Ativar a caixa Rótulos;
	5. Informar o valor de Alfa no campo correspondente;
	6. Ativar o botão Intervalo de Saída e digitar no campo ao lado a célula de saida
	dos resultados;
	7. Clicar OK;
	Decisão
	valor p < a	rejeitar H0
	valor p >= a	não rejeitar H0
	F > Fcrítico indica também a rejeição de H0.
	A rejeição de H0 indica haver diferença entre as médias populacionais.
Hipótese nula:
as médias decorrentes dos diversos tipos de tratamento são todas iguais. Isto é:
o fator tratamento não causa nenhum efeito.
Hipótese alternativa:
pelo menos uma das médias é diferente das demais. Isto é,
há efeito do fator tratamento.
entre amostras
dentro das amostras ou residual
5.1
	Exercício 5.1
	Considere abaixo três amostras genéricas, com tamanhos diferentes, retiradas de
	populações que receberam distintos tratamentos.
	Há evidência, ao nível de 5% de significância,de que haja diferença entre as
	médias das populações que originaram essas amostras.
	Amostra 1	Amostra 2	Amostra 3
	64	71	52
	66	73	57
	59	66	53
	65	70	56
	62	68	53
	62	69	51
	61	67
	60	70
	59
	R. Sim. Valor p = 0,0000.
	Solução
	Anova: fator único
	RESUMO
	Grupo	Contagem	Soma	Média	Variância	dp	li	ls
	Amostra 1	9	558	62	6.5	2.5495097568	60.0402768336	63.9597231664
	Amostra 2	8	554	69.25	5.0714285714	2.2519832529	67.3669957159	71.1330042841
	Amostra 3	6	322	53.6666666667	5.4666666667	2.3380903889	51.2125921364	56.1207411969
	ANOVA
	Fonte da variação		SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Entre grupos		834.384057971	2	417.1920289855	72.6604404619	0.0000000007	3.492829137
	Dentro dos grupos		114.8333333333	20	5.7416666667
	Total		949.2173913044	22	43.1462450593
	valor p	0.00%	< alfa	rejeitar H0
	Há evidência de que as médias das populações sejam diferentes ao
	nível de 5% de significância.
	b) Observe o resumo estatístico da ferramenta utilizada e informe como obter
	a média e a variância de cada uma das amostras e da totalidade delas.
5.2
	Exercício 5.2 (Neufeld)
	Uma empresa recebeu propostas de treinamento em vendas de dois cursos A e B.
	Para comparar a efetividade entre eles e também se valeria a pena o treinamento
	de seus vendedores, três grupos de 5 vendedores foram selecionados aleatoriamente.
	Um grupo foi inscrito no curso A, outro no curso B e o terceiro não recebeu nenhum
	treinamento. Após a conclusão dos cursos, o volume de vendas de cada vendedor foi
	observado durante um periodo de duas semanas resultando nos dados abaixo.
	Curso A	Curso B	Sem curso
	2058	3339	2228
	2176	2777	2578
	3449	3020	1227
	2517	2437	2044
	944	3067	1681
	a) Diante desses dados, há evidência, ao nível de 10% de significância, de que
	de fato valeu a pena o treinamento dos vendedores?
	b) Com base nos dados gerados pela ferramenta utilizada, informe os valores da média e
	da variância de cada uma das amostras e mostre como são obtidas as estimativas da
	variância da população.
	R. Sim. Valor p = 0,07843.
	Solução:
	a) Diante desses dados, há evidência, ao nível de 10% de significância, de que
	de fato valeu a pena o treinamento dos vendedores?
	Anova: fator único
	RESUMO
	Grupo	Contagem	Soma	Média	Variância
	Curso A	5	11144	2228.8	813654.7
	Curso B	5	14640	2928	115147
	Sem curso	5	9758	1951.6	268895.3
	ANOVA
	Fonte da variação		SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Entre grupos		2531795.7333333343
2	1265897.8666666672	3.1708300179	0.0784252008	2.8067930202
	Dentro dos grupos		4790788	12	399232.3333333333
	Total		7322583.733333334	14	523041.6952380953
	valor p)treinamento		7.84%	< alfa	rejeitar H0)treinamento
	Há evidência, ao nível de 10% de significância, de que o treinamento foi fator importante
	para o aumento das vendas.
	b) Com base nos dados gerados pela ferramenta utilizada, informe os valores da média e
	da variância de cada uma das amostras e mostre como são obtidas as estimativas da
	variância da população.
	x|A	2228.8	s²A	813654.7
	x|B	2928	s²B	115147
	x|SC	1951.6	s²SC	268895.3
	MQ)entre grupos		=var(matriz de x|)*n		1265897.8666666672	1265897.866666671
	MQ)dentro dos grupos		=media(matriz de s²)		399232.3333333333	399232.3333333333
	MQ)total	=SQ)total/gl)total		=VAR(matriz total dos dados)			523041.6952380953	523041.6952380953
FDSR
	5.2. ANOVA de fator duplo sem repetição
	5.2.1. ANOVA de fator duplo sem repetição (Conceituação)
	Esta técnica é também conhecida como análise de fator duplo sem interação
	e também lida com amostras de tamanhos diferentes extraídas de populações
	diferentes com variâncias iguais (condição de homocedasticidade).
	Os elementos são observados segundo dois critérios, que são os fatores,
	acarretando duas classificações cruzadas.
	São k amostras de n elementos por um critério e n amostras de k
	elementos por outro critério. Consistem portanto de k*n observações
	dispostas em uma matriz n x k.
	Cada valor observado, combinação de uma linha com uma coluna, representa
	um diferente tratamento a que cada elemento foi submetido.
	Duas hipóteses nulas deverão ser testadas independentemente contra uma
	hipótese alternativa e contraditória
	H0L : m1L = m2L = ... = mnL
	H0C : m1C = m2C = ... = mkC
	H1 : $ mi <> mj , i <>j
	A aceitação de H0L significa a não comprovação de diferença significativa
	entre as médias pelo fator linha e a aceitação de H0C significa a não
	comprovação de diferença significativa entre as médias pelo fator coluna.
	A ferramenta do Excel para esta técnica é a ANOVA: fator duplo sem repetição
	encontrada em Ferramentas, opção Análise de Dados (vide roteiro abaixo).
	A ANOVA de fator duplo sem repetição baseia-se em que, sendo verdadeiras
	as hipóteses nulas, existem quatro maneiras pelas quais a variância s², comum
	implicitamente a todas as populações, pode ser estimada.
	A variância entre linhas (sL²), a variância entre colunas (sC²), a variância
	residual (sR²) e a variância total (sT²). As três primeiras são fornecidas pela
	ferramenta do Excel na coluna MQ da matriz dos resultados. A variância sT²
	não é fornecida pela ferramenta mas, pode ser obtida dividindo-se a soma
	dos quadrados total (SQT) por GLT (graus de liberdade total), ambos gerados
	pela ferramenta.
	Esta ferramenta fornece igualmente um resumo estatístico dos dados, além de
	gerar uma matriz de resultados, cujo modelo é mostrado a seguir.
	ANOVA
	Fonte da	SQ	gl	MQ=SQ/gl	F	valor-P	F crítico
	variação
	Linhas	SQL	GLL=k-1	sL²=SQL/GLL	FL=sL²/sR²	valorp)Linhas	FLcrítico
	Colunas	SQC	GLC=n-1	sC²=SQC/GLC	FC=sC²/sR²	valorp)Colunas	FCcrítico
	Erro	SQR	GLR=GLL*GLC	sR²=SQR/GLR
	Total	SQT=SSQi	GLT=SGLi	sT²=SQT/GLT
	A decisão de rejeitar ou não as hipóteses nulas é feita com base nos valores p
	correspondentes. Há um valor p para o fator linha e outro para o fator coluna.
	Assim, se valor p)linhas < a, rejeita-se H0)linhas e se valorp)colunas < a,
	rejeita-se H0)colunas.
	Da mesma maneira, a decisão também pode ser feita com base nos valores de
	F e Fcrítico gerados na matriz de resultados.
	5.2.2. ANOVA de fator duplo sem repetição (Roteiro)
	Para testar a igualdade das médias pelos critérios das linhas e das colunas
	deve-se usar a ferramenta ANOVA: fator duplo sem repetição obedecendo
	ao seguinte roteiro.
	1. Clicar sucessivamente em Ferramentas, Análise de dados, Anova: fator
	duplo sem repetição e OK;
	2. Transferir para o campo Intervalo de Entrada a matriz dos dados incluindo
	os títulos das linhas e colunas;
	3. Ativar a caixa Rótulos;
	4. Informar o valor de Alfa no campo correspondente;
	5. Ativar o botão Intervalo de Saída e digitar no campo ao lado a célula de saida
	dos resultados;
	6. Clicar OK;
	Decisão
	valor p)linhas < a, rejeitar H0L
	valor p)colunas < a, rejeitar H0C
	F > Fcrítico leva às mesmas conclusões.
entre linhas
entre colunas
dentro das amostras ou residual
1ª Hipótese nula
As médias pelo fator linha são todas iguais. Isto é,
não há efeito principal do fator linha.
2ª Hipótese nula
As médias pelo fator coluna são todas iguais. Isto é,
não há efeito principal do fator coluna.
Hipótese alternativa:
pelo menos uma das médias, por um dos fatores, difere das demais. Isto é,
há efeito devido a pelo menos um dos fatores.
5.3
	Exercício 5.3 (Costa Neto)
	Em uma experiência agrícola, foram usados seis diferentes fertilizantes em duas
	variedades de milho tendo sido obtidas as colheitas dadas a seguir, em toneladas.
	Verificar, ao nível de 1% de significância, se existem diferenças significaticas entre:
	a) as variedades de milho;
	b) os tipos de fertilizante.
		Fert. A	Fert. B	Fert. C	Fert. D	Ferti. E	Fert. F
	Milho 1	5.4	3.2	3.8	4.6	5.0	4.4
	Milho 2	5.7	4.0	4.2	4.5	5.3	5.0
	R. a) Não. Valor p)linhas = 0,02785; b) Sim. Valor p)colunas = 0,002040.
	Solução:
	Anova: fator duplo sem repetição
	RESUMO	Contagem	Soma	Média	Variância	DP	LI	LS
	Milho 1	6	26.4	4.4	0.64	0.8
	Milho 2	6	28.7	4.7833333333	0.4376666667	0.6615638039
	Fert. A	2	11.1	5.55	0.045	0.2121320344	-3.99855	15.09855
	Fert. B	2	7.2	3.6	0.32	0.5656854249	-21.8628	29.0628
	Fert. C	2	8	4	0.08	0.2828427125	-8.7314	16.7314
	Fert. D	2	9.1	4.55	0.005	0.0707106781	1.36715	7.73285
	Ferti. E	2	10.3	5.15	0.045	0.2121320344	-4.39855	14.69855
	Fert. F	2	9.4	4.7	0.18	0.4242640687	-14.3971	23.7971
	ANOVA
	Fonte da variação		SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Linhas		0.4408333333	1	0.4408333333	9.4128113879	0.0278461542	16.2581272889
	Colunas		5.1541666667	5	1.0308333333	22.0106761566	0.0020400837	10.9671418613
	Erro		0.2341666667	5	0.0468333333
	Total		5.8291666667	11
	a) as variedades de milho;
	valor p)milho	2.78%	> alfa	não rejeitar H0)milho
	Não há diferença significativa entre as variedades de milho ao nível de 5%.
	Isto é, a colheita de milho independe das variedades existentes.
	b) os tipos de fertilizante.
	valor p)fertilizante	0.20%	< alfa	rejeitar H0)fertilizante
	Há diferença significativa entre os fertilizantes. A colheita de milho depende
	do tipo de fertilizante ao nível de 1% de significância.
5.4
	Exercício 5.4 (Neufeld)
	Um bureau de serviços de computação quer determinar se o projeto de teclados
	ergonômicos para computadores recém-surgidos no mercado exerce efeito no
	desempenho dos digitadores.
	Cinco digitadores com diferentes habilidades foram selecionados de maneira aleatória.
	A cada um foi dada a oportunidade de conhecer cada teclado antes de testá-los e cada
	digitador foi avaliado com três teclados distintos. No quadro abaixo constam o número
	de palavras digitadas em um determinado tempo por cada digitador.
	a) Existe evidência, ao nível de significãncia de 5%, de que o tipo de teclado
	interfere no desempenho dos digitadores?
	b) Há diferenças entre os digitadores nesse mesmo nível de significância? Tal resultado
	era esperado?
	c) Com base nos dados gerados pela ferramenta utilizada, informe os valores da média e
	da variância de cada uma das amostras e mostre como são obtidas as estimativas da
	variância da população.		proposto em aula modificado
		Teclado A	Teclado B	Teclado C
	Digitador 1	51	57	72
	Digitador 2	109	112	117
	Digitador 3	47	43	51
	Digitador 4	98	98	107
	Digitador 5	70	69	77
	R. a) Sim. Valor p)teclado = 0,003429; b) Sim e sim. Valor p)digitadores @ 0.
	Solução:
	a) Existe evidência, ao nível de significãncia de 5%, de que o tipo de teclado
	interfere no desempenho dos digitadores?
	Anova: fator duplo sem repetição
RESUMO	Contagem	Soma	Média	Variância	DP	LI	LS
	Digitador 1	3	180	60	117	10.8166538264	33.1215286149	86.8784713851
	Digitador 2	3	338	112.6666666667	16.3333333333	4.0414518843	102.624	122.7093333333
	Digitador 3	3	141	47	16	4	37.0603377656	56.9396622344
	Digitador 4	3	303	101	27	5.1961524227	88.088	113.912
	Digitador 5	3	216	72	19	4.3588989435	61.1685041969	82.8314958031
	Teclado A	5	375	75	767.5	27.7037903544	40.6067155392	109.3932844608
	Teclado B	5	379	75.8	819.7	28.6304034201	40.2563579041	111.3436420959
	Teclado C	5	424	84.8	724.2	26.9109643083	51.3909812799	118.2090187201
	ANOVA
	Fonte da variação		SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Linhas		9151.0666666667	4	2287.7666666667	193.605077574	0.0000000542	3.8378544787
	Colunas		296.1333333333	2	148.0666666667	12.5303244006	0.0034285814	4.4589683057
	Erro		94.5333333333	8	11.8166666667
	Total		9541.7333333333	14
	valor p)teclado = 0,003429< alfa			rejeitar H0)teclado
	O tipo de teclado interfere no desempenho dos digitadores ao nível de 5% de significância.
	b) Há diferenças entre os digitadores nesse mesmo nível de significância? Tal resultado
	era esperado?
	valor p)digitador = 0,0000 < alfa			rejeitar H0)digitador
	Os digitadores têm desempenhos diferentes independentemente do teclado.
	Esta conclusão já era esperada porque os digitadores têm habilidades diferentes
	como indicam as estatísticas amostrais
	c) Com base nos dados gerados pela ferramenta utilizada, informe os valores da média e
	da variância de cada uma das amostras e mostre como são obtidas as estimativas da
	variância da população.
	x|D1	60	s²D1	117
	x|D2	112.6666666667	s²D2	16.3333333333
	x|D3	47	s²D3	16
	x|D4	101	s²D4	27
	x|D5	72	s²D5	19
	x|TA	75	s²TA	767.5
	x|TB	75.8	s²TB	819.7
	x|TC	84.8	s²TC	724.2
	MQ)linha	=var(matriz de x|D)*nD		2287.7666666667
	MQ)colunas	=var(matriz de x|T)*nT		148.0666666667
	MQ)residual	?	consultar
	MQ)total	=SQ)total/gl)total		=VAR(matriz total dos dados)
FDCR
	5.3. ANOVA de fator duplo com repetição
	5.3.1. ANOVA de fator duplo com repetição (Conceituação)
	Esta técnica é também conhecida como análise de fator duplo com interação
	e também trabalha com amostras de tamanhos diferentes extraídas de populações
	diferentes com variâncias iguais (condição de homocedasticidade).
	Destina-se a examinar a relação entre duas característcas quaisquer (fatores)
	que possam afetar um resultado específico.
	Essa técnica difere da anterior (sem repetição) nos seguintes aspectos:
	1. São feitas r observações sob cada tratamento. Ou seja, são r
	observações correspondendo ao cruzamento de cada linha i com cada
	coluna j em um total de n*k*r observações;
	2. Além do efeito de cada fator, a análise também considera as interações
	entre os fatores, isto é, os possíveis efeitos associados às combinações
	dos fatores.
	Esta técnica trabalha com três hipóteses nulas e uma hipótese alternativa.
	As duas primeiras hipóteses nulas são referentes aos fatores linha e coluna,
	como na técnica sem repetição e a terceira reporta-se às interações entre
	os fatores.
	H0L : m1L = m2L = ... = mnL
	H0C : m1C = m2C = ... = mkC
	H0)I : m1I = m2I = ... = mn*kI
	H1 : $ mi <> mj , i <>j
	A ferramenta do Excel para esta técnica é a ANOVA: fator duplo com repetição
	encontrada no menu em Ferramentas, opção Análise de Dados. Abaixo, sugere-se
	um roteiro para uso da ferramenta.
	Essa ferramenta, como as demais, além de fornecer um resumo estatístico dos dados,
	gera uma matriz de resultados.
	ANOVA
	Fonte da	SQ	gl	MQ=SQ/gl	F	valor-P	F crítico
	variação
	Amostra	SQL	GLL	sL²=SQL/GLL	FL=sL²/sR²	valorp)L	FLcrítico
	Colunas	SQC	GLC	sC²=SQC/GLC	FC=sC²/sR²	valorp)C	FCcrítico
	Interações	SQI	GLI	sI²=SQI/GLI	FI=sI²/sR²	valorp)I	FIcrítico
	Dentro	SQR	GLR	sR²=SQR/GLR
	
	Total	SQT=SSQi	GLT=SGLi	sT²=SQT/GLT
	A decisão de rejeitar ou não as hipóteses nulas é feita com base nos valores p
	correspondentes que deverão ser comparados com a, como nas demais técnicas.
	Há um valor p para o fator linha, outro para o fator coluna e um terceiro correspondente
	às interações.
	Como também ocorre nas outras ferramentas, a decisão pode ser feita com base nos
	valores F e Fcrítico gerados na matriz de resultados.
	5.3.1. ANOVA de fator duplo com repetição (Roteiro)
	Para testar a igualdade das médias pelos critérios das linhas, das colunas e
	das interações, devemos usar a ferramenta ANOVA: fator duplo com repetição
	de acordo com o seguinte roteiro:
	1. Clicar sucessivamente em Ferramentas, Análise de dados, Anova: fator
	duplo com repetição e OK;
	2. Transferir para o campo Intervalo de Entrada a matriz dos dados incluindo
	os títulos das linhas e colunas;
	3. Clicar no campo Linhas por amostra e digitar o valor de r;
	4. Informar o valor de Alfa no campo correspondente;
	5. Ativar o botão Intervalo de Saída e digitar no campo ao lado a célula de saida
	dos resultados;
	6. Clicar OK;
	Decisão
	valor p)linhas < a, rejeitar H0L
	valor p)colunas < a, rejeitar H0C
	valor p)interações < a, rejeitar H0I.
	F > Fcrítico leva às mesmas conclusões.
3ª Hipótese nula
as médias das interações (linhas versus coluna) são todas iguais. Isto é,
não há efeito combinado dos dois fatores.
entre linhas
entre colunas
Residual
Hipótese alternativa:
pelo menos uma das médias, por um dos fatores, difere das demais. Isto é,
há efeito em ao menos um dos três casos.
1ª Hipótese nula
As médias pelo fator linha são todas iguais. Isto é,
não há efeito principal do fator linha.
2ª Hipótese nula
As médias pelo fator coluna são todas iguais. Isto é,
não há efeito principal do fator coluna.
5.5
	Exercício 5.5 (Neufeld)
	Um fabricante de perfumes submeteu um novo perfume a um teste de mercado em
	várias cidades. Além da essência do perfume, a experiência tem mostrado que as vendas
	dependem muito da embalagem e da estratégia de propaganda. Três diferentes estratégias
	de propaganda (sofisticada, despojada e popular) e três modelos de embalagem (A, B e C)
	foram testados com o novo pefume.Cada combinação foi submetida a dois mercados
	diferentes durante seis meses. No final desse periodo, o nível de vendas em milhares de
	unidades foi registrado e exibido no quadro abaixo nos dois mercados.
	Com base nesses dados, existe evidência de diferenças nas médias populacionais para
	as diferentes estratégias de propaganda, para os diferentes modelos de embalagens e
	para as interações entre as estratégias de propaganda e os modelos das embalagens,
	ao nível de 5% de significância?
	Embalagem	Sofisticada	Despojada	Popular
	A	2.80	2.04	1.58
		2.73	1.33	1.26
	B	3.29	1.50	1.00
		2.68	1.40	1.82
	C	2.54	3.15	1.92
		2.59	2.88	1.33
	R. Não. Valor p)embalagem = 0,07606; Sim. Valor p)propaganda = 0,000373;
	Sim. Valor p)interações = 0,02241.
	Solução:
	Anova: fator duplo com repetição
	
	RESUMO	Sofisticada	Despojada	Popular	Total
	A
	Contagem	2	2	2	6
	Soma	5.53	3.37	2.84	11.74
	Média	2.765	1.685	1.42	1.9566666667
	Variância	0.00245	0.25205	0.0512	0.4672266667
	
	B
	Contagem	2	2	2	6
	Soma	5.97	2.9	2.82	11.69
	Média	2.985	1.45	1.41	1.9483333333
	Variância	0.18605	0.005	0.3362	0.7505766667
	
	C
	Contagem	2	2	2	6
	Soma	5.13	6.03	3.25	14.41
	Média	2.565	3.015	1.625	2.4016666667
	Variância	0.00125	0.03645	0.17405	0.4447766667
	
	Total
	Contagem	6	6	6
	Soma	16.63	12.3	8.91
	Média	2.7716666667	2.05	1.485
	Variância	0.0732566667	0.62848	0.12407
	DP	0.2706596879	0.7927673051	0.3522357165
	LI	2.4875805382	1.2179063987	1.1152911535
	LS	3.0557527951	2.8820936013	1.8547088465
	ANOVA
	Fonte da variação	SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Amostra	0.8072111111	2	0.4036055556	3.4770268977	0.0760626686	4.2564920477
	Colunas	4.9910777778	2	2.4955388889	21.4988513449	0.0003733899	4.2564920477
	Interações	2.2771222222	4	0.5692805556	4.9043026706	0.0224096878	3.6330902731
	Dentro	1.0447	9	0.1160777778
	
	Total	9.1201111111	17
	valor p)estratégia = 0,000373 <alfa			rejeitar H0)estratégia
	A estratégia de propaganda interfere
nas vendas do produto
	valor p)embalagem = 0,07606 > alfa			não rejeitar H0)embalagem
	O tipo de embalagem não interfere nas vendas do produto
	valor p)interações = 0,02241 < alfa			rejeitar H0)interações
	Há efeito combinado entre os tipos de embalagem e as estratégias de propaganda,
	em função dos mercados diferentes.
5.6
	Exercício 5.6 (Costa Neto)
	Foram observados os tempos, em segundos, gastos por quatro operários para a
	montagem de peças de acordo com três métodos diferentes. Cada operário montou
	duas peças usando cada método. Os tempos de montagem foram registrados abaixo.
	a) Verificar se existe diferença significativa entre os métodos e/ou entre operários ao
	nível de 5% de significância, bem como a evidência de interação.
	b) Com base nos dados gerados pela ferramenta utilizada, informe os valores da média e
	da variância de cada uma das amostras bem como as estimativas da variância da população.
		Operário1	Operário2	Operário3	Operário4
	Método1	54	46	55	51
		52	47	54	60
	Método2	59	61	59	56
		57	55	61	57
	Método3	59	63	63	59
		62	58	61	60
	R. valor p)método = 0,000148; valor p)operário = 0,1564; valor p)interações = 0,2043.
	Solução:
	a) Verificar se existe diferença significativa entre os métodos e/ou entre operários ao
	nível de 5% de significância, bem como a evidência de interação.
	Anova: fator duplo com repetição
	RESUMO	Operário1	Operário2	Operário3	Operário4	Total
	Método1
	Contagem	2	2	2	2	8
	Soma	106	93	109	111	419
	Média	53	46.5	54.5	55.5	52.375
	Variância	2	0.5	0.5	40.5	20.2678571429
	Método2
	Contagem	2	2	2	2	8
	Soma	116	116	120	113	465
	Média	58	58	60	56.5	58.125
	Variância	2	18	2	0.5	4.9821428571
	Método3
	Contagem	2	2	2	2	8
	Soma	121	121	124	119	485
	Média	60.5	60.5	62	59.5	60.625
	Variância	4.5	12.5	2	0.5	3.6964285714
	Total
	Contagem	6	6	6	6
	Soma	343	330	353	343
	Média	57.1666666667	55	58.8333333333	57.1666666667
	Variância	13.3666666667	50.8	12.9666666667	11.7666666667
	ANOVA
	Fonte da variação	SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Amostra	286.3333333333	2	143.1666666667	20.0935672515	0.000147811	3.8852903117
	Colunas	44.4583333333	3	14.8194444444	2.0799220273	0.156412962	3.4902996049
	Interações	72.6666666667	6	12.1111111111	1.6998050682	0.2043376301	2.9961171322
	Dentro	85.5	12	7.125
	Total	488.9583333333	23	21.259057971
	valor p)métodos = 0,000148 < alfa			rejeitar H0)métodos
	O método interfere no tempo de montagem
	valor p)operário = 0,1564 > alfa			não rejeitar H0)operário
	O tempo de montagem das peças independe do operário que a executa.
	valor p)interações = 0,2043 > alfa			não rejeitar H0)interações
	Não há evidência de efeito combinado operário x método, independentemente
	da peça que está sendo montada.
	b) Com base nos dados gerados pela ferramenta utilizada, informe os valores da média e
	da variância de cada uma das amostras bem como as estimativas da variância da população.
	x|M1	52.375	s²M1	20.2678571429
	x|M2	58.125	s²M2	4.9821428571
	x|M3	60.625	s²M3	3.6964285714
	x|O1	57.1666666667	s²O1	13.3666666667
	x|O2	55	s²O2	50.8
	x|O3	58.8333333333	s²O3	12.9666666667
	x|O4	57.1666666667	s²O4	11.7666666667
	s²L	143.1666666667
	s²C	14.8194444444
	s²I	12.1111111111
	s²D	7.125
	s²T	21.259057971
5.7
	Exercício 5.7 (Costa Neto com amostras ampliadas)
	Chapas metálicas foram submetidas a três diferentes tratamentos térmicos
	A, B e C. Após o tratamento, foram feitas as medidas de dureza superficial,
	em rockwell B, de cada chapa obtendo-se os resultados abaixo. Verificar, ao
	nível de 1% de significância, se existe diferença significativa entre os tratamentos
	térmicos aplicados.
	A	B	C
	68	67	73
	74	65	77
	77	69	76
	70	66	69
	71	67	80
	69	66	71
	72	65	74
	75	68	79
	73	69	75
	76	68	72
	R. Sim. Valor p = 0,0000.
	Solução:
	Anova: fator único
	
	RESUMO
	Grupo	Contagem	Soma	Média	Variância
	A	10	725	72.5	9.1666666667
	B	10	670	67	2.2222222222
	C	10	746	74.6	12.2666666667
	
	
	ANOVA
	Fonte da variação		SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Entre grupos		308.0666666667	2	154.0333333333	19.5345232504	0.0000056681	5.4881177685
	Dentro dos grupos		212.9	27	7.8851851852
	
	Total		520.9666666667	29
	valor p)tratamento		0.00%	< alfa	rejeitar H0
	Há evidência de que os tratamentos térmicos tenham causado efeitos diferentes.
5.8
	Exercício 5.8 (Lapponi)
	Uma empresa de porte médio manufatura autopeças para o mercado de reposição
	e está tentando reduzir o tempo de fabricação de cada peça. Para tanto, foram
	testados dois processos diferentes e três dosagens de um aditivo para acelerar a
	a secagem em um certo número de peças. Os tempos, em horas, estão registrados
	na tabela abaixo.
	Faça uma análise da variância ao nível de 5% de significância
	Aditivo	Processo 1	Processo 2
	Dosagem 1	2.5	2.9
		2.8	2.6
		2.9	2.8
		2.7	2.3
		2.7	2.9
	Dosagem 2	2.9	2.8
		2.7	2.9
		2.8	2.8
		2.6	2.9
		3	2.6
	Dosagem 3	2.6	2.4
		2.7	2.7
		2.8	2.7
		2.5	2.1
		2.9	2.5
	R. valor p)dosagem = 0,062843; valor p)processo = 0,2574; valor p)interações = 0,3697.
	Solução:
	Anova: fator duplo com repetição
	
	RESUMO	Processo 1	Processo 2	Total
	Dosagem 1
	Contagem	5	5	10
	Soma	13.6	13.5	27.1
	Média	2.72	2.7	2.71
	Variância	0.022	0.065	0.0387777778
	
	Dosagem 2
	Contagem	5	5	10
	Soma	14	14	28
	Média	2.8	2.8	2.8
	Variância	0.025	0.015	0.0177777778
	
	Dosagem 3
	Contagem	5	5	10
	Soma	13.5	12.4	25.9
	Média	2.7	2.48	2.59
	Variância	0.025	0.062	0.0521111111
	
	Total
	Contagem	15	15
	Soma	41.1	39.9
	Média	2.74	2.66
	Variância	0.0225714286	0.0597142857
	
	
	ANOVA
	Fonte da variação	SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Amostra	0.222	2	0.111	3.1121495327	0.0628434539	3.4028317941
	Colunas	0.048	1	0.048	1.3457943925	0.2574254525	4.2596752792
	Interações	0.074	2	0.037	1.0373831776	0.369734344	3.4028317941
	Dentro	0.856	24	0.0356666667
	
	Total	1.2	29
	Todos os valores p estão acima de alfa				não rejeitar nenhuma hipótese nula
	Não há interferência do processo, nem das dosagens do aditivo e muito menos efeito
	combinado dos dois fatores no tempo de fabricação das peças.
5.9
	Exercício 5.9 (Neufeld)
	Quatro casas foram avaliadas por quatro avaliadores e chegaram aos valores abaixo.
		Aval. A	Aval. B	Aval. C	Aval. D
	Casa 1	R$ 101,900.00	R$ 101,944.00	R$ 100,967.00	R$ 100,175.00
	Casa 2	R$ 72,744.00	R$ 76,893.00	R$ 73,206.00	R$ 74,820.00
	Casa 3	R$ 132,217.00	R$ 136,232.00	R$ 131,935.00	R$ 132,889.00
	Casa 4	R$ 211,213.00	R$ 213,941.00	R$ 212,735.00	R$ 213,796.00
	a) Existe evidência, ao nível de 2% de significância, de que são diferentes os
	valores estipulados pelos avaliadores para a mesma casa?
	b) Há diferenças entre as casas? Tal conclusão já era esperada?
	R. Não. Valor p = 0,02258. Sim e sim. Valor p)casas @ 0.
	Solução:
	Anova: fator duplo sem repetição
	
	RESUMO	Contagem	Soma	Média	Variância
	Casa 1	4	404986	101246.5	713267
	Casa 2	4	297663	74415.75	3519476.25
	Casa 3	4	533273	133318.25	3933442.25
	Casa 4	4	851685	212921.25	1585961.5833333333
	
	Aval. A	4	518074	129518.5	3555799541.6666665
	Aval. B	4	529010	132252.5	3557375621.6666665
	Aval. C	4	518843	129710.75	3638987770.9166665
	Aval. D	4	521680	130420	3654591120.6666665
	
	
	ANOVA
	Fonte da variação	SQ	gl	MQ	F	valor-P	F crítico
	Linhas	43209651726.6875	3	14403217242.229166	12217.1162412421	0	5.5096620599
	Colunas	18646003.1875	3	6215334.395833333	5.2719792748	0.0225852791	5.5096620599
	Erro	10610438.0625	9	1178937.5625
	
	Total	43238908167.9375	15
	a) Existe evidência, ao nível de 2% de significância, de que são diferentes os
	valores estipulados pelos avaliadores para a mesma casa?
	valor p)avaliadores = 0,02259 > alfa			não rejeitar H0)avaliadores
	Não há evidência de que sejam diferentes as avaliações feitas para a mesma casa.
	b) Há diferenças entre as casas? Tal conclusão já era esperada?
	valor p)casas = 0,0000 < alfa		rejeitar H0)casas
	Há diferenças significativas nos valores das casas, o que já era esperado pelas
	estatísticas amostrais