Cap2 livro de circuitos eletricos

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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 2
Circuitos Resistivos
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
2.1 Lei de Ohm
Resistor:
• qualquer dispositivo que exibe somente uma resistência.
• a resistência está associada ao número de colisões dos elétrons 
com os átomos do condutor, quando uma corrente flui por este 
dispositivo.
Símbolo:
Unidade da resistência R: ohm [Ω] = volt/ampère
v
+
−
i
R R ≥ 0
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Lei de Ohm:
A tensão sobre um resistor é diretamente proporcional à corrente que o 
atravessa.
Se R é constante, a equação acima é uma linha reta:
Portanto, R é chamado de resistor linear.
Riv =
i
v
θ
tanθ = R
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
A corrente entra no resistor pelo terminal com potencial mais elevado e sai pelo 
terminal de potencial mais baixo.
Como as cargas são transportadas pelo resistor do potencial mais alto para o 
mais baixo, a perda de energia por carga q (energia = qv) é dissipada pelo 
resistor na forma de calor.
Potência instantânea = velocidade que a energia é dissipada:
v
+
−
i
R
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R
tv
tRititvtp
2
2
===
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Gráfico da potência instantânea:
p(t)
i(t)
ou v(t)
Condição de passividade:
p(t) ≥ 0 ⇒ R é um elemento passivo!
( ) ( )∫ ∞− ≥=
t dttptw 0
( ) ( ) ( )
R
tv
tRitp
2
2
==
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
v
-
+
i
R
Observação:
Lei de Ohm: v = −Ri
Potência nominal (wattagem nominal) de um resistor:
• máxima potência que o resistor pode dissipar sem se danificar por 
excesso de calor.
Condutância G:
Unidade: siemens (S) = ampère/volt = mho
R
G 1=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Lei de Ohm: i = Gv
Potência instantânea:
Termos:
• Curto circuito: R = 0 [ohm]
• Circuito aberto: R = ∞ [ohm]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tGv
G
ti
titvtp 2
2
===
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Nó 1
Nó 2
Nó 3Nó 4
2.2 Leis de Kirchhoff
Circuito de parâmetros concentrados:
• elementos conectados por condutores ideais (resistência nula),
• energia inerente ou concentrada inteiramente dentro de cada elemento 
do circuito.
+
-
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Lei de Kirchhoff das correntes:
a) A soma algébrica das correntes que chegam em um nó é igual a zero.
b) A soma algébrica das correntes que saem de um nó é igual a zero.
c) A soma das correntes que chegam em um nó é igual à soma das 
correntes que saem deste nó.
a) i1 + (-i2) + (-i3) + i4 = 0
b) (-i1) + i2 + i3 + (-i4) = 0
c) i1 + i4 = i2 + i3
0
1
=∑
=
N
n
ni N = nº de correntes no nó.
+
i1
i2
i3
i4
-
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Lei de Kirchhoff das tensões:
• A soma algébrica das tensões ao longo de um percurso fechado de 
um circuito é zero.
+
-
v1
v4
v2
v3
+
-
+-
+-
0
ou
0
4321
4321
=++−−
=−−+
vvvv
vvvv
0
1
=∑
=
N
n
nv
N = nº de tensões no percurso fechado.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo:
Nó a:
Nó b:
Nó c:
Nó d:
+
-
vx 5 Ω
1 A
10 V
+
-
ix
i1
i3
i2
4 A 2 A
2 A
a b
d c
[ ] [ ]V 2555A 5014 22 −=⋅−=⇒=⇒=−− xvii
[ ]A 3012 11 =⇒=−− ii
[ ]A 1023 33 −=⇒=−+ ii
( ) [ ]A 415032 =−+=⇒=−− xx iiii
Lei de Ohm
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Lei de Kirchhoff das correntes generalizada:
• A soma algébrica das correntes que entram em uma superfície 
fechada é igual zero.
+
-
+
-
i4
i1
i3
i2
a b
d c
i1 + i2 + i3 + i4 = 0
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2.3 Resistência em Série e Divisão de Tensão
+
-
v
+
-
i
+
-
v1
v2
R1
R2
+
-
v
is = i
Rs
( )iRRiRiRvvv 212121 +=+=+=
21 RR
vi
+
=
s
s R
vi =
21 RRRs +=
v
RR
RiRv
21
1
11 +
== v
RR
RiRv
21
2
22 +
==
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo:
+
-
v = 12 V
+
-
i
+
-
v1
v2
R1 = 8 Ω
R2 = 4 Ω
[ ]A 1
48
12
21
=
+
=
+
=
RR
vi
[ ]V 812
48
8
1 =⋅+
=v
[ ]V 412
48
4
2 =⋅+
=v
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Potências instantâneas absorvidas por R1 e R2:
( )
2
2
21
1
1
2
1
1 v
RR
R
R
vp
+
==
+
-
v
+
-
i
+
-
v1
v2
R1
R2
( )
2
2
21
2
2
2
2
2 v
RR
R
R
vp
+
==
iv
RR
v
v
RR
vppp ⋅=





+
=
+
=+=
2121
2
21
Potência total absorvida:
Note que a potência entregue pela fonte de tensão é igual a potência dissipada 
pelos resistores ⇒ princípio da conservação de potência (teorema de Tellegen).
v
RR
RiRv
21
1
11 +
==
v
RR
RiRv
21
2
22 +
==
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Generalização para N resistores em série:
+
+
-
v
+
-
i
+
v1
v2
R1
R2
-
-
vN RN
iRiRiRvvvv NN +++=+++= LL 2121
NRRR
vi
+++
=
L21
∑
=
=+++=
N
n
nNs RRRRR
1
21 L
Nnv
R
RiRv
s
n
nn , 2, 1, L===
Nnv
R
R
R
vp
s
n
n
n
n , 2, 1, 
2
2
2
L===
 
2
2
1
2
1
2
iv
R
v
v
R
R
R
vp
s
N
n s
n
N
n n
n
==== ∑∑
==
Potência instantânea sobre Rn:
Potência total dissipada:
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2.4 Resistências em Paralelo e Divisão de Corrente
i1 i2G1 G2
i
v
+
-
Gp
i
vp
+
-
( )vGGvGvGiii 212121 +=+=+=
21 GG
i
v
+
=
p
p G
i
v =
21 GGGp +=
i
GG
G
vGi
21
1
11 +
== i
GG
G
vGi
21
2
22 +
==
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Em termos de resistências:
21
111
RRR
G
p
p +==
i1 i2R1 R2
i
v
+
-
Rp
i
vp
+
-
21
21
RR
RRRp +
⋅
=
21 GGGp += ⇒
i
RR
Ri
GG
Gi
21
2
21
1
1 +
=
+
= i
RR
Ri
GG
Gi
21
1
21
2
2 +
=
+
=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Potência total absorvida:
Note que a potência entregue pela fonte de corrente é igual a potência dissipada 
pelos resistores ⇒ princípio da conservação de potência (teorema de Tellegen).
( ) ( ) iviRR
RR
RR
iRR
RR
iRRppp ⋅=
+
=
+
+
+
=+= 2
21
21
2
21
22
1
22
21
22
2
121
Potências instantâneas absorvidas por R1 e R2:
( )221
22
2
1
2
111
RR
iRRiRp
+
==
i1 i2R1 R2
i
v
+
-
( )221
22
1
2
2
222
RR
iRRiRp
+
==
i
RR
Ri
21
2
1 +
=
i
RR
Ri
21
1
2 +
=
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Generalização para N resistores em paralelo baseada nas condutâncias:
vGvGvGiiii NN +++=+++= LL 2121
pN G
i
GGG
i
v =
+++
=
L21
∑
=
=+++=
N
n
nNp GGGGG
1
21 L
Nni
G
G
vGi
p
n
nn , 2, 1, L===
Nni
G
G
G
ip
p
n
n
n
n , 2, 1, 
2
2
2
L===
 
2
2
1
2
1
2
iv
G
ii
G
G
G
ip
p
N
n p
n
N
n n
n
==== ∑∑
==
Potência instantânea sobre Gn:
Potência total dissipada:
i1 i2G1 G2
i
v
+
-
iN GN
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Generalização para N resistores em paralelo baseada nas resistências:
i1 i2R1 R2
i
v
+
-
iN RN
∑∑
==
=⇒=
N
n np
N
n
np RR
GG
11
11
 
NniR
R
i
G
Gi
n
p
p
n
n , 2, 1, L===
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Ω=
+
⋅
= 9
1090
1090
5RΩ=+= 10644R
Ω=
+
⋅
= 6
824
824
3RΩ=+= 242222R
Exemplo: Calcule a resistência equivalente vista pela fonte e a corrente i.
Ω=
+
⋅
= 2
44
44
1R
+
-
i
1 Ω 4 Ω
90 Ω20 V
22 Ω
4 Ω 4 Ω
8 Ω
Ω=+= 10916R
Corrente i:
A 2
10
20
6
===
R
vi f
if
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Corrente i:
A 2
10
20
6
===
R
vi fCorrente que sai da fonte:
Queda de tensão sobre resistor de 1 Ω: V 2211 =⋅== fRiv
Queda de tensão sobre resistor de 90 Ω: V 18220 20 90190 =−=⇒+= vvv
Corrente i: A 2,0
90
18
90
90
===
vi
+
-
if 1 Ω 4 Ω
90 Ω20 V
22 Ω
4 Ω 4 Ω
8 Ω
i+ v1 -
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2.5 Exemplos de Análise
2.5.1 Encontrar i, v1 e vab.
Aplicando lei de Kirchhoff para tensão e lei de Ohm:
30 V+
-
i 20 Ω 30 Ω
+
-
50 Ω
a
b
+ v1 -
20 V
[ ]A 1,0
100
10
05020302030
==
=++++−
i
iii [ ]V 31,030301 =⋅== iv
[ ]V 281,050201,030502030 =⋅++⋅=++= iivab
i 20 Ω 30 Ω
-
+ 50 Ω
a
b
+ v1 -
20 V
+
-
30 V
≡
+
-
i
100 Ω10 V≡
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2.5.2 Princípio da conservação de potência
[ ]
[ ]
[ ]W 5,01,050
W 3,01,030
W 2,01,020
2
50
2
30
2
20
=⋅=
=⋅=
=⋅=
Ω
Ω
Ω
p
p
p
30 V+
-
i 20 Ω 30 Ω
+
-
50 Ω
a
b
+ v1 -
20 V
absorve potência
[ ]
[ ]W 31,030
W 21,020
V30
V20
=⋅=
=⋅=
p
p
5,03,02,023 +++=
Portanto, a potência entregue ao circuito é igual a potência absorvida.
potência absorvida:
potência fornecida:
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2.5.3 Calcular i e v e verificar o princípio da conservação de potência
i0,01 Sv
+
-
0,02 S 0,07 S10 sen(pit) [A] 5 [A]
Lei de Kirchhoff no nó superior:
( )
( ) ( ) [ ]V 50sen100
1,0
5sen10
007,0502,001,0sen10
−pi=
−pi
=
=−−−−pi
t
t
v
vvvt
( )[ ] ( ) [ ]A 1sen2 50sen10002,002,0 −pi=−pi== ttvi
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i0,01 Sv
+
-
0,02 S 0,07 S10 sen(pit) [A] 5 [A]
Conservação de potência:
( )[ ] ( ) ( ) [ ]W 250sen1000sen100050sen1001,0 222 +pi−pi=+pi⋅== tttvGp pabsorvida
( ) ( ) [ ]W 250sen1000sen1000 221 +pi−pi=+= ttppp fontes
( )[ ] ( ) [ ]
( )[ ] [ ]W 550sen100
W sen1050sen100
22
11
−⋅−pi==
pi⋅−pi==
tvip
ttvip
0,1 Sv
+
-
i1 = 10 sen(pit) [A] i2 = 5 [A]
Potência das fontes:
Potência absorvida pelos resistores:
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[ ]Ω=+= 12841R
2.5.4 Calcular i e v e potência entregue pela fonte.
[ ]Ω=
+
⋅
= 4
126
126
2R
[ ]Ω=+= 161243R
[ ]Ω=
+
⋅
= 8
1616
1616
4R
[ ]Ω=+= 1028eqR
[ ]A 31030 11 =⇒⋅= ii
[ ]W 90 33030 1 =⋅=⋅= ippotência entregue pela fonte:
+
-
i1 2 Ω 12 Ω
16 Ω30 V 6 Ω
4 Ω
8 Ω
i
v1
+
-
v2
+
-
v
+
-
a
b
c
d
i2
corrente i1:
+
-
i1
30 V
a
b
Req = 10 Ω
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Cálculo de v e i:
[ ]V 2430
28
8
1 =⋅+
=v
[ ]V 624
124
4
2 =⋅+
=v
[ ]V 46
12
8
48
8
2 =⋅=⋅+
= vv
+
-
i1 2 Ω 12 Ω
16 Ω30 V 6 Ω
4 Ω
8 Ω
i
v1
+
-
v2
+
-
v
+
-
a
b
c
d
i2
[ ]A 51
16
24321 , iii =−=−=
+
-
i1 2 Ω
30 V v1
+
-
a
b
R4 = 8 Ω
+
-
i1 2 Ω 12 Ω
16 Ω30 V R3 = 4 Ωv1
+
-
v2
+
-
a
b
c
d
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[ ]Ω= 31eqR[ ]Ω= 22eqR
2.5.5 Calcular i.
i6 Ω 3 Ω 6 Ω12 [A]
3 Ω
4 Ω
I1
6 Ω
[ ]A 312
62
2
1 =⋅+
=i2 Ω12 [A]
3 Ω
3 Ω
I1
[ ]A 
4
33
4
1
664
4
1 =⋅=⋅++
= ii
Divisão de corrente:
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2.6 Amperímetros, Voltímetros e Ohmímetros
São exemplos de aplicações de divisores de tensão e de corrente.
Mundo ideal:
• amperímetro ideal mede a corrente que flui por seus terminais e 
apresenta tensão nula sobre os mesmos.
• voltímetro ideal mede a tensão entre seus terminais e apresenta 
corrente nula pelos mesmos.
• ohmímetro ideal mede a resistência conectada entre seus terminais e 
entrega potência nula ao resistor. 
Mundo real:
• tensão, corrente e potência não nulas.
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Amperímetro popular:
• dispositivo mecânico, medidor de D’Arsonval.
• constituído de 1 bobina elétrica suspensa entre os pólos de um imã
permanente.
• 1 corrente contínua provoca a rotação proporcional da bobina.
• bobina ligada a um ponteiro e uma escala.
• corrente de fim de escala IFS: 10 µA a 10 mA.
Dispositivo equivalente do Medidor de D’Arsonval:
M
RM
medidor ideal
valor baixo
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Circuito para medir a corrente acima de IFS:
M
RM
Rp
ip
iFS
IFS
Rp = usado para reduzir a corrente que flui pelo medidor.
FSRR
R
FS iI Mp
p
+
=
FSFS
FSM
Ii
IR
pR
−
=
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Voltímetro:
v
M
RM
RSi
+
-
0=++− FSMFSsFS IRIRv
M
FS
FS
s RI
vR −=
A tensão de fim de escala vFS ocorre quando a corrente do medidor é IFS.
Sensibilidade de corrente:
FS
s
FS
Ms
v
R
v
RR
≈
+
=Ω nominal V
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Ohmímetro:
Rx
M
RM
RSi
E
0=+++− iRiRiRE Msx Msx RRi
ER −−=
Selecionamos E e Rs tal que, se Rx = 0 então i = IFS, logo temos:
Assim,
Ms
FS RR
EI
+
=
⇒
( )MsFSx RRi
IR +





−= 1
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2.7 Resistores Reais
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