Apostila de Laboratório de Física I

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Apostila de Laboratório de Física I 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Edson Ferreira Chagas 
Curso: Bacharelado em Física. 
 
Índice 
Como elaborar o relatório 
Teoria dos Erros 
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (Queda Livre) 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (Plano Inclinado) 
Vetores (Mesa de Força) 
Movimento em duas dimensões (Lançamento Horizontal) 
Força de atrito no Plano Inclinado 
Lei de Hooke 
Centro de Massa 
Colisões Unidimensionais 
Dinâmica do Movimento Circular 
Disco de Maxwell 
 
 
 
 
SUGESTÕES PARA PREPARAÇÃO DOS RELATÓRIOS DE AULAS 
PRÁTICAS 
 
Observações gerais: 
- O tempo verbal deve ser padronizado num texto. Uma vez passado, sempre passado... 
- Tente usar a terceira pessoa e evitar “no nosso experimento”, “meus resultados” “pipetamos” 
etc.... Preferir “no experimento realizado .....” , “os resultados obtidos ....” 
- Defina os itens do seu relatório com clareza. Agrupe assuntos semelhantes e separe assuntos 
não relacionados. Use subitens para organizar melhor os assuntos; 
- Sempre procure numerar os itens para facilitar o acompanhamento da hierarquia dos itens (se a 
hierarquia for importante, evite marcadores); 
- Use termos técnicos; 
- Respeite a grafia corretas de nomes científicos; 
- Padronize a formatação: tamanhos e tipos de letras, tanto no texto quanto nos títulos; procure 
usar parágrafos alinhados pelas duas margens (esquerda e direita); mantenha sempre a mesma quantidade 
de espaços entre parágrafos e títulos, etc.; 
- Não enfeite demais seu relatório. Ele é um texto técnico e deve ter aspecto profissional. É bom 
ter uma capa com: nome da instituição, nome da disciplina, título da prática (ou práticas), integrantes do 
grupo e turma; 
- Evite copiar textos da internet ou de livros, utilize-os como referência e quando o fizer deixe 
bem claro. Se achar necessário copiar parte de um texto (da internet ou de livros) coloque entre aspas; 
- O relatório é para ser simples, mas claro. A nota final do relatório não será medida pelo número 
de páginas. Seja objetivo, ou seja, “não encha linguiça”. 
O relatório dever ter (pelo menos) as seguintes seções: 
1. Introdução; 
2. Fundamentação teórica ( ou teoria); 
3. Metodologia; 
4. Resultados e discussão; 
5. Conclusão; 
6. Bibliografia. 
 
1. Introdução 
 Um ou dois parágrafos rápidos para contextualizar o assunto de que tratou a prática e do qual 
tratará o relatório. Não é propriamente um resumo, mas uma introdução ao assunto. Apenas informações 
relevantes ao trabalho devem ser apresentadas. 
Os objetivos devem estar dentro da introdução. Pode haver mais de um objetivo, um mais geral e 
outro(s) específico(s). Normalmente o(s) objetivo(s) é (são) dado(s) no roteiro da aula. 
No último parágrafo da introdução deve estar a organização do relatório, por exemplo, ...na 
seção seguinte apresentamos a fundamentação teórica do assunto, a seguir apresentamos a metodologia 
utilizada... e finalmente fazemos a conclusão do trabalho. 
2. Fundamentação Teórica. 
Um resumo de toda a teoria envolvida na aula prática, não se esquecendo de citar na bibliografia todos os 
livros, sites, etc. Nesta seção é necessário colocar TODAS AS EQUAÇÕES que forem necessárias para a 
realização do experimento, por exemplo, num experimento onde se calcula a velocidade constante é 
necessário que esteja na fundamentação teórica a equação que foi utilizada para encontrar tal velocidade 
(V = ∆x/∆t), e nas equações mais complexas a dedução da mesma. 
3. Metodologia 
A Metodologia (ou procedimento ou ainda método) é uma descrição sucinta de como foi 
realizado o experimento. Esta seção é descrita no roteiro da aula, sendo necessário apenas adaptar. Pode 
haver pequenas mudanças no que está escrito no roteiro e no que foi feito em sala de aula essa mudanças 
devem estar descritas na Metodologia. 
 
4. Resultados e Discussão 
Esta é a parte mais importante do relatório, é aqui que se descreve e discute todos os resultados. 
É nesta seção onde todos os cálculos são feitos (lembre-se de citar o número da equação que foi utilizada 
para obter os resultados). Todas as tabelas, gráficos, desenhos, esquemas, etc. com resultados são 
apresentados nesta seção. Na parte de discussão são analisados os resultados, avalia-se se o(s) resultado(s) 
é (são) razoável (eis), se estão dentro do esperado. 
5. Conclusão 
A conclusão do relatório diz respeito diretamente ao seu objetivo. Em suma este item deve dizer 
se o objetivo foi alcançado ou não (neste caso justificar porque o objetivo não foi alcançado). É na 
conclusão que são avaliados os erros experimentais do resultado. 
 
6. Bibliografia 
 Citar toda a bibliografia consultada; Há norma para citação bibliográfica que pode ser obtida 
nos artigos científicos e livros. 
 
Exemplo: 
JAPIASSU, Hilton. Introdução ao Pensamento Epistemiológico. 7ª.ed.Rio de Janeiro. 
 Livraria Fco.Alves, 1992. 249p. 
 
No apêndice desta apostila é apresentando um exemplo de relatório. 
 
 
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TEORIA DOS ERROS, ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
E REGRA DE ARREDONDAMENTO. 
Apresentaremos neste capítulo alguns conceitos básicos sobre teoria de erros. Um dos objetivos é 
que após a leitura do texto o aluno tenha condições de apresentar uma medida, feita a partir de um 
instrumento de medição ou obtido através de um experimento onde se calcula o valor a ser medida, com a 
imprecisão derivada de erros de medidas ou da própria imprecisão do instrumento de medida. 
OS ERROS E/OU DESVIOS PODEM SER CLASSIFICADOS EM: 
 
• ERROS GROSSEIROS: 
São erros típicos de quem não sabe medir; derivam da falta de prática e/ou cuidado. Exemplo: 
uso correto do instrumento (medir a distância entre dois pontos fazendo com que a extremidade da régua 
coincida com um dos pontos quando o zero da escala não coincida com a extremidade inicial da régua); 
erro de paralaxe (a leitura da posição do ponteiro em uma escala sem ter cuidado de fazer a visada 
perpendicularmente ao plano da escala). Podem ser eliminados pela prática ou treino. 
 
• ERROS SISTEMÁTICOS: 
Caracterizam-se por ocorrerem sempre num mesmo sentido e conservarem em medições 
sucessivas o mesmo valor. Estão relacionados a equipamentos incorretamente ajustados e/ou calibrados, 
ao uso de um procedimento incorreto pelo examinador ou uma falha conceitual. Está ligado ao conceito 
de exatidão. Ex.: atraso ou adiantamento ao acionar o cronômetro por deficiência de visão. Podem ser 
controlados e/ou corrigidos (escolher o método para compensar o erro sistemático instrumento, etc.) 
 
• ERROS ESTATÍSTICOS, ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS: 
São aqueles causados por variações incontroláveis aleatórios dos instrumentos de medida c/ou 
condições externas. “Decorrem de várias causas, conhecidas ou não, que se superpõem de maneira 
imprevisível e não guardam uma relação determinada com uma ou mais condições de observação, são 
devidos a causas temporárias, que variam ao longo de sucessivas observações e que fogem a uma análise 
devido a sua imprevisibilidade”. Exemplo: o zero da balança pode variar durante uma ou mais operações 
em virtude de uma incontrolável variação da temperatura no recinto: variações das condições ambientais 
(pressão, temperatura, etc…). Não podem ser controlados porque são imprevisíveis. A estes dados 
daremos um tratamento especial (estatístico) com a finalidade de minimizá-los: Teoria de Erros. 
 
 
I. TEORIA DE ERROS PARA UMA ÚNICA MEDIDA 
 
Quando fizemos umamedida, qualquer que seja como, por exemplo, medir o comprimento de 
um dado objeto, levou em consideração todos os algarismos significativos que sejam possíveis obter 
através do nosso instrumento de medida. 
 
1. ERRO ABSOLUTO (eabs): 
 
Se o fabricante fornecer uma medida do objeto o qual estamos medindo, o erro absoluto é a 
diferença entre o nosso valor medido (x) e o valor fornecido pelo fabricante (xR). 
Podemos expressar o erro absoluto de acordo com a seguinte equação: 
 
eabs = x - xR (1) 
 
EXEMPLO 1: 
 
Considerando que o objeto é fornecido com um diâmetro de φ = 34,45 mm e ao medirmos com 
um paquímetro obtemos φ = 34,48 mm. O erro absoluto neste caso vale: 
 
eabs = 0,03 mm. 
 
Em muitos casos calcula-se o erro absoluto, quando através de um experimento procura-se 
determinar alguma constante de interesse, como, por exemplo, o calor específico de sólidos, calor latente 
de uma substância, coeficiente de dilatação, constante de Boltzmann, etc. 
 
2. ERRO RELATIVO E ERRO RELATIVO PERCENTUAL (er e er%): 
 
O erro relativo é quando se quer saber se o erro (absoluto) é grande e ou pequeno em relação a 
medida a qual fizemos. Como o nome já diz o erro é determinado em relação (relativo) a medida que 
fizemos. Se denominarmos de x a medida, a qual fizemos, xR a medida suposta real, ou exata (aquela 
fornecida pelo fabricante). Temos: 
Para o erro relativo: 
 (2) 
 
E o erro relativo percentual: 
 
 (3) 
 
Portanto com esta pequena abordagem sobre erro, já é possível exprimirmos as medidas feitas 
com o seu erro aproximado. 
 
EXEMPLO 2: 
Para exprimirmos a medida feita no exemplo 1, temos: 
x = 34,48 mm 
xR = 34,45 mm 
eabs. = 0,03 mm 
er = 0,00087 
e r% = 0,087% ou 0,09% 
 
E a medida com o erro, escreve-se: 
x = (34,48± 0,03)mm ou 
x = 34,48 mm ± 0,0009 ou 
x = 34,48 mm ± 0,09%. 
Podemos observar que há três maneiras diferentes de apresentar as medidas feitas. Salientamos 
que as três maneiras estão corretas, sendo que a mais usualmente apresentada é a primeira apresentada 
acima. 
 
II. TEORIA DE ERROS PARA UM CONJUNTO DE MEDIDAS 
Em geral, quando em um experimento resulta uma medida de alguma grandeza, o procedimento 
correto é repetir o experimento de modo a obter diversas vezes a mesma medida, não que a medida vá dar 
sempre o mesmo valor (este é um fato experimental notório). Portanto teremos no final um conjunto de 
medidas da mesma grandeza, que, quase sempre terão valores com pequenas diferenças. Este conjunto de 
medidas denominará por (x1, x2, x3, x4,..., xn), neste conjunto foram feitas n medidas de uma grandeza. 
1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
Como o próprio título sugere a pretensão aqui é a determinação e a cálculo de medidas que 
ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. 
 
1.1 VALOR MÉDIO DE UMA MEDIDA ( ) 
 
O melhor valor das medidas feitas será dado pelo valor médio destas medidas. O valor médio de 
uma medida é dado pela média aritmética dos valores medidos, ou seja: 
 
 (4) 
 
Portanto o valor mais exato das medidas feitas é dado pelo x que é calculado a partir da equação 
(4). 
 
1.2 DESVIO DE UMA MEDIDA (d) 
 
O desvio a partir do valor médio é o erro de cada medida feita em relação ao valor médio. 
Portanto para cada medida feita existe um desvio, ou seja, teremos um conjunto de desvios dado por: (d1, 
d2, d3, d4,… dn). 
 
�� � �� � �̅ 
�� � �� � �̅ 
�� � �� � �̅ 
. 
. 
. 
�	 � �	 � �̅ (5) 
 
1.3 DESVIO PADRÃO PARA UM NÚMERO FINITO DE MEDIDAS 
 
O desvio padrão, como será apresentado aqui, nos da o desvio médio quadrático dos valores 
medidos. Na verdade, o valor do desvio padrão é obtido a partir de uma curva de distribuição, no nosso 
caso a curva de distribuição é uma Gaussiana (denominada também de distribuição normal). Mas para 
cálculos, com um número pequeno de medidas, usaremos a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 (6) 
 
1.4 RESULTADO DE UMA MEDIDA 
O resultado de uma medida de uma quantidade “a”, por exemplo, deve ser expresso da como 
sendo a soma do valor médio (ā) mais ou menos o desvio padrão (σm). 
a = ā ± σm (7) 
 
III – PROPAGAÇÃO DOS ERROS EXPERIMENTAIS 
Até agora falamos de erro envolvidos diretamente em medidas, por exemplo, os erros de 
medidas de tempo, erros na medida de uma corrente elétrica. E no caso onde uma grandeza é obtida de 
outras que foram medidas? Por exemplo, o erro na capacidade térmica, que é obtida da divisão do calor 
aplicado pela variação da temperatura sofrida pela amostra, existe erro na medida do calor aplicado e 
existe erro na medida da variação da temperatura. 
O mesmo ocorre com a velocidade média. Para determinar a velocidade média de um objeto, por 
exemplo, deve-se medir o percurso ∆S e medir o tempo gasto ∆t. 
 A velocidade média é obtida, indiretamente, pela divisão: 
 
 
 
Se as grandezas ∆S e ∆t são afetadas de desvios, na divisão (∆S/∆t) tais desvios se combinarão e 
afetarão o valor da velocidade média. 
Em casos como estes é necessário considerar a propagação dos erros. 
Vamos considerar três casos: 
1- Soma ou subtração; 
2- Multiplicação; 
3- Divisão. 
1. SOMA OU DIFERENÇA 
___
baV ±= 
(8) 
onde σa e σb são os desvios padrões de a e b respectivamente. 
 
2. MULTIPLICAÇÃO 
____
c.b.aV = 
(9) 
t
S
v
∆
∆
= 
2
c
2
b
2
av
cbaV
σσσσ
++±=
)( bav σσσ +±=
 
3. DIVISÃO 
_
_
_
b
aV = 
(10) 
 
IV - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
Ao tomarmos uma régua e efetuarmos a medida do comprimento de um lápis, obtemos, por 
exemplo, o valor de 5,7 cm. Sabemos com certeza que o lápis possui os 5 cm, mas não podemos dizer 
com certeza o quão exatos são os 0,1 cm. Isso ocorre porque o instrumento (régua) nos fornece tal 
precisão. Observe que o comprimento correto do lápis é um pouco menor que 5,7 cm. 
 
Aos dígitos que conhecemos com certeza e ao primeiro duvidoso chamamos de “algarismos 
significativos”. 
No exemplo acima, temos o comprimento do lápis dado com 2 algarismos significativos. 
 
Obs.: Os algarismos significativos independem da posição da vírgula. 
Exemplos: 
5,5664 � 5 algarismo significativo 15,004 � 5 algarismo significativo 
25 � 2 algarismo significativo 25,0 � 3 algarismo significativo 
25,00 � 4 algarismo significativo 0,25 � 2 algarismo significativo 
0,025 � 2 algarismo significativo 0,250 � 3 algarismo significativo 
2
2
b
2
2
av
baV
σσσ
+±=
rodrigo.fernandom@gmail.com
rodrigo.fernandom@gmail.com
rodrigo.fernandom@gmail.com
V - ARREDONDAMENTO 
É comum, ao trabalharmos com algarismos significativos, termos de recorrer ao 
arredondamento. 
O arredondamento é efetuado da seguinte forma: se o último algarismo for menor que cinco, ele 
é simplesmente desprezado; se for maior ou igual a cinco, o algarismo precedente é acrescido de uma 
unidade. 
Exemplos: 
Uma casa decimal: 
2,3455 � 2,3 2,355 � 2,4 67,97 � 68,0 4,94 � 4,9 
Duas casas decimais: 
32,9857 � 32,99 6,8736248 � 6,87 
Experiência. Medida do tempo de queda de uma esfera metálica de uma altura de 2,0 
metros 
Objetivo: encontrar o tempo de queda de uma esfera utilizando os conceitos da teoria dos erros. 
Procedimento: 
Lance uma esfera de uma altura de 2,0 m marque o tempo com um cronômetro. Obtenha pelo 
menos 20 tempos. Utilize a teoria dos erros para obter o tempo médio e o desvio padrão das medidas. 
n Tempo (segundos) Desvio (d) d2 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
 Tempo médio (tm) =........sΣd=0 Σd2= ..... 
t = tm ± σm 
 
 
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- INSTITUTO DE FÍSICA - 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME 
 
Objetivos: 
Introduzir grandezas físicas importantes para descrição do movimento, a saber: posição (s), 
deslocamento (∆s), intervalo de tempo (∆t) e velocidade (v). Elaborar os gráficos s×t e v×t. 
 
Resumo da Teoria: 
A posição de um corpo é determinada em relação a um referencial. No geral, em três dimensões, 
a posição é dada pelo vetor que localiza o ponto em que o corpo está em relação a origem. No caso do 
movimento retilíneo, como referencial nos é suficiente uma reta no qual fixamos uma origem e uma 
orientação. 
 
A diferença entre a posição inicial (so) e final (s) do corpo é chamada de deslocamento (∆s). Da 
mesma forma o intervalo de tempo (∆t) é a diferença entre o instante inicial (to) e final (t) do movimento 
estudado. 
A medida de como a posição do corpo varia com o tempo é denominada velocidade do corpo (v). 
Isto pode ser escrito na forma matemática como: 
 (1) 
 
 
Esta descrição é suficiente quando a velocidade é constante, ou seja, para intervalo de tempos 
iguais o corpo apresenta deslocamentos iguais. Para estes movimentos a equação acima pode ser reescrita, 
como: 
 
S = So + V(t – to) (2) 
 
Em geral se considera o tempo inicial (to) igual a zero então equação acima fica: 
 
S = So + Vt (3) 
 
De acordo com a equação 3 (equação de primeiro grau), o gráfico s×t tem que se comportar 
como uma reta. 
 
Materiais: 
 
• Trilho de ar; 
• Gerador de fluxo de ar (soprador); 
• Mangueira; 
• Carrinhos para o trilho de ar 
• Cronômetro Manual; 
• Cronômetro digital; 
• Sensor com célula fotoelétrica; 
• Trena. 
• Elásticos de borracha. 
 
 
Método: 
 
Monte o experimento de acordo com as instruções abaixo: 
1. Nivele o trilho de ar, para que não haja interferência da gravidade. 
2. Marque uma posição (20 cm, por exemplo) no trilho. Com um elástico preso na ponta do trilho de ar 
arremesse o carrinho, anote o tempo gasto para percorre a distância predeterminada.. Repita este 
procedimento no mínimo cinco vezes e encontre o tempo médio. Com o tempo médio encontre a 
velocidade utilizando a equação 1. 
3. Marque outra posição e repita o procedimento anterior (repita este procedimento para pelo menos cinco 
posições diferentes). 
4. Monte os gráficos s×t e v×t. 
5. Mude o a força no elástico do procedimento 3 e repita os procedimentos 3 até o 5. 
6. Compare os gráficos s×t. 
Obs.: Utilize o programa Origin para montar os gráficos, ou se preferir use papel milimetrado. 
 
 
 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME VARIADO 
QUEDA LIVRE 
 
Objetivos: 
Obter a aceleração da gravidade e utilizar os conceitos da teoria dos erros. 
Resumo da Teoria: 
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
O movimento é chamado retilíneo uniformemente variado (MRUV) quando a trajetória é uma 
reta e a velocidade varia linearmente com o tempo, isto é, a aceleração é constante. Para que o 
movimento ainda seja retilíneo, a aceleração deve ter a mesma direção da velocidade. Caso a aceleração 
tenha o mesmo sentido da velocidade, o movimento pode ser chamado de Movimento Retilíneo 
Uniformemente Acelerado. Caso a aceleração tenha sentido contrário da velocidade, o movimento pode 
ser chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado. 
 
• Equação ou função horária de posição para o MRUV (permite determinar a posição s do 
móvel após um intervalo de tempo t): 
2
2
00
at
tvss ++= (1) 
 
, onde s0 e v0 são a posição e a velocidade do móvel no instante inicial, respectivamente. 
• velocidade no MRUV após um intervalo de tempo t : 
atvv += 0 (2) 
• velocidade no MRUV após um deslocamento qualquer (Equação de Torricelli): 
savv ∆== 220
2
 (3) 
 
Queda Livre 
 
Desde Galileu sabe-se que corpos largados próximo da superfície da Terra, independente de sua 
forma, densidade ou massa, caem com a mesma aceleração. Esta aceleração, devido à atração 
gravitacional da Terra exercida sobre esses corpos, é denominada de aceleração da gravidade g. O 
movimento de queda livre de corpos próximos da superfície da Terra pode ser descrito pela equação 
horária para um movimento uniformemente acelerado (aceleração g constante) dada por: 
 (4) 
Onde h0 e v0 são a posição e velocidade iniciais do movimento. 
De acordo com a equação 4 se considerarmos a velocidade inicial e a posição inicial como sendo 
igual a zero, podemos reescrever esta equação da seguinte forma. 
 (5) 
 
Desta equação podemos obter a gravidade medindo-se a posição e o tempo de queda. 
 
Materiais: 
 
• Esfera metálica; 
• Cronômetro Manual; 
• Cronômetro Automático; 
• Sensor com célula fotoelétrica; 
• Trena; 
• Eletroímã; 
• Fonte de tensão DC 6V. 
 
Método: 
Primeira parte ( cronômetro manual) 
Objetivo: encontrar a aceleração da gravidade no local, utilizando os conceitos da teoria dos Erros. 
1. Marque na parede uma altura de predeterminada (2,0 metros por exemplo). 
2. Com dois cronômetros marque os tempos de queda (utilize um procedimento que minimize o efeito do 
tempo de reação). Repita esta operação pelo menos 10 vezes (obtenha 20 tempos). Com cada tempo 
obtenha um valor de gravidade. Utilize os conceitos de teoria dos erros para analisar os resultados. 
3. Repita o experimento com uma esfera de massa diferente. 
 
Segunda parte: (cronômetro automático) 
Objetivo: encontrar a aceleração da gravidade no local. 
 
1. Monte o experimento de acordo com as instruções do professor. 
2. Meça a altura de queda, com o cronômetro marque os tempos de queda. 
Repita o experimento pelo menos 10 vezes. Com cada tempo obtenha um valor de gravidade. Utilize os 
conceitos de teoria dos erros para analisar os resultados. 
 
 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME VARIADO 
PLANO INCLINADO 
 
Objetivos: 
 
Representar graficamente os valores experimentais s×t ; determinar a velocidade instantânea do 
movimento em vários instantes e construir o gráfico de v×t; obter o valor da aceleração do movimento e a 
aceleração da gravidade; 
 
Resumo da Teoria: 
 
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
O movimento é chamado retilíneo uniformemente variado (MRUV) quando a trajetória é uma 
reta e a velocidade varia linearmente com o tempo, isto é, a aceleração é constante. Para que o 
movimento ainda seja retilíneo, a aceleração deve ter a mesma direção da velocidade. Caso a aceleração 
tenha o mesmo sentido da velocidade, o movimento pode ser chamado de Movimento Retilíneo 
Uniformemente Acelerado. Caso a aceleração tenha sentido contrário da velocidade, o movimento pode 
ser chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado. 
 
• Equação ou função horária de posição para o MRUV (permite determinar a posição s do 
móvel após um intervalo de tempo t): 
2
2
00
at
tvss ++= (1) 
 
, onde s0 e v0 são a posição e a velocidade do móvel no instante inicial, respectivamente. 
• velocidade no MRUV após um intervalo de tempo t : 
atvv += 0 (2) 
• velocidade no MRUV após um deslocamento qualquer (Equação de Torricelli):savv ∆== 220
2
 (3) 
 
Plano Inclinado 
Analisemos o comportamento de um bloco de massa m apoiado sobre um plano inclinado de 
ângulo θ em relação à horizontal; desprezemos os atritos. 
 
 
 
 
Utilizando conceitos das Leis de Newton chega-se a conclusão que: 
a = g.sen θ (4) 
ou seja “a aceleração com que o bloco desce o plano inclinado independe da sua massa m”. 
 
Materiais: 
 
• Trilho de ar; 
• Cronômetro Manual; 
• Cronômetro digital; 
• Sensor com célula fotoelétrica; 
• Trena. 
 
Método: 
Primeira parte 
Objetivo: encontra a aceleração do carrinho e a gravidade. 
1. Monte o experimento de acordo com as instruções do professor. 
2. Incline o trilho de ar com um pequeno ângulo. 
3. Marque uma posição no trilho (o maior possível). Segure o carrinho numa extremidade do trilho depois 
o libere, anote o tempo gasto para percorre a distância predeterminada. Repita este procedimento no 
mínimo cinco vezes e encontre o tempo médio. Com o tempo médio encontre a aceleração do carrinho 
(utilize a equação 1) com o valor da aceleração do carrinho encontre a aceleração da gravidade no local 
(utilize a equação 4). (Faça este procedimento utilizando o sistema de medida de tempo com o 
cronômetro com célula fotoelétrica e com o cronômetro manual). 
 
Segunda parte: 
Objetivo: construção do gráfico s×t. 
1. Marque uma posição no trilho (20 cm, por exemplo) e Segure o carrinho numa extremidade do trilho 
depois o libere, anote o tempo gasto para percorre a distância predeterminada. Repita este procedimento 
pelo menos cinco vezes para encontrar o tempo médio (este tempo e a posição marcada que irão no 
gráfico). 
2. Repita o procedimento anterior para outras cinco posições diferentes. 
3. Monte o gráfico s×t. 
 
Terceira parte: (somente com o sistema de medida de tempo com o cronômetro com célula fotoelétrica) 
Objetivo: construção do gráfico v×t. 
1. Marque uma posição no trilho (20 cm, por exemplo) e Segure o carrinho numa extremidade do trilho 
depois o libere, anote o tempo gasto uma pequena distância (coloque os sensores fotoelétricos o mais 
próximo possível). Repita este procedimento pelo menos cinco vezes para encontrar tempo médio com o 
tempo médio encontre a velocidade instantânea (o tempo médio e a velocidade instantânea que irão ao 
gráfico). 
2. Repita o procedimento anterior para outras cinco posições diferentes. 
Obs.: Utilize o programa Origin para montar os gráficos, ou se preferir use papel milimetrado. 
 
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Vetores 
Título: Composição e Decomposição de Vetores (Mesa de Força) 
Objetivo: Levar o aluno a determinar o equilibrante de um sistema de vetores. Calcular a resultante de 
dois vetores utilizando o método geométrico e analítico. 
 
Introdução: 
Nesta experiência trabalharemos com a grandeza vetorial força, para estudos dos vetores, sua composição 
e decomposição. Veremos também que a equilibrante é um vetor igual e oposto ao vetor resultante, cujo 
módulo, direção e sentido determinaremos através de dois métodos: método gráfico e método analítico. 
 
Fundamentos Teóricos 
Vetor é uma reta orientada que serve para indicar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza 
vetorial. 
Módulo ou Intensidade de uma grandeza vetorial é o número que indica quantas vezes a grandeza vetorial 
considerada contém determinada unidade. Exemplo: Aplica-se uma força de 10 Newton sobre um corpo – 
10 é módulo do vetor força. 
Direção de um vetor é igual ao ângulo que ele forma com uma reta horizontal de referência. A direção de 
um vetor é uma reta por onde o vetor pode deslizar. 
Sentido de um vetor é a orientação que ele possui sobre o seu suporte. 
Suporte ou Linha de Ação de um vetor é a reta que o contém. 
 
Os vetores podem ser: 1 – Colineares – quando possuem a mesma reta suporte; 2- Coplanares 
concorrentes – quando os vetores estão sobre um mesmo plano e concorrem a um mesmo ponto; 3 – 
Coplanares não concorrentes – quando os vetores estão sobre um mesmo plano mas não a um único 
ponto; 4- Não Coplanares – quando as componentes se dispõe no espaço. 
Composição é a determinação das componentes vetoriais de uma resultante. 
Resultante é o vetor soma de dois ou mais vetores. 
Equilibrante é o vetor capaz de equilibrar todos os demais vetores do sistema. É igual e contrário ao vetor 
resultante. 
 
Material Necessário: 
1. Mesa de Força; 
2. Dois jogos de massas; 
3. Papel milimetrado; 
4. Régua; 
5. Dinamômetro de 5 N; 
6. Três extensões de cordão com ganchos; 
7. Tripé; 
8. Haste metálica de 50 cm; 
9. Mufla; 
 
Montagem: 
 
1. Faça a montagem da mesa de forças; 
2. Regule as roldanas para girarem com o 
mínimo de atrito; 
3. Nivele a mesa através das sapatas; 
4. Coloque o anel no pino central; 
5. Coloque no tripé a haste metálica; 
6. Prenda na haste a mufla; 
7. Coloque o dinamômetro na mufla (observe se ele está regulado); 
8. Prenda uma das extensões no anel central e no dinamômetro; 
9. Cuide para que o fio não toque na mesa e que fique paralelo à mesma; 
10. Prenda uma das roldanas na mesa, de tal forma que ela fique oposta ao dinamômetro; 
11. Prenda outra extensão no anel central e passe pela roldana a outra extremidade; 
12. Na extremidade solta, coloque um porta pesos de 0,5 N. Observe que anel encostou no pino 
central da mesa; 
13. Movimentando o dinamômetro através do tripé, faça com que o anel fique centrado na mesa, 
tendo o pino como referencia. Mantenha o dinamômetro paralelo à mesa e bata levemente na sua 
capa para aliviar as tensões. Represente os vetores que apareceram nessa situação. Qual o 
significado do vetor que aparece no dinamômetro? Considerando o eixo da mesa como 
Norte/Sul, qual a direção, sentido e o módulo do vetor que surge no dinamômetro? Esses vetores 
são colineares ou coplanares? 
14. Com outra extensão repita os procedimentos dos itens 10, 11, 12, colocando no novo porta 
pesos, 1 N de peso. Represente os vetores que apareceram nessa situação. Represente a 
resultante e a equilibrante do sistema. Qual o provável valor da resultante? 
15. Coloque uma nova roldana na mesa e passe a segunda extensão por ela 
16. Movimente a nova roldana até que o ângulo entre as duas extensões seja de 90º 
17. Para reequilibrar o sistema, movimente novamente o tripé com o dinamômetro. Represente esses 
vetores. Calcule graficamente o módulo da resultante e compare com o valor lido no 
dinamômetro. Se houver divergência, procure justificar tal fato. 
18. Coloque nos porta pesos dois pesos iguais e veja, após restabelecido o equilíbrio se o 
dinamômetro marcará 2xF 
19. Refaça a atividade do item 15 agora para um ângulo de 60º e 120º. Essas forças são colineares? 
Justifique. Trace os vetores e a resultante do sistema. Qual é o valor da equilibrante? Esse 
resultado é igual ao da resultante? Pelo método analítico, que descrevemos abaixo, calcule a 
resultante dos itens 12, 13 e 16. Pra vetores: 1 – Colineares e de mesmo sentido (R = F1 + F2); 2 
– Colineares e de sentidos opostos (R = F1 – F2); 3 – Coplanares concorrentes ortogonais (ângulo 
de 90º) – (R² = F1² + F2²); 4 – Coplanares concorrentes e que fazem entre si um ângulo qualquer 
(R² = F1² + F2² + 2.F1 + F2.cos α). Com valores adquiridos pelo método analítico, calcule os erros 
relativos e percentuais das medidas experimentais e justifique os erros encontrados. 
 
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MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕESLANÇAMENTO HORIZONTAL 
 
Objetivos: 
 
Obter a velocidade inicial, trajetória do movimento e a equação teórica da trajetória. 
 
Resumo da Teoria: 
Quando um corpo é lançado horizontalmente no vácuo, ele descreve, em relação à Terra, uma 
trajetória parabólica. Esse movimento pode ser considerado como o resultado da composição de dois 
movimentos simultâneos e independentes: Um movimento vertical, uniformemente variado, sob a ação 
exclusiva da gravidade. E um movimento horizontal uniforme, pois não existe aceleração na direção 
horizontal. 
Por exemplo, se uma arma dispara uma bala horizontalmente, esta continua a mover-se para 
diante, por causa da inércia, mas ao mesmo tempo sofre a ação da força da gravidade, que a puxa para a 
Terra. 
O resultado é que a bala descreve uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória, a velocidade 
resultante do móvel, é dada pela soma vetorial da velocidade horizontal, constante, e da velocidade 
vertical, variável. 
O fato de as duas velocidades serem independentes tem uma conseqüência importante: o tempo 
que um projétil gasta para cair, quando lançado horizontalmente, é o mesmo que gastaria para cair em 
queda livre. 
Ou seja, se jogarmos uma pedra horizontalmente, do segundo andar de uma casa, com uma 
velocidade de 10 m/s e deixarmos cair outra pedra ao mesmo tempo, ambas as pedras atingirão o solo no 
mesmo instante. 
A partir de um ponto situado a uma altura h, acima do solo, o móvel é lançado horizontalmente e 
percorre uma trajetória parabólica, que pode ser construída utilizando-se a composição de dois 
movimentos independentes: 
 a)Movimento horizontal – Nesse movimento, o corpo percorre espaços iguais em tempos iguais: 
movimento uniforme (velocidade constante). 
b) Movimento vertical – Nessa direção, o móvel está em queda livre (MUV acelerado) a partir do 
repouso. 
Em relação à conservação da energia mecânica verificamos que quando um corpo está a uma 
determinada altura, ele possui energia potencial e à medida que vai caindo, desprezando a resistência do 
ar, a energia potencial do corpo que ele possui no inicio da trajetória vai se transformando em energia 
cinética e quando este atinge o nível de referência a energia é transformada em energia cinética na 
totalidade. 
Na ausência de forças dissipativas, a energia mecânica total do sistema conserva-se, ocorrendo 
transformação de energia potencial em cinética e vice-versa. 
Um corpo está em queda livre quando não tem velocidade inicial e se encontra apenas sob a ação 
da força gravítica, tendo assim aceleração constante que corresponde à aceleração da gravidade (= 9,8 
m/s²) 
O tempo que um projétil gasta para cair, quando lançado horizontalmente, é o mesmo que 
gastaria para cair em queda livre, visto que desprezando a ação do ar, todos os corpos lançados do mesmo 
sítio, sem resistência do ar, caem com a mesma aceleração, independentemente das suas massas. Essa 
aceleração chamada de força gravítica que por sua vez varia com a altura onde o corpo está, mas devido à 
variação ser pequena, normalmente é desprezada e adotamos 9,8 m/s². 
 
Figura 1. 
 
Movimento em duas dimensões 
O movimento de uma partícula pode ser determinado se é conhecido o seu vetor posição r em 
todos os instantes. O vetor posição para uma partícula em movimento no plano xy pode ser escrito como 
 (1) 
em que x, y e r modificam-se com o tempo à medida que a partícula se desloca. Se o vetor posição é 
conhecido, a velocidade da partícula pode ser determinada da equação (I): 
 (2) 
Portanto, podemos aplicar separadamente as equações de cinemática para as componentes x e y 
do vetor velocidade. Substituindo vx = vxf = vxi+axt e vy = vyf = vyi+ayt 
 (3) 
Em resultado nos diz que a velocidade da partícula em algum tempo t é igual à soma vetorial de 
sua velocidade inicial com a velocidade adicional at adquirida no tempo t como resultado de sua 
aceleração constante. Sabemos que as coordenadas x e y de uma partícula em movimento com a 
aceleração constante são: 
2
00 2
1
tatvxx xx ++=
 
 e 
2
00 2
1
tatvyy yy ++= (4) 
Substituindo essas expressões na equação (1), temos: 
 
 (5) 
 
Lançamento de Projétil 
Uma partícula é lançada com velocidade inicial v0, segundo um ângulo θ em relação ao eixo 
horizontal (lançamento oblíquo), estando sob a ação da aceleração da gravidade, agindo verticalmente 
para baixo, impondo uma trajetória parabólica, resultante da composição de dois movimentos. 
Sendo a velocidade uma grandeza vetorial, podemos decompô-la segundo os eixos x e y, com o 
intuito de estudarmos os movimentos separadamente. Com respeito a vertical, tem-se o movimento 
uniformemente variado e movimento uniforme segundo o eixo horizontal, visto que a aceleração da 
gravidade sendo vertical, não tem componente nesta direção. Em termos das componentes da velocidade 
inicial, percebe-se que: 
1. A componente de v0, na direção do eixo x é dada pela equação (Eq. 6) 
v0x = v0 cos θ (6) 
2. A componente de v0, na direção do eixo y é dada pela equação (Eq. 7) 
v0y = v0 sen θ (7) 
 
Equações de Posição e Velocidade 
As equações de posição e velocidade estão agrupadas de acordo com o tipo de movimento, além 
de considerarmos a origem dos eixos de referência na posição de lançamento da partícula, o que faria de 
x0 e y0 valores nulos. Vamos às equações: 
1. Movimento na direção x (MRU) 
x =x0 + voxt � x = v0 cosθ t (8) 
2. Movimento na direção y (MUV) 
deslocamento y = y0 + v0y t –gt2/2 � y =v0 senθ t- gt2/2 (9) 
velocidade vy = v0y – gt � vy = v0 senθ - gt (10) 
Torricelli vy
2
 = v0y
2
 -2g∆y � vy2 = (v0 senθ)2 -2g∆y (11) 
Obtenção de Alguns Resultados no Lançamento de Projétil 
Nossos resultados serão obtidos para uma referência positiva sendo considerada para cima e 
origem no ponto de lançamento. Os resultados são: 
1. Altura máxima ymax. Por Torricelli e sabendo-se que vy é nulo nesta posição, 
 
então, a altura máxima é dada pela equação (12) 
 
(12) 
2. Tempo de subida ts. Partindo-se da equação de velocidade (eq. 9) e sabendo-se que vy é nulo, 
encontra-se para o tempo de subida, equação (13) 
 
(13) 
3. Alcance máximo R = xmax. O alcance é máximo quando o tempo t é igual ao tempo de queda tq. 
Sendo o tempo de queda o dobro do tempo de subida, pois y = 0 e usando-se a equação de 
movimento (eq. 9) 
 
obtém-se o tempo de queda 
 
e substituindo-se o tempo de queda na equação de movimento horizontal (eq. 8) encontra-se 
 
Rearmando tem-se para xmax 
 
(14) 
4. y em função de x Devemos isolar o tempo na equação de movimento para o eixo x (eq. 8) e 
substituí-lo na equação de movimento para o eixo y (eq. 9) encontrando-se 
 
2
22
0 cos2
x
v
g
xtgy
i
i 





−=
θ
θ (15) 
de onde se tem y em função de x. 
 
Materiais: 
• Esfera metálica; 
• Calha de lançamento horizontal; 
• Papel milimetrado; 
• Papel carbono; 
• Régua; 
• Anteparo. 
 
Método: 
Monte o experimento de acordo com as orientações do professor (ou monitor); 
Monte o papel milimetrado com o papel carbono e coloque-os no anteparo; 
Marque uma posição fixa na calha de lançamento; 
Lance a esfera e marque o alcance da esfera. Repita 10 vezes 
Com este valor encontre a velocidade inicial (eq. 14). 
Encontre uma figura similar a figura 1 deste roteiro 
Coloque o anteparo no fim da calha e lance a esfera. Afaste o anteparo para trás um pouco e lance a 
esfera. Repita o procedimento pelo menos 5 vezes. 
Repita o procedimento anterior, mas quando afastar o anteparo afaste-o para os lados também. 
 
 
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Força de Atrito no Plano Inclinado 
 
Objetivo: Utilizar o plano inclinado para determinação do coeficiente de atrito está tico e cinético. 
Fundamentos Teóricos: 
Até agora, para calcularmos a força, ou aceleração de um corpo, consideramos que as superfícies 
por onde este se deslocava, não exercia nenhuma força contra o movimento, ou seja, quando aplicada uma 
força, este se deslocaria sem parar. 
Mas sabemos que este é um caso idealizado. Por mais lisa que uma superfície seja, ela nunca será 
totalmente livre de atrito. 
Sempre que aplicarmos uma força a um corpo, sobre uma superfície, este acabará parando. 
É isto que caracteriza a força de atrito: 
• Opõe-se ao movimento; 
• Depende da natureza e da rugosidade da superfície (coeficiente de atrito); 
• É proporcional à força normal de cada corpo; 
• Transforma a energia cinética do corpo em outro tipo de energia que é liberada ao meio. 
A força de atrito é calculada pela seguinte relação: 
fat =µ N, (1) 
onde µ: coeficiente de atrito (adimensional) e N força normal. 
Atrito Estático e Cinético 
O termo atrito designa a resistência ao movimento entre superfícies materiais em contacto. 
Empiricamente, descrevem-se as forças de atrito fa entre superfícies sólidas como sendo: independentes 
da área da superfície de contato e diretamente proporcional à componente normal da força de contacto 
entre as superfícies. 
Considerando então que a intensidade da força de atrito é proporcional à intensidade da força de 
reação normal da superfície, fa = µN onde a letra grega µ (mi) é uma constante de proporcionalidade 
adimensional designada por coeficiente de atrito. 
Quando empurramos um carro, é fácil observar que até o carro entrar em movimento é 
necessário que se aplique uma força maior do que a força necessária quando o carro já está se 
movimentando. 
Isto acontece, pois existem dois tipos de atrito: o estático e o cinético (ou dinâmico). 
Atrito Estático (fe) 
 
É aquele que atua quando não há deslizamento dos corpos. A força de atrito estático máxima é 
igual à força mínima necessária para iniciar o movimento de um corpo. 
Quando um corpo não está em movimento à força do atrito ser igual que a força aplicada, neste 
caso, é usado no cálculo um coeficiente de atrito estático (µe): 
Então: 
fe ≤ µe N (2) 
O motivo pelo qual a equação 2 tem um símbolo de menor ou igual é por que a força de atrito 
não pode ser maior que uma força aplicada. Imagine a situação na qual você empurra uma caixa muito 
pesada e não consegue move-la, neste caso você aplica uma força que é igual a força de atrito, se você 
aumenta a força aplica a força de atrito também aumenta de forma a não deixar o movimento iniciar. 
agora se um outro colega o ajuda aumentando a força resultante aplicada o atrito estático terá um valor 
máximo que é justamente quando a equação 2 torna-se feMÁX = µe N. 
Exemplo: 
Considere uma caixa parada em um plano 
inclinado como ilustra a figura ao lado. Neste caso há 
uma força puxando a caixa plano abaixo, mas a força 
de atrito anula essa força. Ao aumentarmos a 
inclinação (θ) a força que puxa a caixa aumenta, mas se 
ela não escorregar significa que a força de atrito 
também aumenta de forma a manter a caixa em repouso. Quando a caixa atinge uma determinada 
inclinação a caixa entra na iminência de se movimentar nessa situação a força de atrito atingiu o seu valor 
máximo (feMÁX = µe N). 
Atrito Cinético ou Dinâmico (fc) 
É aquele que atua quando há deslizamento dos corpos. 
Quando a força de atrito estático for ultrapassada pela força aplicada ao corpo, este entrará em 
movimento, e passaremos a considerar sua força de atrito cinético. 
A força de atrito cinético é sempre menor que a força aplicada, no seu cálculo é utilizada o 
coeficiente de atrito cinético (µc): 
Então: 
fc = µc N (3) 
Força de resistência do ar: o ar opõe aos movimentos dos corpos que se deslocam em contato 
com ele. 
Dependendo da existência ou não de movimento relativo entre as superfícies em contato. Tanto a 
força de atrito estático como a força de atrito cinético dependem, entre outros fatores, da natureza dos 
materiais em contato. Uma borracha assente em asfalto permite gerar uma força de atrito maior do que, 
por exemplo, num metal sobre gelo. Para fazer uma curva em segurança é também necessário que haja 
atrito suficiente entre os pneus e a estrada. Os pneus de qualidade são capazes de gerar forças de atrito 
suficientes, em terrenos de vários tipos e nas mais variadas condições meteorológicas. Na linguagem 
popular diz-se que o carro "agarra" bem à estrada. 
O coeficiente de atrito estático é, em geral, superior ao coeficiente de atrito cinético. Já todos 
devem ter reparado que é mais fácil manter um móvel em movimento sobre o chão do que pô-lo em 
movimento. Na tabela seguinte apresentam-se alguns valores para coeficientes de atrito. 
 
Materiais Utilizados: 
• Bloco de Madeira 
• Cubos de Prova Metálicos 
• Barbante 
• Roldana 
• Porta Pesos 
• Pesos Diversos 
• Balança 
• Plano Inclinado 
 
Procedimento: 
1. Determine a massa do bloco de madeira com uso de uma balança; 
2. Amarre um fio ao bloco. Passe este por uma roldana e prenda-o a um porta peso; 
3. Adicione pesos à porta pesos até que o corpo comece a movimentar com velocidade constante 
(ou mais próximo possível); 
4. Nesse instante qual é o valor máximo da Força de Atrito? 
5. Acrescente ao bloco de madeira outro bloco idêntico ao primeiro e utilizando o mesmo 
procedimento do item 3, determine a nova força de atrito; 
6. Calcule, com os dados obtidos nos itens 3 e 5, o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o 
plano; 
7. Se houver divergência de resultado no cálculo do coeficiente de atrito estático, a que vocês 
atribuem tais divergências? Se forem iguais, o resultado obtido está correto? Por quê? 
8. Com o uso do plano inclinado, coloque o bloco de madeira sobre a rampa e eleve o sistema, 
dando pequenas batidas (na rampa) até começar o deslizamento. Em seguida, diminua a 
inclinação até obter um movimento bastante vagaroso do móvel (não se preocupe em obter um 
movimento perfeito). Anote o valor do ângulo para a qual ocorreu um movimento 
aproximadamente uniforme; 
9. Repita o procedimento acima no mínimo 5 vezes e faça média; 
10. Faça diagrama das forças atuantes sobre o móvel, considerando o ângulo médio de ocorrência do 
movimento uniforme; 
11. A partir do ângulo médio determinado, calcule o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o 
plano inclinado; 
12. Coloque agora sobre o plano um cubo de metal e determine, usando o mesmo procedimento 
anterior, o coeficiente de atrito estático entre o cubo e o plano inclinando; 
13. A diferença encontrada nos coeficientes de atrito, nos itens 11 e 12, devem-se exclusivamente 
pela diferença de massa entre os corpos envolvidos? 
14. Aumente a inclinação da rampa, de forma a obter um movimento acelerado do bloco de madeira. 
Com essa inclinação, determine o novo valor da força de atrito entre o bloco e o plano; 
15. Com o novo valor da força de atrito, determine o coeficiente de atrito cinético; 
16. Comente a diferença encontrada entre o coeficiente de atrito estático e cinético do bloco com o 
plano inclinado. 
 
 
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DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA DE UMA BARRA DELGADA 
Objetivo: Utilizar uma barra delgada para determinação do centro de massa do sistema formado por 
uma barra e dois pesos de massas diferentes.Fundamentos Teóricos: 
Na mecânica classica, centro de massa de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda a 
massa do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não precisa coincidir 
com o centro geométrico ou o centro de gravidade. O centro de massa nem ao menos precisa estar dentro 
do corpo. Para n partículas, cada uma com posição ri e massa mi, o centro de massa R é dado por: 
 (1) 
Na Física, o centróide, o centro de gravidade e o centro de massas podem, sob certas 
circunstâncias, coincidir entre si. Nesses casos, pode-se utilizar os termos de maneira intercambiável, 
mesmo que designem conceitos diferentes.O centróide é um conceito puramente geométrico enquanto que 
os outros dois se relacionam com as propriedades físicas de um corpo. Para que o centróide coincida com 
o centro de massa, o objeto deve ter densidade uniforme, ou a distribuição de matéria através do objeto 
deve ter certas propriedades, tais como simetria. Para que um centróide coincida com o centro de 
gravidade, o centróide deve coincidir com o centro de massa e o objeto deve estar sob a influência de um 
campo gravitacionaluniforme. 
Em um tratamento de sistemas de massas pontuais o centro de massa é o ponto onde se supõe 
concentrada toda a massa do sistema. O conceito se utiliza para análises físicas nas quais não é importante 
considerar a distribuição de massa. Para um sistema de massas discreto, formado por um conjunto de 
massas pontuais, o centro de massas pode ser calculado como: 
 
 (2) 
 
mi -> Massa pontual iésima 
--> Posição da massa iésima respectivo ao eixo de referência assumido. 
Em casos que os corpos não sejam pontuais, usa-se esta fórmula: 
 
 (3) 
 
Materiais Utilizados 
• Barra de metal delgada 
• Haste metálica 
• Tripé 
• Mufla com ponta 
• Porta pesos 
• Pesos diversos 
• Balança 
• Trena 
Procedimentos 
1. Determine a massa da barra com uso de uma balança ou dinamômetro; 
2. Meça o comprimento da barra; 
3. Determine teoricamente o CM da barra (dicas: considere uma barra homogênea e use a equação 
3). Marque esse ponto na barra e verifique se esse ponto de equilíbrio coincide com o resultado 
experimental colocando a barra no pino; 
4. Agora coloque a barra presa por um ponto qualquer diferente do seu centro; 
5. Coloque no mínimo um porta-peso do lado mais curto e dois do lado mais longo, como ilustra a 
figura. Adicione massas aos porta-pesos até atingir o equilíbrio; 
 
6. Adote um referencial (a origem pode ser definida no centro de massa do conjunto, ou em uma 
das extremidades, por exemplo). Meça com uma trena as posições das massas (incluindo a barra) 
e comprove teoricamente se o resultado obtido experimentalmente é compatível com o teórico 
obtido da equação (2). A diferença aceitável entre os valores teórico e experimental é de a ± 2 
mm, caso essa diferença seja maior que este valor repita o procedimento; 
7. Repita a experiência mudando a posição da barra no tripé e massa inicial ao lado mais comprido. 
Encontre experimentalmente o equilíbrio da barra e comprove teoricamente esse resultado. 
 
 
 
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COLISÕES UNIDIMENSIONAIS 
 
Objetivos: 
Verificar a conservação do momento linear, o impulso e a conservação da energia através do 
estudo do choque entre dois carrinhos sobre um trilho de ar. 
 
Resumo da Teoria: 
Em um choque, forças relativamente grande, atuam em cada uma das partículas que colidem, 
durante um intervalo de tempo relativamente curto. Um exemplo corriqueiro seria um esbarrão entre duas 
pessoas distraídas. Não existe alguma interação significativa entre elas durante a aproximação e até que se 
choquem. Durante o choque existe uma forte interação que eventualmente pode causar danos físicos. 
Depois da colisão volta-se a situação inicial onde não existia interação significativa. Quando dois corpos 
colidem como, por exemplo, no choque entre duas bolas de bilhar, pode acontecer que a direção do 
movimento dos corpos não seja alterada pelo choque, isto é, eles se movimentam sobre uma mesma reta 
antes e depois da colisão. Quando isso acontece, dizemos que ocorreu uma colisão unidimensional. 
Entretanto, pode ocorrer que os corpos se movimentem em direções diferentes, antes ou depois da 
colisão. Nesse caso, a colisão é denominada de colisão bidimensional. 
 
O que é uma Colisão 
 
Segundo o livro Fundamentos de Física I, Halliday Resnick & Walker, uma colisão “é um 
evento isolado no qual dois ou mais corpos (os corpos que colidem) exercem uns sobre as outras forças 
relativamente elevadas por um tempo relativamente curto”. No dia-a-dia dizemos que uma colisão é um 
choque, o contato de dois ou mais corpos. Exemplos: Acidente de automóveis, jogo de sinuca... Contudo, 
não necessariamente há contato entre os corpos para haver uma colisão. Por isso, assumiremos que a 
colisão é uma interação entre partículas. 
 
Conservação do momento linear e da energia durante uma colisão 
 
Vamos considerar duas bolas de bilhar com mesma forma e pesos diferentes. Uma das bolas se 
movimenta em direção a segunda que está em repouso. Depois da colisão as duas bolas se movimentam 
em sentidos contrários. 
 
 
 
As colisões em que não há conservação da energia são dista serem colisões não elásticas. 
A partir da conservação do momentum, nós temos 
 (1) 
Como a colisão é do tipo elástica, a energia cinética também se conserva: 
. (2) 
Agora nós temos duas equações e, portanto podemos usá-las para determinar duas variáveis 
desconhecidas. Se conhecemos as massas e velocidades iniciais, então podemos usar estas duas equações 
para calcular as velocidades após a colisão, v’1 e v’2. Manipulando com as duas leis de conservação acima 
podemos derivar resultados importantes para o estudo das colisões. Para isto, vamos reescrever a equação 
do momentum como a seguir 
 
 (i) 
Procedendo de forma similar com a equação da energia cinética temos que 
 
 (ii) 
Sabendo que (a-b) (a+b) = a2 - b2, a equação acima pode ser redefinida por 
 
 . (iii) 
Dividindo a equação (iii) por (i), assumindo que v1� v’1 e v2� v’2 obtemos, 
. 
ou 
 (3) 
Este resultado é interessante: ele diz-nos que para qualquer colisão elástica do tipo frontal, a 
velocidade relativa das duas partículas antes e depois da colisão tem a mesma intensidade, mas sentido 
oposto não tem nenhuma relação com as massas das partículas. 
Colisões em mais de uma dimensão 
As leis de conservação do momentum e da energia podem ser usadas também no caso de 
colisões em duas ou três dimensões. Nestes casos, a natureza vetorial do momentum tem que ser levada 
em conta. Um tipo comum de colisões bidimensionais é aquela cujo choque entre os objetos ou partículas 
não é frontal. Em geral, uma partícula em movimento colide com a segunda que inicialmente está em 
repouso. Esta situação é comum nos jogos de bilhar, de boliche e nos experimentos em física atômica e 
nuclear. 
 
Colisões elásticas, perfeitamente inelásticas e parcialmente elásticas (ou inelásticas) 
Colisões elásticas 
Numa colisão elástica a energia mecânica e o momento linear dos corpos envolvidos 
permanecem os mesmos antes e depois da colisão. Diz-se que houve conservação de momento linear e 
energia. 
 
Colisõesperfeitamente inelásticas 
Colisões perfeitamente inelásticas são aquelas onde não ocorre conservação de energia 
mecânica, mas somente quantidade de movimento. Após o choque ambos os corpos seguem juntos, como 
um único corpo com a massa igual à soma das massas de todos os corpos antes do choque. A Figura 
ilustra esta colisão para dois corpos. 
 
Colisões parcialmente elásticas 
Existe outro tipo de colisão onde não ocorre conservação de toda a energia cinética do sistema, 
mas somente parte dela. É o que chamamos de colisão parcialmente elástica. Na natureza é difícil de 
encontrar colisões perfeitamente elásticas, encontramos normalmente as parcialmente elásticas. Isto é 
devido à existência de forças dissipativas durante o processo de colisão, como o atrito ou a deformação 
dos corpos, que sempre consomem uma parte da energia cinética original. Nas colisões parcialmente 
elásticas o corpo tem uma velocidade relativa não nula após a colisão. Quando não há velocidade relativa, 
isto é, os corpos movem-se com a mesma velocidade, está caracterizada uma colisão inelástica. 
 
Materiais: 
• Trilho de ar; 
• Cronômetro Manual; 
• Cronômetro digital; 
• Sensor com célula fotoelétrica; 
• Carrinhos apropriados; 
• Trena; 
• Elástico de borracha; 
• Massas. 
 
Método: 
 
1. Monte o equipamento conforme mostrado na figura abaixo. Certifique-se que não exista nenhuma 
tendência de os carrinhos se moverem devido a alguma inclinação indesejada do trilho. 
2. Certifique-se que a massa do carrinho I seja igual à massa do carrinho II. 
3. Dispare o carrinho I contra o carrinho II. Este último deve estar em repouso na posição central do trilho 
(aproximadamente). 
4. Determine a velocidade inicial e final de cada carrinho. 
5. Verifique se houve conservação do momento linear após o choque. 
6. Adicione 100g de massa ao carrinho II (50g em cada um dos lados) e repita os procedimentos dos itens 
(3) (4) e (5). 
7. O que é esperado acontecer quando a massa do carrinho I for maior do que a massa do carrinho II? 
Verifique sua resposta experimentalmente. 
8. Calcule o impulso sofrido por cada um dos carrinhos levando em conta o estado de movimento de 
ambos antes e depois das colisões. 
9. Calcule a energia cinética de cada carrinho antes e depois da colisão e analise os resultados obtidos. 
 
Observação: devido a não ser possível obter sempre a mesma velocidade inicial do carrinho I, não 
se pode repetir as colisões um determinado número de vezes para obter valores médios das 
velocidades inicial e final. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
- INSTITUTO DE FÍSICA - 
Av. Fernando Correa da Costa, 2367 – Boa Esperança 
Cuiabá – MT CEP 78060-900 – Tel. (65)3615 8730 - ifisica@ufmt.br 
 
Dinâmica do Movimento Circular 
 
Objetivos: 
Determinar diversas grandezas envolvidas no movimento circular. Essas grandezas são: 
aceleração angular (α), velocidade angular (ω), deslocamento angular (∆θ), torque (τ). 
 
Resumo da Teoria 
As principais grandezas físicas envolvidas na cinemática do movimento circular (MC) são e 
posição angular (φ), deslocamento angular (∆φ), velocidade angular (ω), aceleração angular (α), 
frequência (f) e período (T). E na dinâmica aparece o torque (τ). 
Posição angular. Define uma posição a partir de um referencial. Normalmente o “zero” do 
referencial é o eixo x do primeiro quadrante, como ilustra a figura abaixo. 
 
Deslocamento angular. Dado duas posições angulares θ1 e θ2 o deslocamento angular (∆φ) é a 
distância angular entre essas duas posições (φ2 - φ1). (Veja a figura 1). 
 
Velocidade angular (ω) assim como a velocidade linear é definida como sendo a distância 
dividida pelo tempo gasto para percorrer essa distância, no caso angular a distância é angular. 
 
Aceleração angular (α) é a variação da velocidade angular em função do tempo: 
 
Período e frequência. O período é definido como sendo o tempo gasto para o objeto realizar 
uma volta completa. E frequência é o inverso do período, significa o número de voltas por unidade de 
tempo. 
Torque (τ), essa grandeza é a grandeza análoga da força nos movimentos de translação, portanto 
o toque é a grandeza responsável por realizar o movimento circular. 
 
Equações do movimento circular uniformemente variado: 
 
Equação horária 
 
Se pensarmos em dividir a expressão acima pelo raio R, teremos: 
 
sendo que 
 
Teremos: 
 
 
 
Equação das velocidades 
V = V0 + at 
 
Se pensarmos em dividir a expressão acima pelo raio R, teremos: 
 
 
Sendo que 
 
 
 
Teremos 
 
 
Equação de Torricelli 
V² = V02 + 2y ∆s 
Se pensarmos em dividir a expressão acima pelo raio R, teremos: 
 
 
 
Sendo que: 
 
 
Teremos: 
 
 
 
Materiais: 
• Disco com tambor para movimento circular; 
• Suporte de metal; 
• Balança; 
• Cronometro; 
• Massas diversas; 
• Paquímetro; 
• Trena. 
 
Metodologia 
1. Monte o sistema como ilustra a figura 1; 
2. 
 
Figura 1: Desenho esquemático da montagem do experimento de movimento circular. 
 
 
 
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CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
DISCO DE MAXWELL 
 
OBJETIVOS: Determinação do momento de inércia da roda de Maxwell. Estudo da transferência de 
energia potencial em energia de translação e de rotação (princípio da conservação de energia no disco de 
Maxwell). 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS: 
O movimento geral de um sistema de partículas inclui translação e rotação. Talvez o exemplo 
mais familiar desse movimento, em que o eixo de rotação mantém direção fixa enquanto o corpo possui 
movimento de translação, é uma roda que esteja rodando. Neste aspecto, o disco de Maxwell é muito 
semelhante, e daí realizarmos estudo de uma roda através do disco. De acordo com o princípio da 
conservação da energia, todo sistema isolado conserva energia. Quando existe atrito, parte dessa energia é 
transformada em calor. O movimento combinado de translação e rotação do disco nos permite fazer 
estudos sobre o movimento angular, trabalho, potência, torque, conforme veremos posteriormente. A 
energia total E do disco de Maxwell pode ser expressa como a soma da energia potencial (Ep), energia 
cinética de translação (ET) e energia cinética de rotação (Er). Se o disco tiver a massa m e o momento de 
inércia IZ no seu eixo de rotação, podemos escrever as seguintes equações: 
Onde: w representa a velocidade angular, v é a velocidade de translação, g é a aceleração da 
gravidade e s é a altura (negativa). 
A qual se reduz a: 
 
 E = -m.g.s(t)+1/2(m+Iz/r2).v(t) 
 
 
MATERIAL UTILIZADO: 
1. Disco de Maxwell; 
2. Fios; 
3. 2 hastes grandes; 
4. 1 muflas; 
5. 2 tripés; 
6. 1 haste pequena; 
7. 1 régua milimetrada com cursor; 
8. 1 paquímetro; 
9. 1 cronometro; 
10. Balança ou dinamômetro;