filtrosdigitais

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Tratando-se em comunicação de dados normalmente nos depararmos com ruído e interferência em um canal de comunicação, ao receber uma transmissão em um receptor, é necessário que se trate o ruído antes de manipular a informação em si. O processo de tratamento do ruído pode ser feito utilizando -se de filtros digitais ou analógicos. 
 Um filtro digital é um filtro que processa sinais digitais utilizando um conversor analógico-digital (ADC), digitaliza-se o sinal a filtrar, em seguida este é processado por algum tipo de processador, onde está programado o filtro digital. Para se obter de novo um sinal analógico já filtrado, coloca-se um conversor digital-analógico (DAC). 
 Comparando filtros digitais e analógicos, podemos apontar várias vantagens e desvantagens de um ou de outro, em geral, filtros analógicos são mais baratos, rápidos e possuem uma grande faixa dinâmica de amplitude e frequência, a durabilidade dos componentes eletrônicos que constituem um filtro analógico é muito menor que a durabilidade do equipamento de aquisição e processamento de sinal que constitui o filtro digital, a relação sinal-ruído, SNR (signal-to-noise ratio), que é a relação entre a potência do sinal e a potência do ruído dos filtros digitais é muito maior e consegue-se facilmente implementar filtros de ordem elevada, maior facilidade de manipulação e modificação, pois sua implementação é por software/firmware. Já o analógico, em geral, é um circuito lógico com capacitores, indutores, resistores, diodos e transistores, que precisa de uma modificação física para fazer alguma alteração. 
O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir:
O bloco conversor A/D converte o sinal de tempo contínuo x(t) em uma sequência x[n]. O filtro digital processa a sequência x[n], resultando em outra sequência y[n], que representa o sinal filtrado na forma digital. Este sinal y[n] é então convertido para um sinal de tempo contínuo por um conversor D/A e reconstruído através de um filtro passa-baixas, cuja saída é o sinal y(t), que representará a versão filtrada do sinal x(t).
Existem 3 formas de representar um filtro digital:
Resposta a impulso: saída do sistema quando aplica-se um impulso na entrada
Resposta a degrau: saída do sistema quando aplica-se um degrau na entrada. Formas de obter:
– coloque um degrau na entrada e verifique a saída
– integre a resposta a impulso (running sum)
Resposta em frequência: Calcule a DFT da resposta ao impulso. Pode ser representada de duas formas:
– Escala de amplitude linear: melhor para visualizar ripple na banda de passagem
– Escala de amplitude logarítmica: melhor para verificar a atenuação na banda de rejeição
Formas de representação dos filtros 
 Cada uma destas formas tem informações completas sobre o filtro, mas de formas diferentes, onde se uma delas estiver disponível, é sempre possível obter as outras, todas estas formas são importantes, pois descrevem como o filtro irá reagir sob circunstâncias diferentes.
Os filtros digitais são caracterizados em duas classes, dependendo da duração da sequência y[n] quando aplicado em sua entrada um sinal do tipo impulso. Os filtros são:
1 - Filtro FIR  ( Finite Impulse Response) - Um filtro FIR ou de resposta ao impulso finita é um tipo de filtro digital caracterizado por uma resposta ao impulso que se torna nula após um tempo finito. Filtros do tipo FIR têm como características básicas além da resposta ao impulso finita, natureza não recursiva, estabilidade BIBO (Bound ed In, Bo unded Out), fase linear e memória finita. O projeto desse tipo de filtro procura aproximar uma resposta ao impulso desejada e sua resposta ao impulso de ordem “M” corresponde à “M+1” coeficientes deste filtro, portanto o projeto significa, na prática, escolher de modo a ajustar sua resposta em frequência ao que se deseja. Em geral os filtros FIR são descritos pela seguinte equação:
 
 Diagrama de Blocos do Filtro FIR 
 Se as saídas do sistema dependem somente da entrada presente e de um número finito de entradas passadas, então o filtro tem uma resposta impulsiva finita. Devido ao fato de que os valores de saída passados não influenciam no cálculo dos valores de saída presentes, este filtro também é chamado de filtro não-recursivo
Projeto de Filtros FIR
 Existem duas implementações eficientes adotáveis para filtros FIR: implementação no domínio do tempo e implementação no domínio da frequência [ROC 84]. A implementação no domínio do tempo utiliza poucos coeficientes do filtro e efetua a filtragem através de uma convolução do sinal de entrada com estes coeficientes. Esta implementação é bastante eficiente quando a ordem do filtro não é grande (tipicamente abaixo de 32). A implementação no domínio da freqüência modela a curva de resposta em freqüência desejada com o mesmo número de pontos do sinal de entrada. Então, é feita a FFT do sinal e o resultado é multiplicado no domínio da freqüência pela curva desejada. Após ser efetuada a FFT inversa do sinal resultante, obtemos um sinal no domínio do tempo filtrado da melhor forma possível dentro daquele espaço amostral. A desvantagem deste método é que se necessita efetuar duas FFTs, uma direta e uma inversa, além de que este método só pode ser utilizado em aplicações que não exijam processamento em tempo real e onde o número de amostras consideradas é fixo e limitada ao tamanho da maior matriz suportada pelos algoritmos utilizados.
 Uma vez que os filtros FIR apresentam resposta em frequência com fase linear, o projeto deste filtros resume-se a aproximar a resposta em módulo desejada. Admitindo h[n] como sendo a resposta ao impulso de um filtro FIR, sendo H(ejΩ) a transformada discreta de Fourier de h[n]. Uma vez definida a ordem do filtro, por exemplo M, deve-se então determinar os ak , k=0,1,…,M, coeficientes do filtro.
 O objetivo na determinação dos coeficientes é que H(ejΩ) forneça uma boa aproximação de Hd(ejΩ), que é a função resposta em frequência desejada ao longo do intervalo de frequências –π < Ω ≤ π. Uma forma de avaliar a qualidade desta aproximação é através do erro médio quadrático entre hd[n] e h[n], ou seja
 Os únicos parâmetros ajustáveis na equação anterior são os coeficientes do filtro H(ejΩ), ak , k=0,1,…,M, sendo a medida do erro minimizada fazendo
 A relação apresentada anteriormente equivale ao uso de uma janela retangular definida por:
Portanto:
Que é conhecido como o método da janela.
A convolução de W(ejΩ) com Hd(ejΩ) resulta em uma aproximação oscilatória da função resposta em frequência desejada por H(ejΩ) do filtro FIR. Tais oscilações podem ser reduzidas modificando-se a janela a ser utilizada.
Resposta em frequência da janela retangular.
Uma janela comumente utilizada é a janela de Hamming, definida por:
Característica da janela de Hamming
Resposta de frequência das duas janelas
Pelo apresentado nas curvas de resposta em frequência das duas janelas conclui-se:
1 - O lóbulo principal da janela retangular tem aproximadamente a metade da largura do lóbulo principal da janela de Hamming;
2 - A magnitude dos lóbulos laterais da janela de Hamming são bem mais reduzidos se comparados com o da janela retangular.
Segue abaixo exemplo para comparação entre as duas janelas, considere a resposta em frequência desejada:
que representa a função resposta em frequência de um filtro passa baixas ideal, com fase linear. Avaliar a resposta em frequência para M=12, Ωc=0.2π, sendo:
(a) janela retangular
(b) janela de Hamming.
Solução:
 Coeficientes normalizados para | H(z) |z=1 = 1
Técnica de janelamento no projeto de filtro fir de fase linear
Com relação à resposta ao impulso, se um sistema for implementado através de uma equação de diferenças quenão contenha termos recursivos, a resposta ao impulso deve ser finita para ser implementável. O termo recursivo ocorre quando a saída não realimenta a entrada e este tipo de filtro é denominado FIR (do inglês Finite Impulse Response ou Resposta Finita ao Impulso). Os Filtros com resposta ao impulso limitada possuem algumas vantagens em sua implementação. Pelo fato de serem finitos, filtros FIR sempre serão estáveis.
 Aplicar uma janela a um sinal no domínio do tempo é equivalente a multiplicar o sinal pela função que representa a janela. Devido á multiplicação no domínio do tempo ser equivalente a convolução no domínio da frequência, o espectro de um sinal janelado é a convolução do espectro do sinal original com o espectro da janela. Dessa maneira, o janelamento modifica a forma do sinal tanto no domínio do tempo quanto no da frequência. Uma forma bastante direta de obter um filtro de duração finita é truncando a resposta ao impulso infinita de um filtro ideal.
2. Filtros IIR (Infinite Impulse Response) - Este tipo de filtro digital calcula a saída baseado não apenas nos sinais de entrada, mas também com base nas saídas anteriores. Ou seja, há um componente recursivo neste tipo de filtro. Por conta disso, ele pode gerar uma saída mesmo na ausência de sinal de entrada, daí a qualidade "infinita". Um filtro IIR pode funcionar como oscilador ou gerador de sinais, por exemplo.
 Um filtro IIR pode ser expresso como uma equação diferencial discreta, que define a saída em termos das saídas anteriores, e com base nas entradas passadas. Uma equação muito popular dessa classe é a sequência de Fibonacci:
Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)
 Já que um filtro IIR funcional pode ser definido por uma simples equação, como a série de Fibonacci ilustrada acima, é possível fazer muita coisa com pouca capacidade computacional. Nesse sentido, um filtro IIR é muito mais poderoso que um filtro FIR.
No diagrama de blocos apresentado abaixo do filtro IIR, podemos observar os termos, k=0,1,…,M , e os termos , j=1,…, N, são os termos da função de transferência Y(z)/X(z), normalizados pelo termo b0 .
Principais características dos filtros IIR.
– operam de forma recursiva.
– têm um desempenho bom, em relação ao seu comprimento.
– são mais rápidos que os filtros FIR.
– podem se tornar instáveis.
Projeto de Filtros IIR
 No caso dos filtros IIR, o problema da aproximação para o projeto de filtros digitais não é conceitualmente diferente ao problema para projeto de filtros analógicos. A abordagem para o projeto de filtros analógicos envolve uma aproximação analítica das especificações do filtro por uma função de transferência, a partir da qual projeta-se uma rede analógica que implemente esta função. Uma função de transferência realizável é uma das características de uma rede linear estável e causal. Estas características podem ser obtidas fazendo com que a função de transferência seja uma função racional de s com coeficientes reais, que os polos do filtro analógico estejam na metade esquerda do plano s e o grau do numerador seja igual ou menor que o grau do polinômio denominador.
 O problema do projeto de filtros digitais requer a determinação dos coeficientes da equação diferencial para preencher as características desejadas para o filtro, como resposta em frequência. Como já existem abordagens clássicas para o projeto de filtros analógicos, foram desenvolvidas aproximações que mapeiam os polos e zeros analógicos do plano s para o plano z, de forma a alcançar as características desejadas do filtro digital. A abordagem tradicional para o projeto de filtros IIR envolve a transformação de um filtro analógico em um filtro digital, com as mesmas especificações. Esta é uma abordagem razoável, porque:
A tecnologia de projeto de filtros analógicos está bastante avançada e, desde que resultados úteis possam ser alcançados, é vantajoso utilizar procedimentos já desenvolvidos para filtros analógicos. 
Muitos métodos de projetos analógicos têm formulas de projeto relativamente simples. Desta maneira, métodos de projetos de filtros digitais baseados nestas fórmulas são também simples de implementar. 
 3. Em muitas aplicações é de interesse utilizar filtros digitais para simular o desempenho de um filtro analógico.
 Uma das formas de projetos de filtros digitais do tipo IIR é através da aproximação entre funções de transferências contínuas por funções de transferências discretas equivalentes. Desta forma, considera-se a seguinte aproximação em tempo discreto da função integração.
Aplicando na equação anterior o operador z, obtém-se:
Implicando na seguinte aproximação:
De forma semelhante pode-se representar z em função de s, ou seja:
Admitindo s=σ+jω pode-se definir regiões do Plano s e suas regiões equivalentes no Plano z.Ou seja:
Portanto, tem-se resultando nas seguintes propriedades para este tipo de aproximação:
1. O semiplano esquerdo do Plano s é mapeado no interior do círculo de raio unitário no Plano z;
2. O eixo jω é inteiramente mapeado sobre o circulo de raio unitário do Plano z;
3. O semiplano direito do Plano s é mapeado no exterior do círculo de raio unitário no Plano z.
 Uma implicação imediata da propriedade 1 é que se o filtro analógico representado pela função de transferência Ha(s) for estável e causal, o filtro digital dele derivado através da transformação bilinear será garantidamente estável e causal. Para σ = 0, tem-se Ω = 2 tg-1(ωT/2), concluindo-se que a faixa de frequência -∞ < ω < ∞, é comprimida em uma faixa finita de frequências contida no intervalo –π < Ω < π de um filtro digital. Esta forma de distorção não linear é conhecida como warping.
 Tal distorção de fase pode ser compensada no projeto do filtro analógico através de um procedimento denominado pré-warping. Especificamente, para as frequências críticas (frequências de corte para a faixa de passagem e de rejeição), o procedimento de pré-warping é realizado de acordo com a relação:
Exemplo: Usando um filtro analógico com uma função de transferência de Butterworth de ordem 3, projetar um filtro IIR passa baixas com frequência de corte Ωc= 0.2π .
Projetos de Filtros IIR – Curva de Magnitude
Projetos de Filtros IIR – Resposta ao Impulso