Calculo Aplicado

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.Na lógica matemática, podemos distinguir três formas de raciocínio lógico: a dedução, a indução e a abdução.
O QUE LÓGICA? A lógica matemática é o estudo de proposições (sentenças declarativas) de tal forma que nos permita raciocinar corretamente na investigação da verdade.
PROPOSIÇÃO: É um conjunto de palavras ou de símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. Somente um de dois valores lógicos é possível: Verdadeiro – Falso
Uma proposição pode ser: Simples ou atômica, quando representada de forma única, ou seja, uma única sentença declarativa. Não contém outra proposição como parte de si mesma; é um pensamento singular;
Composta ou molecular: quando constituída por duas ou mais proposições simples, interligadas por meio de conectivos (e, ou, não, se, então, se e somente se). Os conectivos são termos usados para formar novas proposições, a partir de proposições existentes.
Uma proposição é simples ou atômica ou é composta ou molecular. Simples: - Nelson é professor. Composta: - Paulo é estudante e Maria é – enfermeira
- Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição); Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído).
Quando uma sentença não é uma proposição? 
- sentença interrogativa;
 - sentença exclamativa;
 - sentença imperativa;
 - poema; 
- sentença aberta.
OPERAÇÕES LÓGICAS
 Negação ( ~ ) ~p: lê-se não p 
Conjunção ( ∧ ) p ∧ q: lê-se p e q 
Disjunção ( ∨ ) p ∨ q : lê-se p ou q
Disjunção exclusiva p ∨ q: lê-se ou p ou q 
Proposição condicional p → q: lê-se se p então q 
Proposição bicondicional p ↔ q: lê-se p se e somente se q.
TAUTOLOGIA: Uma proposição composta é uma tautologia quando seu valor lógico é V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. Ex.: p ∨ ~(p ∧ q)
CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta é uma contradição quando seu valor lógico é F quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. Ex.: (p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ q)
CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta é uma contingência (ou indeterminação) sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Assim, em uma contingência, no conjunto solução sempre aparece V e sempre aparece F, pelo menos uma vez. Ex.: p ↔ (p ∧ q)
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q 
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q 
~(p → q) = p ∧ ~q
Estatística
A Estatística é a parte da Matemática que coleta, analisa e interpreta dados numéricos para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais.
A Estatística se divide em Estatística Descritiva e Estatística Indutiva. A Descritiva (ou Dedutiva) tem o objetivo de descrever e analisar os dados de determinada população ou de uma amostra dessa população. Tais dados são obtidos por meio de questionários, entrevistas e medições. A Indutiva (ou Inferência Estatística) tem como propósito se preocupar com o raciocínio necessário para, a partir dos dados obtidos, tirar conclusões gerais. Assim, a estatística Indutiva, a partir de uma amostra, nos permite tirar conclusões sobre a população a qual aquela amostra pertence. A isso denominamos Inferência Estatística. 
Mediana
Mediana, por definição, é o valor que ocupa a posição central dos dados obtidos em uma pesquisa. Lembre que, para se identificar esse ponto central, é necessário colocar os dados em ordem crescente ou decrescente, ou seja, no formato de um rol. 
Moda
No nosso dia a dia percebemos que algo está na moda porque o vemos com muita frequência. Tal qual acontece com o nosso dia a dia, na estatística definimos Moda como sendo aquele valor que aparece com a maior frequência no resultado de uma pesquisa.
Dispersão: Amplitude e Desvio Médio
Quando se tem os resultados de uma pesquisa e, a partir dos mesmos, determinamos a Média, a Mediana e a Moda, nem sempre esses resultados são suficientes para a tomada de uma importante decisão. Para complementar essas medidas de tendência central, temos as medidas de dispersão, ou de afastamento. Para determinarmos a amplitude total de um conjunto de valores, subtraímos o valor menor do valor maior encontrado na pesquisa. Para conhecermos o Desvio Médio (Dm) dos valores de uma pesquisa, precisamos primeiramente calcular a Média Aritmética desses valores. Em seguida, verificar o quanto cada um dos valores está afastado dessa média, positiva ou negativamente. Todos os valores deverão ser considerados, sem exceção.
Dispersão: Variância e Desvio Padrão
O nosso objetivo é a determinação do desvio padrão desses dados. Para tal, precisamos primeiramente calcular a variância, que representaremos por S elevado ao quadrado. O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada na prática. Nós o representaremos por S. Logo, o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.
Probabilidade é o estudo de fenômenos aleatórios. Um fenômeno ou experimento aleatório é aquele que pode ser repetido muitas vezes e sempre sob as mesmas condições. Não podemos afirmar qual o resultado que será obtido no experimento em cada tentativa. Entretanto, sabemos qual a probabilidade de ocorrência de cada resultado possível. Por exemplo, o lançamento de uma moeda é um experimento aleatório. Antes de lançá-la, não sabemos qual o resultado que será obtido, mas sabemos que ou será cara, ou será coroa.
Distribuição Binomial de Probabilidades
A distribuição de probabilidades é um modelo matemático para a distribuição real de frequências de uma pesquisa, na qual a variável x é uma variável aleatória. A distribuição binomial é utilizada quando a variável aleatória é discreta. Pode ser aplicada quando o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli. O que é isso? É um processo de amostragem no qual:
Cada tentativa do experimento só resulta em dois possíveis resultados: sucesso (e fracasso (q); p + q = 1;)
Cada tentativa é independente das demais;
A probabilidade de sucesso (p) é constante, ou seja, é sempre a mesma em todas as tentativas.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é utilizada quando a variável aleatória é discreta e expressa a probabilidade de ocorrência de uma série de eventos em determinado tempo, sendo que cada evento ocorre independentemente de quando ocorreu o último evento. Para sua utilização, precisamos conhecer o número médio de sucessos relativo à variável de interesse. Observe que, enquanto na Distribuição Binomial o experimento está totalmente sob controle, o mesmo não acontece na aplicação da Distribuição de Poisson.
Distribuição Normal
A distribuição Normal de probabilidades é utilizada quando a variável aleatória é contínua, representada por uma curva que é conhecida por vários nomes: curva Normal, curva em forma de sino ou curva de Gauss. É uma curva simétrica em relação à média e é uma curva mesocúrtica. A Distribuição Normal é então utilizada quando desejamos calcular a probabilidade de ocorrência de um evento dentro de um intervalo pré-definido de valores.
Construção e tipos de gráficos
Gráfico é uma representação do resultado de uma pesquisa a partir de dados coletados, ordenados e dispostos em uma tabela.
O propósito de se transformar uma tabela em um gráfico é permitir uma rápida e fácil visualização dos resultados, o que torna a análise e a interpretação desses resultados mais objetiva.
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, sejam iguais aos valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente.
O Valor Presente Líquido (VPL), também conhecido como Valor Atual Líquido (VAL), é a fórmula matemático-financeira utilizada para determinar o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros estipulada, menos o custo do investimento inicial. Basicamente, o VPL é utilizado para se analisar se um investimento deve ou não ser feito.
Rendas
Assim, a definição completa de Renda é: uma sucessãode pagamentos, recebimentos ou de depósitos. Ela tem características próprias quanto ao prazo, quanto ao valor, quanto à periodicidade e quanto à forma de pagamento.
E quando a Renda se denomina Modelo Básico?
É quanto, simultaneamente, a renda é temporária (ou seja, sabemos quantas são as parcelas), constante (as parcelas são todas iguais), periódica (o intervalo entre as parcelas é sempre o mesmo), imediata (não tem carência) e postecipada (não tem entrada).
Modelo Básico de Renda
Entendemos por modelo básico de renda a série uniforme de pagamentos ou de recebimentos que for, simultaneamente, temporária, constante, imediata postecipada e periódica.
Na amortização de uma dívida que segue esse modelo básico, os juros crescem em progressão geométrica.
Para determinarmos o valor atual (ou valor presente) de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto de cada parcela da renda, ou seja, calculamos o valor atual de cada parcela da série de pagamentos ou recebimentos pelo desconto racional composto e, em seguida, somamos os valores assim encontrados.
Renda antecipada
A renda é antecipada em relação ao valor atual quando a primeira parcela ocorre na data zero, ou seja, é dada uma entrada de mesmo valor que as demais parcelas.
Para o cálculo do valor atual de rendas antecipadas, utiliza-se o mesmo conceito de rendas postecipadas. No entanto, como os pagamentos ou recebimentos ocorrem com a antecipação de um período, multiplica-se a fórmula original (a do modelo básico de renda) por (1 + i).
Rendas diferidas são aquelas em que existe um prazo de carência. Também podem ser postecipadas ou antecipadas.
Rendas diferidas antecipadas em relação a um valor atual são aquelas em que a primeira parcela vence juntamente com a carência, enquanto rendas postecipadas são aquelas em que a primeira parcela vence um período após a carência.
Quando estamos efetuando cálculos sobre rendas diferidas, utilizamos as fórmulas do modelo básico de renda (ou de renda antecipada) e as fórmulas de capitalização composta.
Taxa Interna de Retorno – TIR
Taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é a taxa de juros compostos (taxa de desconto) que anula o seu valor presente (valor atual), sendo necessário observar o valor algébrico das suas parcelas dentro do seguinte critério:
Os recebimentos (ou depósitos) terão sinal positivo, por representarem entradas de caixa;
Os pagamentos terão sinal negativo, por representarem saídas de caixa.
Valor Presente Líquido – VPL
Em determinados momentos, uma empresa está na dúvida se deve investir ou não em determinado negócio, em determinada máquina, enfim, em determinado projeto.
O VPL, é uma ferramenta para a tomada de decisão. Consiste em se trazer para o dia zero (valor atual) cada valor futuro de uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos. Do somatório desses valores atuais, deduz-se o valor do investimento a ser feito e obtém-se o chamado VPL. Quando o VPL for nulo ou positivo, o negócio deve ser feito, pois significa que teremos um rendimento igual ou superior à Taxa Mínima de Atratividade. Caso contrário, o negócio deve ser rejeitado.
Construção de um gráfico: Os gráficos podem ser classificados em cinco tipos básicos: diagramas, cartogramas, organogramas, fluxogramas e estereogramas.
Juros
Por que utilizar juros? Porque há importantes fatores a considerar: 
a) RISCO, pois há probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro; 
b) DESPESAS de ordem operacional, contratual e tributária para formalização do empréstimo e para a efetivação da cobrança; 
c) INFLAÇÃO, ou seja, a desvalorização da moeda durante o prazo previsto para o empréstimo; d) NECESSIDADE de se remunerar o dono do capital, pois o mesmo almeja lucro.
Desconto comercial – aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal do título (ou seja, sobre o valor da dívida no dia do vencimento) 
 Desconto racional – aplicando-se a taxa de desconto sobre o valor da dívida no momento da sua quitação.
O regime de capitalização determina a forma de se acumularem os juros. Caso os juros incidam somente sobre o capital inicial, trata-se de juros simples. Caso os juros incidam sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente, trata-se de juros compostos.
VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL:
 Imaginemos um capital C aplicado a uma taxa i por um período de tempo n. Valor nominal é o valor obtido ao final do período de tempo n, isto é, na data do vencimento do compromisso. Valor atual é o valor obtido em qualquer período n, localizado antes do final do compromisso.
Quanto ao prazo, as rendas podem ser: 
Temporárias, com duração limitada (prestações de uma geladeira) 
 Perpétuas, com duração ilimitada (aluguel, condomínio)
Quanto ao valor dos recebimentos ou dos pagamentos, temos rendas: 
 Constantes, com todos os pagamentos ou recebimentos em valores iguais 
 Variáveis, quando os pagamentos ou recebimentos não são de valores iguais
Quanto à forma, os pagamentos ou recebimentos se classificam em:
a) Imediatos - quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre no primeiro período.
Postecipados: no final do período, ou seja, sem entrada.
Antecipados: no início do período, ou seja, com entrada igual às demais prestações.
b) Diferidos - quando o primeiro pagamento ou recebimento não ocorre no primeiro período
Postecipadas: isto é, o primeiro pagamento ou recebimento ocorre um período após o término da carência ou diferimento;
Antecipados: quando desconsiderada a carência, temos uma situação idêntica à das rendas imediatas antecipadas, isto é, o primeiro pagamento ou recebimento coincide com o final da carência ou diferimento.
Quanto à periodicidade, as rendas podem ser: 
Periódicas, quando todos os intervalos entre os pagamentos ou recebimentos são iguais;
Não periódicas, quando os intervalos não são iguais entre as parcelas.
O modelo mais comum de renda é aquele que apresenta as seguintes características: Sabemos quantas são as parcelas; portanto, é temporária
As parcelas são todas iguais; portanto, é constante. 
Nos preocupamos imediatamente com o pagamento das parcelas; portanto, não há carência. 
É postecipada; portanto, não há entrada.
 O intervalo entre sucessivas parcelas é constante; portanto, é periódica.