Apostila Física Geral I

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Universidade do Vale do Para´ıba
Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo
APOSTILA DE FI´SICA GERAL I
Profa. Dra. Aˆngela Krabbe
Ao Aluno
Esta apostila sera´ elaborada ao longo da disciplina de F´ısica Geral I, ministrada nos
cursos das Engenharias da Univap.
A apostila sera´ uma compilac¸a˜o das notas de aula que estara˜o fundamentadas nos
livros listados na bibliografia recomendada.
Estas notas de aula na˜o substituira˜o o uso dos livros textos, mas podera˜o auxilia´-lo no
entendimento dos conteu´dos dessa disciplina. Recomenda-se que o emprego desses livros
seja utilizado para uma melhor compreensa˜o dos conteu´dos desse curso.
Sa˜o Jose´ dos Campos, 2017
1
Contents
1 Introduc¸a˜o 3
1.1 O Sistema Internacional de Unidades (SI) e a Notac¸a˜o Cient´ıfica . . . . . . 3
1.1.1 Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Movimento Unidimensional 9
2.1 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Posic¸a˜o e Trajeto´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Velocidade Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2
1
Introduc¸a˜o
A f´ısica comec¸a com a observac¸a˜o. Para entender o que e´ a f´ısica e´ preciso observar
a natureza, os fenoˆmenos naturais que essa cieˆncia visa explicar e compreender. A F´ısica
investiga os fenoˆmenos e as estruturas mais fundamentais da natureza, possibilitando que a
humanidade compreenda aspectos cada vez mais complexos. Desta forma, o homem pode
criar sistemas, dispositivos e materiais artificiais que tem contribu´ıdo para o progresso
tecnolo´gico.
Medindo grandezas
Medimos cada grandeza f´ısica em unidades apropriadas por comparac¸a˜o com um
padra˜o. Por exemplo, o padra˜o de comprimento, que corresponde a exatamente 1 m,
e´ a distaˆncia percorrida pela luz, no va´cuo, durante uma certa frac¸a˜o de segundo. Em
princ´ıpio, podemos definir uma unidade e seu padra˜o de qualquer forma, mas e´ importante
que cientistas em diferentes partes do mundo concordem que nossas definic¸o˜es sa˜o ao
mesmo tempo razoa´veis e pra´ticas.
1.1 O Sistema Internacional de Unidades (SI) e a
Notac¸a˜o Cient´ıfica
Existem sete grandezas fundamentais, as quais constituem a base do Sistema Interna-
cional de Unidades. Elas sa˜o mostradas na tabela abaixo. No nosso curso, utilizaremos
apenas as treˆs primeiras grandezas: Comprimento, Massa e Tempo.
Muitas outras unidades derivadas do SI sa˜o definidas em termos destas unidades acima.
Para expressarmos grandezas muito grandes ou muito pequenas frequ¨entemente encon-
tradas na f´ısica usamos a notac¸a˜o cient´ıfica, que emprega poteˆncia de 10. Nesta notac¸a˜o:
3
Figure 1.1: Variac¸a˜o na densidade da a´gua a` pressa˜o atmosfe´rica com a temperatua.
3 560 000 000 m = 3,56 x 109 m.
0,000 000 492 s = 4,92 x 10−7 s.
Nos computadores a notac¸a˜o cient´ıfica a`s vezes assume uma forma mais abreviada,
como 3,56E9 ou 4,92E-7, onde E e´ usado para designar o “expoente de dez”. Em algumas
calculadoras a notac¸a˜o e´ ainda mais abreviada, com o E substitu´ıdo por um espac¸o em
branco.
Tambe´m por convenieˆncia, quando lidamos com grandezas muito grandes ou muito
pequenas usamos prefixos. Os prefixos do SI permitem escrever quantidades sem o uso da
notac¸a˜o cient´ıfica, de maneira mais clara para quem trabalha em uma determinada faixa
de valores. Os prefixos oficiais sa˜o sa˜o mostrados na figura 1.3.
Figure 1.2: Prefixos oficiais
4
Assim, podemos expressar uma certa poteˆncia ele´trica como
1,27 x 109 watts = 1,27 gigawatt = 1,27 GW
ou um certo intervalo de tempo como
2,35 x 10−9 s = 2,35 nanosegundos = 2,35 ns.
1.1.1 Comprimento
Em 1792, o metro foi definido como como um de´cimo de milione´simo da distaˆncia entre
o po´lo norte e o equador. Mais tarde, por razo˜es pra´ticas, esse padra˜o foi abandonado e
o metro veio a ser definido como a distaˆncia entre duas linhas finas gravadas perto das
extremidades de uma barra de platina-ir´ıdio, a barra do metro padra˜o, mantida no Bureau
Internacional de Pesos e Medidas, nas vizinhanc¸as de Paris. Re´plicas precisas desta barra
foram enviadas a laborato´rios de padronizac¸a˜o em va´rias partes do mundo. A Fugura ??
mostra a barra de platina-ir´ıdio utilizada como proto´tipo do metro de 1889 a 1960.
Figure 1.3: Barra de platina-ir´ıdio utilizada como proto´tipo do metro de 1889 a 1960
Com o passar do tempo, um padra˜o mais preciso se tornou necessa´rio. Em 1983, o
metro foi definido como:
O metro e´ a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo durante um intervalo
de tempo de 1/299 792 458 de segundo.
Este intervalo de tempo foi escolhido para que a velocidade da luz c seja exatamente:
c = 299 792 458 m/s
Nesta ocasia˜o, as medidas da velocidade da luz ja´ haviam se tornado precisas.
1.1.2 Tempo
O tempo tem dois aspectos. No dia-a-dia e para alguns fins cient´ıficos queremos saber a
hora do dia para podermos ordenar eventos em sequ¨eˆncia. Em muitos trabalhos cient´ıfico
estamos interessados em conhecer a durac¸a˜o de um evento. Assim, qualquer padra˜o deve
ser capaz de responder as duas perguntas: “Quando isso aconteceu?” e “Quanto tempo
isso durou?”
5
Em 1967, a 13a Confereˆncia Geral de Pesos e Medidas adotou como padra˜o de tempo
um segundo baseado no relo´gio de Ce´sio:
Um segundo e´ o intervalo de tempo que corresponde a 9 192 631 770
oscilac¸o˜es da luz (de uma transic¸a˜o atoˆmica espec´ıfica) emitida por um
a´tomo de ce´sio-133.
Os relo´gios atoˆmicos sa˜o ta˜o esta´veis que, em princ´ıpio, dois relo´gios de ce´sio teriam
de funcionar por 6000 anos para que a diferenc¸a entre suas leituras fosse maior do que 1
segundo. Relo´gios ainda mais precisos esta˜o sendo desenvolvidos.
1.1.3 Massa
O padra˜o de massa do SI e´ um cilindro de platina-ir´ıdio mantido no Bu-
reau Internacional de Pesos e Medidas, ao qual foi atribu´ıda, por acordo
internacional, a massa de 1 quilograma.
Co´pias precisas foram enviadas a laborato´rios de padronizac¸a˜o de outros pa´ıses, e as
massas de outros corpos podem ser determinadas comparando-os com uma dessas co´pias.
As massas dos a´tomos podem ser comparadas entre si mais precisamente do que com
o quilograma-padra˜o. Por essa raza˜o, temos um segundo padra˜o de massa, o a´tomo de
carbono-12, ao qual de acordo por acordo internacional, foi atribu´ıda uma massa de 12
unidades atoˆmicas (u). A relac¸a˜o entre as duas unidades e´:
1 u = 1,66053886 x 10−27 kg, com incerteza de ± 10 nas duas u´ltimas casa decimais.
Exerc´ıcios
1. Usando fatores de conversa˜o apropriados, determine.
a) 55 mi/h em m/s
b) 10 cm3 em km3
c) 10 km/h em m/s
d) 100 m/s em km/h
R.: a) 24,6 m/s; b) 1 x 10−14 ; c) 2,78 m/s; d) 360 km/h
2. Ano-luz e´ uma unidade de comprimento igual a` distaˆncia percorrida pela luz em um
ano. Calcule o fator de conversa˜o entre anos-luz e metros. Determine a distaˆncia
da estrela Proxima Centauri, de 4,2 anos-luz, em metros.
R.: 9,48 x 1015 m; 4 x 1016 m.
6
3. O micrometro (1 µ m) e´ tambe´m chamado de mı´cron.
(a) Quantos mı´crons tem 1 km?
(b) Que frac¸a˜o do cent´ımetro e´ igual a 1 µm ?
R.: a) 109 µm; b) 10−4 cm.
4. A distaˆncia entre as cidades Rio de Janeiro e Sa˜o Paulo e´ de aproximadamente 430
km. Qual e´ a distaˆncia Rio-Sa˜o Paulo em:
a) Cent´ımetros?
b) Metros?
c) Megametro?
d) Mil´ımetro?
R.: a) 4,3 x 107 cm b) 4,3 x 105 m c) 4,3 x 10-1 Mm; d) 4,3 x 108 mm.
5. A planta de crescimentomais ra´pido de que se tem not´ıcia e´ uma Hesperoyucca
whipplei, que cresceu 3,7 m em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da
planta em:
a) Metros por segundos?
b) Metros por hora?
c) Microˆmetro por segundo?
R.: a) 3,06 x 10−6 m/s; b) 0,011m/h; c) 3,06 µm/s.
6. Como a velocidade de rotac¸a˜o da Terra esta´ diminuindo gradualmente, a durac¸a˜o
dos dias esta´ aumentando: o dia no final de 1,0 se´culo e´ 1,0 ms mais longo que o
dia no in´ıcio do se´culo. Qual e´ o aumento da durac¸a˜o do dia apo´s 20 se´culos em: a)
milisegundos?
b) Minutos?
c) Horas?
7. A Terra tem uma massa de 5,98 x 1024 kg. A massa me´dia dos a´tomos que compo˜em
a Terra e´ 40 u. Quantos a´tomos existem na Terra?
R.: 9,00 x 1049 a´tomos.
8. Uma unidade astronoˆmica (UA) e´ a distaˆncia me´dia entre a Terra e o sol, aproxi-
madamente 1,50 x 108 km. A velocidade da luz e´ aproximadamente 3,0 x 108 m/s.
Expresse a velocidade da luz em unidades astronoˆmicas por minuto.
R.: 0,12 UA/min.
9. Uma pessoa que esteja de dieta pode perder 2,3 kg por semana. Expresse a taxa
de perda de massa em miligramas por segundo, como se a pessoa pudesse sentir a
perda segundo a segundo.
R.: 3,8 mg/s.
7
10. A Terra e´ uma esfera de raio aproximadamente igual a 6,37 x 106 m.
(a) Qual e´ a sua circunfereˆncia, em quiloˆmetros?
(b) Qual e´ a a´rea da superf´ıcie, em quiloˆmetros quadrados?
(c) Qual e´ o seu volume em quiloˆmetros cu´bicos?
R.: a) 4 x 104 km; b) 5,10 x 108 km2; c) 1,08 x 1012 km3 .
11. Suponha que um depo´sito de 5700 m3 de a´gua seja drenado em 12 h. Qual a vaza˜o
em massa de a´gua (em kg/s)? A densidade da a´gua e´ de 1000 kg/m3
R.: 132 kg/s.
8
2
Movimento Unidimensional
A palavra F´ısica vem do grego “physics” que significa natureza. Assim, F´ısica e´ a
cieˆncia que estuda a natureza e seus fenoˆmenos.
Um dos propo´sitos da F´ısica e´ estudar o movimento dos objetos: a rapidez com que
se movem, por exemplo, ou a distaˆncia percorrida em um dado intervalo de tempo. Os
geo´logos usam essa f´ısica para estudar os movimentos das placas tectoˆnicas na tentativa
de prever terremotos. Os me´dicos necessitam desta f´ısica para mapear o fluxo de sangue
em um paciente quando examinam uma arte´ria parcialmente obstru´ıda.
A mecaˆnica, a mais velha das cieˆncias f´ısicas, e´ a que estuda o movimento dos objetos.
Quando descrevemos o movimento estamos lidando com a parte da mecaˆnica denominada
cinema´tica (que como a palavra cinema, prove´m do termo grego para movimento) sem
nos preocuparmos com a ana´lise das causas do movimento. Quando analisamos as causas
do movimento estamos tratando da dinaˆmica (termo proveniente, assim como dinamite,
da palavra grega para forc¸a). Neste cap´ıtulo, abordaremos apenas a cinema´tica em uma
dimensa˜o, isto e´, estudaremos a f´ısica ba´sica do movimento nos casos em que os objetos
esta˜o se movendo em linha reta. Este tipo de movimento e´ chamado de movimento
unidimensional.
2.1 Movimento
Vamos examinar algumas propriedades gerais do movimento unidimensional, restringindo
nossa ana´lise de treˆs formas.
• O movimento se da´ ao longo de uma linha reta. A trajeto´ria pode ser vertical,
horizontal ou inclinada, mas deve ser retil´ınea.
• Discutiremos apenas o movimento em si e suas mudanc¸as, sem nos preocupar com as
suas causas (empurro˜es e puxo˜es, que modificam o movimento, na˜o sera˜o discutidas
9
ate´ o cap´ıtulo 5).
• O objeto em movimento e´ uma part´ıcula (ou seja, um objeto pontual, como um
ele´tron) ou um objeto que se move como uma part´ıcula (isto e´, todas as partes do
objeto se movem na mesma direc¸a˜o e com a mesma rapidez).
2.2 Posic¸a˜o e Trajeto´ria
Posic¸a˜o e´ o lugar no espac¸o onde se situa o corpo. Para localizar um objeto devemos
determinar sua posic¸a˜o em relac¸a˜o a um ponto de refereˆncia, frequ¨entemente a origem
(ou o ponto zero) de um eixo (como o eixo x da figura abaixo).
Figure 2.1: Representac¸a˜o do eixo x.
Assim, por exemplo, uma part´ıcula pode estar localizada em x = 5 m, o que significa
que esta´ a 5 m da origem no sentido positivo. Se estivesse localizada em x = -5 m, estaria
tambe´m a 5 m da origem, mas no sentido oposto. O sinal positivo de uma coordenada
na˜o precisa ser mostrado explicitamente, mas o sinal negativo deve ser sempre mostrado.
2.3 Deslocamento
A mudanc¸a de uma posic¸a˜o xi para xf esta´ associada a um deslocamento ∆x, dado
por:
∆x = xi − xf (2.1)
Um deslocamento no sentido positivo do eixo resulta num ∆x positivo. Um desloca-
mento no sentido negativo, num ∆x negativo. O nu´mero real de metros percorridos e´
irrelevante. O deslocamento envolve apenas as posic¸o˜es inicial e final.
Assim, por exemplo, se a part´ıcula se move de x1 = 5 m ate´ x2 = 200 m e em seguida
volta para x3 = 5 m, o deslocamento total sera´:
10
∆x = x3–x1 = 5–5 = 0
O sinal positivo do deslocamento na˜o precisa ser mostrado, mas o sinal negativo deve
ser sempre mostrado. Quando ignoramos o sinal (e, portanto, o sentido) do deslocamento,
ficamos com o mo´dulo do deslocamento.
Assim, por exemplo, um deslocamento ∆x = -50 m possui mo´dulo de 50 m.
O deslocamento e´ uma grandeza vetorial, ou seja, possui mo´dulo, direc¸a˜o
e sentido.
Para o ca´lculo da distaˆncia percorrida temos:
|D| = |deslocamento x1 → x2|+ |deslocamento x2 → x3| =
|D| = 195m + 195m = 390m
2.4 Velocidade Me´dia
Uma forma compacta de descrever a posic¸a˜o de um objeto e´ desenhar um gra´fico da
coordenada de posic¸a˜o s em func¸a˜o do tempo t, ou seja, um gra´fico de x(t). Como um
exemplo simples, vamos usar a tabela 2.1, a qual mostra a posic¸a˜o de um corredor em
func¸a˜o do tempo visto do referencial de um torcedor parado a 24 metros da linha de
chegada. O gra´fico desta tabela e´ mostrado na Figura 2.2.
Table 2.1: Tabela da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo de um corredor.
t (s) x(m)
0.0 -24
0.5 -12
1.0 0
1.5 12
2.0 24
Um corpo na˜o pode ocupar duas posic¸o˜es num dado instante de tempo. Assim, para
cada instante t ha´ uma u´nica posic¸a˜o. Para um dado observador, ha´ tambe´m uma u´nica
coordenada de posic¸a˜o para cada instante t. Pois, tendo o observador escolhido previa-
mente a refereˆncia e a convenc¸a˜o de sinais que vai utilizar, na˜o havera´ indeterminac¸a˜o
dessa grandeza. Uma tabela posic¸a˜o-tempo constitui assim, uma func¸a˜o matema´tica. O
domı´nio e´ o conjunto dos instantes de tempo e a imagem o conjunto das coordenadas de
posic¸a˜o.
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Figure 2.2: Gra´fico da coordenada de posic¸a˜o versus tempo, x(t), para um corredor em
movimento.
A raza˜o entre o deslocamento total ∆x e o intervalo de tempo ∆t durante o qual esse
deslocamento ocorre e´ chamada de velocidade me´dia, vmed.
vmed =
∆x
∆t
=
xf − xi
tf − ti (2.2)
A notac¸a˜o significa que a coordenada de posic¸a˜o e´ x0 no intante t0 e x1 no instante
t1. A unidade de velocidade me´dia no Sistema Internacional (SI) e´ o metro por segundo
(m/s). Outras unidades sa˜o usadas em alguns problemas, mas todas esta˜o na forma
comprimento/tempo.
Em um gra´fico de s em func¸a˜o de t, vmed e´ a inclinac¸a˜o da reta que liga dois pontos
particulares da curva x(t): um dos pontos corresponde a x1 e t1e o outro a x0 e t0. Da
mesma forma que o deslocamento, a velocidade me´dia possui um mo´dulo, uma direc¸a˜o
e um sentido, ou seja, tambe´m e´ uma grandeza vetorial. O mo´dulo e´ o valor absoluto
da inclinac¸a˜o da reta. Um valor positivo de vmed (e da inclinac¸a˜o) significa que a reta
esta´ inclinada para cima da esquerda para a direita. Ja´ um valor negativo de vmed (e da
inclinac¸a˜o) significa que a reta esta´ para baixo da esquerda para a direita.
A velocidade me´dia tem sempre o mesmo sinal do deslocamento, ja´ que ∆t e´ sempre
positivo.
Uma outra grandeza f´ısicae´ a velocidade escalar me´dia (vesc). Enquanto a veloci-
dade me´dia envolve o deslocamento da part´ıcula, a velocidade escalar me´dia e´ definida
em termos da distaˆncia total percorrida (o nu´mero de metros percorridos, por exemplo)
independente do sentido. Assim:
vesc =
Distancia Total
∆t
(2.3)
12
Distaˆncia percorrida numa dada trajeto´ria e´ a soma dos comprimentos
de todos os trechos percorridos pelo corpo nessa trajeto´ria entre dois in-
stantes de tempo; como o comprimento, por definic¸a˜o, e´ uma grandeza
positiva, essa soma e´ cumulativa, seja o movimento feito num u´nico sen-
tido ou seja ele de ida e volta.
A distaˆncia percorrida por um corpo num determinado movimento ou trecho de movi-
mento e´ uma noc¸a˜o u´til na vida pra´tica de todas as pessoas pois dela depende o consumo
de combust´ıvel e o tempo gasto nas viagens, na ida para a faculdade e para o trabalho.
Na f´ısica, entretanto, distaˆncia percorrida e´ um conceito pouco u´til.
Como a definic¸a˜o de velocidade escalar me´dia na˜o inclui o sentido do movimento, ela
na˜o possui um sinal alge´brico. Apenas em alguns casos, vesc = vmed. Entretanto, como
sera´ demonstrado abaixo, as duas velocidades podem ser bem diferentes.
Exemplos
1. Que distaˆncia seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1s em que voceˆ olha um
acidente a` margem da estrada?
2. Um jogador de beisebol consegue lanc¸ar uma bola com velocidade horizontal de 160
km/h, medida por um radar porta´til. Em quanto tempo a bola atingira´ o alvo, a
18,4m ?
3. Depois de dirigir uma van em uma estrada retil´ınea por 8,4 km a 70 km/h, voceˆ
pa´ra por falta de gasolina. Nos 30 minutos seguintes voceˆ caminha por mais 2,0 km
ao longo da estrada ate´ chegar ao posto de gasolina mais pro´ximo.
(a) Qual e´ o deslocamento total, desde o in´ıcio da viagem ate´ chegar ao posto de
gasolina?
Suponha, por convenieˆncia, que voceˆ se move no sentido positivo do eixo, da
coordenada de posic¸a˜o inicial x0 ate´ a coordenada de posic¸a˜o final x1, no posto
de gasolina. Essa segunda coordenada de posic¸a˜o deve ser igual a x1 = 8,4 +
2,0 = 10,4 km. O deslocamento ∆x ao longo do eixo da coordenada de posic¸a˜o
e´ a diferenc¸a entre as coordenadas da segunda e da primeira posic¸a˜o. Assim,
∆x = x1 − x0 = 10, 4km− 0 = 10, 4km
Assim, o deslocamento total e´ de 10,4 km no sentido positivo do eixo.
13
(b) Qual e´ o intervalo de tempo entre o in´ıcio da viagem e o instante em que voceˆ
chega ao posto?
Ja´ sabemos quanto tempo voceˆ passou caminhando, ∆tcam (0,50 h), mas na˜o
sabemos quanto tempo voceˆ passou dirigindo, ∆tdir. Sabemos, pore´m, que
voceˆ viajou 8,4 km de carro a uma velocidade me´dia vmed,dir = 70 km/h. Essa
velocidade e´ igual a raza˜o entre o deslocamento do carro e o intervalo de tempo
correspondente a esse deslocamento.
vmed,dir =
∆xdir
∆tdir
Explicitando ∆t e substituindo os valores conhecidos, teremos:
∆tdir =
∆xdir
vmed
=
8, 4km
70km/h
E portanto, ∆t = ∆tdir + ∆tcam = 0,12 h + 0,50 h = 0,62 h.
(c) Qual e´ a velocidade me´dia do in´ıcio da viagem ate´ a chegada ao posto de
gasolina? Determine a soluc¸a˜o numericamente e graficamente.
vmed =
∆x
∆t
=
10, 4km
0, 62h
Para determinar vmed graficamente, trac¸amos o gra´fico da func¸a˜o x(t), como
mostra a figura 2.3, onde os pontos de partida e chegada no gra´fico sa˜o a origem
e o ponto assinalado como “Posto”. A velocidade me´dia e´ a inclinac¸a˜o da reta
que une esses pontos, ou seja, vmed e´ a raza˜o entre a elevac¸a˜o (∆x = 10,4 km)
e o tempo (∆t = 0,62 h), o que nos da´ vmed = 16,8 km/h.
(d) Suponha que para encher um buja˜o de gasolina, pagar e caminhar de volta
para a van voceˆ leve 45 minutos. Qual e´ a velocidade escalar me´dia do in´ıcio
da viagem ate´ o momento em que chega de volta ao lugar onde deixou a van?
A distaˆncia total percorrida foi 8,4 km + 2,0 km + 2,0 km = 12,4 km.
O intervalo de tempo total e´ 0,12h + 0,50 hs + 0,75 h = 1,37 h.
Assim,
vesc =
12, 4km
1, 37h
= 9, 1km/h
4. Um corredor realiza a prova de 100 m em aproximadamente 10 s; outro corredor
realiza a maratona de 42,2 km em 2h e 10 min. a) Qual e´ a velocidade escalar me´dia
14
Figure 2.3: As retas “‘Dirigindo” e “Caminhando” sa˜o os gra´ficos da posic¸a˜o do tempo
para os deslocamentos de carro e a pe´. (O gra´fico para o deslocamento a pe´ supo˜e
uma caminahda com velocidade constante.) A inclinac¸a˜o da reta que liga a origem ao
ponto‘Posto” e´ a velocidade me´dia para o percurso ate´ o posto.
de cada um? b) Se o primeiro corredor pudesse realizar a prova realizar a maratona
de 42,2 km com a velocidade me´dia que manteve na prova de 100 m, em quanto
tempo ele concluiria a maratona?
5. A posic¸a˜o de um objeto que se move em linha reta e´ dada por x = 3t − 4t2 + t3,
sendo x em metros e t em segundos. Qual e´ a velocidade me´dia no intervalo de
tempo de t=2s a t =4s? E entre t =0 e t =3s?
Exerc´ıcios
1. Durante um espirro, os olhos podem se fechar por ate´ 0,5 s. Se voceˆ esta´ dirigindo um
carro a 90 km/h e espirra, quanto o carro pode se deslocar ate´ voceˆ abrir novamente
os olhos?
R.: 12,5 m.
2. Considere treˆs pares de posic¸o˜es iniciais e finais, respectivamente, ao longo do eixo
x. A quais pares correspondem deslocamentos negativos?
(a) -4, +4;
(b) -2, -9;
(c) 9, -1;
3. Complete a tabela a seguir, indicando qual e´ a func¸a˜o v(t) para cada x(t) fornecida.
R.: 30 t; -104 t; 6 t; 600 t
15
x (t) em cm,s v(t)em cm,s
15 t2
-52 t2
3 t2
300 t2
4. Complete a tabela a seguir.
x (t) em cm,s v(t)em cm,s
7
32
-150
R.: 0; 0; 0.
5. Deˆ a func¸a˜o que descreve a velocidade instantaˆnea num instante gene´rico t:
a) x(t) = 54 + 14t2 (cm,s) v(t) =
b) x(t) = −25t–42t2 (m,s) v(t) =
c) x(t) = 15 + 40t+ 2t2 (km,h) v(t) =
d) x(t) = −120 + 85t (cm,s) v(t) =
R. : a) 28t (cm,s); −25− 84t (m,s); c) 40 + 4t (km, h); d) 85 cm/s
6. Para um certo observador, um movimento e´ descrito pela func¸a˜o x(t) = 20 −
34t(m,s).
a)A taxa de variac¸a˜o da coordenada de posic¸a˜o e´ .......................(positiva, negativa).
Seu valor absoluto e´ ........................
R.: negativa; 34
7. Para decolar, um avia˜o a jato necessita alcanc¸ar ao final da pista a velocidade de
360km/h. Supondo que a acelerac¸a˜o seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual e´ a
acelerac¸a˜o mı´nima necessa´ria, a partir do repouso?
R.: 2,78 m/s2.
8. Calcule sua velocidade escalar me´dia nos dois casos:
a) Voceˆ caminha 72 m a` raza˜o de 1,2 m/s e depois corre 72m a 3,0 m/s numa reta.
b) Voceˆ caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min a 3,0
m/s numa reta.
R.: a) 1,7 m/s; b) 2,1 m/s
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9. Considere a func¸a˜o: v(t) = 120 + 300t (m,s). Qual e´ a unidade da grandeza cujo
valor nume´rico e´ 300?
R.: [m/s2]
10. Neste exemplo, e´ dada a func¸a˜o v(t) ou x(t)para alguns movimentos. Deˆ a acel-
erac¸a˜o em cada caso:
a)v(t) = 120− 150t(cm,s)
b)v(t) = 12450t–30 (km,h)
c)v(t) = −20 + 3, 5t (m,s)
d) x(t) = 345–73t+ 42t2 (m,s)
11. Suponhamos que durante os primeiros instantes do movimento de um foguete, que
se inicia no lanc¸amento (t=0), sua trajeto´ria seja retil´ınea. Suponhamos ainda que
nesse trecho do movimento a seguinte func¸a˜o representa a coordenada de posic¸a˜o
do foguete (ponto P qualquer do corpo do foguete) para um certo observador:
x(t) = 1500t2 − 5t3 (m,s)
a)Qual e´ a unidade da grandeza cujo valor e´ -5?
b)Deˆ as func¸o˜es v(t) e a(t) para esse trecho.
c)Quais sa˜o as condic¸o˜es iniciais do movimento?
d)Calcule a acelerac¸a˜o do foguete em t=0 e em t=50s.
e)Qual e´ a velocidade do foguete no instante em que a acelerac¸a˜o e´ igual a zero?
12. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para
cair:
a)os primeiros 50 m?
b) os 50 m restantes?
R.: a) 3,2s ; b) 1,3s.
13. Uma part´ıcula move-se ao longo do eixo x de acordo com a equac¸a˜ox = 50t+ 10t2,
sendo x em metros e t em segundos. Calcule:
a) a velocidade me´dia da part´ıcula durante os primeiros 3 s de movimento
b) a velocidade instantaˆnea da part´ıcula em t=3s;
c) a acelerac¸a˜o instantaˆnea da part´ıcula nesse mesmo instante.
R.: a) 80 m/s ; b) 110m/s; c) 20 m/s2
14. Um trem de metroˆ acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estac¸a˜o para
percorrer a primeira metade da distaˆncia ate´ a estac¸a˜o seguinte e depois desacelera a
-1,20 m/s2 na segunda metade da distaˆncia de 1,10km entre as estac¸o˜es. Determine
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a) o tempo de viagem entre as estac¸o˜es
b) a velocidade escalar ma´xima do trem.
R.: a) 60,6 s; b) 36,4 m/s .
15. Um ele´tron, com velocidade inicial v0 = 1, 5× 105 m/s, entra numa regia˜o com 1,2
cm de comprimento, onde ele e´ eletricamente acelerado (figura abaixo). O ele´tron
emerge com velocidade de 5, 8×106 m/s. Qual a sua acelerac¸a˜o, suposta constante?
(Tal processo ocorre no canha˜o de ele´trons de um tubo de raios cato´dicos, utilizado
em receptores de televisa˜o e terminais de v´ıdeo).
R: a= 1,4 x1015 m/s2
16. A maior velocidade em terra ja´ registrada foi de 1020 km/h, alcanc¸ado pelo coronel
John P. Stapp em 19 de marc¸o de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele
e o ve´ıculo foram parados em 1,4 s. Que acelerac¸a˜o ele experimentou? Exprima sua
resposta em termos da acelerac¸a˜o da gravidade g = 9,8 m/s2.
R: a=-21g
17. No momento em que a luz de um sema´foro fica verde, um automo´vel arranca com
acelerac¸a˜o de 2,2 m/s2. No mesmo instante um caminha˜o, movendo-se a` velocidade
constante de 9,5 m/s, alcanc¸a e ultrapassa o automo´vel. a) A que distaˆncia, ale´m
do ponto de partida, o automo´vel alcanc¸a o caminha˜o?
b) Qual sera´ a velocidade do carro nesse instante?
R : a) d=82m ; b) v=19m/s.
18. Um bala˜o esta´ subindo a 12,4 m/s a` altura de 81,3 m acima do solo quando larga
um pacote. a) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo?
b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?
R : a) v=-41,8m/s; t=5,53s
19. Um motorista de carro aperta os freios quando veˆ uma a´rvore bloqueando a estrada.
O carro diminui a velocidade uniformemente com uma acelerac¸a˜o de -5.60m/s2 du-
rante 4,20s, deixando marcas de freio retas com 62,4m de comprimento, que chegam
ate´ a a´rvore. Com que velocidade o carro colide com a a´rvore? R: v=3,10m/s
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