2017915 144623 Lab.+Física+ +Boas+práticas%2c+medidas%2c+erros+e+estatística

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Nu´cleo de F´ısica
Notas sobre F´ısica em Laborato´rio
1a versa˜o revisada
Marcel Cardoso Tavelin
Te´cnico do Laborato´rio de F´ısica
Supervisa˜o
Dr. Mayler Martins
Dr. Pedro R. P. Barros
Dr. Ma´rio L. V. Alvarenga
Ms. Frederico V. Costa
Bambu´ı - Minas Gerais
Agosto 2014
Suma´rio
1 Boas Pra´ticas para Aulas Experimentais 2
1.1 Para Evitar Acidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sugesto˜es para Relato´rio de Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Caderno de Laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Medidas e Erros 5
2.1 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Aritme´tica de Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Caracter´ısticas das Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Tratamento Estat´ıstico de Medidas 11
3.1 Me´dia Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Dispersa˜o das Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Exemplo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Erro Relativo Percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Propagac¸a˜o de Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Gra´ficos 17
4.1 Construc¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Linearizac¸a˜o de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Me´todo dos Mı´nimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Gra´ficos Semi-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Gra´ficos Log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A Fo´rmula da Propagac¸a˜o de Incertezas 28
B Paraˆmetros de Regressa˜o Linear 30
C Coeficiente de Determinac¸a˜o 33
D Planilha Eletroˆnica 40
Refereˆncias Bibliogra´ficas 46
1
Cap´ıtulo 1
Boas Pra´ticas para Aulas Experimentais
Este trabalho e´ um compeˆndio das refereˆncias expl´ıcitas no fim destas notas, e que tem a intensa˜o
de, tanto quanto poss´ıvel, dar um tratamento formal e cuidadoso, dos roteiros dos experimentos do
Laborato´rio de F´ısica no IFMG – Campus Bambu´ı.
De modo pragma´tico,
“Apesar da beleza matema´tica de algumas de suas teorias mais complexas e abstratas, a f´ısica e´
acima de tudo uma cieˆncia experimental. Portanto, e´ essencial que aqueles que realizam medic¸o˜es
precisas adotem padro˜es aceitos por todos para representar os resultados dessas medic¸o˜es, de modo
que tais resultados possam ser transmitidos de um laborato´rio para o outro e verificados.” (cap´ıtulo
1, sec¸a˜o 1.1, em [3]).
“O laborato´rio fornece ao estudante uma oportunidade u´nica de validar as teorias f´ısicas de uma
maneira quantitativa em um experimento real. A experieˆncia no laborato´rio ensina ao estudante
as limitac¸o˜es inerente a` aplicac¸a˜o das teorias em situac¸o˜es f´ısicas reais ... [e nesse sentido] o labo-
rato´rio tanto demonstra algum princ´ıpio f´ısico geral, como permite ao estudante aprender e apreciar
a realizac¸a˜o de uma medida experimental cuidadosa.” (CEUNES – UFES, confira [2]).
1.1 Para Evitar Acidentes
• Dentro do laborato´rio nunca beba, fume, coma, evite brincadeiras e nunca corra.
• Cabelos compridos devem ser mantidos presos enquanto permanecer nas dependeˆncias do
laborato´rio. Use sapados fechados e calc¸a comprida.
• Fique atento a` objetos que possam estar na altura da cabec¸a ou na passagem, como fios ou
objetos pontiagudos.
• Evite executar um experimento sozinho, pois em caso de acidente, voceˆ pode ter dificuldade
em conseguir ajuda.
• Leia antes as instruc¸o˜es relativas a` realizac¸a˜o de qualquer experimento.
• Coloque sobre a bancada somente o material que sera´ utilizado no experimento. Isso aumenta
o seu rendimento e evita acidentes.
• Consulte o professor ou laboratorista toda vez que notar algo anormal, estranho ou
imprevisto.
• Antes de qualquer atividade, saiba exatamente o que voceˆ vai fazer. Use o bom senso, nunca
o me´todo da tentativa e erro.
2
• Em caso de quebra (ou estrago) de algum material, comunique imediatamente ao professor ou
laboratorista.
• Conserve sempre limpo o material e a bancada.
• Evite deixar lixo no cha˜o ou sobre a bancada. Jogue o lixo na lixeira do laborato´rio.
• Nunca prove, ingira, aspire vapores de qualquer natureza ou cheire produtos qu´ımicos.
• Tenha cuidado constante com o rosto e com os olhos.
• Caso algum produto qu´ımico for derramado na bancada ou no cha˜o, avise imediatamente o
responsa´vel.
• Jamais aquec¸a um recipiente completamente fechado (a menos que acompanhado pelo
professor ou laboratorista); a elevac¸a˜o da pressa˜o interna de gases podera´ causar explosa˜o.
• Cuidado, vidro quente tem o mesmo aspecto de vidro frio. Pec¸as de vidro aquecidas
devem ficar esfriando durante bastante tempo para evitar que estourem.
• Tenha cuidado no manuseio de materiais inflama´veis, mantendo-os longe de qualquer tipo de
chama.
• Princ´ıpios de inceˆndio podem ser abafados com toalhas ou outro pano grosso.
• O quadro de disjuntores fica no fundo do laborato´rio, e o extintor de inceˆndio fica no lado de
fora, junto a` porta de entrada.
• Haja o que houver, mantenha a calma.
1.2 Sugesto˜es para Relato´rio de Experimento
1. Procure usar folhas de papel em tamanho A4.
2. Fac¸a uma capa contendo os dados do local onde a experieˆncia foi realizada (nome da
universidade, instituto ou departamento), disciplina, nome do professor, nome dos
participantes, data e t´ıtulo da experieˆncia. Sugere-se o uso dos padro˜es adotados em [27],
onde o manual esta´ dispon´ıvel no site da biblioteca do IFMG – Campus Bambu´ı.
3. Fac¸a uma pequena introduc¸a˜o (no ma´ximo 2 pa´ginas) com um resumo da teoria considerada
na experieˆncia, e as equac¸o˜es mais importantes.
4. Descreva os objetivos da experieˆncia.
5. Descreva qual foi o material e o aparato instrumental utilizado, suas caracter´ısticas,
modelos, etc.
6. Descreva qual foi a metodologia adotada na experieˆncia, com um esquema (em geral a ma˜o
livre) do que foi feito com os instrumentos utilizados, explicando cada passo, ou seja, um
roteiro do experimento, relatando as dificuldades mais marcantes e as principais estrate´gias
para contorna´-las.
3
7. Apresente os dados e resultados obtidos, isto e´, todas as grandezas f´ısicas medidas,
incluindo suas unidades (preferencialmente em tabelas) sendo que os erros de cada medida
devem estar indicados.
8. Se for o caso, fac¸a os ca´lculos (ca´lculo de erros, me´todos de ana´lise gra´fica, etc) incluindo
claramente todas as etapas intermedia´rias para permitir confereˆncia e reca´lculo pelo mesmo
caminho. Os resultados experimentais devem ser apresentados com o nu´mero correto de
algarismos significativos.
9. Acrescente uma discussa˜o da ana´lise dos resultados obtidos onde conste se o objetivo
inicialmente proposto foi atingido. Em geral, o objetivo e´ comprovar (ou na˜o) as hipo´teses
feitas na teoria de maneira que todas as informac¸o˜es reunidas nos passos anteriores sejam
comparadas entre si e analisadas. Aponte tambe´m eventuais erros experimentais envolvidos
no processo.
10. Resolva o questiona´rio, caso houver. E, se for o caso, compareo resultado obtido em seu
experimento com valores tabelados na literatura (quando dispon´ıveis).
11. Suas concluso˜es finais.
12. As refereˆncias bibliogra´ficas e os anexos (caso houver). Aconselha-se seguir os padro˜es
descritos em [27].
13. Procure direcionar seu relato´rio para um estilo so´brio. Lembre-se que o importante e´ o
conteu´do.
1.3 Caderno de Laborato´rio
Vale a pena ao estudante manter um caderno de laborato´rio no qual anotara´ dados, procedimentos
e demais informac¸o˜es relevantes a` realizac¸a˜o de cada experieˆncia (confira o cap´ıtulo 1 em [1]).
O caderno e´ interessante pois se a experieˆncia tiver que ser interrompida, por exemplo pelo fato
de se chegar ao hora´rio de te´rmino da aula, ela podera´ ser retomada em outro dia com mais agilidade,
sem necessariamente ter-se que comec¸ar todo o procedimento inicial novamente, sobretudo evitando
erros ja´ cometidos anteriormente.
Ademais, o caderno pode lhe ajudar a repetir a experieˆncia no futuro de maneira mais familiar, ou
ainda pode ser u´til como material de consulta em trabalhos acadeˆmicos, artigos, provas de consulta,
etc.
Na˜o se trata de um caderno de relato´rios. Esse caderno deve ser usado como um “rascunho bem
feito” dos relato´rios que sera˜o entregues posteriormente. Trata-se de anotac¸o˜es que devem ser feitas
durante a realizac¸a˜o do experimento, seguindo os passos da sec¸a˜o anterior, para garantir objetividade
no manejo do aparato experimental e fidelidade aos dados obtidos.
O estudante pode (e deve) copiar figuras e tabelas, de livros e apostilas, no caderno, sempre
indicando claramente a fonte, para enriquecer e deixar mais clara suas anotac¸o˜es. Todavia, e´ vedado
o pla´gio de dados experimentais do caderno de colegas.
No caderno de laborato´rio aconselha-se ainda anotar observac¸o˜es que podem ser u´teis na con-
tinuac¸a˜o de um experimento, ou lembretes de coisas que voceˆ deve providenciar, tipo: “passar na
biblioteca para verificar um refereˆncia”, ou “lembrar de tarar a balanc¸a antes de comec¸ar a medir as
massas”, ou ainda “perguntar ao professor porque a fa´ısca falha a`s vezes” ...
4
Cap´ıtulo 2
Medidas e Erros
As medidas de grandezas f´ısicas sa˜o classificadas em dois segmentos:
Medidas Diretas expressas pela leitura de uma magnitude atrave´s do uso de um instrumento de
medida. Por exemplo, uma medida de comprimento por uma re´gua graduada; a medida de
uma massa em uma balanc¸a; a medida da temperatura em um termoˆmetro; um intervalo de
tempo por um cronoˆmetro, etc.
Medidas Indiretas que resulta de operac¸o˜es matema´ticas em grandezas diretamente
mensura´veis. Por exemplo, a medida da velocidade me´dia de um corpo obtida atrave´s de seu
deslocamento ∆s em um certo intervalo de tempo ∆t, v = ∆s/∆t.
Toda medida de grandezas f´ısicas e´ feita com uma certa precisa˜o. Com o avanc¸o na qualidade dos
instrumentos de medida, e´ poss´ıvel fazer medidas com um grau maior de precisa˜o (confira sec¸a˜o 1-6
em [3]). Contudo, associado a toda medida direta existem fontes de erros experimentais, tal que
por mais cuidadosa que seja uma medic¸a˜o e por mais preciso que seja o instrumento de medida, nunca
e´ poss´ıvel realizar uma medida direta perfeita. Sempre existe uma incerteza intr´ınseca associada
ao processo de medic¸a˜o [2].
A notac¸a˜o para uma medida, sempre e´ dada pelo nu´mero adequado de algarismos significativos
que a representa, acompanhada de sua incerteza. A incerteza na medida, ou em outras palavras, o
grau de precisa˜o da medic¸a˜o, depende de maneira direta do instrumento utilizado.
Ca´lculos envolvendo medidas devem seguir regras preestabelecidas pela teoria de erros em medi-
das. Este e´ o tema a ser introduzido nesse cap´ıtulo.
2.1 Algarismos Significativos
Vamos supor que queremos medir o comprimento de um tubo. Inicialmente, vamos fazer a
medic¸a˜o com uma re´gua centimetrada. Depois vamos fazer a mesma medic¸a˜o com uma re´gua
milimetrada, Fig. 2.1.
Para a re´gua centimetrada, podemos afirmar, com certeza, que o comprimento do tubo esta´
entre 5 e 6 cm. Desse modo, estimamos o comprimento do tubo em aproximadamente 5,5 cm.
Dizemos que o algarismo 5 antes da v´ırgula e´ o correto e o algarismo 5 depois da v´ırgula e´ duvidoso
[especificac¸o˜es sobre nomenclatura e notac¸a˜o de s´ımbolos de unidades consulte [4], e alternativamente
[6] ].
Para a re´gua milimetrada, podemos afirmar que o comprimento do tubo esta´ entre 5,4 e 5,5
cm. Podemos enta˜o, estimar o comprimento do tubo em 5,45 cm. Sendo 5,4 os algarismos corretos
e o 5 depois da v´ırgula o algarismo duvidoso.
5
Figura 2.1: Medida do comprimento de um tubo.
Qualquer medida por comparac¸a˜o, entre um objeto e uma escala, deve incluir, ale´m dos d´ıgitos
exatos (5,4 no caso), uma estimativa do algarismo duvidoso (5 mais a direita em 5,45 cm).
Em toda medida os algarismos corretos e o primeiro duvidoso sa˜o chamados algaris-
mos significativos.
Suponha agora que uma medida de comprimento de uma barra qualquer seja l = 9, 60 cm.
Observe que em medidas, 9,60 cm 6= 9,6 cm. A primeira e´ uma medida mais precisa que a u´ltima.
Note que, 9,60 cm e´ uma medida com 3 algarismos significativos, e 9,6 cm com apenas 2 algarismos
significativos.
Se essa medida for convertida para metro, ela deve ser expressa como l = 0, 0960 m, e na˜o como
l = 0, 096 m. Todavia, uma maneira mais adequada de expressar essa medida e´ por meio de notac¸a˜o
cient´ıfica [7], de modo que ela se escreve na forma,
l = 9, 60 · 10−2 m .
Em notac¸a˜o cient´ıfica, a medida continua com treˆs algarismos significativos.
Na notac¸a˜o cient´ıfica, escreve-se o valor da medic¸a˜o em forma decimal com apenas um d´ıgito
diferente de zero antes da v´ırgula. Depois da v´ırgula, completa-se com os algarismos decimais
necessa´rios (eventualmente truncando e arredondando o valor em alguma casa decimal) e multiplica-
se tudo pela poteˆncia de dez adequada (consulte [19]).
Quando estamos tratando de medidas e´ comum nos depararmos com nu´meros muito grandes ou
muito pequenos. Por exemplo, os comprimentos de onda da luz vis´ıvel esta˜o entre
0, 0000004 m e 0, 0000007 m .
Nesse sentido, a Confereˆncia Geral de Pesos e Medidas [8] recomendou o uso de prefixos (Tab. 2.1)
para uma notac¸a˜o mais compacta. Desse modo, a faixa de comprimentos de onda da luz vis´ıvel se
escreve como estando entre (leia-se: 400 nanoˆmetros e 700 nanoˆmetros)
400 nm e 700 nm .
2.2 Aritme´tica de Algarismos Significativos
Na multiplicac¸a˜o e divisa˜o de medidas, a regra e´ manter o nu´mero de d´ıgitos da medida com
o menor nu´mero de algarismos significativos. Assim, ao dividirmos 1540,00 kg por 125,0 g, isto e´,
0,1250 kg, teremos,
1540, 00
0, 1250
= 12320, 0 ⇒ 1, 232 · 104 kg .
6
Fator Prefixo S´ımbolo Fator Prefixo S´ımbolo
1024 iota Y 10−1 deci d
1021 zeta Z 10−2 centi c
1018 exa E 10−3 mili m
1015 peta P 10−6 micro µ
1012 tera T 10−9 nano n
109 giga G 10−12 pico p
106 mega M 10−15 femto f
103 quilo k 10−18 ato a
102 hecto h 10−21 zepto z
101 deca da 10−24 iocto y
Tabela 2.1: Prefixos do Sistema Internacional de Unidades, SI.
Note que a medida 125,0 g e´ a de menor nu´mero de algarismos significativos, apenas 4.
Na soma e subtrac¸a˜o, a regra e´ manter o nu´mero de decimais igual ao da parcela com menos
decimais no resultado final [20]. Exemplos:
a) 40 m/s + 340, 5 m/s = 380 m/s
b) 3, 4 s + 0, 256 s − 2, 22 s = 1, 4 s
2.3 Arredondamento
Na soma da sec¸a˜o anterior foi necessa´rio fazer um arredondamento para o resultado ficar com o
nu´mero correto de algarismos significativos. A regra para arredondamento e´ a seguinte [9]:
• se o primeiro algarismo, depois do u´ltimo significativo, for menor que 5, o anterior na˜o se
modifica;
• se o primeiro algarismo, depois do u´ltimo significativo, for maior que 5, incrementa-se uma
unidade ao anterior;
• se o primeiro algarismo, depois dou´ltimo significativo, for igual a 5, verifica-se o anterior.
Caso seja par, ele na˜o se modifica. Caso seja ı´mpar, incrementa-se a ele uma unidade.
Por exemplo, se cada uma das medidas abaixo precisarem ser expressas com apenas 3 algarismos
significativos, teremos:
a) 187,69 m → 188 m, pois 6 e´ maior que 5.
b) 180,51 m → 180 m, pois 0 e´ par.
c) 185,52 m → 186 m, pois 5 e´ ı´mpar.
d) 183,23 m → 183 m, pois 2 e´ menor que 5.
2.4 Erros
Em qualquer medida realizada existem sempre fontes de erro que a afetam. Estes erros sa˜o
chamados de erros experimentais. Vamos examinar as principais fontes de erro na realizac¸a˜o de
medidas.
Os erros podem ser classificados como grosseiros, sistema´ticos e aleato´rios:
7
Erros Grosseiros Erros que ocorrem devido a` imper´ıcia ou distrac¸a˜o do operador. Por exemplo,
a escolha errada de escalas, erros de ca´lculo, erro de paralaxe [10].
Erros Sistema´ticos Sa˜o causados por fontes identifica´veis, e em princ´ıpio, podem ser eliminados
ou compensados. Erros desse tipo fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente
acima ou abaixo do valor verdadeiro da grandeza, o que prejudica a exatida˜o da medida1.
Algumas causas de erros sistema´ticos:
• instrumento inadequado: por exemplo, erros causados em medidas de intervalos de
tempo feitas com um relo´gio que atrasa;
• me´todo de observac¸a˜o: por exemplo, medir o instante de ocorreˆncia de um relaˆmpago
pelo ru´ıdo do trova˜o associado;
• efeitos ambientais: por exemplo, na˜o incluir o efeito da temperatura ambiente em uma
medida de comprimento muito precisa de uma barra meta´lica;
• modelo teo´rico: a`s vezes o modelo teo´rico usado para tratar as medidas pode estar
incompleto (ou mesmo errado). Por exemplo, na˜o incluir o efeito da resisteˆncia do ar
numa medida da acelerac¸a˜o da gravidade baseada na medida do tempo de queda de uma
bolinha de ping-pong de uma altura fixa.
Uma das competeˆncias mais marcantes do sujeito que faz medidas deve ser identificar e eliminar
o maior nu´mero poss´ıvel de fontes de erro sistema´tico.
Erros Aleato´rios Aparecem como flutuac¸o˜es na magnitude da medida e afetam a precisa˜o na
medic¸a˜o. Decorrem de perturbac¸o˜es estat´ıstica imprevis´ıveis e na˜o seguem nenhuma regra
espec´ıfica. Fontes t´ıpicas de erros aleato´rios sa˜o:
• instabilidades no instrumento de medida;
• flutuac¸o˜es ambientais: variac¸o˜es de temperatura, pressa˜o, umidade, fontes de ru´ıdos,
instabilidades na rede ele´trica, etc;
Erros Aleato´rios podem ser tratados quantitativamente atrave´s de me´todos estat´ısticos, de ma-
neira que seus efeitos sobre a grandeza f´ısica, em geral, podem ser determinados.
A distinc¸a˜o entre erros aleato´rios ou sistema´ticos e´, ate´ certo ponto, subjetiva, entretanto, existe
uma diferenc¸a clara, a contribuic¸a˜o dos erros aleato´rios pode ser reduzida pela repetic¸a˜o das medidas,
enquanto a`quela relativa a erros sistema´ticos em geral e´ insens´ıvel a` repetic¸a˜o. (CEUNES – UFES
[2]).
2.5 Caracter´ısticas das Medidas
Ale´m de termos especificados os tipos de erros, vale a pena deixar claro alguns conceitos impor-
tantes sobre as medidas propriamente ditas [28]. Acompanhe o texto pela Fig. 2.2.
Precisa˜o e´ uma medida da concordaˆncia entre determinac¸o˜es repetidas de uma mesma
grandeza. Ela nos revela o grau de variac¸a˜o dos valores que resultam de uma medic¸a˜o. A
precisa˜o e´ usualmente quantificada como o desvio padra˜o de uma se´rie de medidas2. A
precisa˜o de uma medida e´ uma caracter´ıstica do instrumento. Por exemplo, um paqu´ımetro
tem uma precisa˜o entre 0,01 e 0,05 mm; o microˆmetro tem uma precisa˜o entre 0,01 e 0,001
mm.
1Os conceitos de exatida˜o, precisa˜o e resoluc¸a˜o sa˜o abordados na pro´xima sec¸a˜o.
2O conceito de desvio padra˜o sera´ abordado no pro´ximo cap´ıtulo.
8
Exatida˜o (ou acura´cia) consiste no grau de conformidade entre uma medida e um valor
“verdadeiro”, “nominal”, “aceito” ou “tomado como refereˆncia”. Geralmente e´ expressa como
um desvio ou por um erro relativo percentual entre uma medida e um valor conhecido3.
Resoluc¸a˜o e´ basicamente a medida do menor incremento mensura´vel por um instrumento.
Algumas vezes e´ chamada de “capacidade de leitura” e expressa a “fineza do detalhe
revelado” pelo instrumento. Por exemplo, uma re´gua milimetrada tem uma resoluc¸a˜o de
cerca de 0,5 mm ou um pouco menos, ja´ que podemos esperar observar uma diferenc¸a entre a
medida de dois objetos que tenham 2,50 e 2,55 cm. A resoluc¸a˜o de um volt´ımetro digital com
display de 3 d´ıgitos, geralmente e´ expressa com ±1 no u´ltimo d´ıgito.
A precisa˜o geralmente esta´ associada a erros aleato´rios do processo de medic¸a˜o, enquanto a
exatida˜o esta´ associada a fontes de erros sistema´ticos. O termo incerteza e´ identificado como a
precisa˜o dos valores medidos em um processo de medic¸a˜o.
Observe que na˜o se pode ter alta exatida˜o sem alta precisa˜o. Entretanto, a rec´ıproca na˜o e´
verdadeira: e´ poss´ıvel termos alta precisa˜o em um experimento absolutamente inexato (alvo a na
Fig. 2.2).
Uma ilustrac¸a˜o do tipo alvo nos auxilia a entender a diferenc¸a entre estes conceitos. Note que
Figura 2.2: Imagem picto´rica de algumas carater´ısticas de medidas.
o alvo d “Baixa precisa˜o, Alta exatida˜o” foi um golpe de sorte estat´ıstico. Apenas a me´dia dos
va´rios “tiros” apresenta alta exatida˜o (“foi na mosca”). Este tipo de quebra das regras estat´ısticas
tem probabilidade muito baixa de ocorrer quando trabalhamos com um grande nu´mero de eventos,
pore´m para um pequeno nu´mero de eventos, como os da Fig. 2.2, estas coincideˆncias na˜o podem ser
desprezadas.
2.6 Incerteza
Existe uma certa incerteza associada a todo processo de medic¸a˜o. A incerteza representa uma
du´vida em se afirmar qual e´ o valor exato de uma medida.
Por exemplo, no nosso caso da medida do tubo, dissemos que seu comprimento valia 5,45 cm.
Mas, poder´ıamos ter afirmado, tambe´m com convicc¸a˜o, que o comprimento do tubo era de 5,44 cm,
ou mesmo 5,46 cm.
A incerteza constitui-se de um paraˆmetro associado ao resultado da medic¸a˜o, e que caracteriza a
dispersa˜o dos valores que podem ser razoavelmente atribu´ıdos a` medida.
3O erro relativo percentual sera´ abordado no pro´ximo cap´ıtulo.
9
Esse paraˆmetro pode ser o desvio padra˜o (ou um mu´ltiplo dele) ou a metade da menor divisa˜o
de uma escala. Toda medida deve enta˜o ser expressa da forma,
x±∆x ,
onde x e´ o valor da medida, e ∆x a sua incerteza.
No nosso caso da medida do tubo, vamos tomar a metade da menor divisa˜o da escala da re´gua
milimetrada como nosso paraˆmetro de incerteza. Enta˜o, como a menor divisa˜o e´ 0,1 cm, temos
0, 1
2
= 0, 05 cm .
Assim, a medida do comprimento do tubo com a incerteza fica,
5, 45± 0, 05 cm .
Portanto, a incerteza expressa o fato de que a medida do comprimento do tubo esta´ entre 5,40 e 5,50
cm. Note que, o nu´mero de d´ıgitos decimais no resultado de uma medic¸a˜o deve ser o mesmo que o
da incerteza.
10
Cap´ıtulo 3
Tratamento Estat´ıstico de Medidas
A confiabilidade das medic¸o˜es sempre foi um tema poleˆmico dentro da metrologia [22]. No
passado, houveram divergeˆncias histo´ricas sobre definic¸o˜es e procedimentos de estimativas de erros
e incertezas.
Uma conquista importante para superar divergeˆncias foi feita em 1990 com a publicac¸a˜o de dois
documentos:
• Guia para Expressa˜o da Incerteza da Medic¸a˜o [23], e
• Vocabula´rio Internacional de Metrologia [24],
ambos encontrados no site do Bureau Internacional de Pesos e Medidas [5].
Os documentos sa˜o fruto do trabalho de especialistas indicados por sete instituic¸o˜es internacionais
com o intuito de estabelecer diretrizes amplamente aceitas para expressar e avaliar a confiabilidade
dos resultados de uma medic¸a˜o1.
Esses documentos sa˜o sempre refereˆncias priorita´rias. Entretanto, em termos gerais,se nossa
atividade for apenas tentar obter a magnitude de uma grandeza atrave´s de um grande nu´mero de
medic¸o˜es, enta˜o, usando procedimentos matema´ticos adequados, podemos “resumir” este conjunto
de dados obtidos, e desta s´ıntese e´ poss´ıvel extrair informac¸o˜es relevantes a respeito da medic¸a˜o.
Quando fazemos va´rias medidas de uma certa grandeza, em geral, obtemos um conjunto de me-
didas cujos valores comec¸am a destoar uns dos outros. Logo, qual sera´ o valor que melhor representa
a medida?
3.1 Me´dia Aritme´tica
Uma boa estimativa para o valor mais prova´vel de um conjunto de medidas e´ a me´dia aritme´tica
destes valores. Por definic¸a˜o, a me´dia aritme´tica x de um conjunto de n valores de uma certa varia´vel
x, e´ dada por [11],
x =
1
n
n∑
i=1
xi , (3.1)
sendo xi o valor da i-e´sima medida.
1Bureau Intenational des Poids et Mesures (BIPM), International Electrotechnical Commission (IEC), International
Federation of Clinical Chemistry (IFCC), International Organization for Standardization (ISO), International Union
of Pure and Applied Chemistry (IUPAC), International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP), International
Organization of Legal Metrology (OIML).
11
3.2 Dispersa˜o das Medidas
Em muitas medidas, a incideˆncia de erros aleato´rios causam uma distribuic¸a˜o desordenada de
valores em torno da me´dia. Quando esses valores se afastam muito do valor me´dio, a medida e´ pouco
precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersa˜o [1].
Quando um conjunto de medidas esta´ mais concentrado em torno da me´dia diz-se que a precisa˜o
da medida e´ alta, e os valores medidos tem baixa dispersa˜o.
A variaˆncia de um conjunto de medidas e´ uma quantidade que indica a dispersa˜o dos valores
medidos, indicando qua˜o longe em geral estes valores se encontram da me´dia [12]. No estudo da
estat´ıstica, para um conjunto de n medidas a variaˆncia s2, pode ser definida por,
s2 =
1
n
n∑
i=1
(xi − x)2 . (3.2)
Para efeito de ca´lculo, no´s iremos fazer uso de expressa˜o um pouco diferente, que leva em conta a
chamada correc¸a˜o de Bessel [15], na forma
s2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(xi − x)2 , (3.3)
sendo x a me´dia aritme´tica do conjunto de n valores e xi o valor da i-e´sima medida
2.
A unidade de variaˆncia e´ o quadrado da unidade de observac¸a˜o. Por exemplo, a variaˆncia de um
conjunto de alturas medidas em cent´ımetros sera´ dada em cent´ımetros quadrados.
Os estat´ısticos contornaram qualquer inconveniente gerado em se quadrar unidades usando como
paraˆmetro a raiz quadrada da variaˆncia, conhecida como desvio padra˜o. O desvio padra˜o s e´, por
definic¸a˜o [13],
s =
√√√√ 1
n− 1
n∑
i=1
(xi − x)2 . (3.4)
Na u´ltima sec¸a˜o do cap´ıtulo anterior, afirmamos que o paraˆmetro adjacente a` incerteza de um
processo de medic¸a˜o pode ser estabelecido como sendo o desvio padra˜o, isto e´, o desvio padra˜o de
um conjunto de medidas. Todavia, quando estamos tratando de um nu´mero relativamente grande
de repetic¸o˜es de uma medida (n > 10), podemos estabelecer um paraˆmetro ainda mais interessante
para a incerteza em um processo de medic¸a˜o.
Imagine um experimento que por muitas repetic¸o˜es tenhamos uma quantidade razoavelmente
grande de medidas. Poder´ıamos enta˜o ter um conjunto de me´dias com base nestes dados. Ora, se
tive´ssemos um conjunto de me´dias, poder´ıamos simplesmente determinar a dispersa˜o das me´dias em
relac¸a˜o a` me´dia das me´dias.
O desvio padra˜o da me´dia sm, e´ o paraˆmetro que expressa esse fato, isto e´, a dispersa˜o das
me´dias em relac¸a˜o a` me´dia das me´dias. De fato, a estat´ıstica preveˆ que o resultado teo´rico para esse
conceito e´ surpreendentemente simples3
sm =
s√
n
, (3.5)
sendo s dado por (3.4). Note que, o valor de sm na˜o depende do ca´lculo da me´dia das me´dias,
depende apenas do desvio padra˜o dos valores das medidas. Assim, o valor de sm e´ obtido dividindo
o desvio padra˜o por
√
n.
2Uma discussa˜o a respeito da raza˜o 1/(n − 1) na expressa˜o do desvio padra˜o (e consequentemente da variaˆncia)
pode ser encontrada na sec¸a˜o 1.4 em [19].
3O leitor interessado em pormenores a respeito dessa expressa˜o deve consultar a sec¸a˜o 4.2 em [1].
12
O desvio padra˜o da me´dia e´ uma excelente estimativa para a incerteza da me´dia de um conjunto
de medidas. De modo usual, a notac¸a˜o para o resultado de um conjunto de n medic¸o˜es pode ser
expresso como
x± sm . (3.6)
Observe que aumentar o nu´mero de medidas na˜o significa que e´ poss´ıvel refinar a exatida˜o do
resultado (confira sec¸a˜o 1.4 em [19]). A principal raza˜o de se repetir uma medida va´rias vezes e´
melhorar o valor do desvio padra˜o do processo de medic¸a˜o. Lembre que sm cai com o inverso de√
n. Na pra´tica, quando se deseja uma exatida˜o maior nas medidas, procura-se simplesmente um
procedimento ou um instrumento melhor (um microˆmetro no lugar de uma re´gua, por exemplo), e
usa-se a metade da menor divisa˜o da escala para expressar a incerteza da medida. O desvio padra˜o
da me´dia e´ usado quando a metade da menor divisa˜o de uma escala, ou na˜o e´ adequada, ou na˜o e´
acess´ıvel.
3.3 Exemplo Simples
Suponha que usando um cronoˆmetro eletroˆnico, de incerteza 0,05 ms, tiramos um conjunto de
medidas do tempo de queda de um corpo4. Na tabela 3.1 esta˜o os dados obtidos.
n valor (ms) n valor (ms)
1 4,93 6 5,17
2 2,21 7 3,83
3 0,77 8 4,12
4 6,00 9 5,40
5 7,01 10 2,56
Tabela 3.1: Tabela de medidas com cronoˆmetro eletroˆnico.
A partir do conjunto de medidas (n = 10) podemos calcular a me´dia dos tempos t. Usaremos
para isso a expressa˜o (3.1), que desenvolvendo um pouco, fica
t =
1
10
(t1 + t2 + · · ·+ t10)
=
1
10
(4, 93 + 2, 21 + · · ·+ 2, 56) = 4, 20 ms ,
ja´ levando em conta a quantidade correta de algarismos significativos.
O desvio padra˜o e´ calculado pela expressa˜o (3.4),
s =
√
1
9
[(4, 93− 4, 20)2 + (2, 21− 4, 20)2 + · · ·+ (2, 56− 4, 20)2]
= 1, 90 ms
(incluso arredondamento e d´ıgitos significativos corretos).
O desvio padra˜o da me´dia e´ dado por (3.5):
sm =
1, 90√
10
= 0, 60 ms .
4Exemplo extra´ıdo da sec¸a˜o 1.5 em [19].
13
Portanto, o tempo de queda me´dio para 10 medic¸o˜es pode ser escrito como,
t = 4, 20± 0, 60 ms .
Note que,
• a incerteza da me´dia, dada pelo desvio padra˜o da me´dia sm, e´ muito maior que a incerteza
do cronoˆmetro. Isto porque o desvio padra˜o inclui flutuac¸o˜es e variabilidades pro´prias do
processo de medic¸a˜o que levam em conta a incerteza do instrumento;
• o tempo de queda me´dio foi escrito com duas casas decimais, da mesma forma que sua
incerteza;
• o desvio padra˜o e o desvio padra˜o da me´dia teˆm dimensa˜o f´ısica (igual a da me´dia), isto e´, a
unidade de medida de ambos e´ milissegundos.
3.4 Erro Relativo Percentual
Em se tratando de medidas, devemos observar que incerteza e erro sa˜o conceitos distintos. O erro
(seja ele qual for) pode, em princ´ıpio, ser corrigido, enquanto a incerteza define um intervalo no qual
as medidas ira˜o ocorrer com alguma probabilidade. Assim, caso a experieˆncia apresente erros, existe
uma falha no processo que (por princ´ıpio) pode e deve ser corrigido (consulte sec¸a˜o 2.1 em [19]).
Um processo de medic¸a˜o tem por objetivo determinar o valor me´dio verdadeiro xv de um conjunto
de medidas de uma grandeza cujo valor verdadeiro e´ xv. Contudo, em geral, na˜o se conhece o
valor verdadeiro de uma grandeza. Ademais, para se determinar o valor me´dio verdadeiro de uma
grandeza, seriam necessa´rias infinitas medic¸o˜es! Em outras palavras, para um conjunto de medidas
{x1, x2, ..., xn}, o valor me´dio verdadeiro deveria ser determinado por:
xv = lim
n→∞
(
1
n
n∑
i=1
xi
)
. (3.7)
Como xv e´ um valor inacess´ıvel, usam-se estimativas: a me´dia x dada por (3.1), o desvio padra˜o
s dado por (3.4), e o desviopadra˜o da me´dia sm dado por (3.5).
O erro relativo Er expressa o grau de precisa˜o de uma medic¸a˜o e e´ dado pela expressa˜o (confira
sec¸a˜o 3.2.4 em [1]),
Er =
sm
x
. (3.8)
Quanto menor o erro relativo, maior a precisa˜o. Em termos percentuais, damos o nome para esse
paraˆmetro de erro relativo percentual Erp, sendo que
Erp =
sm
x
· 100 . (3.9)
No exemplo da sec¸a˜o anterior, o erro relativo percentual do tempo de queda do corpo fica,
Erp =
0, 60
4, 20
· 100 = 14, 28% .
Existem duas observac¸o˜es a respeito de erros relativos que devem ser consideradas [14]. Primeiro,
ha´ de se notar que para estimarmos o erro relativo, o valor de x na˜o pode ser zero. Segundo, o erro
relativo e´ sens´ıvel a` unidade de medida do valor me´dio estimado x.
14
Por exemplo, suponha quatro medidas de temperatura (n = 4) em graus Celsius, com desvios,
isto e´ (xi − x), da ordem de 1 unidade e x = 1 ◦C. De (3.4), (3.5), e (3.9) teremos,
s '
√
1
3
· 4 ' 1 ◦C , sm ' 1
2
◦C , Erp ' 1/2
1
· 100 = 50% .
Contudo, para a mesma situac¸a˜o, mas com x = 1 oC convertido em kelvins, ou seja x = 273, 15 K,
teremos
s '
√
1
3
· 4 ' 1 K , sm ' 1
2
K , Erp ' 1/2
273, 15
· 100 = 0, 183% .
3.5 Propagac¸a˜o de Incertezas
Imagine que queremos saber a medida de uma certa grandeza f que depende da medida de
uma outra grandeza x. Em outros termos, f e´ uma medida indireta de x, e´ uma func¸a˜o de x.
Matematicamente, escrevemos
f = f(x) .
Aqui, entenda-se f(x) como a forma da func¸a˜o: polinomial, logar´ıtmica, trigonome´trica, etc; e f o
escalar do contradomı´nio no qual a func¸a˜o e´ valorada.
Naturalmente, a medida da grandeza x carrega consigo uma incerteza a qual chamaremos de ∆x.
Se e´ assim, enta˜o qual sera´ a incerteza ∆f associada a grandeza f?
Podemos estimar ∆f observando que (consulte sec¸a˜o 3.4 em [1])
f + ∆f = f(x+ ∆x)
f −∆f = f(x−∆x) , (3.10)
o que implica que
∆f =
[
f(x+ ∆x)− f(x−∆x)
2
]
. (3.11)
Para o caso em que f e´ func¸a˜o de uma u´nica grandeza x, o me´todo acima e´ satisfato´rio. Entre-
tanto, se f e´ func¸a˜o de um conjunto de grandezas x1, x2, ..., xn, ter´ıamos que calcular o valor de f
para va´rios conjuntos de medidas, calcular a me´dia dos valores de f , seu desvio padra˜o e o desvio
padra˜o da me´dia, o qual tomar´ıamos como paraˆmetro para a incerteza, como prescrito na sec¸a˜o 3.2.
Em muitos casos esta u´ltima abordagem na˜o e´ recomendada. Em repetic¸o˜es de va´rias medidas
de uma grandeza, podem existir flutuac¸o˜es na medic¸a˜o, que por sua vez “se propagam”, interferindo
no valor da incerteza de f [17].
Quando a incerteza em x e´ estimada pelo seu desvio padra˜o sx, a incerteza sf associada a` grandeza
f fica melhor estabelecida por um resultado estat´ıstico (verifique o apeˆndice A) disposto da maneira
que se segue ...
Se f na˜o e´ func¸a˜o apenas de uma u´nica grandeza x, mas de um conjunto de n grandezas
x1, x2, ..., xn, tem-se que
sf
2 =
n∑
i=1
(
∂f
∂xi
· si
)2
. (3.12)
Esta equac¸a˜o nos diz que se f = f(x1, x2, ..., xn), a incerteza de f e´ dada pela raiz quadrada de uma
soma. Esta soma e´ uma soma de quadrados de produtos: o produto da derivada parcial de f pela
incerteza da varia´vel a que se refere a` derivada.
Cabem aqui algumas observac¸o˜es: (a) f deve ser uma func¸a˜o suave, tal que sua derivada exista
em todos os pontos de seu domı´nio de validade; (b) as derivadas parciais sa˜o avaliadas em xi = xi, a
15
me´dia de xi; (c) o modelo estat´ıstico que suporta a expressa˜o para sf considera que as varia´veis xi
sejam estatisticamente independentes, ou seja, a partir da medida de uma grandeza na˜o e´ poss´ıvel
inferir nada a respeito da medida de outra grandeza (consulte sec¸a˜o 4.2 em [1], e tambe´m sec¸a˜o 3.1.5
em [21]).
Vejamos um exemplo (adaptado de [17]): mediu-se o tempo t de queda livre de um determinado
corpo e o espac¸o h percorrido durante a queda. Os valores me´dios de cada uma das medidas sa˜o
t = 2, 65± 0, 20 s e h = 34, 0± 0, 50 m. A acelerac¸a˜o da gravidade local pode ser obtida atrave´s da
expressa˜o
g =
2h
t2
,
tal que, em vista dos valores acima, g = 9, 68 m/s2.
A incerteza em g pode ser obtida como se segue: observe que g e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis,
isto e´, g = g(h, t), enta˜o, por (3.12) temos que:
sg
2 =
(
∂g
∂h
· sh
)2
+
(
∂g
∂t
· st
)2
=
(
2
t
2 · sh
)2
+
(
−4 h
t
3 · st
)2
=
(
2
(2, 65)2
· 0, 50
)2
+
(
−4 34, 0
(2, 65)3
· 0, 20
)2
= 2, 16 (m/s2)2 .
Portanto, teremos g = 9, 68 m/s2 e sg = 1, 47 m/s
2.
16
Cap´ıtulo 4
Gra´ficos
Gra´ficos sa˜o uma das principais maneiras de se apresentar e analisar dados no campo das cieˆncias
exatas [1]. Eles podem fornecer informac¸o˜es das formas mais diversas. Tais informac¸o˜es dependem
do problema estudado e podem estar relacionadas, por exemplo, a` a´rea em baixo da curva do gra´fico,
a` inclinac¸a˜o de uma reta, a` descontinuidade de uma curva, etc. Nesse sentido, e´ fundamental ao
experimentador o domı´nio de te´cnicas de construc¸a˜o e interpretac¸a˜o de gra´ficos. Em termos pra´ticos,
um gra´fico deve fornecer uma ajuda visual para a argumentac¸a˜o do seu autor e para que seu pu´blico
entenda rapidamente as evideˆncias experimentais de um projeto.
Este cap´ıtulo e´ uma introduc¸a˜o a` “maneira canoˆnica” do uso de gra´ficos principalmente em expe-
rimentos de laborato´rio. Ale´m da leitura do cap´ıtulo, a consulta em [18] e´ fortemente recomendada.
4.1 Construc¸a˜o de Gra´ficos
Antes da construc¸a˜o de qualquer gra´fico, o bom senso e´ um poderoso aliado do estudante. E´
preciso um pouco de calma para que seja poss´ıvel analisar qual a melhor forma de apresentar este
ou aquele gra´fico. A parte disso, vale a pena observar alguns pontos [25]:
• Cada eixo coordenado deve ser identificado com o s´ımbolo da grandeza a qual representa,
com sua unidade de medida entre pareˆnteses.
• Cada ponto experimental deve ser marcado no gra´fico de forma a na˜o deixar du´vidas sobre
o referido ponto. Em geral usam-se s´ımbolos como �,⊗,⊕,�,�,�, etc. Isso evita confundir
um ponto qualquer da folha com um ponto experimental. Pontos experimentais sempre
devem vir acompanhados de sua barra de erros correspondente1.
• Sempre que poss´ıvel deve-se escolher as escalas dos eixos coordenados de forma que os dados
experimentais ocupem o maior espac¸o poss´ıvel no papel, e de maneira que as barras de erros
dos pontos experimentais fiquem evidentes. Caso os erros forem muito pequenos para
aparecer na escala, indique isso na legenda (confira os to´picos abaixo).
• O trac¸ado da curva deve seguir a tendeˆncia dos pontos experimentais. Ela na˜o precisa
passar sobre todos os pontos. Na realidade, ocorrera˜o casos em que a curva na˜o passara´ sobre
ponto algum do gra´fico. Sendo assim, esta na˜o precisa iniciar no primeiro e nem terminar no
u´ltimo ponto representado.
• Por fim, e´ sempre conveniente uma legenda que acompanha o gra´fico para diferenciar curvas
e pontos experimentais. No caso de muitos gra´ficos, as “figuras” devem ser numeradas e com
legendas.
1O significado de barra de erros ficara´ evidente a seguir.
17
Vejamos um exemplo: para intervalos de 0,1 m de 14 alturas diferentes, foram registradas 10
medidas de tempo de queda livre de esferas de ac¸o. Foi determinada a me´dia t dos tempos para cada
uma das alturas, conforme a tabela a seguir (exemplo baseado em [26]):
n h (m) t (s) t
2
(s2) n h (m) t (s) t
2
(s2)
1 0, 10± 0, 02 0, 16± 0, 01 0, 02± 0, 00 8 0, 80± 0, 02 0, 42± 0, 02 0, 18± 0, 02
2 0, 20± 0, 02 0, 21± 0, 02 0, 04± 0, 01 9 0, 90± 0, 02 0, 44± 0, 01 0, 19± 0, 01
3 0, 30± 0, 02 0, 26± 0, 02 0, 07± 0, 01 10 1, 00± 0, 02 0, 46± 0, 02 0, 21± 0, 02
4 0, 40± 0, 02 0, 30± 0, 02 0, 09± 0, 01 11 1, 10± 0, 02 0, 48± 0, 02 0, 23± 0, 02
5 0, 50± 0, 02 0, 33±0, 02 0, 11± 0, 01 12 1, 20± 0, 02 0, 50± 0, 01 0, 25± 0, 01
6 0, 60± 0, 02 0, 36± 0, 02 0, 13± 0, 01 13 1, 30± 0, 02 0, 52± 0, 02 0, 27± 0, 02
7 0, 70± 0, 02 0, 39± 0, 02 0, 15± 0, 02 14 1, 40± 0, 02 0, 55± 0, 02 0, 30± 0, 02
Tabela 4.1: Tabela de medidas de tempos me´dios para 14 alturas diferentes.
0
0, 3
0, 6
0, 9
1, 2
1, 5
h
(m
)
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6
t (s)
Teo´rico
ExperimentalExperimental
Figura 4.1: Gra´fico da altura em func¸a˜o da me´dia dos tempos de queda.
Neste exemplo, a medida dos tempos de queda dos corpos tem como finalidade o ca´lculo da
acelerac¸a˜o da gravidade local pela expressa˜o (confira, por exemplo, sec¸a˜o 2.6 em [3]):
h =
1
2
g t2 . (4.1)
Nos foi apresentada a Tab. 4.1 a partir da qual colocamos os pontos experimentais no gra´fico da
Fig. 4.1. A Tab. 4.1 apresenta 14 medidas, enta˜o teremos 14 pontos no gra´fico.
Observe que, pela tabela, a coluna de h apresenta intervalos iguais de 0,10 m, sendo que todas as
medidas tem uma incerteza de 0,02 m. Portanto, verticalmente, os pontos esta˜o igualmente espac¸ados
no gra´fico e as barras de erro verticais possuem todas o mesmo comprimento.
Na coluna de t, os tempos me´dios calculados para cada uma das 14 alturas h, variam de 0, 16 s
a 0,55 s. Ale´m disso, a tabela nos mostra que as incertezas para os tempos me´dios variam entre 0,01
18
e 0,02 s. No gra´fico isso pode ser observado notando que as barras de erro horizontais em cada ponto
na˜o possuem comprimentos iguais.
A curva solida, tambe´m trac¸ada junto aos pontos experimentais, diz respeito ao gra´fico da func¸a˜o
h(t),
h = 4, 9 t
2
,
que corresponde a (4.1) adotando g = 9, 8 m/s2.
Dois pontos sa˜o dignos de nota: primeiro, foi feita uma escolha mais discreta para o s´ımbolo ado-
tado para grafar os pontos experimentais. Caso contra´rio, a visualizac¸a˜o das barras de erros poderia
ficar prejudicada; segundo, assumiu-se ja´ conhecida a priori a teoria subjacente ao problema. Em
investigac¸o˜es puramente emp´ıricas, quando o arcabouc¸o teo´rico e´ desconhecido, a varia´vel indepen-
dente deve ser ajustada prioritariamente no eixo das abcissas. Caso na˜o conheceˆssemos a cinema´tica
da queda livre, para cada valor de h, ter´ıamos uma me´dia temporal t, de modo que h deveria ser
considerada a varia´vel independente (variando a altura, obter´ıamos um valor para o tempo me´dio),
e portanto deveria ser colocada no eixo das abcissas. Desse modo, a varia´vel dependente t estaria no
eixo das ordenadas.
4.2 Linearizac¸a˜o de Curvas
Na sec¸a˜o anterior mostramos alguns passos para que um gra´fico seja esteticamente bem apre-
senta´vel. Todavia, na˜o calculamos o valor da gravidade local referente aos dados da Tab. 4.1.
Para obter esse resultado faremos uso de uma te´cnica conhecida como linearizac¸a˜o de curvas, e
na pro´xima sec¸a˜o usaremos o me´todo dos mı´nimos quadrados.
O processo de linearizac¸a˜o de curvas consiste em fazer uma mudanc¸a de varia´veis na equac¸a˜o
fornecida pela teoria para que ela tome a forma de uma func¸a˜o afim.
A ideia e´ que (4.1) no exemplo da sec¸a˜o anterior, assuma a forma da equac¸a˜o de uma reta, isto e´,
y = ax+ b , (4.2)
sendo x a varia´vel independente, y a varia´vel dependente, a o coeficiente angular, e b o coeficiente
linear da reta.
Assim, de (4.1), fazemos
a = g/2 , x = t2 , y = h , b = 0 , (4.3)
teremos agora,
y = ax . (4.4)
Com essa mudanc¸a de varia´veis (4.4) tem a forma de uma reta. Mais precisamente, de uma reta que
passa pela origem do plano cartesiano, pois neste caso b = 0.
Sem perder de vista nosso objetivo, que e´ calcular o valor de g com base nos dados da Tab. 4.1,
note que se calcularmos os valores de x para cada um dos t, poderemos fazer um gra´fico de h× x tal
que sera´ poss´ıvel trac¸ar uma reta que se ajuste bem aos pontos experimentais. A partir do
gra´fico desta reta, podemos obter o coeficiente angular a que nos permitira´ calcular g via (4.3).
A Tab. 4.1 mostra os valores de x = t
2
para cada uma das alturas, e a Fig. 4.2 mostra o gra´fico de
h× x para os pontos experimentais atrave´s da linearizac¸a˜o de (4.1). Na Fig. 4.2 ainda foi trac¸ada a
melhor reta que se ajusta a esses pontos. O ca´lculo dos paraˆmetros a e b empregados na construc¸a˜o
desta reta sera˜o discutidos na pro´xima sessa˜o.
Um outro exemplo interessante pode ajudar a esclarecer melhor a linearizac¸a˜o de curvas quando
trabalhamos em experimentos (confira sec¸a˜o 4 em [25]): considere uma experieˆncia para a deter-
minac¸a˜o da velocidade do som no ar (va). Mediu-se o comprimento de onda (λ) em func¸a˜o da
frequeˆncia (f) de onde foi obtida a Tabela 4.2.
19
0
0, 3
0, 6
0, 9
1, 2
1, 5
h
(m
)
0 0, 1 0, 2 0, 3
x (s2)
Experimental
melhor reta
experimental
Figura 4.2: A melhor reta que se ajusta aos pontos experimentais.
Sendo a equac¸a˜o que rege o fenoˆmeno dada por
va = λ f , (4.5)
como podemos descobrir o valor de va?
f (Hz) 1000 800 600 400 200 100
λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556
Tabela 4.2: Dados experimentais para a determinac¸a˜o da velocidade do som no ar.
Procederemos por partes:
• inicialmente observe que, para simplificac¸a˜o do problema, as incertezas das medidas foram
suprimidas.
• o primeiro passo e´ colocar os pontos experimentais em um gra´fico. Isto e´ feito na Fig. 4.3.
• Note que o cabec¸alho do exemplo afirma que foi medido o comprimento de onda em func¸a˜o da
frequeˆncia, isto e´, λ = λ(f). Veja que, isolando λ em (4.5), teremos,
λ =
va
f
. (4.6)
Enta˜o, uma func¸a˜o cujo gra´fico se ade´qua bem aos pontos experimentais (Fig. 4.3) tera´ a
forma
y =
k
x
, (4.7)
para k ∈ R e muito maior que 1. A func¸a˜o (4.7) foi trac¸ada no gra´fico da Fig. 4.3 em linha
tracejada assumindo k = 340, pois sabemos, da acu´stica, que a velocidade do som no ar e´
aproximadamente 340 m/s.
20
0
1
2
3
λ
(m
)
0 200 400 600 800 1000
f (Hz)
Experimental
func¸a˜o proposta
experimental
Figura 4.3: Pontos experimentais para ca´lculo de va.
• Estamos procurando o valor de va, para isso iremos agora linearizar a expressa˜o (4.6), ou seja,
fazer com que (4.6) assuma uma forma semelhante a equac¸a˜o de uma reta como em (4.2).
Fac¸amos,
y = λ (varia´vel dependente)
a = va (coeficiente angular)
x = 1/f (varia´vel independente)
b = 0 (coeficiente linear)
Desse modo, podemos calcular x e y para montar uma nova tabela (Tab. 4.3) que especifica
os pontos apresentados no gra´fico de λ× (1/f) na Fig. 4.4.
λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556
f−1 × 10−3 (s) 1,000 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0
Tabela 4.3: Dados experimentais linearizados.
• Da mesma forma que (4.7) se ajustou bem aos pontos da Tab. 4.2, uma reta ira´ se ajustar
bem a` linearizac¸a˜o dos dados na Tab. 4.3. Na Fig. 4.4, trac¸amos uma reta unindo os
pontos experimentais e extrapolando ate´ o eixo das abcissas, e para ale´m do u´ltimo ponto
experimental.
• Para calcular o coeficiente angular a do gra´fico da Fig. 4.4 toma-se dois pontos quaisquer da
reta, que na˜o necessariamente pertence a` Tab. 4.3, e aplica-se a equac¸a˜o
a =
y2 − y1
x2 − x1
(em geral, nesse procedimento e´ u´til o uso do papel milimetrado, para que seja poss´ıvel ler os
valores das coordenadas). Escolhendo os pontos (0, 50 · 10−3; 171, 8 · 10−3) e
21
0
1000
2000
3000
λ
(×
10
−3
m
)
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f−1 (×10−3 s)
linha trac¸ada
pts exp. linearizados
Figura 4.4: Gra´fico de pontos experimentais apo´s a linearizac¸a˜o.
(9, 50 · 10−3; 3279 · 10−3) da reta, pela equac¸a˜o acima, teremos
a =
3279− 171, 8
9, 50− 0, 50 = 345, 2 m/s .
Ate´ aqui, a equac¸a˜o da reta da Fig. 4.4 tem a forma
y = 345, 2x+ b . (4.8)
• Para calcular o “paraˆmetro linear” b, no´s escolhemos um ponto qualquer da reta e
substitu´ımosseus valores na expressa˜o (4.8) acima. Escolhendo o ponto
(1× 10−3, 344, 49× 10−3), termos
344, 49× 10−3 = 345, 2× 10−3 + b ⇒ b = 0, 71× 10−3 m .
Vale observar que neste exemplo, o paraˆmetro linear, embora muito pequeno, difere do valor
esperado (b = 0) quando a linearizac¸a˜o foi feita. Este fato indica a existeˆncia de erro sistema´tico nas
medidas de uma ou outra grandeza.
A equac¸a˜o da reta no gra´fico da Fig. 4.4 e´ dada por
y = 345, 2x− 0, 00071 ,
e a velocidade do som no ar va e´ igual ao paraˆmetro angular a, portanto
va = 345, 2 m/s .
4.3 Me´todo dos Mı´nimos Quadrados
O me´todo dos mı´nimos quadrados (MMQ) e´ uma te´cnica de otimizac¸a˜o matema´tica [29]. Com
essa te´cnica procura-se encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados na tentativa de mi-
nimizar a soma dos quadrados das diferenc¸as entre um valor estimado e os dados observados (tais
diferenc¸as sa˜o chamadas res´ıduos).
22
Vamos supor que obtemos um conjunto de pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) atrave´s de um
processo de medic¸a˜o, com o intuito de fazermos um gra´fico. Qual sera´ a expressa˜o da curva que
melhor se ajusta a esses pontos? A estat´ıstica responde essa pergunta pelo tratamento dos dados
recorrendo a regresso˜es lineares, logar´ıtmicas, polinomiais, etc.
Aqui, iremos nos concentrar em uma abordagem por regressa˜o linear simples que consiste em
um me´todo para modelar um conjunto de pontos experimentais por uma func¸a˜o afim, isto e´,
y = mx+ q , (4.9)
onde y representa uma varia´vel dependente e x uma varia´vel independente.
A regressa˜o linear nos da´ a melhor reta que transpassa uma sucessa˜o de pontos experimentais
representados em um gra´fico. As equac¸o˜es que fornecem os valores dos paraˆmetros linear q e angular
m, sa˜o as seguintes (veja apeˆndice B):
m =
∑
i(xi − x)(yi − y)∑
i(xi − x)2
, (4.10)
q = y −mx , (4.11)
sendo que x, y representam as me´dias dos respectivos observa´veis, e o somato´rio em i corre de 1 a n.
Tambe´m podemos inferir um paraˆmetro adicional interessante, chamado coeficiente de deter-
minac¸a˜o R2 (confira apeˆndice C), que estabelece um grau de qualidade do ajuste da regressa˜o. Ele
e´ dado pela expressa˜o
R2 =
∑
i(yˆi − y)2∑
i(yi − y)2
, (4.12)
onde yˆi representa a coordenada yi da melhor reta dada pela regressa˜o linear. O valor de R
2 varia no
intervalo [0, 1], e quanto mais pro´ximo da unidade, melhor e´ o ajuste da reta aos pontos experimentais.
Retomemos o exemplo da medida de tempos de queda das esferas de ac¸o da sec¸a˜o 4.1. Vamos
calcular os coeficientes, angular e linear, da reta da Fig. 4.2. Isso nos permitira´ calcular o valor da
acelerac¸a˜o em (4.3).
Para calcularmos o coeficiente angular m, observando (4.10), vemos que o primeiro passo e´ obter
o valor de x. Assim, tendo em vista a Tab. 4.1 e a linearizac¸a˜o (4.3), onde x = t
2
, teremos que
x =
x1 + x2 + . . .+ x14
14
=
0, 02 + 0, 04 + . . .+ 0, 30
14
= 0, 16 s2 .
Calculemos agora o valor de y tendo como base a Tab. 4.1, e lembrando que por (4.3), y = h:
y =
y1 + y2 + . . .+ y14
14
=
0, 10 + 0, 20 + . . .+ 1, 40
14
= 0, 75 m .
23
Calculemos agora os somato´rios em (4.10),
14∑
i=1
(xi − x)(yi − y) = (x1 − x)(y1 − y) + (x2 − x)(y2 − y) + . . .+ (x14 − x)(y14 − y)
= (0, 02− 0, 16)(0, 10− 0, 75) + (0, 04− 0, 16)(0, 20− 0, 75) + . . .
. . .+ (0, 30− 0, 16)(1, 40− 0, 75) = 0, 474 s2 m .
14∑
i=1
(xi − x)2 = (x1 − x)2 + (x2 − x)2 + . . .+ (x14 − x)2
= (0, 02− 0, 16)2 + (0, 04− 0, 16)2 + . . .+ (0, 30− 0, 16)2 = 0, 10 s4 .
Calculando m e q teremos,
m =
∑14
i=1(xi − x)(yi − y)∑14
i=1(xi − x)2
=
0, 47 s2 m
0, 1 s4
= 4, 74 m/s2
q = 0, 75 m− (4, 74 m/s2) (0, 16 s2) = − 0, 0084 m .
Por (4.9), a equac¸a˜o da melhor reta fica enta˜o,
y = 4, 74x− 0, 0084 . (4.13)
Note que, dimensionalmente (4.13) esta´ bem ajustada, sendo que o valor de y da melhor reta e´ dado
em metros.
Comparando (4.2) com (4.9), e levando em conta a linearizac¸a˜o (4.3), vem que
a = g/2 = m ⇒ g = 2 m ,
b = q .
Nessa linha, a gravidade g local, tendo em vista os dados da Tab. 4.1, fica
g = 2 m = 2(4, 74) = 9, 48 m/s2 .
De maneira ana´loga ao u´ltimo exemplo da sec¸a˜o anterior, o valor do coeficiente linear, embora
pequeno, na˜o e´ nulo (b = q = −0, 0084). Tal fato se deve a erros experimentais nas medidas.
Para calcular o coeficiente de determinac¸a˜o R2 para esse exemplo, precisamos inicialmente calcular
yˆ1, yˆ2, . . . , yˆ14 para cada uma das medidas x1, x2, . . . , x14 por meio de (4.13). A partir da´ı, e´ poss´ıvel
calcular o numerador de (4.12). O denominador e´ calculado com o auxilio da Tab. 4.1 e do valor de
y. Efetivamente, teremos (o arredondamento sera´ feito somente quando obtivermos o valor final de
R2)
yˆ1 = m x1 + q = 4, 74 (0, 02)− 0, 0084 = 0, 0864
yˆ2 = m x2 + q = 4, 74 (0, 04)− 0, 0084 = 0, 1812
:
.˙
yˆ14 = m x14 + q = 4, 74 (0, 30)− 0, 0084 = 1, 4136 .
O numerador de (4.12) fica,
14∑
i=1
(yˆi − y)2 = (yˆ1 − y)2 + (yˆ2 − y)2 + . . .+ (yˆ14 − y)2
= (0, 0864− 0, 75)2 + (0, 1812− 0, 75)2 + . . .+ (1, 4136− 0, 75)2
= 2, 2242924 m2 .
24
O denominador,
14∑
i=1
(yi − y)2 = (y1 − y)2 + (y2 − y)2 + . . .+ (y14 − y)2
= (0, 10− 0, 75)2 + (0, 20− 0, 75)2 + . . .+ (1, 40− 0, 75)2
= 2, 275 m2 .
Portanto, de (4.12)
R2 =
∑14
i=1(yˆi − y)2∑14
i=1(yi − y)2
' 0, 98 ,
sendo este valor adimensional e ja´ arredondado. O valor pro´ximo da unidade era esperado, ele nos
mostra que a melhor reta possui uma boa concordaˆncia com os pontos experimentais, o que e´ vis´ıvel
no gra´fico da Fig. 4.2.
4.4 Gra´ficos Semi-log
Em se tratando de gra´ficos, dependendo do conjunto de dados a serem analisados, uma atitude
perspicaz e´ mudar a escala de um dos eixos coordenados. Nessa sec¸a˜o veremos como ajustar um dos
eixos em escala logar´ıtmica.
Considere o seguinte experimento no qual se mediu a variac¸a˜o da carga Q de um capacitor em
descarga em func¸a˜o do tempo t (adaptado da sec¸a˜o 6 em [25]). Foram obtidos os seguintes dados na
Tab. 4.4. Sabe-se ainda que a equac¸a˜o que relaciona as varia´veis tem a forma
Q(t) = Q0e
kt . (4.14)
Qual sera´ os valores de Q0 e k para esse experimento?
n 1 2 3 4 5
Q (C) 13,20 6,80 3,50 1,80 0,92
t (s) 1,0 3,0 5,0 7,0 9,0
Tabela 4.4: Dados para descarga de um capacitor.
Observe na Fig. 4.5-a os 5 pontos experimentais da Tab. 4.4 em um gra´fico de dispersa˜o. Eles
lembram uma curva exponencial decrescente. Todavia, para obtermos informac¸o˜es relevantes a res-
peito dessa curva, precisamos linearizar a equac¸a˜o (4.14) e achar os valores dos paraˆmetros Q0 e
k.
Antes de partimos para a linearizac¸a˜o, observe na Fig. 4.5-b como fica um gra´fico de dispersa˜o
dos dados da Tab. 4.4 em um papel semi-log. O papel semi-log, de uso frequente em laborato´rios, e´
semelhante ao papel milimetrado, mas com o eixo das ordenadas em escala logar´ıtmica ao inve´s da
escala linear usual. Note como os pontos experimentais se dispo˜em de forma quase colinear nesse
gra´fico.
Uma escala logar´ıtmica e´ uma escala que usa o logar´ıtmico de uma grandeza em vez da grandeza
propriamente dita. No papel semi-log, a graduac¸a˜o do eixo das ordenadas e´ ajustado de modo que
cada valor x de uma graduac¸a˜o linear (como no eixo das abcissas) assuma um valor y correspondente,
sendo que
y = ln(x) , (4.15)
25
0
3
6
9
12Q
(C
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
(a)
0, 1
1
10
100
Q
(C
)
0 2 4 6 8 10
t (s)
(b)
Figura 4.5: (a) Gra´fico de dispersa˜o dos pontos experimentais em escalas lineares. (b) Dispersa˜o dos
pontos em papel semi-log.
expressa a relac¸a˜o entre as grandezas (Fig. 4.6). O plano semi-log e´ muito u´til quando a func¸a˜o que
relaciona os dados experimentais e´ do tipo
f(x) = c1 e
c2x , (4.16)
onde c1 e c2 sa˜o constantes.
Repare na Fig. 4.5-bque o eixo logar´ıtmico e´ dividido em de´cadas (regio˜es), geralmente treˆs
(confira sec¸a˜o 6 em [25]). A relac¸a˜o entre o in´ıcio de uma de´cada e o in´ıcio da seguinte e´ de uma
poteˆncia de dez. Por exemplo, se a primeira de´cada assume o valor 1 (100), a primeira linha da
de´cada seguinte assumira´ o valor 10 (101), e assim sucessivamente. A apresentac¸a˜o de dados em uma
escala logar´ıtmica tambe´m pode ser u´til quando os dados cobrem um intervalo grande de valores: o
logaritmo reduz a representac¸a˜o a uma escala mais fa´cil de ser visualizada [37].
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 4.6: Comparac¸a˜o entre a escala linear e a logar´ıtmica.
No exemplo do capacitor, a maneira imediata de se conseguir a linearizac¸a˜o e´ tomar o logaritmo
natural de cada lado de (4.14). Fazendo isso, teremos
ln(Q(t)) = ln(Q0e
(kt)) (4.17)
= ln(Q0) + kt .
Comparando com (4.9), implica que
m = k , x = t , q = ln(Q0) , y = ln(Q(t)) . (4.18)
Uma mudanc¸a de varia´veis da forma como a estabelecida acima (4.18) nos permite achar os
valores de m e q pelo me´todo dos mı´nimos quadrados e trac¸ar uma reta em um gra´fico de escalas
lineares como na Fig. 4.2, ou em um gra´fico semi-log, como feito na Fig. 4.5-b.
26
Com base na Tab. 4.4, no MMQ, e na mudanc¸a de varia´veis (4.18), temos que
x =
1
5
5∑
n=1
ti =
t1 + t2 + t3 + t4 + t5
5
(4.19)
=
1, 0 + 3, 0 + 5, 0 + 7, 0 + 9, 0
5
= 5, 0 s
y =
1
5
5∑
n=1
ln(Qi) =
ln(Q1) + ln(Q2) + ln(Q3) + ln(Q4) + ln(Q5)
5
(4.20)
=
2, 58 + 1, 92 + 1, 25 + 0, 588− 0, 0833
5
= 1, 25
5∑
i=1
(xi − x)(yi − y) = (x1 − x)(y1 − y) + . . .+ (x5 − x)(y5 − y) (4.21)
= (1, 0− 5, 0)(2, 58− 1, 25) + . . .+ (9, 0− 5, 0)(−0, 0833− 1, 25)
= −13, 32 s
14∑
i=1
(xi − x)2 = (x1 − x)2 + . . .+ (x5 − x)2 (4.22)
= (1, 0− 5, 0)2 + . . .+ (9, 0− 5, 0)2 = 40, 0 s2
m =
∑
i(xi − x)(yi − y)∑
i(xi − x)2
=
−13, 32 s
40, 0 s2
= −0, 333 s−1 (4.23)
q = y −mx = 1, 25− (−0, 333) 1
s
· 5, 0 s = 2, 92 (4.24)
A equac¸a˜o da reta fica enta˜o,
y = −0, 333x+ 2, 92 . (4.25)
Essa equac¸a˜o da´ a melhor reta em um gra´fico de escalas lineares.
Para trac¸armos a melhor reta em um papel semi-log, no´s tomamos a exponencial de (4.25), isto e´,
dos valores de y, pois o eixo das abscissas esta´ em escala logar´ıtmica. Quando fazemos isso, obtemos,
y˜ = exp (2, 92− 0, 333x) . (4.26)
O gra´fico dessa u´ltima func¸a˜o foi trac¸ado no plano semi-log da Fig. 4.5-b se adequando de maneira
muito boa aos pontos experimentais.
Por (4.18) podemos achar os valores de k e Q0. Assim,
k = m = −0, 333 s−1, (4.27)
e,
Q0 = exp(q) = exp(2, 92) = 18, 54 C . (4.28)
Esses paraˆmetros podem agora ser substitu´ıdos em (4.14) para obter a expressa˜o
Q = 18, 54 e−0,333 t , (4.29)
que foi usada para construir a curva pontilhada na Fig. 4.5-a.
27
4.5 Gra´ficos Log-log
Quando fenoˆmenos f´ısicos sa˜o descritos por func¸o˜es do tipo
f(x) = k1 x
k2 , (4.30)
onde k1 e k2 sa˜o constantes, o papel di-log (ou log-log) se faz muito u´til.
No papel di-log as escalas do eixo das abscissas e das ordenadas sa˜o proporcionais ao logaritmo
das grandezas que elas representam (consulte sec¸a˜o 7 em [25]). Vejamos um exemplo pra´tico:
Um varistor e´ um componente eletroˆnico cujo valor da resisteˆncia ele´trica varia inversamente
com a diferenc¸a de potencial em seus terminais (confira [38]). Medidas de corrente e tensa˜o efetuadas
em um determinado varistor forneceram os dados experimentais da Tab. 4.5. A func¸a˜o matema´tica
que rege o fenoˆmeno tem a forma
U(I) = α Iβ , (4.31)
sendo I a corrente que percorre o componente, U a tensa˜o aplicada em seus terminais, e α e β
constantes reais que precisam ser determinadas.
n 1 2 3 4 5 6
U (V) 18,7 31,5 92,0 150,0 215,0 340,0
I (A) 0,48 0,88 4,10 7,50 13,00 23,00
Tabela 4.5: Medidas de tensa˜o e corrente em um varistor.
Comecemos por tomar o logaritmo natural de ambos os lados de (4.31):
ln(U) = ln(α) + β ln(I) . (4.32)
Ora, essa expressa˜o e´ muito parecida com (4.9) se interpretarmos
y = ln(U) , m = β , x = ln(I) , e q = ln(α) . (4.33)
De fato, os dados da Tab. 4.5 se dispo˜em de maneira linear quando marcados em um papel di-log,
como feito na Fig. 4.7-a. Note que, nesse gra´fico, o intervalo das grandezas e´ diferente entre os dois
eixos: na abscissa, corre de 0,1 a` 100 A, e na ordenada de 1 a` 1000 V.
Podemos obter os valores de m e q em (4.33) usando o me´todo dos mı´nimos quadrados. E a
partir destes valores, calculamos o valor dos paraˆmetros α e β.
Para calcular m e q, fica mais fa´cil se fizermos uma nova tabela a partir da Tab. 4.5, como fizemos
na Tab. 4.6.
n 1 2 3 4 5 6
U (V) 18,7 31,5 92,0 150,0 215,0 340,0
y = ln(U) 2,928 3,450 4,522 5,011 5,371 5,829
I (A) 0,48 0,88 4,10 7,50 13,00 23,00
x = ln(I) - 0,7340 - 0,1278 1,411 2,015 2,565 3,136
Tabela 4.6: Linearizac¸a˜o de dados da Tab. 4.5.
A maneira explicita de como calcular os valores desses paraˆmetros ja´ foi enfatizada nas sec¸o˜es
anteriores. Nesse sentido, colocaremos somente os resultados aqui:
m = 0, 7389 , q = 3, 500 . (4.34)
28
1
10
100
1000
U
(V
)
0, 1 1 10 100
I (A)
(a)
0
100
200
300
U
(V
)
0 10 20
I (A)
(b)
Figura 4.7: (a) Dispersa˜o dos pontos experimentais em escala log-log. (b) Dispersa˜o dos pontos
experimentais em gra´fico de escalas lineares.
Os paraˆmetros da equac¸a˜o (4.31) ficam
β = m = 0, 7389 , α = exp(q) = 33, 13 Ω . (4.35)
Assim, a equac¸a˜o (4.31) toma a forma
V = (33, 13) I(0,7389) , (4.36)
cujo gra´fico foi feito em linha pontilhada nas Fig. 4.7-a e 4.7-b: o primeiro em escala log-log, e o
u´ltimo em escalas lineares.
Como ja´ explicado na sec¸a˜o 4.3, e´ poss´ıvel ainda calcular o coeficiente de determinac¸a˜o R2 da
reta trac¸ada na Fig. 4.7-a por meio de (4.12). Se fizermos isso, iremos obter, aproximadamente
R2 = 0, 9992 , (4.37)
que nos revela um excelente ajuste da reta com os pontos experimentais.
29
Apeˆndice A
Fo´rmula da Propagac¸a˜o de Incertezas
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel de um conjunto X de n grandezas xi, com i = 1, ..., n, isto e´,
(adaptado de [17])
f = f(xi) = f(x1, x2, ..., xn) , (A.1)
sendo
X = {xi} = {x1, x2, ..., xn} . (A.2)
Suponhamos que seja via´vel admitir que as incertezas si, previamente conhecidas, associadas a
cada grandeza xi, sejam pequenas o suficiente para que possamos aproximar a curva descrita por f
por uma reta, num intervalo em torno de x0i, da ordem de si, para mais ou para menos (Fig. A1).
Figura A.1: Para sx → 0 uma secante se torna uma reta tangente a curva em um u´nico ponto e
df/dx da´ o coeficiente angular da reta.
Pela definic¸a˜o de derivada, a inclinac¸a˜o dessa reta e´ dada pela derivada parcial de f em relac¸a˜o
a xi no ponto x0i, tal que sua equac¸a˜o,
f(xi) = f(x0i) +
∑
i
∂if (xi − x0i) , (A.3)
e´ dada por uma expansa˜o em se´rie de Taylor de primeira ordem (confira Cap. 16 em [30]). Note que
simplificamos um pouco a notac¸a˜o da derivada parcial de f no ponto x0i em (A.3), isto e´,
∂if =
∂f
∂xi
(x0i) .
30
Se tive´ssemos va´rios conjuntos X de medidas (A.3) tomaria a forma
f(xi
j) = f(x0i
j) +
∑
i
∂if (xi
j − x0ij) . (A.4)
Observe que ter´ıamos uma equac¸a˜o (A.4) para cada conjunto j de medidas. De maneira mais geral,
ter´ıamos
f(Xj) = f(Xj0) + ∂jf (X
j −Xj0) . (A.5)
Mas, o fato e´ que temos apenas um u´nico conjunto X de medidas, que notaremos por X0. Nesse
sentido, iremos aproximar a me´dia de f como sendo a pro´pria f(X), isto e´, f = f(X) = f(X0).
Em vista disso, substituindo (A.5) na expressa˜o da variaˆncia (3.3), temos que
sf
2 =
1
n− 1
∑
j
{[
f(Xj0) + ∂jf (X
j −Xj0)
]− f(Xj0)}2
=
1
n− 1
∑
j
[
∂jf (X
j −Xj0)
]2
, (A.6)
ou de forma mais explicita
sf
2 =
1
n− 1
∑j
[∑
i
∂f
∂xij
(xi
j − x0ij)
]2
. (A.7)
Abrindo o termo entre colchetes, teremos
sf
2 =
1
n− 1
∑
j
∑
i
(∂if)
2 (xi
j − x0ij)2 + 2
∑
i,k
i6=k
(∂if) (∂kf) (xi
j − x0ij)(xkj − x0kj)
 . (A.8)
As derivadas sa˜o calculadas no ponto x0i
j, portanto constantes para os somato´rios, tal que
sf
2 =
∑
i
(∂if)
2
[
1
n− 1
∑
j
(xi
j − x0ij)2
]
+ 2
∑
i,k
i 6=k
(∂if) (∂kf)
[
1
n− 1
∑
j
(xi
j − x0ij)(xkj − x0kj)
]
.
(A.9)
O termo
1
n− 1
∑
j
(xi
j − x0ij)2
e´ a definic¸a˜o de variaˆncia si
2 do observa´vel xi, e o termo
1
n− 1
∑
j
(xi
j − x0j)(xkj − x0kj)
e´ a covariaˆncia cov(xi, xk) (confira o apeˆndice C para maiores detalhes).
Assim, segue de (A.9) uma expressa˜o geral para a propagac¸a˜o de incertezas:
sf
2 =
∑
i
(∂if)
2 si
2 + 2
∑
i,k
i 6=k
(∂if) (∂kf) cov(xi, xk) . (A.10)
Se os observa´veis xi sa˜o todos estatisticamente independentes, a covariaˆncia entre eles e´ nula (apeˆndice
C), isto e´, cov(xi, xk) = 0,∀ i, k. Nesse caso, que e´ o usual em medidas de laborato´rio, a equac¸a˜o
(A.10) fica
sf
2 =
∑
i
(∂if)
2 si
2 , (A.11)
tal que chegamos a` (3.12).
31
Apeˆndice B
Paraˆmetros de Regressa˜o Linear
Considere a tabela abaixo constru´ıda a partir dos valores obtidos de um suposto processo de
medic¸a˜o (confira sec¸a˜o 17.4 em [31]).
x y
x1 y1
x2 y2
:˙ :˙
xn yn
Tabela B.1: Valores de grandezas medidas.
Em um gra´fico de y × x, se todos os pontos (xi, yi), i = 1, 2, ..., n, forem colineares, podemos
admitir que uma reta da forma
yˆ = mx+ q (B.1)
passara´ por todos os pontos da Tab. B.1.
Entretanto, de modo geral, na˜o e´ isso o que ocorre. Os pontos obtidos atrave´s de medidas
experimentais dificilmente sera˜o colineares quando desenhados em um gra´fico. Assim, os valores
yˆi = mxi+q de uma reta que se ajusta bem aos pontos, sera˜o apenas uma estimativa para os valores
yi da tabela (yi, sem o acento circunflexo, representa o valor experimental da varia´vel dependente).
Nesse sentido, quando usamos yˆi para estimar o valor de yi, estamos cometendo um erro ei, ou
seja (confira Fig. B.1),
ei = yˆi − yi = mxi + q − yi ,
muitas vezes chamado de res´ıduo, ou desvio.
A soma dos quadrados dos desvios f =
∑
i e
2
i , isto e´,
f(m, q) =
∑
i
(yˆi − yi)2 =
∑
i
(mxi + q − yi)2 ,
e´ uma func¸a˜o sempre positiva, sendo nula somente quando todos os pontos experimentais estiverem
sobre a suposta reta. Note que, para q constante, f representa uma func¸a˜o em m de uma para´bola
com concavidade para cima. E da mesma forma, para m constante, f tambe´m representa uma
para´bola em q com concavidade para cima.
A melhor reta que se ajusta aos pontos experimentais e´ aquela na qual o erro e´ mı´nimo, ou
seja, f apresenta um mı´nimo absoluto. Assim, para minimizar f em m e q devemos fazer
∂f
∂m
= 0 e
∂f
∂q
= 0 .
32
Figura B.1: Representac¸a˜o da melhor reta que se ajusta aos pontos experimentais.
Fazendo a derivada para m, teremos
∂f
∂m
= 2
∑
i
(mxi + q − yi)xi = 2
∑
i
(mx2i + qxi − yixi)
= 2
(
m
∑
i
x2i + q
∑
i
xi −
∑
i
yixi
)
∂f
∂m
= 0 ⇒
∑
i
xiyi = m
∑
i
x2i + q
∑
i
xi . (B.2)
Derivando em q:
∂f
∂q
= 2
∑
i
(mxi + q − yi) = 2
(
−
∑
i
yi +m
∑
i
xi + nq
)
= 0 ,
e da u´ltima igualdade, obtemos ∑
i
yi = m
∑
i
xi + nq . (B.3)
Lembrando de (3.1), a equac¸a˜o (B.2) fica∑
i
xiyi = m
∑
i
x2i + nqx , (B.4)
e (B.3) fica
y = mx+ q ,
que isolando q, teremos
q = y −mx . (B.5)
Substituindo (B.5) em (B.4), e depois isolando m, teremos∑
i
xiyi = m
∑
i
x2i + nx y −mnx2
m
(∑
i
x2i − nx2
)
=
∑
i
xiyi − nx y
33
m =
∑
i xiyi − nx y∑
i x
2
i − nx2
(B.6)
A equac¸a˜o (B.6) ainda pode ser reescrita na forma
m =
∑
i(xi − x)(yi − y)∑
i(xi − x)2
. (B.7)
Observe que, sendo nx y = y
∑
i xi = x
∑
i yi, podemos “somar zeros” no numerador de (B.6), tal
que ∑
i
xiyi − nx y =
∑
i
xiyi − nx y − nx y + nx y
=
∑
i
xiyi − y
∑
i
xi − x
∑
i
yi + nx y
=
∑
i
(xiyi − yxi − xyi + x y)
=
∑
i
(xi − x) (yi − y) (B.8)
e o numerador de (B.7) fica demonstrado. Se substituirmos yi por xi e y por x na igualdade (B.8),
teremos ∑
i
xixi − nxx =
∑
i
(xi − x)(xi − x) ,
de onde vem que ∑
i
x2i − nx2 =
∑
i
(xi − x)2 ,
o que demonstra o denominador em (B.7).
As equac¸o˜es (B.7) e (B.5) da˜o os valores dos paraˆmetros m e q da melhor reta em uma regressa˜o
linear.
Por fim, um resultado importante e´ obtido quando substitu´ımos (B.5) em (B.1),
yˆ = mx+ y −mx ⇒ yˆ − y = m(x− x) . (B.9)
Esta u´ltima equac¸a˜o nos mostra que a reta obtida por meio de uma regressa˜o linear sempre
passa pelo ponto (x, y).
34
Apeˆndice C
Coeficiente de Determinac¸a˜o
Em geral, o tratamento de dados para medidas em laborato´rio aplica a estat´ıstica para varia´veis
aleato´rias discretas e independentes. Primeiro, vamos entender o que esta´ por traz dessa ideia e em
seguida falaremos da correlac¸a˜o, ou tipo de dependeˆncia, que pode ser estabelecida entre os resultados
das medidas. Por fim, iremos estabelecer a expressa˜o da grandeza R2, chamado de coeficiente de
determinac¸a˜o, que fixa um paraˆmetro de qualidade da reta de regressa˜o linear para um conjunto de
pontos experimentais.
Uma varia´vel aleato´ria X e´ uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ um espac¸o amostral S, e que assume
valores em A, sendo que A ⊆ R, isto e´ (veja cap. 2 em [32]),
X :S → A (C.1)
x 7→ X(x) .
Um espac¸o amostral e´ um conjunto com uma caracter´ıstica especial. Ele e´ um conjunto de
experimentos aleato´rios, ou seja, experimentos cujos resultados sa˜o absolutamente imprevis´ıveis.
Seus elementos sa˜o resultados que dependem apenas do acaso.
Observe que, apesar da infelicidade da terminologia “varia´vel aleato´ria”, X e´ uma func¸a˜o cujo
domı´nio e´ um espac¸o amostral S, e seu contradomı´nio e´ um subconjunto A de R. A parte disso, uma
varia´vel aleato´ria X sera´ discreta se ela for valorada em um conjunto finito ou finito numera´vel.
Caso seu contradomı´nio seja um intervalo, como por exemplo um intervalo na reta R, ela sera´ uma
varia´vel cont´ınua. No nosso trabalho estaremos interessados somente no caso discreto.
Um exemplo simples de varia´vel aleato´ria e´ aquela obtida no lanc¸amento de um dado equilibrado
(experimento aleato´rio),
X : S = {1, 2, 3, . . . , 6} → A . (C.2)
Sendo X(x) = x, enta˜o X e´ uma varia´vel aleato´ria.
Uma func¸a˜o de probabilidade p e´ uma func¸a˜o que associa uma probabilidade a cada poss´ıvel
ocorreˆncia de uma varia´vel aleato´ria discreta. Por exemplo, se a varia´vel aleato´ria discreta e´ o
resultado de um dado na˜o viciado, suas poss´ıveis ocorreˆncias sa˜o 1,2,3,4,5 e 6, e a probabilidade
associada a cada uma destas ocorreˆncias e´ 1/6. Nesse sentido, a probabilidade p e´ dada por
px : A→ [0, 1] , (C.3)
onde px = p(X = x), sendo tambe´m, ∑
x∈A
px = 1 . (C.4)
Na verdade, a func¸a˜o px e´ definida para todos os nu´meros reais, incluindo aqueles que na˜o esta˜o na
imagem de X, entretanto, px = 0 para todo x /∈ X(S) [34].
35
Existem casos em que ha´ interesse no resultado simultaˆneo de duas varia´veis aleato´rias, como
por exemplo uma medida de tempo e de espac¸o em um experimento de cinema´tica. Se X = X(x)
e Y = Y (y) sa˜o duas func¸o˜es, cada uma associando um nu´mero real a cada resultado x, y ∈ S,
denomina-se o par (X, Y ) de varia´vel aleato´ria bidimensional (Fig. C.1).
Figura C.1: O par (X, Y ) e´ uma varia´vel aleato´ria bidimensinal, sendo S seu espac¸o amostral comum,
e que assume valores em R2.
Defini-se distribuic¸a˜o conjunta de duas varia´veis aleato´rias, a func¸a˜o de probabilidade pij que
associa uma probabilidadea um par (X, Y ), isto e´, p(X = xi, Y = yj) = p(xi, yj) = pij, e que satisfaz
as seguintes propriedades,
(1) pij ≥ 0 (C.5)
(2)
∞∑
i=1
∞∑
j=1
pij = 1 .
Estabelecidos estes conceitos, segue que se (X, Y ) e´ uma varia´vel aleato´ria discreta bidimensional,
diz-se que X e Y sa˜o independentes se, e somente se,
p(xi, yj) = p(xi) p(yj) , ∀ i, j . (C.6)
Por exemplo (confira sec¸a˜o 2.11 em [32]), seja a distribuic¸a˜o conjunta de (X, Y ) dada pela
Tab. C.1. Vamos verificar se X e Y sa˜o independentes.
HHHHHHy
x
0 1 2 p(yj)
0 0,10 0,20 0,20 0,50
1 0,04 0,08 0,08 0,20
2 0,06 0,12 0,12 0,30
p(xi) 0,20 0,40 0,40 1,00
Tabela C.1: Exemplo de varia´veis aleato´rias independentes
36
Veja que para termos varia´veis aleato´rias independentes e´ preciso que, para todo i, j = 0, 1, 2, a
equac¸a˜o (C.6) seja verificada. Assim, para o par (0, 0) temos:
p(0, 0) = 0, 10 .
Por outro lado,
p(x0) p(y0) = 0, 2 · 0, 5 = 0, 10 ,
tal que (C.6) se verifica para o par (0, 0). Para o par (2, 1) temos:
p(2, 1) = 0, 08 ,
e,
p(x2) p(y1) = 0, 4 · 0, 2 = 0, 08 .
Continuando, observamos que, de fato, a equac¸a˜o (C.6) se verifica para todos os pares da Tab. C.1.
Enta˜o, conclui-se que X e Y sa˜o independentes.
O valor esperado para uma varia´vel aleato´ria discreta X e´ definido como:
E[X] = x =
∑
i
xipi , (C.7)
para i = 1, 2, ..., n, e sendo pi = p(xi) a func¸a˜o probabilidade de X.
Assim, suponha que a varia´vel aleato´ria X possa assumir o valor x1 com probabilidade p1, o valor
x2 com probabilidade p2, e assim sucessivamente ate´ o valor xn com probabilidade pn. A expectativa
(valor esperado) dessa varia´vel aleato´ria X sera´ [35],
E[X] = x1p1 + x2p2 + · · ·+ xnpn . (C.8)
Desde que todas as probabilidades pi se somam ate´ um, p1 + p2 + · · ·+ pn = 1, o valor esperado pode
ser entendido como uma me´dia ponderada, sendo os pi’s os seus pesos, ou seja,
E[X] =
x1p1 + x2p2 + · · ·+ xnpn
p1 + p2 + · · ·+ pn . (C.9)
Se todos os valores xi tem o mesmo peso, isto e´, se p1 = p2 = · · · = pn, essa me´dia ponderada se
transforma em uma me´dia aritme´tica. Este e´ o caso em que estamos interessados, pois no laborato´rio,
em geral, no´s assumimos que na˜o existem medidas privilegiadas, todas as medidas tem o mesmo
status. Logo, sendo X(x) = x no´s recobramos (3.1), tal que de agora em diante
E[X] = x =
1
n
∑
i
xi . (C.10)
O valor esperado goza de algumas propriedades importantes, as saber (sec¸a˜o 2.12 em [32]):
1. A me´dia de uma constante e´ a pro´pria constante.
E[k] = k =
∑
i
kpi = k
∑
i
pi = k , (C.11)
onde k ∈ R e´ uma constante, e lembrando que usamos (C.4).
2. Multiplicando uma varia´vel aleato´ria X por uma constante, sua me´dia fica multiplicada por
essa constante.
E[kX] =
∑
i
kxipi = k
∑
i
xipi = kE[X] . (C.12)
37
3. A me´dia da soma ou da diferenc¸a de duas varia´veis aleato´rias independentes e´ a soma ou
diferenc¸a das me´dias.
E[X ± Y ] =
∑
i
∑
j
(xi ± yj)pij
=
∑
i
∑
j
xipij ±
∑
i
∑
j
yjpij
=
∑
i
xi
∑
j
pij ±
∑
j
yj
∑
i
pij
=
∑
i
xi
∑
j
pipj ±
∑
j
yj
∑
i
pipj
=
∑
i
xipi
∑
j
pj ±
∑
j
yjpj
∑
i
pi
=
∑
i
xipi ±
∑
j
yjpj = E[X]± E[Y ] , (C.13)
onde usamos (C.4) e (C.6).
4. Somando ou subtraindo uma constante de uma varia´vel aleato´ria, a sua me´dia fica somada ou
subtra´ıda da mesma constante.
E[X ± k] = E[X]± E[k] = E[X]± k . (C.14)
5. A me´dia de uma varia´vel aleato´ria centrada e´ zero. Em outros termos, isso significa que o
desvio (xi − x) e´ nulo para uma varia´vel aleato´ria centrada.
E[X − x] = E[X]− E[x] = x− x = 0 . (C.15)
6. A me´dia do produto de duas varia´veis aleato´rias independentes e´ o produto das me´dias.
E[XY ] =
∑
i
∑
j
XiYjpij
=
∑
i
∑
j
XiYjpipj
=
∑
i
Xipi
∑
j
Yjpj
= E[X]E[Y ] . (C.16)
Observe que pelos itens 2 e 3, E pode ser entendido como um operador linear [16].
Formalmente, a variaˆncia s2 de uma varia´vel aleato´ria X e´ definida como
s2[X] = E[(X − x)2] . (C.17)
Se X(x) = x, teremos que
s2[X] = E[(X − x)2] = 1
n
∑
i
(xi − x)2 , (C.18)
38
tal que usamos (C.10) para recobrar (3.2). Ademais, a variaˆncia pode ser escrita em um forma mais
pra´tica para efeito de ca´lculo do seu valor, a saber de (C.17) teremos,
s2[X] = E[(X2 − 2Xx+ x2)]
= E[X2]− E[2Xx] + E[x2]
= E[X2]− 2E[X]x+ x2
= E[X2]− 2 x x+ x2 = E[X2]− x2 . (C.19)
O desvio padra˜o, como ja´ descrito no cap´ıtulo 3, e´, por definic¸a˜o, a raiz quadrada da variaˆncia,
isto e´,
s =
√
s2 . (C.20)
Sa˜o propriedades da variaˆncia para varia´veis discretas:
1. A variaˆncia de uma constante e´ zero.
s2[k] = E[(k − k)2] = E[(k − k)2] = 0 . (C.21)
2. Multiplicando-se uma varia´vel aleato´ria por uma constante, sua variaˆncia fica multiplicada
pelo quadrado da constante.
s2[kX] = E[(kX − kx)2] = E[(kX − kx)2]
= E[k2(X − x)2] = k2E[(X − x)2] = k2s2[X] . (C.22)
3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante a` uma varia´vel aleato´ria, sua variaˆncia na˜o se
altera.
s2[X ± k] = s2[X]± s2[k] = s2[X] , (C.23)
pois s2[k] = 0.
4. A variaˆncia da soma ou diferenc¸a de duas varia´veis aleato´rias independentes e´ a soma das
respectivas variaˆncias.
s2[X ± Y ] = E[[(X ± Y )− (x± y)]2]
= E[[(X − x)± (Y − y)]2]
= E[(X − x)2]± 2E[(X − x)(Y − y)] + E[(Y − y)2] . (C.24)
O termo E[(X − x)(Y − y)] e´ chamado de Covariaˆncia entre X e Y , cov(X, Y ), e tambe´m
pode ser escrito da seguinte forma,
cov(X, Y ) = E[(X − x)(Y − y)] = E[XY −Xy − xY + x y]
= E[XY ]− E[Xy]− E[xY ] + E[x y]
= E[XY ]− E[X]y − xE[Y ] + x y
= E[XY ]− x y − x y + x y
= E[XY ]− x y , (C.25)
onde usamos (C.10) e (C.11), isto e´, o valor esperado da me´dia, que e´ uma constante, e´ a
pro´pria me´dia. Note que, se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes, a cov(X, Y ) e´ nula,
ou seja, segue de (C.16) que
cov(X, Y ) = E[X]E[Y ]− x y = x y − x y = 0 . (C.26)
39
Portanto, a expressa˜o (C.24) fica
s2[X ± Y ] = E[(X − x)2]± E[(Y − y)2]
= s2[X]± s2[Y ] . (C.27)
No caso de X e Y na˜o serem independentes, a covariaˆncia entre X e Y representa uma medida
nume´rica da dependeˆncia linear entre as duas varia´veis. Observe que a covariaˆncia entre as duas
varia´veis depende da unidade de medida de X e Y . Um coeficiente adimensional que estabelece essa
medida da dependeˆncia linear entre as varia´veis e´ chamado de coeficiente de correlac¸a˜o linear
ou correlac¸a˜o de Pearson, corr(X, Y ), e e´ definido como [36]
corr(X, Y ) =
cov(X, Y )
sx sy
(C.28)
onde sx e sy sa˜o os desvios padro˜es (C.20) referentes a cada uma das varia´veis X e Y .
Note que a cov(X, Y ) = E[(X − x)(Y − y)], pode ser escrita na forma
cov(x, y) =
1
n
∑
i
(xi − x)(yi − y) , (C.29)
sendo X(x) = x e Y (y) = y. O desvio padra˜o para X e Y , como
sx =
√
1
n
∑
i
(xi − x)2 , sy =
√
1
n
∑
i
(yi − y)2 , (C.30)
tal que a corr(X, Y ) toma a forma
corr(X, Y ) =
∑
iXiYi√∑
iX
2
i
√∑
i Y
2
i
(C.31)
onde fizemos Xi = (xi − x) e Yi = (yi − y). Geometricamente a correlac¸a˜o e´ o cosseno do aˆngulo
formado pelos vetores X e Y , isto e´,
(x1 − x, x2 − x, . . . , xn − x) , (y1 − y, y2 − y, . . . , yn − y) , (C.32)
e numericamente seu valor se encontra no intervalo −1 ≤ corr(X, Y ) ≤ 1 (consulte sec¸a˜o 17.5 em
[31]).
Por fim, e´ poss´ıvel inferir um paraˆmetro interessante para nosso estudo, quadrando a expressa˜o
(C.31)
corr2(X, Y ) =
[ ∑
iXiYi√∑
iX
2
i
√∑
i Y
2
i
]2
=
[ √∑
iX
2
i
∑
iXiYi√∑
iX
2
i
√∑
iX
2
i
√∑
i Y
2
i
]2
=
[∑
iXiYi∑
iX
2
i
]2 ∑
iX
2
i∑
i Y
2
i
. (C.33)
O termo entre colchetes de (C.33) nos da´ o valor de m2 em (B.7), o quadrado do coeficiente angular
da melhor reta em uma regressa˜o linear. Assim,