Aulas 1 a 10 - Matemática Para Negócios

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Aula 01 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
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Plano de Ensino
Objetivos Gerais
Proporcionar ao aluno os fundamentos teóricos para resolver casos e situações práticas, utilizando conhecimentos de cálculo matemático e financeiro, e as condições adequadas de informações necessárias aos processos de planejamento, controle e tomada de decisão.
2
Plano de Ensino
Objetivos Específicos
Entender as principais regras e fundamentos da matemática básica;
Compreender os conceitos matemáticos para o cálculo das funções custo, receita, lucro e ponto de equilíbrio na análise das atividades operacionais da empresa;
1/2
Plano de Ensino
Objetivos Específicos
Elaborar modelos econômicos de demanda, oferta e ponto de equilíbrio;
Tornar mais amplo os conhecimentos gerais de cálculos em negociação de operações industriais, comerciais e bancárias.
2/2
Plano de Ensino
Conteúdos
Revisão de Matemática:
Teoria dos Conjuntos;
Noções de Potenciação, Radiciação;
Intervalos Numéricos;
Fatoração, Equações e Inequações;
Razão, Proporção, Porcentagem;
Funções (1º. e 2º. grau)
1/2
Plano de Ensino
Conteúdos
Aplicação de Funções em Negócios:
Função Custo, Receita e Lucro
Ponto de Equilíbrio
Limites
Derivadas
2/2
Teoria dos Conjuntos
Conceito Primitivo
A ideia de conjunto é a mesma de coleção; 
Coleção de elementos.
Exemplo: Um time de futebol é um conjunto; onde cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
Teoria dos Conjuntos
Representação de um Conjunto
Representação Tabular;
Através de Propriedade Caraterística; 
Representação Gráfica (Diagrama de Venn).
Teoria dos Conjuntos
Representação Tabular
Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { } e separados por vírgula.
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas  A, B, C, D, ...
A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 2, 3, 4}
Teoria dos Conjuntos
Propriedade Característica
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:
A = { x | x tem a propriedade p }.
"A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p".
1/2
Teoria dos Conjuntos
Propriedade Característica
Exemplos:
A = {x | x é país da Europa} - o conjunto A é formado por todos os países da Europa.
B = {x | x é cor da bandeira Brasileira} - o conjunto B é formado por verde, amarelo, azul e branco.
2/2
Teoria dos Conjuntos
Representação Gráfica (Diagrama de Venn)
Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
Teoria dos Conjuntos
Relação de pertinência
Dado o conjunto A = {a, e, i, o, u}. 
Note que a letra ”u” é elemento do conjunto A;
A letra ”f” não é elemento do conjunto A.  
”u” ∈A (lê-se ”u pertence a A”)
”f” ∉ B (lê-se ”f não pertence a A")
a
e
i
o
u
A
Teoria dos Conjuntos
Relação de continência
Dados os conjuntos: 	A = {a, e, i, o, u} 
			B = {a, e, i}. 
Note que A contém todos os elementos do conjunto B, mas B não contém os elementos de A.  
A⊃B (o conjunto A contém o conjunto B)
B⊂A (o conjunto B está contido em A)
A ⊄ B (o conjunto A não está contido em B)
B ⊅ A (o conjunto B não contém A)
a
e
i
o
u
A
a
e
i
B
Tipos de Conjuntos
Tipos de Conjuntos
Conjunto unitário
Conjunto vazio
Conjunto finito
Conjunto infinito
Conjuntos iguais
Conjunto universo
Conjuntos disjuntos
Tipos de Conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Exemplos:
C = { 5 }
B = { x | x ∈ N | x<1 } = { 0 }
1/7
Tipos de Conjuntos
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum.  
Representa-se o vazio por Ø ou { }.
Exemplo:
D = {x | x é um número ímpar múltiplo de 4} = Ø
2/7
Tipos de Conjuntos
Conjunto Finito
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao "fim" da contagem de seus elementos.
Exemplos:
B = {1, 2, 3, 4}
H = {x | x é estado brasileiro} 
3/7
Tipos de Conjuntos
Conjunto Infinito
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao "fim" da contagem.
Exemplos:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
A = { x∈N | x é par } = { 2, 4, 6, ... } 
4/7
Tipos de Conjuntos
Conjuntos Iguais
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.  
Exemplo:
A = {a, r, t, e} e B = {r, e, t, a}, temos A = B
Pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.
5/7
Tipos de Conjuntos
Conjunto Universo
É um conjunto ao qual pertencem todos os elementos de um estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
Exemplo: Quais são os números menores que 5?  
Se o conjunto universo for N = {0, 1, 2, 3, 4}
Se o conjunto universo for Z = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4} 
6/7
Tipos de Conjuntos
Conjuntos Disjuntos
São conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum.
Exemplo:
Sendo os conjuntos A = {x | x é par} e B = {x | x é ímpar} ➪ A e B são conjuntos disjuntos.
7/7
22
Subconjuntos
Sendo A e B, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
A ⊂ B (lê-se "A está contido em B")
B ⊃ A (lê-se "B contém A”)
 
Exemplos:
{2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 8, 5} ⊃ {9, 6}
Subconjuntos
Conjunto das Partes
Sendo A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A:
P(A) = { Ø, {a}, {b}, {a, b} }
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Notação: P(A) (lê-se P de A)
Subconjuntos
Número de elementos de P(A)
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos (subconjuntos) de P(A) = 2n.
Exemplos:
A = {a, b} ➪ P(A) = 22 = 4 subconjuntos. 
B = {a, b, c} ➪ P(B) = 23 = 8 subconjuntos. 
Operações com Conjuntos
Operações com Conjuntos
União
Interseção
Diferença
Complementar
Operações com Conjuntos
União de conjuntos (∪)
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos.
A∪B = { x | x∈A ou x∈B }
A
B
Operações com Conjuntos
Exemplos de União (∪)
Dados os conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } e B={ 3,5,8,9 }
AUB = { 2, 3, 5, 6, 8, 9 }
Dados os conjuntos A={ 3,5 } e B={ 2,3,4,5,6 }
AUB = { 2, 3, 4, 5, 6 } = B
28
Operações com Conjuntos
Interseção de conjuntos (∩)
A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos de A que também são elementos de B.
A ∩ B = { x | x∈A e x∈B }
←
A
B
Operações com Conjuntos
Exemplos de Interseção (∩)
Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9}
A∩B = {3, 5, 8} 
Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} 
A∩B = {3,5} = A 
30
Operações com Conjuntos
Diferença de conjuntos (−)
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é um conjunto que contém os elementos de A que não pertencem a B.
A − B = { x | x∈A e x ∉ B }
A
B
Operações com Conjuntos
Exemplo de Diferença (−)
Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9}
A − B = {2, 6}
B − A = {9}
Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6}
A − B = { } = Ø 
B − A = {2, 4, 6}
32
Operações com Conjuntos
Complementar de um conjunto
O conjunto complementar de A (denotado por CA) é o conjunto que contém todos os elementos do conjunto universo U que não pertencem a A.
CA = U−A = { x | x∈U e x ∉ A }
A
U
33
Operações com Conjuntos
34
Conjuntos Numéricos
Conjuntos Numéricos
Números Naturais
Números Inteiros
Números Racionais
Números Irracionais
Números Reais
35
Conjuntos Numéricos
Números Naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Operações em N:
Adição
Multiplicação
N
36
Conjuntos Numéricos
Números Inteiros (Z)
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Operações em Z:
Adição
Multiplicação
Divisão (* 1/3)
N
Z
37
Conjuntos Numéricos
N
Z
Q
38
Conjuntos Numéricos
N
Z
Q
I
39
Conjuntos Numéricos
Números Reais (R)
Conjunto numérico que é a união do conjunto dos racionais (Q) com os irracionais (I) 
R = Q U I
Operações em R:
Adição e Subtração
Multiplicação e Divisão
N
Z
Q
R
I
40
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000)
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531
Teoria dos Conjuntos
Aula 02 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 2
Objetivos Gerais
Modelar e solucionar vários tipos de problemas com o uso do conhecimento Matemático Básico, no que se refere a: 
Intervalos Numéricos;
Potenciação;
Radiciação;
Fatoração e Produtos Notáveis.
Intervalos Numéricos
Números Reais (R)
Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r.
N
Z
Q
R
I
∞
∞
3
Representação de Intervalos
Intervalos Fechados
Intervalo fechado pelos números reais a e b: 
[ a, b ]
{ x ∈ R | a ≤ x ≤ b }
Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais que a e menores ou iguais que b.
Representação de Intervalos
Intervalos Abertos
Intervalo aberto pelos números reais a e b: 
] a, b [
{ x ∈ R | a < x < b }
Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores que b.
Intervalo Misto
Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) definido pelos números reais a e b:
] a, b ]
{ x ∈ R | a < x ≤ b }
Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores ou iguais a b.
Representação de Intervalos
Intervalo Misto
Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) definido pelos números reais a e b:
[ a, b [
{ x ∈ R | a ≤ x < b }
Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.
Representação de Intervalos
Intervalo envolvendo o infinito
Intervalo fechado à esquerda, definido pelo número real a:
[ a, ∞ [
{ x ∈ R | x ≥ a }
Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a.
Representação de Intervalos
∞
Intervalo envolvendo o infinito
Intervalo fechado à direita, definido pelo número real b:
]∞ , a ]
{ x ∈ R | x ≤ b }
Estão definidos todos os números reais que são menores ou iguais a b.
Representação de Intervalos
∞
Exemplos de Intervalos Numéricos
Considere os conjuntos de números reais A={x∈R|0<x<2} e B={x∈R|−3<x<1}. Usando a reta dos R, determine os conjuntos: AUB e A∩B.
AUB = ] -3, 2 [
A∩B = ] 0, 1 [
Represente os seguintes subconjuntos de R na reta numérica:
A = {x∈R | x>–3/2} 
B = {x∈R | 2<x<5} 
Exemplos de Intervalos Numéricos
Potenciação
Definição
Potenciação é apenas a multiplicação de um dado número ou expressão matemática, de acordo com sua potência.
a → base
n → expoente
Exemplos de Potenciação
10³ = 10 x 10 x 10 = 1000 
− 2³ = (− 2) x (− 2) x (− 2) = − 8 
(3 − 1)³ = 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
Propriedades de Potenciação
Propriedades de Potenciação
Propriedades de Potenciação
Exemplos de Potenciação
Radiciação
Definição
A Radiciação é a operação inversa da potenciação. Pela definição de radiciação, temos que:
n → índice da raiz;
a → radicando.
Propriedades de Radiciação
Propriedades de Radiciação
Exemplos de Radiciação
Fatoração
Definições
A fatoração de um polinômio é a sua transformação num produto.
O termo fatorar significa decompor uma expressão ou número em fatores ou parcelas, de modo que o produto destas parcelas resulte na expressão ou número original. 
Fatoração
Casos mais importantes
Fator Comum;
Diferença de dois quadrados;
Trinômio do quadrado perfeito
Fator comum
Fator comum – Exemplos
Diferença de dois quadrados 
Diferença de dois quadrados - Exemplos 
Trinômio do quadrado perfeito
Trinômio do quadrado perfeito - Exemplos
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000)
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531
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Aula 03 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 3
Objetivos desta aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
Reconhecer as equações por meio de sentenças matemáticas de igualdade. 
Já as inequações, por meio de sentenças abertas expressas por uma desigualdade.
Resolver equações, sistemas de equações e inequações de 1º grau, através de expressões algébricas. 
Equações de 1º. grau
Definição
É uma sentença matemática que exprime uma relação de igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita (representada por uma letra). 
A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim quer dizer "igual".
Equações de 1º. grau
Equações de 1º. grau
1º membro 2º membro
Termos da equação
Equações de 1º. grau
Raízes de uma equação
São os elementos do conjunto verdade de uma equação. 
Verificação se um número é raiz de uma equação:
Substituir a incógnita por esse número. 
Determinar o valor de cada membro da equação. 
Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
Equações de 1º. grau
Equações de 1º. grau
1 de 4
Equações de 1º. grau
2 de 4
Equações de 1º. grau
3 de 4
Equações de 1º. grau
Exercícios
Um provedor de acesso à Internet oferece um plano de assinatura para seus assinantes, onde tem uma taxa mensal de R$8,00 mais R$3,00 por cada minuto de conexão durante o mês. Se o assinante pagou no final do mês o valor total de R$368,00, quantos minutos ele ficou conectado neste mês?
4 de 4
Sistema linear de equações do 1º grau
coeficientes
incógnitas
termo independente
Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema de equações lineares
É um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas.
Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema linear de equações do 1º grau
Inequação de 1º grau
Definição
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. 
Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. 
Inequação de 1º grau
Inequação de 1º grau
Inequação de 1º grau
1 de 3
Inequação de 1º grau
2 de 3
Inequação de 1º grau
3 de 3
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000)
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Aula 04 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 4
Razão, Proporção e Porcentagem
Objetivos desta aula: 
Compreender o conceito de razão entre duas grandezas.
Identificar proporções como igualdade de duas razões.
Resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta e inversamente proporcionais.
Identificar e representar e resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.
Razão
Razão
Razão Equivalente
Proporção
Propriedades da proporção
Propriedades da proporção
Propriedades da proporção
Propriedades da
proporção
Propriedades da proporção
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais
Grandezas proporcionais
1/4
Grandezas proporcionais
2/4
Grandezas proporcionais
3/4
Grandezas proporcionais
4/4
Porcentagem
Porcentagem
Porcentagem
1/4
Porcentagem
2/4
Porcentagem
Exercício
Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
3/4
FIM
Porcentagem
Exercício
Um carro foi vendido por R$10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço da compra. O carro havia sido comprado, em reais, por?
4/4
FIM
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000)
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Aula 05 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 5
Função Custo
Objetivos desta aula: 
Reconhecer o custo para a determinação do preço de venda;
Diferenciar custo fixo e variável;
Representar a função custo de primeiro grau no plano cartesiano;
Reconhecer o custo médio como uma relação da quantidade produzida.
Função Linear Afim
Função Linear Afim
Gráficos de uma função linear afim:
y
x
y
x
y
x
y
x
Custos
Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores determinantes de sucesso de uma empresa. 
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte. 
Função Custo
CT
x
CF
Função Custo
É formada por uma parte fixa, denominada Custo Fixo (CF), que é aquela que independe da quantidade produzida (aluguéis, salários, etc);
E uma parte variável, denominada Custo Variável (CV), que depende da quantidade produzida.
Custo Fixo
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada. 
Exemplos: 
custo de aluguel;
salários do pessoal administrativo;
honorários pagos ao escritório de contabilidade;
Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. 
Custo Variável
São aqueles que aumentam ou diminuem, 
conforme o volume de produção, são associados a quantidade produzida (x). 
Exemplos: 
Custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e 
Custos da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo). 
Função Custo e seu gráfico
CV é sempre positivo;
Função custo é crescente;
Não temos quantidades (x) negativas;
Definida apenas no 1º. Quadrante do plano cartesiano;
CT
x
CF
Função Custo – Exemplo
Se uma fábrica produz canetas, com custos fixos de R$100,00 e custos variáveis por cada unidade de R$1,50. Determinar a função que representa o custo total das canetas:
Função Custo – Exemplo
Represente graficamente a função custo do exemplo anterior para a produção máxima de 10 unidades:
Custo Unitário
É o custo final de cada unidade produzida;
Os custos fixos são distribuídos para cada unidade ao final da produção de uma certa quantidade;
Custo unitário = Custo médio da produção;
Custo Unitário – Exemplo
Se a fábrica produzir 10 canetas de acordo com a função custo CT(x) abaixo. Determinar o custo unitário das canetas:
Função Custo – Exercícios
Uma sapataria confecciona pares de sapatos com a seguinte função custo C(x)=245,57+3,78x, onde C(x) é o custo em R$ e x é a quantidade de pares de sapato.
Qual é o custo fixo?
Qual é o custo variável?
1/6
Função Custo – Exercícios
A mesma sapataria do exemplo anterior. Calcule o custo total da produção de 100 e 1000 unidades: 
C(100) e C(1000).
2/6
Função Custo – Exercícios
A mesma sapataria do exemplo anterior. Calcule e compare o custo unitário de 100 e 1000 unidades: C(100) e C(1000).
3/6
Função Custo – Exercícios
A mesma sapataria do exemplo anterior. Calcule o custo unitário para 80 pares de sapato fabricados.
4/6
Função Custo – Exercícios
A mesma sapataria do exemplo anterior. Considerando que a capacidade máxima da sapataria seja produzir 100 pares de sapato, esboce o gráfico da função custo dada. 
5/6
Função Custo – Exercícios
Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida seja de 20.000 unidades. Se o custo fixo de fabricação for de R$150.000,00 e o custo variável for de R$20,00 por unidade. Qual o preço mínimo que a editora deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo?
6/6
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000)
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Aula 06 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 6
Função Linear e seu Gráfico no Plano Cartesiano
Objetivos desta aula: 
Definir uma função e reconhecer a forma genérica da função linear afim.
Saber a diferença entre o coeficiente angular e o coeficiente linear.
Esboçar o gráfico de uma função afim.
Identificar o domínio e a imagem de uma função afim.
Relação e Função
Definição: Uma relação f : A → B é denominada uma função de A em B (nessa ordem) se a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
A
B
Relação e Função
A
B
1
2
3
1
2
3
4
5
Plano Cartesiano
Plano Cartesiano ou IR²: é um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas 	que auxilia na determinação de um ponto nesse plano de dois eixos reais X e Y.
1º. Quadrante
2º. Quadrante
3º. Quadrante
4º. Quadrante
Plano Cartesiano
Par ordenado (x,y) - Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. 
Denominamos de abscissa o 1º elemento, e ordenada, o 2º elemento desse par. 
Representação do ponto (4,3).
Representar os pontos:
	A(-3,2), B(-2,-1) e C(3,-2)
Função do primeiro grau
Função do primeiro grau
As funções do primeiro grau podem ser:
Função Constante
Função Linear
Função Linear Afim
Função Constante
y
x
Função Constante e seu gráfico
Gráficos de uma função constante:
y
x
y
x
Função Linear
y
x
1
2
Função Linear e seu gráfico
Gráficos de uma função linear:
y
x
y
x
Função Linear Afim
y
x
1
4
1
Função Linear Afim e seu gráfico
Gráficos de uma função linear afim:
y
x
y
x
y
x
y
x
Estudo do sinal de uma função
Para estudar o sinal de uma função, temos que achar a raiz da função.
Descobrir em que ponto (x) a função muda de sinal.
Temos que saber o valor da função quando f(x)=0.
x
+
−
x
+
−
Estudo do sinal de uma função
Exemplos:
x
+
−
x
+
−
Função Crescente
y
x
1
Função Decrescente
y
x
1
Exemplo 1: Represente graficamente, determine a raiz da função e classifique crescente/decrescente
Exemplo 2: Represente graficamente, determine a raiz da função e classifique crescente/decrescente
Exemplo 3: Represente graficamente, determine a raiz da função e classifique crescente/decrescente
Exemplo 4: Represente graficamente, determine a raiz da função e classifique crescente/decrescente
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Engenharia Civil pela PUC-Rio (2000)
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Aula 07 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 7
Função Receita, Lucro e Ponto de Equilíbrio
Objetivos desta aula: 
Determinar a função receita versus
quantidade.
Representar graficamente a função receita.
Determinar a função lucro.
Representar graficamente a função lucro.
Determinar a margem de contribuição e identifica-la no gráfico da função lucro. 
Determinar o ponto de equilíbrio.
Função Custo – Revisão
CT
x
CF
Receita 
As empresas sempre procuram maximizar seus lucros.
A receita é o quanto a empresa recebe pela venda de um produto, a um determinado preço de mercado (P). 
As empresas estão num mercado competitivo, os preços são 
 constantes e dados pelo 
 mercado. 
Função Receita
Função Receita e seu gráfico
R(x)
x
Função Receita – Exemplo 1
R(x)
x
Função Receita – Exemplo 2
R(x)
x
20.000
300.000
Lucro
As empresas sempre procuram maximizar seus lucros.
Avaliar a movimentação financeira de uma empresa criando ferramentas capazes de determinar o lucro máximo ou mínimo na fabricação, venda ou prestação de serviços.
Função Lucro
Função Lucro e Margem de contribuição
Função Lucro – Exemplo 1
Função Lucro – Exemplo 2
L(x)
x
-4
2
Ponto de Equilíbrio
Qual é o empresário que não quer saber qual o momento do ciclo de vendas que sua empresa passa a ter lucro? 
O ponto de equilíbrio mostra o quanto é necessário vender para que as receitas se igualem aos custos.
Ponto de Equilíbrio
Ponto de Equilíbrio e seu gráfico
R(x), C(x) e L(x)
x
-4
 4
 4
 12
 16
R(x)
C(x)
L(x)
Ponto de Equilíbrio e seu gráfico
R(x), C(x) e L(x)
x
-4
 4
 4
 12
 16
R(x)
C(x)
L(x)
Prejuízo
(−)
Lucro
(+)
Ponto de Equilíbrio – Exemplo 1
R(x), C(x) e L(x)
x
-1000
 1000
 40
 7000
 8000
R(x)
C(x)
L(x)
Ponto de Equilíbrio – Exemplo 2
R(x), C(x) e L(x)
x
-2200
 2200
 1000
 6200
 8000
R(x)
C(x)
L(x)
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Engenharia Civil pela PUC-Rio (2000)
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531
.
Obrigado!
Aula 08 - Matem�tica Para Neg�cios.ppt
Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 8
Função Quadrática, Lucro Quadrático, Inequação de 2º grau
Objetivos desta aula: 
Reconhecer a função quadrática como uma parábola.
Representação gráfica da curva da função quadrática.
Resolver função quadrática e inequação de 2º grau.
Descrever a função lucro quadrática.
Interpretar o gráfico da função lucro quadrática.
Inequação de 2º. Grau.
Função Quadrática
Pontos notáveis de uma Parábola
O(s) ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo Ox
O ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy
O vértice da parábola 
Propriedades Gráficas
Função Quadrática - Exemplo
y
x
-1
-3
-4
3
1
V
Função Receita Quadrática
x(p)
P
5
10
R(x)
P
0
5
Função Lucro Quadrática
C(x)
x
5
L(x)
x
-5
0,775 3,225
R(x)
R,C
L
Exemplo
Exemplo
C(x)
x
8
R(x)
R,C
Exemplo
x
8
x
-8
1,2 2,25 3,2
R,C
L
V
2,12
Inequação do 2º. Grau
(+)
LUCRO>0
Inequação do 2º. Grau - Exemplo
x
1
9
L. MÁX.
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Engenharia Civil pela PUC-Rio (2000)
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Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 9
Limites de uma função
Objetivos desta aula: 
Estudar a continuidade de uma função e classificar suas descontinuidades.
Adquirir o conceito intuitivo de limite lateral de uma função em um ponto, assim como conhecer sua definição.
Calcular limites de funções.
Conceito
Na matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que seu argumento se aproxima de um determinado valor.
Conceito intuitivo
Limite de uma função contínua
Limite de uma função contínua
2
3
1
|R
x
3x-2
1
1
1,4
2,2
1,5
2,5
1,6
2,8
1,7
3,1
1,9
3,7
1,999
3,997
1,9999
3,9997
x
3x-2
3
1
2,4
2,2
2,3
2,5
2,2
2,8
2,1
3,1
2,01
3,7
2,001
3,997
2,0001
3,9997
Exemplos
Limite de uma função descontínua
Limite de uma função descontínua
0
2
-2
|R
1
-1
Limite de uma função descontínua
Exemplos
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Engenharia Civil pela PUC-Rio (2000)
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Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 10
Derivadas
Objetivos desta aula: 
Verificar a importância do coeficiente angular na interpretação da Derivada.
Analisar graficamente uma Derivada
Verificar a derivada de uma soma.
Determinar a derivada resultante do produto de duas funções utilizando a regra do produto.
Determinar a derivada resultante da divisão de duas funções utilizando a regra do quociente.
Conceito
Derivada de uma função é uma outra função que nos mostra o comportamento da função original.
Em Administração temos a função custo total → sua derivada é o custo marginal.
A função derivada nos mostra a tendência de variação dessa função, provocada por uma variação muito pequena.
Conceito
Coeficiente angular 
Função derivada
Função derivada
Regras de derivação
Temos uma série de regras de diferenciação (derivação) para que o processo de obtenção do cálculo de uma derivada seja bastante prático.
Derivadas das principais funções elementares:
Função Constante
Função Potência
Regras de derivação – Função Constante
Regras de derivação – Função Potência
Exercícios
Derivada de uma soma (ou subtração) de funções
Derivada do produto de duas funções: a regra do produto
Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente
Função derivada
Exercício
Exercício
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA (1997) e Mestrado em Engenharia Civil pela PUC-Rio (2000)
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