MEstII EP8 gabarito

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Métodos Estatísticos IIGabarito do Exercício Programado 8Profa. Ana Maria Farias
1. Em cada um dos seguintes problemas, são dados o tamanho amostral n, o número xde indivíduos ou objetos com uma característica específica e o nível de confiança 1− α .Ache o intervalo de confiança associado para a proporção populacional de indivíduos ouobjetos com tal característica.
(a) n = 1336 x = 1001 1− α = 99%(b) n = 85 x = 41 1− α = 95%(c) n = 335 x = 290 1− α = 98%
Solução
(a)
ε = 2, 58 ·√ 10011336 × (1336−10011336 )1336 = 0, 03059(10011336 − 0, 03059; 10011336 + 0, 03059
) = (0, 71866; 0, 77984)
(b)
ε = 1, 96 ·√ 4185 × (85−4185 )85 = 0, 10623(4185 − 0, 10623; 4185 + 0, 10623
) = (0, 37612; 0, 58858)
(c)
ε = 2, 33 ·√ 290335 × (335−290335 )335 = 0, 04341(290335 − 0, 04341; 290335 + 0, 04341
) = (0, 82226; 0, 90908)
2. Em cada um dos seguintes problemas, são dados o nível de confiança, o limite do erro deestimação, e uma estimativa para p̂ . Ache o tamanho amostral necessário para produzirum intervalo de confiança para p com essas características.
(a) 1− α = 95% ε = 0, 05 p̂ ≈ 0, 45(b) 1− α = 99% ε = 0, 10 p̂ ≈ 0, 14(c) 1− α = 99% ε = 0, 001 p̂ ≈ 0, 057
Solução
Curso de Administração 1
(a) 0, 05 = 1, 96 ·√0, 45× 0, 55n ⇒ n =
(1, 960, 05
)2 × 0, 45× 0, 55⇒ n ≥ 381
(b) 0, 10 = 2, 58 ·√0, 14× 0, 86n ⇒ n =
(2, 580.10
)2 × 0, 14× 0, 86⇒ n ≥ 81
(c)
0, 001 = 1, 64·√0, 057× 0, 943n ⇒ n =
( 1, 640, 001
)2×0, 057×(1−0, 057)⇒ n ≥ 144569
3. Em cada um dos seguintes problemas, são dados o nível de confiança e o limite doerro de estimação. Ache o tamanho amostral necessário para produzir um intervalo deconfiança para p com essas características.
(a) 1− α = 95% ε = 0, 06(b) 1− α = 90% ε = 0, 10(c) 1− α = 98% ε = 0, 002
Solução
(a) 0, 06 = 1, 96 ·√0, 5× 0, 5n ⇒ n =
(1, 960, 06
)2 × 0, 25⇒ n ≥ 267
(b) 0, 10 = 1, 64 ·√0, 5× 0, 5n ⇒ n =
(1, 640, 10
)2 × 0, 25⇒ n ≥ 68
(c) 0, 002 = 2, 33 ·√0, 5× 0, 5n ⇒ n =
( 2, 330, 002
)2 × 0, 25⇒ n ≥ 339307
4. Calcule o tamanho de amostra necessário para se estimar a proporção de alunos daUFF que possuem carro, com nível de confiança de 90% e margem de erro de 0,02.Solução
Como não temos qualquer informação, vamos usar o pior cenário.p = 0, 51− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64ε = 0, 02
0, 02 = 1, 64×√0, 5× 0, 5n =⇒ n = 0, 25×
(1, 640, 02
)2 = 1681
Curso de Administração 2
5. De uma certa população de adultos, retirou-se uma amostra de 1100 indivíduos e 319deles foram classificados como hipertensos. Construa um intervalo de confiança de 95%para a verdadeira proporção de adultos dessa população com hipertensão.Solução
n = 1100 p̂ = 3191100 = 0, 29Podemos usar a aproximação normal, pois (1) n > 30; (2) np̂ = 319 ≥ 5; (3) n(1 − p̂) =781 ≥ 5Temos que 1− α = 0, 95 =⇒ z0,025 = 1, 96. O intervalo de confiança é
(0, 29− 1, 96×√0, 29× 0, 711100 ; 0, 29 + 1, 96×
√0, 29× 0, 711100
) = (0, 263; 0, 317)
6. Uma bem sucedida companhia tem, em geral, seu nome e logomarca com alto nívelde reconhecimento pelos consumidores. Por exemplo, os produtos da Coca-Cola estãodisponíveis para 98% da população mundial e, portanto, deve ter o maior índice de reco-nhecimento da logomarca do que qualquer outra companhia. Uma firma de software, quedesenvolve certo produto, gostaria de estimar a proporção de pessoas que reconhecema logomarca do pinguim do Linux. Dos 952 consumidores pesquisados, selecionadosaleatoriamente, 132 puderam identificar o produto associado ao pinguim.
(a) A distribuição da proporção amostral, P̂ , é aproximadamente normal? Justifiquesua resposta.(b) Ache um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de consumi-dores que reconhecem o pinguim do Linux.
Solução
(a) A distribuição de P̂ pode ser aproximada pela normal, pois
n > 30np̂ = 132 ≥ 5n(1− p̂) = 820 ≥ 5
(b) p̂ = 132952 = 0.138 7 1− α = 95%⇒ z0,025 = 1, 96(0, 1387− 1, 96×√0, 1387× (1− 0, 1387)952 ; 0, 1387 + 1, 96×
√0, 1387× (1− 0, 1387)952
)
= (0, 1167 ; 0, 1607)
Outra possibildiade de solução é construir o intervalo de confiança conservador:(0, 1387− 1, 96×√0, 5× 0, 5952 ; 0, 1387 + 1, 96×
√0, 5× 0, 5952
) = (0, 10694 ; 0, 17046)
Curso de Administração 3