MEstII EP10 gabarito (2)

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Métodos Estatísticos IIGabarito do Exercício Programado 10Profa. Ana Maria Farias
1. Determine as hipóteses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-sede utilizar o parâmetro apropriado (µ para média e p para proporção).(a) Há, em média, pelo menos 15 clientes.Solução afirmativa dada: µ ≥ 15complementar: µ < 15
H0 : µ = 15H1 : µ < 15(b) O tempo médio tem que ser menor que 15 minutos.Solução afirmativa dada: µ < 15complementar: µ ≥ 15
H0 : µ = 15H1 : µ < 15(c) O faturamento médio tem que ser maior que 15 unidades monetárias.Solução afirmativa dada: µ > 15complementar: µ ≤ 15
H0 : µ = 15H1 : µ > 15(d) O comprimento médio tem que ser 15 cm.Solução afirmativa dada: µ = 15complementar: µ 6= 15
H0 : µ = 15H1 : µ 6= 15(e) A proporção de clientes tem que ser pelo menos 60%.Solução afirmativa dada: p ≥ 0, 60complementar: p < 0, 60
H0 : p = 0, 60H1 : p < 0, 60
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(f ) A proporção de defeituosos tem que ser no máximo 5%.Solução afirmativa dada: p ≤ 0, 05complementar: p > 0, 05H0 : p = 0, 05H1 : p > 0, 05(g) A proporção de votos favoráveis tem que ser maior que 75%.Solução afirmativa dada: p > 0, 75complementar: p ≤ 0, 75H0 : p = 0, 75H1 : p > 0, 752. De uma população normal com variância 9, extrai-se a seguinte amostra:3,5 2,7 3,0 3,2 2,8 3,0 2,8 3,1 2,9com o objetivo de se testar H : µ = 5H1 : µ < 5(a) Ao nível de significância de 5%, qual é a conclusão?(b) Calcule o valor P.(c) Qual é a probabilidade do erro tipo II se µ = 4, 8?
Solução
(a) Como o teste é unilateral à esquerda, a abscissa é negativa. Olhando na tabela danormal, obtemos k = −1, 64, ou seja, a região crítica é (ver Figura 1):Z0 < −1, 64
5%
Figura 1 – Região crítica unilateral
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Equivalentemente X − 53√9
< −1, 64⇔ X < 3, 36
Pelos dados do problema, temos
x = 3.5 + 2.7 + 3.0 + 3.2 + 2.8 + 3.0 + 2.8 + 3.1 + 2.99 = 3, 0Logo, o valor observado da estatística de teste é
z0 = 3− 53√9
= −2
Como −2 < −1, 64 (e 3, 0 < 3, 36) rejeitamos a hipótese nula.(b) Como z0 = −2, o valor P é
P = P(Z ≤ −2) = P(Z ≥ 2) = 0, 5− tab(2, 0) = 0, 02275
(c) O erro tipo II é não rejeitar H0 quando ela é falsa e, nesse caso, H0 falsa significaµ = 4, 8. A região de aceitação é o complementar da região crítica. Como a regiãocrítica é X < 3, 36, a região de aceitação é X ≥ 3, 36 e o erro tipo II será
P(X ≥ 3, 36 | X ∼ N (4, 8; 99
)) = P(Z ≥ 3, 36− 4, 81
) = P(Z ≥ −1, 44)= 0, 5 + tab(1, 44) = 0, 9251
3. Com os mesmos dados do exemplo anterior, deseja-se testar
H : µ = 5H1 : µ 6= 5
(a) Ao nível de significância de 5%, qual é a conclusão?(b) Calcule o valor P.(c) Qual é a probabilidade do erro tipo II se µ = 4, 8?
Solução
(a) Como o teste é bilateral, dividimos o nível de significância nas 2 caudas. Veja aFigura 2. Olhando na tabela da normal, obtemos k = 1, 96, ou seja, a região críticaé Z0 < −1, 96 ou Z0 > 1, 96
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2,5%2,5%
Figura 2 – Região crítica bilateral
Equivalentemente
X − 53√9
< −1, 96 ou X − 53√9
> 1, 96⇐⇒
X < 3, 04 ou X > 6, 96
Pelos dados do problema, temos
x = 3, 5 + 2, 7 + · · ·+ 2, 99 = 279 = 3Logo, o valor observado da estatística de teste é
z0 = 3− 53√9
= −2
Como −2 < −1, 96, (ou 3 < 3, 04), rejeitamos a hipótese nula.(b) Como z0 = −2 e o teste é bilateral, o valor P é
P = 2× P(Z ≤ −2) = 2× P(Z ≥ 2) = 2× [0, 5− tab(2, 0)] = 0, 0455
(c) O erro tipo II é aceitar H0 quando ela é falsa e, nesse caso, H0 falsa significa µ = 4, 8.A região de aceitação é o complementar da região de rejeição e, assim, o erro tipoII é
P(3, 04 ≤ X ≤ 6, 96 | X ∼ N (4, 8; 99
)) = P(3, 04− 4, 81 ≤ Z ≤ 6, 96− 4, 81
) =P(−1, 76 ≤ Z ≤ 2, 16) = tab(1, 76) + tab(2, 16) = 0, 9454
4. Em 2007, uma pesquisa realizada pela Brookfield Research/American Express revelouque 35% dos proprietários de cartão de crédito American Express no Canadá usavamapenas esse cartão regularmente. Uma campanha publicitária promocional foi feita
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com o objetivo de aumentar o número de proprietários e usuários do cartão AmericanExpress. Depois dessa campanha, realizou-se uma nova pesquisa com 2500 proprietáriosde cartão de crédito e 902 indicaram que só usavam o American Express. Teste se acampanha publicitária teve sucesso, ao nível de significância de 1%. Certifique-se deespecificar todas as etapas da solução do problema.Solução
A campanha tem o objetivo de aumentar a poporção de clientes, ou seja:
afirmativa dada: p > 0, 35complementar: p ≤ 0, 35
Logo,
H0 : p = 0, 35H1 : p > 0, 35
Estatística de teste e região crítica
Z0 = P̂ − p0√p0(1− p0)n
RC : Z0 > 2, 33
Valor observado da estatística de teste
Z0 = p̂− p0√p0(1− p0)n
= 9022500 − 0, 35√0, 35× 0, 652500
= 1, 1321
Como o valor observado da estatística de teste não está na região crítica, os dadossugerem que a campanha não teve o efeito desejado, ou seja, não houve aumento donúmero de proprietários do cartão American Express.
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