Revisão para ap2 - Métodos Estatísticos II

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Me´todos Estat´ısticos II - Profa. Ana Maria FariasRevisa˜o para AP2
Para soluc¸a˜o das questo˜es sobre Infereˆncia Estat´ıstica, envolvendo construc¸a˜o de intervalos de confianc¸a etestes de hipo´teses, as seguintes fo´rmulas sa˜o apresentadas na prova:
Resultados importantes e fo´rmulasDistribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
(i) Z0 = X − µσ√n ∼ N(0; 1) (ii) T0 =
X − µS√n ∼ t(n− 1)
X ∼ Bern(p) (amostra grande) =⇒

(iii) P̂ − p√ p˜(1− p˜)n
≈ N (0; 1) p˜ : pior cena´rio ou estimativa auxiliar
(iv) P0 = P̂ − p0√p0(1− p0)n
≈ N (0; 1) se p = p0
Regio˜es cr´ıticas
H0 : µ = µ0Z0 < −zα/2 ou Z0 > +zα/2 Z0 > zα Z0 < −zαT0 < −tn−1;α/2 ou T0 > +tn−1;α/2 T0 > +tn−1;α T0 < −tn−1;αH0 : p = p0P̂0 < −zα/2 ou P̂0 > +zα/2 P̂0 > +zα P̂0 < −zα
Nos resultados (i) e (ii), o paraˆmetro de interesse e´ a me´dia populacional. O resultado (i) deve ser usadopara populac¸o˜es normais com variaˆncia conhecida, enquanto o resultado (ii) se aplica a populac¸o˜es normaiscom variaˆncia desconhecida. Nos resultados (iii) e (iv), o paraˆmetro de interesse e´ a proporc¸a˜o populacional.Como eles sa˜o consequeˆncia do Teorema Limite Central, e´ necessa´rio que a amostra seja grande (n > 30). Oresultado (iii) deve ser usado para cosntruc¸a˜o de intervalos de confianc¸a e o resultado (iv), na construc¸a˜o detestes de hipo´teses. Vamos ver agora como usar esses resultados na resoluc¸a˜o de questo˜es.
1 Questo˜es sobre intervalos de confianc¸a
1.1 Forma geral
Vamos denotar por θ̂ o estimador do paraˆmetro de interesse. No nosso caso, θ̂ pode ser a me´dia amostral Xou a proporc¸a˜o amostral P̂. A forma geral do intervalo de confianc¸a e´[θ̂ − ε; θ̂ + ε]
onde o erro amostral ε e´ definido como ε = k · EP(θ̂)
1.2 Erro padra˜o
1.2 Erro padra˜o
O erro padra˜o do estimador, EP(θ̂), e´ obtido diretamente das fo´rmulas dadas - ele e´ o desvio padra˜o dadistribuic¸a˜o amostral:
EP(X ) = σ√n caso (i) - populac¸a˜o normal com variaˆncia conhecida
EP(X ) = S√n caso (ii) - populac¸a˜o normal com variaˆncia desconhecida
EP(P̂) ≈ √ p˜(1− p˜)n caso (iii) - estimac¸a˜o da proporc¸a˜o populacionalNo caso (iii), e´ necessa´rio substituir p˜ por algum valor. Se na˜o for dada qualquer informac¸a˜o, use a proporc¸a˜oamostral encontrada, ou enta˜o, p = 0, 5 que da´ o maior intervalo de confianc¸a poss´ıvel.
1.3 Abscissa da distribuic¸a˜o amostral
Com relac¸a˜o a` constante k, para intervalos de confianc¸a com n´ıvel de confianc¸a 1 − α, ela e´ a abscissa dadistribuic¸a˜o amostral que deixa a´rea α/2 acima dela (veja a Figura.1). Nos casos (i) e (iii), a distribuic¸a˜oamostral e´ normal; assim, voceˆ deve usar a tabela da normal. No caso (ii), a distribuic¸a˜o amostral e´ a t deStudent com n− 1 graus de liberdade.
Figura 1 – Abscissa para construc¸a˜o de intervalos de confianc¸a com n´ıvel de confianc¸a 1− α
Se o n´ıvel de confianc¸a e´ de 80% e o tamanho da amostra e´ n = 18, por exemplo, nos casos (i) e (iii) voceˆdeve procurar na tabela da normal o valor k tal que tab(k) = 0, 40. No caso (ii), voceˆ tem que olhar a tabelada t de Student na linha correspondente a 17 graus de liberdade (n − 1 = 17) e a coluna correspondente a10%. Lembre-se: o n´ıvel de confianc¸a e´ a a´rea central da distribuic¸a˜o. Em cada cauda fica α/2. Note que se1− α = 0, 80, enta˜o α = 0, 2.
1.4 Exemplos
1. Um estudo com 25 proprieta´rios de automo´vel de uma determinada cidade revelou que cada automo´velroda, em me´dia, 22.000 km por ano, com um desvio padra˜o de 3800 km. Supondo que a rodagem possaser aproximadamente descrita por uma distribuic¸a˜o normal, construa um intervalo de confianc¸a com n´ıvelde confianc¸a de 98% para a rodagem anual me´dia dos carros desta cidade.Soluc¸a˜oTem-se a informac¸a˜o de que a populac¸a˜o e´ aproximadamente normal e sa˜o dadas a me´dia e o desviopadra˜o amostrais: x = 22000 e s = 3800. Isso significa que na˜o conhecemos a variaˆncia populacional.Assim, estamos no caso (ii).n = 25 1− α = 98%Temos que olhar na tabela da t de Student, na linha de 24 gl e coluna correspondendo a` a´rea de 1% nacauda superior. Isso resulta em k = 2, 492.
ε = 2, 492× 3800√25 = 1893, 9
O intervalo de confianc¸a e´
[22000− 1893, 9; 22000 + 1893, 9] = [20106, 1; 23893, 9]
2. Antes de uma eleic¸a˜o, um determinado partido esta´ interessado em estimar a proporc¸a˜o p de eleitoresfavora´veis ao seu candidato. Uma pesquisa anterior revelou que 60% dos eleitores eram favora´veis aocandidato em questa˜o.
(a) Determine o tamanho da amostra necessa´rio para que o erro cometido na estimac¸a˜o seja de, noma´ximo, 0,01, com probabilidade de 80%.(b) Se na amostra final, de tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55% dos eleitores eramfavora´veis ao candidato em questa˜o, construa um intervalo de confianc¸a de 95% de confianc¸a paraa proporc¸a˜o populacional p.Soluc¸a˜o(a) O paraˆmetro de interesse e´ a proporc¸a˜o populacional; logo, estamos no caso (iii). Note que e´dada uma informac¸a˜o sobre o valor do paraˆmetro. Assim, usamos essa informac¸a˜o para calcular otamanho da amostra.1 − α = 0, 8 ⇒ α/2 = 0, 1. Na tabela da normal, procuramos k tal que tab(k) = 0, 4. Isso nos da´k = 1, 28
ε = k ×√ p˜(1− p˜)n
0, 01 = 1, 28×√0, 6× 0, 4n ⇒ √n = 1, 280, 01 ×√0, 6× 0, 4⇒ √n = 62, 707⇒n = 62.7072 = 3932, 2
Logo, n = 3933.Se na˜o tive´ssemos a informac¸a˜o da pesquisa anterior, usar´ıamos p˜ = 0, 5, que corresponde ao piorcaso e, assim, ter´ıamos
0, 01 = 1, 28×√0, 5× 0, 5n ⇒ √n = 1.280, 01 × 0, 5 = 64⇒ n = 4096
(b) 1− α = 0, 95 ⇒ α/2 = 0, 025. Na tabela da normal, procuramos k tal que tab(k) = 0, 475. Isso nosda´ k = 1, 96 ε = 1, 96×√0, 55× 0, 453933 = 0, 015548e o intervalo e´ [0, 55− 0, 0155; 0, 55 + 0, 0155] = [0, 5345; 0, 5655]
2 Questo˜es sobre teste de hipo´teses
2.1 Definic¸a˜o das hipo´teses nula e alternativa
Na soluc¸a˜o de problemas envolvendo testes de hipo´teses, e´ fundamental que voceˆ defina corretamente ashipo´teses nula e alternativa. E´ a hipo´tese alternativa que determina a regia˜o cr´ıtica do teste. Como visto nolivro texto, para determinar H0 e H1, voceˆ tem que “traduzir”as afirmac¸o˜es do problema para desigualdades.A desigualdade que na˜o envolve o sinal de = sera´ a hipo´tese alternativa e a hipo´tese nula e´ sempre do tipoθ = θ0.
2.1.1 Exemplos
1. O tempo me´dio e´, no ma´ximo, 15 minutos. Traduzindo
afirmativa dada: µ ≤ 15complementar: µ > 15
H0 : µ = 15H1 : µ > 15
2.1 Definic¸a˜o das hipo´teses nula e alternativa
2. Ha´, em me´dia, pelo menos 15 clientes.
afirmativa dada: µ ≥ 15complementar: µ < 15
H0 : µ = 15H1 : µ < 15
3. O tempo me´dio tem que ser menor que 15 minutos.
afirmativa dada: µ < 15complementar: µ ≥ 15
H0 : µ = 15H1 : µ < 15
4. O faturamento me´dio tem que ser maior que 15 unidades moneta´rias.
afirmativa dada: µ > 15complementar: µ ≤ 15
H0 : µ = 15H1 : µ > 15
5. O comprimento me´dio tem que ser 15 cm.
afirmativa dada: µ = 15complementar: µ 6= 15
H0 : µ = 15H1 : µ 6= 15
6. A proporc¸a˜o de clientes tem que ser pelo menos 60%.
afirmativa dada: p ≥ 0, 60complementar: p < 0, 60
H0 : p = 0, 60H1 : p < 0, 60
7. A proporc¸a˜o de defeituosos tem que ser no ma´ximo 5%.
afirmativa dada: p ≤ 0, 05complementar: p > 0, 05
H0 : p = 0, 05H1 : p > 0, 05
8. A proporc¸a˜o de votos favora´veis tem que ser maior que 75%.
afirmativa dada: p > 0, 75complementar: p ≤ 0, 75
H0 : p = 0, 75H1 : p > 0, 75
2.2 Estat´ıstica de teste
2.2 Estat´ıstica de teste
2.2.1 Teste sobre a me´dia de uma populac¸a˜o normal
Ha´ dois casos poss´ıveis: variaˆncia populacional conhecida e variaˆncia populacional desconhecida. Se ahipo´tese nula e´ H0 : µ = µ0, as estat´ısticas de teste sa˜o
Z0 = X − µ0σ√npara o caso de se conhecer σ e T0 = X − µ0S√nno caso de na˜o se conhecer σ.
2.2.2 Teste sobre uma proporc¸a˜o (amostras grandes)
Se a hipo´tese nula e´ H0 : p = p0, a estat´ıstica de teste e´
Z0 = P̂ − p0√p0(1− p0)n
2.3 Definic¸a˜o da regia˜o cr´ıtica
A regia˜o cr´ıtica e´ constru´ıda comparando-se ovalor da estat´ıstica de teste sob H0 com a abscissa da distri-buic¸a˜o amostral correspondente. Se o valor observado da estat´ıstica de teste cai na regia˜o cr´ıtica, rejeita-sea hipo´tese nula.Na Figura 2 ilustra-se a abscissa que deve ser procurada na tabela da distribuic¸a˜o amostral (normal out−Student) para as treˆs possibilidades de hipo´tese alternativa.Quando a estat´ıstica de teste segue a distribuic¸a˜o normal, para o teste unilateral a` direita, temos que en-contrar, na tabela da normal padra˜o, a abscissa k tal que tab(k) = 0, 5− α. Essa mesma abscissa, com sinalnegativo, e´ a soluc¸a˜o para o teste unilatera a` esquerda. E no caso do teste bilateral, temos que encontrar aabscissa k da normal padra˜o tal que.tab(k) = 0, 5− α/2.Quando a estat´ıstica de teste segue a distribuic¸a˜o t−Student, o procedimento e´ absolutamente ana´logo, so´que em vez de usarmos a tabela da normal padra˜o, temos que usar agora a tabela da t de Student com n− 1graus de liberdade.Veja as estat´ısticas de teste e as regio˜es cr´ıticas no formula´rio.
2.4 Ca´lculo do valor P
Vamos agora nos concentrar no caso de teste de hipo´tese para a me´dia de uma populac¸a˜o normal com variaˆnciaconhecida. Nesse caso, a estat´ıstica de teste e´ dada na equac¸a˜o (1).O valor P e´ a probabilidade de se obter um valor da estat´ıstica ta˜o ou mais extremo do que o valor observado.“Ta˜o ou mais extremo” e´ sempre no sentido de se rejeitar a hipo´tese nula. Suponhamos que o valor observadoda estat´ıstica de teste seja z0 = 1, 92 para um teste unilateral a` direita. Enta˜o, P = Pr(Z > 1, 92). Essemesmo valor de z0 num teste bilateral resulta em P = 2× Pr(Z > 1, 92).
2.4 Ca´lculo do valor P
Teste unilateral a` direita H1 : µ > µ0
Teste unilateral a` esquerda H1 : µ < µ0
Teste bilateral H1 : µ 6= µ0
Figura 2 – Valores cr´ıticos para definic¸a˜o da regia˜o cr´ıtica de testes de hipo´teses
2.5 Exemplos
2.5 Exemplos
1. De uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 9, extrai-se a seguinte amostra:
3,5 2,7 3,0 3,2 2,8 3,0 2,8 3,1 2,9
com o objetivo de se testar
H : µ = 5H1 : µ < 5(a) Ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, qual e´ a conclusa˜o?(b) Calcule o valor P.Soluc¸a˜o(a) Como o teste e´ unilateral a` esquerda, a abscissa e´ negativa. Olhando na tabela da normal,obtemos k = −1, 64, ou seja, a regia˜o cr´ıtica e´ (veja o gra´fico do meio na Figura 2):
Z0 < −1, 64
Pelos dados do problema, temos
x = 3.5 + 2.7 + 3.0 + 3.2 + 2.8 + 3.0 + 2.8 + 3.1 + 2.99 = 3, 0Logo, o valor observado da estat´ıstica de teste e´
z0 = 3− 53√9
= −2
Como −2 < −1, 64, rejeitamos a hipo´tese nula.(b) Como z0 = −2, o valor P e´P = P(Z ≤ −2) = P(Z ≥ 2) = 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 47725 = 0, 02275
2. Com os mesmos dados do exemplo anterior, deseja-se testar
H : µ = 5H1 : µ 6= 5(a) Ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, qual e´ a conclusa˜o?(b) Calcule o valor P.Soluc¸a˜o(a) Como o teste e´ bilateral, dividimos o n´ıvel de significaˆncia nas 2 caudas. Veja o gra´fico inferiorda Figura 2. Olhando na tabela da normal, obtemos k = 1, 96, ou seja, a regia˜o cr´ıtica e´
Z0 < −1, 96 ou Z0 > 1, 96
Do problema anterior, sabemos que x = 3 e o valor observado da estat´ıstica de teste e´ z0 = −2Como −2 < −1, 96, rejeitamos a hipo´tese nula.(b) Como z0 = −2 e o teste e´ bilateral, o valor P e´P = 2× P(Z ≤ −2) = 2× P(Z ≥ 2) = 2× [0, 5− tab(2, 0)] = 0, 0455
3. Vamos considerar novamente o Exemplo 1, mas supondo que na˜o se conhece a variaˆncia da populac¸a˜o.Isso significa que temos que estimar a variaˆncia a partir da amostra e tambe´m temos que usar a tabelada distribuic¸a˜o t (e na˜o mais a tabela da normal). O enunciado passaria a ser o seguinte:De uma populac¸a˜o normal, extrai-se a seguinte amostra:
3,5 2,7 3,0 3,2 2,8 3,0 2,8 3,1 2,9
com o objetivo de se testar
H : µ = 5H1 : µ < 5
2.5 Exemplos
(a) Ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, qual e´ a conclusa˜o?(b) Calcule limites para o valor P.Soluc¸a˜o(a) Agora temos que olhar a tabela da t de Student com n− 1 = 8 graus de liberdade, uma vez quena˜o conhecemos a variaˆncia. A estat´ıstica de teste e´ T0 e como o teste e´ unilateral a` esquerda, aabscissa e´ negativa. A abscissa que deixa 5% acima dela e´ t8;0,05 = 1, 86 e a regia˜o cr´ıtica e´
T0 < −1, 86
Vamos calcular x e S2 :
x = 3.5 + 2.7 + 3.0 + 3.2 + 2.8 + 3.0 + 2.8 + 3.1 + 2.99 = 3, 0
S2 = 18 (3.52 + 2.72 + 3.02 + 3.22 + 2.82 + 3.02 + 2.82 + 3.12 + 2.92 − 9× 32) == 18 (81.48− 81) = 0, 06O valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 = 3− 5√ 0.069 = −24, 495
Como −24.495 < −1, 86, rejeitamos a hipo´tese nula.(b) Por definic¸a˜o, o valor P e´ P = P(t8 < −24, 495)Para o ca´lculo exato do valor p precisar´ıamos de um software estat´ıstico. Mas pela tabela,podemosapenas afirmar que P < 0, 001.
4. Uma companhia de cigarros anuncia que o ı´ndice me´dio de nicotina dos cigarros que fabrica e´ de, noma´ximo, 23 mg por cigarro. A pedido de um cliente, um laborato´rio realiza ana´lise em 6 cigarros, obtendoos seguintes n´ıveis (em mg): 27, 24, 21, 25, 26, 22. Suponha que a distribuic¸a˜o do ı´ndice de nicotinaseja aproximadamente normal.
(a) Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando as hipo´teses nula e alter-nativa.(b) Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 10%.(c) Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do cliente sobre o fabricante. Certifique-sede estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o-te´cnicos.(d) Estabelec¸a limites para o valor P.Soluc¸a˜o(a) afirmativa dada: µ ≤ 23complementar: µ > 23
H0 : µ = 23H1 : µ > 23
(b) A populac¸a˜o e´ normal, mas na˜o conhecemos a variaˆncia. Logo, temos que usar a distribuic¸a˜o tde Student com 5 graus de liberdade (n = 6), ou seja, a estat´ıstica de teste e´
T0 = X − 23S√6 ∼ t5Nı´vel de significaˆncia α = 10%; teste unilateral a` direita. Abscissa e´ encontrada na tabela da tolhando-se na linha correspondente a 5 gl e na coluna correspondente a 10%. t5;0,10 = 1, 476. Aregia˜o cr´ıtica e´ T0 => 1, 746
2.5 Exemplos
(c) Dos dados temos que
x = 16 6∑i=1 Xi = 27 + 24 + 21 + 25 + 26 + 226 = 1456 = 24, 167s2 = 15 (272 + 242 + 212 + 252 + 262 + 222 − 6× (24.167)2) == 15 [3531− 3504.263] ≈ 5, 35Logo, o valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 = 24, 167− 23√ 5,356 = 1, 2359Como o valor observado da estat´ıstica de teste na˜o pertence a` regia˜o cr´ıtica (1, 2359 < 1, 476) na˜orejeitamos a hipo´tese nula, ou seja, as evideˆncias amostrais indicam que o n´ıvel me´dio de nicotinae´ no ma´ximo 23 mg por cigarro.(d) Olhando a tabela da t na linha correspondente a 5 graus de liberdade, vemos que que o valorobservado da estat´ıstica da teste esta´ compreendido entre as seguintes abscissas:1,156 < 1, 2359 < 1,476que correspondem aos n´ıveis 0,15 e 0,10. Logo,0, 10 < P < 0, 15
5. Uma companhia de cigarros anuncia que o ı´ndice me´dio de nicotina dos cigarros que fabrica e´ de 23mg por cigarro. A pedido de um cliente, um laborato´rio realiza ana´lise em 6 cigarros, obtendo osseguintes n´ıveis (em mg): 27, 24, 21, 25, 26, 22. Suponha que a distribuic¸a˜o do ı´ndice de nicotina sejaaproximadamente normal.
(a) Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando as hipo´teses nula e alter-nativa.(b) Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 10%.(c) Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do cliente sobre o fabricante. Certifique-sede estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o-te´cnicos.Soluc¸a˜oNote a diferenc¸a no enunciado! afirmativa dada: µ = 23complementar: µ 6= 23
H0 : µ = 23H1 : µ 6= 23Nı´vel de significaˆncia α = 10%; teste bilateral. Abscissa e´ encontrada na tabela da t olhando-sena linha correspondente a 5 gl e na coluna correspondente a 5%. t5;0,05 = 2, 015. A regia˜o cr´ıtica e´
T0 = X − 23S√6 > 2, 015 ou T0 = X − 23S√6 < −2, 0156. Em 2007, uma pesquisa realizada pela Brookfield Research/American Express revelou que 35% dosproprieta´rios de carta˜o de cre´dito American Express no Canada´ usavam apenas esse carta˜oregularmente.Uma campanha publicita´ria promocional foi feita com o objetivo de aumentar o nu´mero de proprieta´riose usua´rios do carta˜o American Express. Depois dessa campanha, realizou-se uma nova pesquisa com2500 proprieta´rios de carta˜o de cre´dito e 902 indicaram que so´ usavam o American Express. Teste se acampanha publicita´ria teve sucesso, ao n´ıvel de significaˆncia de 1%. Certifique-se de especificar todasas etapas da soluc¸a˜o do problema.Soluc¸a˜oA campanha tem o objetivo de aumentar a poporc¸a˜o de clientes, ou seja:afirmativa dada: p > 0, 35complementar: p ≤ 0, 35
2.5 Exemplos
Logo,
H0 : p = 0, 35H1 : p > 0, 35
Estat´ıstica de teste e regia˜o cr´ıtica
Z0 = P̂ − p0√p0(1− p0)n
∼ N(0; 1) RC : Z0 > 2, 33
Valor observado da estat´ıstica de teste
z0 = p̂− p0√p0(1− p0)n
= 9022500 − 0, 35√0, 35× 0, 652500
= 1, 1321
Como o valor observado da estat´ıstica de teste na˜o esta´ na regia˜o cr´ıtica, os dados sugerem que acampanha na˜o teve o efeito desejado, ou seja, na˜o houve aumento do nu´mero de proprieta´rios do carta˜oAmerican Express.