LM Unidade II Aula5

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Lógica Matemática
Unidade II – O Formalismo da lógica
Aula 5
Profa Daisy Albuquerque
2Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 2
Lógica Matemática
▪ Revisão
▪ Tautologias
▪ Contradições
▪ Contingência
▪ Exercícios da lista 1
3Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 3
Lógica Matemática
▪ Proposição
➢ O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo. (verdadeira)
➢ O Brasil é um País da América do Sul. (verdadeira)
➢ A Bahia é um estado do sul do Brasil. (falsa)
▪ Proposição simples e compostas
➢ Maria é médica.
➢ Maria é médica e Pedro é dentista.
4Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 4
Lógica Matemática
▪ Conectivos:
➢ ~ corresponde a “não”
➢ Λ corresponde a “e”
➢ ν corresponde a “ou”
➢ corresponde a “então”
➢ ↔ corresponde a “se e somente se”
5Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 5
Lógica Matemática
▪ Com duas proposições ou mais, podemos formar:
➢ Conjunções: a Λ b (lê-se: a e b)
➢ Disjunções: a ν b (lê-se: a ou b)
➢ Disjunções exclusiva: a V b (lê-se: ou a ou b)
➢ Condicionais: a  b (lê-se: se a então b)
➢ Bicondicionais: a b (lê-se: a se e somente se b)
6Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 6
Lógica Matemática
▪ Tabela-verdade
➢ O número de linhas da tabela: 2 elevado ao número de
proposições simples.
➢ Ex. 2² = 4 linhas e 2³ = 8 linhas.
7Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 7
Lógica Matemática
▪ Ordem de precedência
➢ Faremos as negações (~);
➢ Faremos as conjunções ou disjunções, na ordem em que
aparecerem;
➢ Faremos o condicional;
➢ Faremos o bicondicional.
8Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 8
Lógica Matemática
9Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 9
Tautologia
▪ Definição
➢ Chama-se tautologia toda proposição composta em cuja
última coluna da sua tabela verdade só aparece a letra V.
➢ Em outras palavras, tautologia é toda proposição composta
P(p,q,r,s,...) cujo valor lógico é sempre verdade, quaisquer
que sejam os valores lógicos das proposições simples
componentes.
10Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 10
Tautologia
▪ p V ~p
p ~p p V ~p
V F
F V
11Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 11
Tautologia
▪ p V ~p
p ~p p V ~p
V F V
F V V
12Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 12
Contradição
▪ Definição
➢ Chama-se contradição toda proposição composta em cuja
última coluna da sua tabela verdade só aparece a letra F.
➢ Em outras palavras, contradição é toda proposição composta
P(p, q, r, s, ...) cujo valor lógico é sempre falso, quaisquer
que sejam os valores lógicos das proposições simples
componentes (p, q, r, s, ...)
13Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 13
Contradição
▪ p Λ ~p
p ~p p Λ ~p
V F
F V
14Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 14
Contradição
▪ p Λ ~p
p ~p p Λ ~p
V F F
F V F
15Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 15
Observação
▪ Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação
da tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma
contradição e vice versa.
p ~p p Λ ~p ~(p Λ ~p)
V F V
F V V
16Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 16
Observação
▪ Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação
da tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma
contradição e vice versa.
p ~p p Λ ~p ~(p Λ ~p)
V F V F
F V V F
17Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 17
Contigência
▪ Definição
➢ Chama-e contingência toda proposição composta em cuja
última coluna da sua tabela verdade aparecer os valores V e F
cada uma pelo menos uma vez.
➢ Em outras palavras, contingência é toda proposição composta
que não é tautologia nem contradição.
18Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 18
Contigência
▪ p ⃗ q
p q p ⃗ q
V V
V F
F V
F F
19Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 19
Contigência
▪ p ⃗ q
p q p ⃗ q
V V V
V F F
F V V
F F V
20Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 20
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ ~(p Λ ~p)
↔
p ~p p Λ ~p ~(p Λ ~p)
V F
F V
21Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 21
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ ~(p Λ ~p)
↔
p ~p p Λ ~p ~(p Λ ~p)
V F F V
F V F V
22Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 22
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ p V ~(p Λ q)
↔
p q p Λ q ~(p Λ q) p V ~(p Λ q)
V V
V F
F V
F F
23Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 23
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ p V ~(p Λ q) Tautologia
↔
p q p Λ q ~(p Λ q) p V ~(p Λ q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
24Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 24
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
p ▪ Λ q ⃗ (p ⃡ q)
↔
p q p Λ q p ⃡ q p Λ q ⃗ (p ⃡ q)
V V
V F
F V
F F
25Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 25
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
p ▪ Λ q ⃗ (p ⃡ q) Tautologia
↔
p q p Λ q p ⃡ q p Λ q ⃗ (p ⃡ q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
26Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 26
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ (p Λ q) Λ ~(p V q)
↔
p q p V q p V q ~(p V q) (p Λ q) Λ ~(p V q)
V V
V F
F V
F F
27Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 27
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ (p Λ q) Λ ~(p V q) Contradição
↔
p q p Λ q p V q ~(p V q) (p Λ q) Λ ~(p V q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
28Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 28
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ (p V q) ⃗ (p Λ q)
↔
p q p V q p Λ q (p V q) ⃗ (p Λ q)
V V
V F
F V
F F
29Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 29
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ (p V q) ⃗ (p Λ q) Contigência
↔
p q p V q p Λ q (p V q) ⃗ (p Λ q)
V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F F
30Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 30
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ ~p Λ (p Λ ~q)
↔
p q ~q p Λ ~q ~p ~p Λ (p Λ ~q)
V V
V F
F V
F F
31Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 31
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ ~p Λ (p Λ ~q) Contradição
↔
p q ~q p Λ ~q ~p ~p Λ (p Λ ~q)
V V F F F F
V F V V F F
F V F F V F
F F V F V F
32Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 32
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
p ▪ ⃡ ~p 
↔
p ~p p ⃡ ~p
V
V
F
F
33Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 33
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
p ▪ ⃡ ~p Contradição
↔
p ~p p ⃡ ~p
V F F
V F F
F V F
F V F
34Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 34
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ (q ⃗ p) ⃗ (p ⃗q)
↔
p q q ⃗ p p ⃗ q (q ⃗ p) ⃗ (p ⃗q)
V V
V F
F V
F F
35Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 35
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
▪ (q ⃗ p) ⃗ (p ⃗q) Contigência
↔
p q q ⃗ p p ⃗ q (q ⃗ p) ⃗ (p ⃗q)
V V V V V
V F V F F
F V F V V
F F V V V
36Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 36Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
p V (q ▪ Λ ~q) ⃡ p
↔
p q ~q q Λ ~q p V (q Λ ~q) p V (q Λ ~q) ⃡ p
V V
V F
F V
F F
37Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 37
Exercícios
▪ Lista 1
↔
38Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 38
Tautologia, Contradição ou 
Contingência?
p V (q ▪ Λ ~q) ⃡ p Tautologia
↔
p q ~q q Λ ~q p V (q Λ ~q) p V (q Λ ~q) ⃡ p
V V F F V V
V F V F V V
F V F F F V
F F V F F V