Aula 03 MPN

Prévia do material em texto

Matemática para Negócios 
Antonio Nascimento 
Aula 3 
Objetivos desta aula 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
• Reconhecer as equações por meio de sentenças 
matemáticas de igualdade. 
• Já as inequações, por meio de sentenças abertas 
expressas por uma desigualdade. 
• Resolver equações, sistemas de equações e 
inequações de 1º grau, através de expressões 
algébricas. 
Equações de 1º. grau 
Definição 
 
• É uma sentença matemática que exprime uma 
relação de igualdade e que contém, pelo menos, 
uma incógnita (representada por uma letra). 
 
• A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em 
latim quer dizer "igual". 
Equações de 1º. grau 
• Chamamos de equação geral do primeiro grau na 
incógnita ݔ, no universo real: 
 ࢇ. ࢞ + ࢈ = ૙ 
 
• ܽ e ܾ ∈ ܴ, com ܽ ≠ Ͳ, onde: 
 ࢇ࢞ = −࢈ ࢞ = −࢈ࢇ 
Equações de 1º. grau 
Membro e Termo da equação 
 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo 
da equação. ͵ݔ − ͳͲ = ʹݔ − ͺ 
 
 
 ͵ݔ − ͳͲ = ʹݔ − ͺ 1º membro 2º membro 
Termos da equação 
Equações de 1º. grau 
Raízes de uma equação 
• São os elementos do conjunto verdade de uma 
equação. 
• Verificação se um número é raiz de uma equação: 
 
1) Substituir a incógnita por esse número. 
2) Determinar o valor de cada membro da equação. 
3) Verificar a igualdade, se ela for uma sentença 
verdadeira, o número considerado é raiz da 
equação. 
Equações de 1º. grau 
Exemplo: 
 
• Ͷݔ − ͳʹ = Ͳ 
 
 
 
 
Equações de 1º. grau 
Exercícios 
1) Ͷݔ − ͳʹ = ͺ − ͸ݔ 
 
 
 
 
1 de 4 
Equações de 1º. grau 
Exercícios 
2) ʹݔ − ͺ = ͻ 
 
 
 
 
2 de 4 
Equações de 1º. grau 
Exercícios 
3) ͷ − 𝑥ଶ = 7ହ+ ݔ 
 
 
 
3 de 4 
Equações de 1º. grau 
Exercícios 
4) Um provedor de acesso à Internet oferece um 
plano de assinatura para seus assinantes, onde 
tem uma taxa mensal de R$8,00 mais R$3,00 por 
cada minuto de conexão durante o mês. Se o 
assinante pagou no final do mês o valor total de 
R$368,00, quantos minutos ele ficou conectado 
neste mês? 
 
4 de 4 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Equação Linear: 
 
 
 
 
Exemplo: 
• ʹݔ − Ͷ = Ͳ 
 
• ʹݔ + Ͷݕ = ͳͲ ???? 
ࢇ૚. ࢞ + ࢇ૛. ࢟ + ⋯+ ࢇ𝒏. ࢠ = ࢈ 
coeficientes incógnitas termo independente 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Sistema de equações lineares 
 
• É um conjunto de equações lineares nas mesmas 
incógnitas. 
 
 
 
 
 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Exemplos: 
• ݔ + ʹݕ + ͵ݖ = ͳͶݔ − ʹݕ + ݖ = ͳ͵ݔ + Ͷݕ − ݖ = ͹ ➪ 3 equações e 3 incógnitas ✔฀ 
• ݔ + ʹݕ + ݖ = Ͳݔ − ݕ + ݖ = Ͳ ➪ 2 equações e 3 incógnitas ฀ 
• ݔ + ʹݕ = ͵ݔ − ݕ = Ͳͷݔ + ͸ݕ = ͳͳ ➪ 3 equações e 2 incógnitas ✔ 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Solução de um sistema linear 𝑀éݐ݋𝑑݋ 𝑑ܽ 𝐴𝑑𝑖çã݋𝑀éݐ݋𝑑݋ 𝑑ܽ ܵݑܾݏݐ𝑖ݐݑ𝑖çã݋𝑀éݐ݋𝑑݋ 𝑑ܽ 𝐶݋𝑚݌ܽݎܽçã݋ 
Método da Adição: 
• consiste em eliminar uma das incógnitas “x” ou “y” e 
desta forma trabalhar com a solução, primeiro de 
uma incógnita e depois da outra. 
Métodos da Substituição: 
• consiste em isolar uma das incógnitas da primeira 
equação e substituí-lo na segunda equação 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Método da Adição ʹݔ + ݕ = ͷݔ + ݕ = ͵ 
 
• Multiplicar a 2ª Equação por (-1) e somar com a 1ª 
Equação: −ͳ × ݔ + ݕ = ͵ = −ݔ − ݕ = −͵ ʹݔ + ݕ = ͷ−ݔ − ݕ = −͵ ݔ = ʹ 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Método da Adição ʹݔ + ݕ = ͷݔ + ݕ = ͵ 
 
• Substituir o valor de ࢞ = ૛ na 1ª Equação: ʹ. ʹ + ݕ = ͷ Ͷ + ݕ = ͷ ݕ = ͷ − Ͷ ݕ = ͳ 
 
• Solução do sistema linear: (2,1) 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Método da Substituição ʹݔ + ݕ = ͷݔ + ݕ = ͵ 
 
• Isolar a incógnita y da 1ª equação: ʹݔ + ݕ = ͷ ➪ ݕ = ͷ − ʹݔ 
 
• Substituir o valor de ࢟ = 𝟓 − ૛࢞ na 2ª Equação: ݔ + ͷ − ʹݔ = ͵ ݔ − ʹݔ = ͵ − ͷ −ݔ = −ʹ ➪ ࢞ = ૛ 
Sistema linear de equações do 1º grau 
Método da Substituição ʹݔ + ݕ = ͷݔ + ݕ = ͵ 
• Substituir o valor de ࢞ = ૛ na 1ª ou 2ª Equação: 
• 1ª equação ʹሺʹሻ + ݕ = ͷ ݕ = ͷ − Ͷ ➪ ࢟ = ૚ 
• 2ª equação ሺʹሻ + ݕ = ͵ ݕ = ͵ − ʹ ➪ ࢟ = ૚ 
• Solução do sistema linear: (2,1) 
Inequação de 1º grau 
Definição 
 
• Inequação é uma sentença matemática com uma ou 
mais incógnitas expressas por uma desigualdade, 
diferente da equação que representa uma 
igualdade. 
• Elas são representadas através de relações que não 
são de equivalência. 
Inequação de 1º grau 
• Chamamos de inequação geral do primeiro grau na 
incógnita ݔ, no universo real: 
 ࢇ. ࢞ + ࢈ > ૙ ou ࢇ. ࢞ + ࢈ ൒ ૙ 
 ࢇ. ࢞ + ࢈ < ૙ ou ࢇ. ࢞ + ࢈ ൑ ૙ 
 
• ܽ e ܾ ∈ ܴ, e com ܽ ≠ Ͳ. 
Inequação de 1º grau 
Exemplo: ͵ ݔ − Ͷ > ݔ + ʹ 
1) Desenvolvemos os parênteses: ͵ݔ − ͳʹ > ݔ + ʹ 
2) Passamos todos os termos que contêm x para o 1° 
membro e as constantes para o 2° membro: ͵ݔ − ݔ > ʹ + ͳʹ ʹݔ > ͳͶ 
3) Dividimos todos os termos pelo coeficiente de x: ݔ > ଵସଶ ➪ ݔ > ͹ 
Solução: ܵ = {ݔ ∈ ܴ|ݔ > ͹} 
Inequação de 1º grau 
Exercícios 
 
• Ͷ ݔ + ͳ − ͷ ൑ ʹሺݔ + ͵ሻ 
 
 
 
1 de 3 
Inequação de 1º grau 
Exercícios 
 
• ʹ ݔ − ͳ < ͷݔ + ͵ 
 
 
 
2 de 3 
Inequação de 1º grau 
Exercícios 
 
• 𝑥−ଵଶ + 𝑥ଷ ൒ Ͳ 
 
 
 
3 de 3 
Antonio Sérgio Alves do Nascimento 
 
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA 
(1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000) 
 
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531 
. 
Obrigado!