Aula 04 MPN

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Matemática para Negócios 
Antonio Nascimento 
Aula 4 
Razão, Proporção e Porcentagem 
Objetivos desta aula: 
• Compreender o conceito de razão entre duas 
grandezas. 
• Identificar proporções como igualdade de duas 
razões. 
• Resolver problemas que envolvam duas ou mais 
grandezas direta e inversamente proporcionais. 
• Identificar e representar e resolver problemas, 
envolvendo porcentagens em sua vida prática. 
Razão 
Razão entre dois números a e b, b≠0, é o quociente: ܾܽ = ݇ 
 A razão compara quantidades, calculando o quociente 
entre estas quantidades. 
• Dizemos que “a está para b”. 
• Os números a e b são os termos da razão. 
• O numerador a é o antecedente (antecedente). 
• O denominador b é o consequente da razão. 
Razão 
Exemplo 
• Consideremos uma casa com 1200 m² de área 
construída em uma área total de 4800 m² de área 
total. A razão da área construída para a área total 
será: ݎܽ𝑧ã݋ = áݎ݁ܽ ܿ݋݊ݏݐݎݑí݀ܽáݎ݁ܽ ݐ݋ݐ݈ܽ 
 ݎܽ𝑧ã݋ = ଵଶ଴଴𝑚2ସ଼଴଴𝑚2 = ଵସ 
Razão Equivalente 
• Duas ou mais razões são equivalentes quando as 
frações que as representam são equivalentes: 
 ଷହ = ଵଶଶ଴ 
 ଷହ = Ͳ,͸ ➪ ଵଶଶ଴ = Ͳ,͸ 
Proporção 
• Chamamos de proporção à igualdade entre razões: 
 ܾܽ = ܿ݀ = ݇ 
 
• Sendo a, b, c, d números reais com b e d ≠ 0. 
• k é constante da proporção. 
• a e d de extremos da proporção e 
• b e c de meios da proporção 
Propriedades da proporção 
Seja a proporção: 
௔௕ = ௖ௗ 
 
1) O produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos; 
2) A soma dos antecedentes está para a soma dos 
consequentes assim como cada antecedente está 
para o seu consequente; 
3) Troca dos meios; 
4) Troca dos extremos. 
Propriedades da proporção 
1) O produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos: ܾܽ = ܿ݀ 
 ܽ × ݀ = ܾ × ܿ 
• Exemplo: ଵଶ = ଷ଺ ͳ × ͸ = ʹ × ͵ 
 ͸ = ͸ 
Propriedades da proporção 
2) A soma dos antecedentes está para a soma dos 
consequentes assim como cada antecedente está 
para o seu consequente: ௔+௖௕+ௗ = ௖ௗ ou ௔+௖௕+ௗ = ௔௕ 
 
• Exemplo: ଵଶ = ଷ଺ 
 ଵ+ଷଶ+଺ = ଵଶ ou ଵ+ଷଶ+଺ = ଷ଺ 
 
Propriedades da proporção 
3) Troca dos meios: ௔࢈ = ࢉௗ ➪ ௔ࢉ = ࢈ௗ 
 
• Exemplo: ଵଶ = ଷ଺ 
 ଵଷ = ଶ଺ ➪ Ͳ,͵͵͵ … = Ͳ,͵͵͵ … 
 
Propriedades da proporção 
4) Troca dos extremos: ࢇ௕ = ௖ࢊ ➪ ࢊ௕ = ௖ࢇ 
 
• Exemplo: ଵଶ = ଷ଺ 
 ଺ଶ = ଷଵ ➪ ͵ = ͵ 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
• Quando, multiplicando o valor de uma delas por um 
número positivo, o valor da outra fica multiplicado 
por esse mesmo número positivo. 
 
Exemplo: 
• Se um produto custa 30 reais a unidade e quisermos comprar 
duas unidades, pagaremos 60, se quisermos comprar três 
unidades, 90, e assim por diante. ͳ͵Ͳ = ͸ʹͲ = ͻ͵Ͳ 
Grandezas inversamente proporcionais 
• Quando, multiplicando o valor de uma delas por um 
número positivo, o valor da outra é dividido por esse 
mesmo número positivo. 
 
Exemplo: 
• Quando percorremos um trecho, de 100 km, com velocidade 
de 50 km/h, levaremos 2 horas para percorrê-lo. Se 
percorrermos o mesmo trecho de 100 km, com uma velocidade 
de 100 km/h, levaremos 1 hora e assim por diante. ͷͲͳͲͲ = ͳʹ 
Grandezas proporcionais 
Exercício 
• Digamos que em três dias faço 30 exercícios de 
Matemática. Em 9 dias faria quantos exercícios 
desta disciplina? ݀𝑖ܽݏ ݁𝑥݁ݎܿíܿ𝑖݋ݏ͵ ͵Ͳͻ 𝑥 ଷଽ = ଷ଴𝑥 ➪ ͵. 𝑥 = ͻ. ͵Ͳ➪ 𝑥 = ଶ଻଴ଷ = ͻͲ exercícios. 
 
1/4 
Grandezas proporcionais 
Exercício 
• Um artesão consegue fazer 3 peças em 18 minutos. 
Em 8 horas de trabalho quantas peças este artesão 
conseguiria produzir? ݉𝑖݊ݑݐ݋ݏ ݌݁çܽݏͳͺ ͵ͶͺͲ 𝑥 ଵ଼ସ଼଴ = ଷ𝑥 ➪ ͳͺ . 𝑥 = ͵ . ͶͺͲ ➪ 𝑥 = ଷ . ସ଼଴ଵ଼ = ͺͲ peças. 
 
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Grandezas proporcionais 
Exercício 
• Uma torneira enche uma pequena piscina em 6 
horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo 
necessário para enche-la? ℎ݋ݎܽݏ ݐ݋ݎ݊݁𝑖ݎܽݏ͸ ͳ𝑥 ͵ 𝑥଺ = ଵଷ ➪ ͵. 𝑥 = ͳ . ͸ ➪ 𝑥 = ଵ . ଺ଷ = ʹ horas. 
3/4 
Grandezas proporcionais 
Exercício 
• Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 
gramas cada um. Com o mesmo material, caso 
queira produzir pães de 10 gramas, quantos pães 
iremos obter? ݌ã݁ݏ 𝑔ݎܽ݉ܽݏͻͲ ͳͷ𝑥 ͳͲ 𝑥ଽ଴ = ଵହଵ଴ ➪ ͳͲ. 𝑥 = ͻͲ . ͳͷ ➪ 𝑥 = ଵଷହ଴ଵ଴ = ͳ͵ͷ pães. 
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Porcentagem 
Porcentagem é sempre uma representação 
• Fracionária: ଶ଴ଵ଴଴ (razão com denominador 100) • Decimal ou taxa unitária: 0,20 
• Taxa Percentual: 20% ( ➪ divisão por cem) 
 
Exemplo: 
Considere um grande bolo, dividido em 100 pedaços 
iguais. Cada pedaço corresponderá a um porção de 100: ͳͳͲͲ = ͳ% 
Porcentagem 
Toda taxa é uma porcentagem. 
Exemplos: 
• Se há 1000 alunos em um curso de graduação e 
350 são do 2º. período. Qual a porcentagem de 
alunos do 2º. período em relação ao total? ͵ͷͲͳͲͲͲ = Ͳ,͵ͷ = ͵ͷ% • Quanto é 15% de R$2.500,00? ͳͷ% = ͳͷͳͲͲ = Ͳ,ͳͷ × ʹͷͲͲ = 𝑅$͵͹ͷ,ͲͲ 
Porcentagem 
Exercício 
• Maria comprou um vestido à vista para ganhar um 
desconto de 5% no valor original dele. Se o vestido 
custa R$ 60,00, quanto Maria pagou? 
 ͸Ͳ − ͷ% ݀݁ ͸Ͳ ͸Ͳ − ͷͳͲͲ × ͸Ͳ = ͸Ͳ − Ͳ,Ͳͷ × ͸Ͳ ͸Ͳ − ͵ = ͷ͹ 
Maria pagou R$57,00 
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Porcentagem 
Exercício 
• Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% 
ensinam Matemática. Quantos professores ensinam 
Matemática nessa escola? 
 ʹͶ% ݀݁ ʹͷ ʹͶͳͲͲ × ʹͷ = Ͳ,ʹͶ × ʹͷ = ͸ 
6 professores ensinam matemática. 
2/4 
Porcentagem 
Exercício 
• Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% 
por ter feito o pagamento à vista. Se paguei 
R$102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço 
original? 
 
 
 
𝑥 − ͳͷ% ݀݁ 𝑥 = ͳͲʹ 𝑥 − Ͳ,ͳͷ. 𝑥 = ͳͲʹ ͳ − Ͳ,ͳͷ . 𝑥 = ͳͲʹ Ͳ,ͺͷ. 𝑥 = ͳͲʹ 𝑥 = ͳͲʹͲ,ͺͷ = ͳʹͲ 
ͳͲͲ% − ͳͷ% = ͺͷ% Ͳ,ͺͷ. 𝑥 = ͳͲʹ 𝑥 = ͳͲʹͲ,ͺͷ = ͳʹͲ 
3/4 
FIM 
Porcentagem 
Exercício 
• Um carro foi vendido por R$10.000,00, com prejuízo 
de 20% sobre o preço da compra. O carro havia 
sido comprado, em reais, por? 
 
 
 
𝑥 − ʹͲ% ݀݁ 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲ 𝑥 − Ͳ,ʹ. 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲ ͳ − Ͳ,ʹ . 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲ Ͳ,ͺ. 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲ 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲͲ,ͺ = ͳʹ.ͷͲͲ 
ͳͲͲ% − ʹͲ% = ͺͲ% Ͳ,ͺͲ. 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲ 𝑥 = ͳͲ.ͲͲͲͲ,ͺͲ = ͳʹ.ͷͲͲ 
4/4 
FIM 
Antonio Sérgio Alves do Nascimento 
 
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA 
(1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000) 
 
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531 
. 
Obrigado!