Aula 10

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Matemática para Negócios
Antonio Nascimento
Aula 10
Derivadas
Objetivos desta aula: 
• Verificar a importância do coeficiente angular na 
interpretação da Derivada.
• Analisar graficamente uma Derivada
• Verificar a derivada de uma soma.
• Determinar a derivada resultante do produto de duas 
funções utilizando a regra do produto.
• Determinar a derivada resultante da divisão de duas 
funções utilizando a regra do quociente.
Conceito
• Derivada de uma função é uma outra função que 
nos mostra o comportamento da função original.
• Em Administração temos a função custo total → 
sua derivada é o custo marginal.
• A função derivada nos mostra a tendência de 
variação dessa função, provocada por uma 
variação muito pequena.
Conceito
• Dada uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 , em um 
ponto 𝑥 = 𝑥0 é o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico da função 
no ponto 𝑥0. 
𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥0 =…
...
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(𝑥0) = lim
∆𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Coeficiente angular 
• Representamos a derivada de uma 
função 𝑦 = 𝑓 𝑥 por:
𝑓′ 𝑥 𝑜𝑢 𝑦′ 𝑜𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• Geometricamente, o significado desse 
quociente 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, como podemos ver na 
figura, é o coeficiente angular da reta 
que passa pelos pontos: 
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
)𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥0)
Função derivada
• Pela definição, as seguintes derivadas (coeficiente 
angular), da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1, para 𝑥0 = 1.
𝑦′ 𝑥0 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0
∆𝑥
• 𝑓 𝑥0 = 𝑓 1 = 3 1 + 1 = 4
• 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑓 1 + ∆𝑥 = 3. 1 + ∆𝑥 + 1 = 3 + 3∆𝑥 + 1 = 4 + 3∆𝑥
𝑦′ 1 = lim
∆𝑥→0
)𝑓 1 + ∆𝑥 − 𝑓(1
∆𝑥
Função derivada
• Pela definição, as seguintes derivadas (coeficiente 
angular), da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1, para 𝑥0 = 1.
• 𝑓 𝑥0 = 𝑓 1 = 3 1 + 1 = 4
• 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑓 1 + ∆𝑥 = 3. 1 + ∆𝑥 + 1 = 3 + 3∆𝑥 + 1 = 4 + 3∆𝑥
𝑦′ 1 = lim
∆𝑥→0
)𝑓 1 + ∆𝑥 − 𝑓(1
∆𝑥
𝑦′ 1 = lim
∆𝑥→0
4 + 3∆𝑥 − 4
∆𝑥
𝑦′ 1 = lim
∆𝑥→0
3∆𝑥
∆𝑥
𝑦′ 1 = lim
∆𝑥→0
𝑦′ 1 = 3 ou 𝑚 = 3
Regras de derivação
• Temos uma série de regras de diferenciação 
(derivação) para que o processo de obtenção do 
cálculo de uma derivada seja bastante prático.
• Derivadas das principais funções elementares:
• Função Constante
• Função Potência
Regras de derivação – Função Constante
𝑓 𝑥 = 𝐶
𝑓′ 𝑥 = 0
• Ex:
a) 𝑓 𝑥 = 5 → 𝑓′(𝑥) = 0
b) 𝑓 𝑥 = −4 → 𝑓′ 𝑥 = 0
Regras de derivação – Função Potência
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥 = 𝑛. 𝑥 𝑛−1 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅
Ex:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑓′ 𝑥 = 2. 𝑥 2−1
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥1
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥8
𝑓′ 𝑥 = 8. 𝑥(8−1)
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥7
Exercícios
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥
2) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 100
3) 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
4) 𝑦 = 100𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 − 10
Derivada de uma soma (ou subtração) de funções
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) então a derivada 
será:
𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′(𝑥)
Ex:
a) 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 10
𝑓′ 𝑥 = 3.2. 𝑥 2−1 + 2. 𝑥(1−1) − 0
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 + 2
Derivada do produto de duas funções: a regra do produto
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓 𝑥 × 𝑔(𝑥) então a 
derivada será:
𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
Ex:
a) 𝑦 = 𝑥3. (4𝑥 + 2)
൝
𝑓 𝑥 = 𝑥3
𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 2
➪ ൝
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
𝑔′ 𝑥 = 4
𝑦′ = 3𝑥2. 4𝑥 + 2 + 𝑥3 . 4
𝑦′ = 12𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥3
𝑦′ = 16𝑥3 + 6𝑥2
Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente
Seja uma função do tipo 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
então a derivada será:
𝑦′ =
𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
Ex:
a) 𝑦 =
5𝑥4
3𝑥2
൝
𝑓 𝑥 = 5𝑥4
𝑔 𝑥 = 3𝑥2
➪ ൝
𝑓′(𝑥) = 20𝑥3
𝑔′ 𝑥 = 6𝑥
𝑦′ =
20𝑥3.3𝑥2−5𝑥4.6𝑥
3𝑥2 2
= 
60𝑥5−30𝑥5
9𝑥4
=
30𝑥5
9𝑥4
𝑦′ =
10𝑥
3
Função derivada
Se a demanda de determinado bem é dada pela equação 
𝑦 = 4000 − 30𝑥2 + 𝑥3 (y é a quantidade demandada e x é o 
preço), verifique se ela é crescente ou decrescente para os 
valores de preço: 
a) 𝑥 = 2
b) 𝑥 = 10
c) 𝑥 = 20
Exercício
A função custo total de produção de determinado bem é dada por:
𝑓 𝑥 = −
𝑥2
2
+ 575. 𝑥 + 30000
para 𝑥 variando entre 0 e 575 unidades. 
• Calcule a taxa de crescimento do custo para as quantidades 
𝑥 = 0, 𝑥 = 100 e 𝑥 = 600.
• Qual é a quantidade produzida para a qual, a taxa de 
crescimento do custo se iguala a zero?
Exercício
𝑓′ 𝑥 = −𝑥 + 575
a) 𝑥 = 0
b) 𝑥 = 100
c) 𝑥 = 600
Qual é a quantidade produzida para 
a qual, a taxa de crescimento do 
custo se iguala a zero?
Antonio Sérgio Alves do Nascimento
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA 
(1997) e Mestrado em Engenharia Civil pela PUC-Rio 
(2000)
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531
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Obrigado!