Gabarito P2 A1 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Turma A1
Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1. Uma caixa conte´m 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Retiramos bolas uma por
uma, ate´ aparecer uma bola branca. Seja X o nu´mero de bolas retiradas. Calcule
o valor esperado e o desv´ıo padra˜o de X em dois casos: 1) na˜o devolvemos bolas
retiradas a´ caixa, 2) devolvemos bolas apo´s cada retirada.
No caso sem reposic¸a˜o o nu´mero de bolas retiradas pode ser k = 1, 2, 3, com as probabilidades
P (1) =
3
5
= 0, 6; P (2) =
2
5
· 3
4
= 0, 3; P (3) =
2
5
· 1
4
= 0, 1. Logo, temos:
E(k) = 1 · 0, 6 + 2 · 0, 3 + 3 · 0, 1 = 1, 5 E(k2) = 12 · 0, 6 + 22 · 0, 3 + 32 · 0, 1 = 2, 7
σ(k) =
√
E(k2)− E2(k) = 0, 67
No caso com reposic¸a˜o, o nu´mero de bolas retiradas representa uma varia´vel geome´trica
P (k) =
3
5
(
2
5
)k−1
, com p =
3
5
, E(k) =
1
p
= 1, 67 e σ(k) =
√
1− p
p
= 1, 05.
2. Lanc¸amos dois dados. Seja X a quantidade de 1’s, e Y, a quantidade de 2’s
no resultado do lanc¸amento. Obtenha a distribuic¸a˜o conjunta e as distribuic¸o˜es
marginais. X e Y sa˜o independentes?
X\Y 0 1 2 P (X)
0 16/36 8/36 1/36 25/36
1 8/36 2/36 0 10/36
2 1/36 0 0 1/36
P (Y ) 25/36 10/36 1/36
Temos P (X, Y ) 6= P (X) · P (Y ).
Portanto, X e Y na˜o sa˜o independentes.
3. O tempo me´dio de atendimento de um cliente em um banco e´ 1, 5 minutos, com
variaˆncia 4. Calcule a probabilidade de que 100 clientes sejam atendidos em
menos de duas horas.
O tempo de atendimento de 100 clientes T e´ uma variavel aleato´ria com E(T ) = 1, 5 · 100 =
150 e variaˆncia V ar(T ) = 4 · 100 = 400. Pelo teorema central do limite,
P (T < 120) = P
(
T − E(T )
σ(T )
<
120− 150√
400
)
≈ P (Z < −1, 5) = Φ(−1, 5) = 1−Φ(1, 5) ≈ 0, 07
4. O tempo de vida de uma laˆmpada e´ uma varia´vel exponencial, com a me´dia de
10 mil horas. Qual a probabilidade de uma laˆmpada durar mais de 10 mil horas?
Se sabemos que uma laˆmpada ja´ funcionou por 5 mil horas, qual a probabilidade
de ela durar, pelo menos, mais 5 mil horas?
Para uma varia´vel exponencial temos E(X) = 1/λ, logo λ = 1/10. As probabilidades sa˜o
dadas pela func¸a˜o de dsitribuic¸a˜o acumulada P (X < a) = 1− e−a/10, P (X > a) = e−a/10.
A probabilidade de uma laˆmpada durar pelo menos 10 mil horas e´ P (X > 10) = e−10/10 =
e−1 = 0, 37.
A probabilidade condicional de durar mais 5 mil se sabemos que ela ja´ durou 5 mil e´
P (X > 10|X > 5) = P (X > 10)
P (X > 5)
=
e−1
e−1/2
= e−1/2 = 0, 61
Notem que essa u´ltima probabiliade e´ igual a probabilidade de uma laˆmpada durar 5 mil
horas, P (X > 5) = e−1/2.