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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica Noturno A2, Prof. Vladimir Perchine Prova - 2 (gabarito) 1a. Nos u´ltimos 30 dias, um menino capturou 150 Poke´mons. Qual a probabilidade de ele capturar pelo menos dois Poke´mons amanha˜? Usando a distribuic¸a˜o de Poisson com λ = 150/30 = 5, temos P (k ≤ 2) = 1− P (0)− P (1) = 1− e−5 − 5 e−5 = 0, 960 1b. A probabilidade de um reme´dio funcionar e´ 60%. Para um teste cl´ınico foi usado um grupo com cinco pacientes. O resultado e´ considerado positivo se o reme´dio funciona para a maioria dos pacientes. Qual a probabilidade do resultado posi- tivo? Temos uma distribuic¸a˜o binomial com p = 0, 6, n = 5: P (k ≤ 2) = P (3) + P (4) + P (5) = 10 (0, 6)3 (0, 4)2 + 5 (0, 6)4 0, 4 + (0, 6)5 = 0, 683 2a. A func¸a˜o densidade de probabilidade e´ f(x) = C/x2 quando |x| > 1, e f(x) = C quando |x| ≤ 1 (C e´ uma constante). Calcule P (X < 2). Determinamos o valor de C da normalizac¸a˜o da probabilidade: −1∫ −∞ C x2 dx+ 1∫ −1 C dx+ ∞∫ 1 C x2 dx = 2C + 2C ∞∫ 1 dx x2 = 4C ⇒ C = 1/4 P (X < 2) = 1− P (X > 2) = 1− 1 4 ∞∫ 2 dx x2 = 1− 7 8 = 0, 875 2b. A func¸a˜o densidade de probabilidade e´ f(x) = C/x2 quando |x| > 1, e f(x) = C quando |x| ≤ 1 (C e´ uma constante). Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumu- lada. Usando o valor C = 1/4 (veja o item anterior), temos: x ≤ −1 F (x) = 1 4 x∫ −∞ dt t2 = − 1 4x −1 < x ≤ 1 F (x) = F (−1) + 1 4 1∫ −1 dt = x 4 + 1 2 x > 1 F (x) = F (1) + 1 4 x∫ 1 dt t2 = 1− 1 4x 3a. As u´nicas probabilidades conjuntas na˜o nulas de duas varia´veis sa˜o P (X = 1, Y = 3) = 2/3, P (X = 2, Y = 2) = 1/3 Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o e explique o resultado. 1 A relac¸a˜o entre X e Y e´ determin´ıstica: por exemplo, quando X = 1, com p = 1 sabemos que Y = 3. Isso corresponde ao valor ρ = −1 (dependeˆncia linear negativa). Um ca´lculo expl´ıcito tambe´m confirma esse resultado: X\Y 2 3 P (X) 1 0 2/3 2/3 2 1/3 0 1/3 P (Y ) 1/3 2/3 E(X) = 1 · 2 3 + 2 · 1 3 = 4 3 , E(X2) = 12 · 2 3 + 22 · 1 3 = 2, σ(X) = √ 2− 16 9 = √ 2 3 E(Y ) = 2 · 1 3 + 3 · 2 3 = 8 3 , E(Y 2) = 22 · 1 3 + 32 · 2 3 = 22 3 , σ(Y ) = √ 22 3 − 64 9 = √ 2 3 E(XY ) = 1 · 3 · 2 3 + 2 · 2 · 1 3 = 10 3 , Cov(X, Y ) = 10 3 − 4 3 · 8 3 = −2 9 , ρ = −2/9 ( √ 2/3)2 = −1 3b. As u´nicas probabilidades conjuntas na˜o nulas de duas varia´veis sa˜o P (X = 1, Y = 3) = 1/3, P (X = 2, Y = 2) = 2/3 Calcule todas as distribuic¸o˜es condicionais. As varia´veis sa˜o independentes? X\Y 2 3 P (X) 1 0 1/3 1/3 2 2/3 0 2/3 P (Y ) 2/3 1/3 ⇒ X 1 2 P (X|Y = 2) 0 1 P (X|Y = 3) 1 0 Y 2 3 P (Y |X = 1) 0 1 P (Y |X = 2) 1 0 As distribuic¸o˜es condicionais na˜o sa˜o ideˆnticas, portanto, as varia´veis na˜o sa˜o independentes. 4a. A regia˜o metropolitana de Sa˜o Paulo possui 20 milho˜es de habitantes, 2,5 milho˜es deles moram no ABC. Em uma manifesta˜c¸a˜o na regia˜o apareceram 2500 pessoas. Qual a probabilidade de que pelo menos 300 delas eram do ABC? A quandidade das pessoas do ABC presentes e´ uma varia´vel binomial com p = 2, 5/20 = 0, 125, n = 2500, E(X) = np = 312, 5 e σ(X) = √ np(1− p) = 16, 5 e pode ser aproximada por uma varia´vel normal Z: P (X ≥ 300) = P ( X − 312, 5 16, 5 ≥ 300− 312, 5 16, 5 ) ≈ P (Z ≥ −0, 76) = Φ(0, 76) = 0, 78 4b. Em formaturas de uma faculdade, um terc¸o dos formandos levam 2 parentes, um terc¸o leva um parente, e mais um terc¸o na˜o leva ningue´m. Se neste ano ha´ 600 formandos, qual a probabilidade de que o nu´mero total dos parentes presentes na˜o ultrapassara´ 650? A quantidade de parentes levados por um aluno e´ uma varia´vel aleato´ria Xi com P (0) = P (1) = P (2) = 1 3 , E(Xi) = 0 · 13 + 1 · 13 + 3 · 13 = 1, E(X2) = 02 · 13 + 12 · 13 + 32 · 13 = 53 e σ(Xi) = √ 5 3 − 1 = √ 2 3 . A quantidade total dos parentes S = X1 + . . . + X600 possui E(S) = 600, σ(S) = √ 600 √ 2 3 = 20 e pode ser aproximada por uma varia´vel normal: P (S ≤ 650) = P ( S − 600 20 ≤ 650− 600 20 ) ≈ P (Z ≤ 2, 5) = Φ(2, 5) = 0, 99 2
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