Conceito e Soluções de uma Equação Diferencial

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Professora: Ilka R. Freire 
 
Texto 01 Equações Diferenciais Ordinárias - Introdução1 
 
1. O que é uma Equação Diferencial ? 
 
Grande parte dos problemas mais importantes das ciências físicas, biológicas, econômicas e das 
engenharias apresenta como modelo equações em que se procura uma função y = f(x) que expressa 
certo fenômeno natural. Estes fenômenos envolvem mudanças e são melhores descritos por 
equações que envolvem quantidades variáveis. Como a derivada 
dx
dy
 pode ser vista como a taxa em 
que a grandeza y varia em relação à quantidade x, é natural que equações envolvendo derivadas 
sejam freqüentemente usadas para descrever fenômenos do universo. 
Às vezes é não é possível estabelecer diretamente a dependência entre as variáveis x e y do tipo y = 
f(x), ou mesmo F(x,y) = c. No entanto, pode ser possível estabelecer uma relação entre as variáveis 
x, y e as derivadas de y em relação a x, ou seja, uma relação do tipo F(x, y, y', y'', y'''...) = 0. 
Quando isto acontece dizemos que temos uma equação diferencial. Mais precisamente, uma 
equação diferencial nada mais é que uma equação, onde os elementos que nela estão envolvidos são 
as variáveis x, y e algumas derivadas y´ , y´´, etc. 
 
 
2. Definições Básicas 
 
Definição 1: Chama-se equação diferencial ordinária de ordem n a uma expressão do tipo 
F(x, y, y', y', ....y(n) ) = 0, ou seja, a uma expressão que envolve a variável x, a própria função y, e 
uma ou mais derivadas da função y = f(x). A função y = f(x) é a incógnita procurada. Quando uma 
função y satisfaz esta equação diferencial dizemos que y é uma solução (particular) desta EDO. 
 
Exemplo 1: A 2
a
 Lei de Newton nos diz que “a força é o produto da massa pela aceleração”, ou 
seja, uma partícula de massa m submetida a uma força F obedece à lei F = ma. Se x(t) é a posição 
no instante t dessa partícula então temos 2
2
dv d dx d x
a = ( )
dt dt dt dt
 
 . Logo, podemos escrever 
2
2
d x
F = m
dt
 , que é uma equação diferencial, onde a força F pode ser função de t, x e da velocidade 
dt
dx
 
 
1
 Texto redigido pela Profa. Ilka Freire e adaptado por Adelmo R. de Jesus 
 2 
Exemplo 2: A experiência mostra que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa 
proporcional à quantidade presente em cada instante. Sendo Q(t) a massa da substância existente 
num instante t qualquer, temos que 
kQ
dt
dQ

, onde k é uma constante que depende da substância. 
Exemplo 3: A equação 
x y y y xe 0    
 relaciona as variáveis x, y, y´ e y´´. Logo, é uma 
equação diferencial. 
 
Observação: O adjetivo “ordinária” serve para distinguir da equação diferencial “parcial” que 
envolve derivadas parciais 
z z
 , 
x y
 
 
, etc. Exemplos de equações diferenciais parciais são a 
equação do potencial, equação da difusão e condução do calor e a equação da onda, que aparecem 
em problemas de eletricidade e magnetismo e na mecânica dos fluidos. 
 
 
Definição 2: A ordem de uma equação diferencial é o número que corresponde à derivada de maior 
ordem que aparece na equação. 
 
Exemplos: 
 
1) As equações dos três exemplos anteriores são 
1.1. 2
2
d x
F = m
dt
 . 2
a
 ordem 
1.2. 
kQ
dt
dQ

. 1
a
 ordem 
1.3. 
x y y y xe 0    
 . 2
a
 ordem. 
 
 
Exercício resolvido: Dê a equação diferencial para resolver os seguintes problemas 
 
a) Encontre a equação da curva sabendo que a inclinação da reta tangente num ponto qualquer 
dessa curva é 
y
x

. 
Solução: A equação diferencial do problema é 
y
x
y 
 que também pode ser escrita na forma 
0xyy 
. Logo, F(x,y,y´) = y´y + x. A equação é de 1
a
 ordem. 
 
b) Determine a equação de uma curva sabendo que a 2
a
 derivada em cada ponto (x,y) é igual a 
3x
1
 
Solução: A equação diferencial do problema é 
3x
1
y 
 que também pode ser escrita na forma 
F(x, y, y´, y´´ ) = y´´x
3
 – 1 = 0. Equação de 2a ordem. 
 
 
Definição 3: Supondo a equação escrita na forma racional inteira em relação às derivadas, o grau 
de uma equação diferencial é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta 
ordem. 
 
 
 3 
Exercícios resolvidos: Identifique a ordem e o grau das seguintes equações: 
 
xxeyyy )1 
 ( 2ª ordem e 1º grau ) 
0xy2
dx
yd
dx
yd
 )2
2
2
3
3

 ( 3ª ordem e 1º grau ) 
0w
dt
dw
2
dt
wd
 )3
3
2
2








 ( 2ª ordem e 3º grau ) 
0y3)y(x2yx )4 2 
 ( 2ª ordem e 1º grau ) 
0y3)y(2)y( )5 53 
 ( 3ª ordem e 3º grau ) 
 
Observação: Neste curso só estudaremos equações diferenciais de 1º grau. 
 
 
3. Soluções de uma Equação Diferencial 
 
Definição 4: Uma função y(x) (ou na forma implícita f (x,y) = 0) é uma solução da equação 
diferencial F(x, y, y', y', ....y(n) ) = 0 em um intervalo I se y, y´, y´´, ......y 
(n)
 existem em I e y(x) 
satisfaz à equação. 
 
Observação: A solução pode estar na forma explícita y = y(x) ou na forma implícita f(x,y)=0 
 
Exemplos: 
 
1) y = e
x
 é solução da equação y´ – y = 0 
 
Solução: y = e
x  y´= ex . Substituindo na equação temos que y´ – y = ex  ex = 0 
 
 
2) y = senx é solução da equação y´´ + y = 0 
 
Solução: y = senx  y´ = cosx  y ´´ =  senx . Substituindo na equação obtemos: 
y´´ + y =  senx + senx = 0 
 
3) Q(t) = e
2t
, é solução da equação 
Q2
dt
dQ

 
Solução: 
Q22e
dt
dQ 2t 
 
 
4) y = xe
x
 é solução da equação y´´ 2y´+ y = 0 
 
Solução: y = xe
x  y´ = ex + xex  y´´ = ex + ex + xex = 2 ex + x ex 
 
Substituindo na equação: y´´ 2y´+ y = (2 ex + x ex) 2(ex + xex) + xex = 0 
 
5) x
2
 + y
2
 = 1 é solução da equação y y´+ x = 0 ( solução na forma implícita ) 
 
Solução: Observemos que a solução está na forma implícita. Derivando implicitamente 
 4 
x
2
 + y
2
 = 1 obtemos: 2x + 2y y´= 0 o que nos dá 
y
x
y 
. 
Substituindo 
y
x
y 
 na equação y y´+ x = 0 obtemos uma identidade. 
 
4. O que significa “resolver” uma Equação Diferencial ? 
 
Resolver ou integrar uma equação diferencial é encontrar todas as funções y = y(x) (forma explícita) 
ou curvas (x,y)=C (forma implícita) que satisfazem à equação dada. Existem 3 tipos de solução de 
uma EDO: 
 
Solução Geral: É a solução que contém todas as curvas y=f(x) ( ou f(x,y)=c ) que satisfazem à 
equação diferencial dada. Ela contém tantas constantes arbitrárias quanto for a ordem da equação. 
A solução geral da equação F(x, y, y', y', ....y(n) ) = 0 é indicada por f( x, y, C1, C2,.....Cn ) = 0, 
onde C1, C2,.....Cn são as n constantes arbitrárias. 
 
 
Exemplos: 
1) y = Cex é solução geral da equação y´ – y = 0. Equação de 1a ordem – a solução geral 
contém uma constante arbitrária C. (Verifique que satisfaz a equação ) 
2) y = C1 + C2 e
x
 é solução geral da equação y´´  y´= 0. Equação de 2a ordem – a solução 
geral contém duas constantes arbitrárias C1 e C2. (Verifique que satisfaz a equação) 
3) x2 + y2 = C é a solução geral da equação y y´= –x . Observe que neste caso a solução está na 
forma implícita. ( Verifique que satisfaz a equação ) 
 
Solução Particular: É a solução obtida da solução geral atribuindo-se valores às constantes 
arbitrárias. As constantes arbitrárias são calculadas através das chamadas condições iniciais doproblema, x = xo; y = yo, y´= y´o, .... y 
(n-1)
 = y
(n-1)
o 
 
Exemplos: 
 
1) A solução geral da equação y´ y = 0 é y = Cex. Atribuindo valores a C obtemos soluções 
particulares: y = ex ( C = 1 ); y = 2ex ( C = 2 ); 
3
e
y
x

 ( 
)
3
1
C 
; etc. 
Podemos obter a constante arbitrária a partir de uma condição inicial, como ilustra o exemplo a 
seguir: 
 
1.1) Encontre a solução particular da equação y´  y = 0 que satisfaz a condição inicial y(0) = 3. 
 
Solução: Já vimos que y = Ce
x
 é a solução geral. Substituindo a condição y(0) = 3 obtemos C = 3. 
Assim, a solução particular que satisfaz a condição inicial dada é y = 3e
x
. 
 
2) A solução geral da equação y´´  y´= 0 é y = C1 + C2 e
x
. 
Exemplos de soluções particulares: 
 y = 1 + 2 e
x 
( C1 = 1 e C2 = 2 ); 
 y = 3  2ex ( C1 = 3 e C2 = 2 ); etc 
 
2.1) Encontre a solução particular da equação y´´  y´= 0 que satisfaz as condições iniciais 
y(0) = 1 e y´( 0 ) =  2. 
 
 5 
Solução: Observemos que, neste caso a equação é de 2ª ordem e, portanto, precisamos de 2 
condições iniciais para encontrar a solução particular. 
A solução geral como vimos é y = C1 + C2 e
x
, logo y´= C2 e
x
. Substituindo y(0) = 1 em 
 y = C1 + C2 e
x
 e y´( 0 ) =  2 em y´= C2 e
x
 ficamos com o sistema: 
 





2
21
C2
CC1  C2 =  2 e C1 = 3. Logo, a solução particular é y = 3  2e
x
. 
 
 
Solução Singular: É uma solução que não pode ser obtida da geral, e às vezes é obtida por inspeção 
na EDO. Em geral os problemas de aplicação nas engenharias não trazem soluções singulares, ou 
estas são desprezadas. 
 
O exemplo a seguir é ilustrativo da natureza e finalidade das equações diferenciais, bem como das 
suas aplicações. 
 
Exemplo: A experiência mostra que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa 
proporcional à quantidade presente em cada instante. Suponhamos que num instante t = 0 a 
quantidade inicial seja de Q(0) = Qo = 3 mg. Qual a massa existente num instante t qualquer? 
 
3mg =Q(0)
kQ 
dt
dQ





 
 
Observação: k é uma constante determinada experimentalmente cujo valor é conhecido para várias 
substâncias. 
 
Podemos mostrar que 
ktCe = Q(t)
 é a solução geral da equação e 
kt3e = Q(t)
 é a solução particular 
que satisfaz a condição inicial dada. 
 
O exemplo apresentado coloca as questões fundamentais no tratamento das equações diferenciais: 
1o) A tradução do problema para um correspondente "modelo matemático" (modelagem) que nos 
leva à equação dQ
dt
kQ
. 
2o) A resolução da equação na busca da solução 
kte C = Q(t)
. 
3o) A condição inicial Q ( 0 ) = 3mg que nos dá a solução particular 
kte 3 = Q(t)
. 
 
 
 
5. Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem 
 
Vamos estudar, inicialmente, as equações de 1
a
 ordem e 1
o
 grau que se escrevem na forma 
 
y´ = f (x, y), ou M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, ou ainda F(x, y, y´) = 0 
 
A solução geral de uma EDO de 1ª ordem é quase sempre dada na forma implícita por uma 
expressão do tipo (x, y) = C, ou seja, é uma família de curvas dependendo de um parâmetro C. 
 
 6 
Um problema que se coloca no estudo das equações diferenciais é se sempre teremos uma solução e 
se esta solução é única. Em muitos ramos da Matemática as questões de existência e unicidade são 
de grande importância. Vamos enunciar o teorema que garante a existência e unicidade para 
equações de 1
a
 ordem e 1
o
 grau, satisfazendo uma condição inicial y(xo) = yo . 
 
Teorema da Existência e Unicidade: Consideremos a equação 
 y f x y( , )
. Se 
 
 
 
 e 
y
f
y



 são 
contínuas em um certo domínio D do plano, e se 
 ),( oo yx
 D , então existe uma única solução 
desta equação y = u(x) tal que u( xo) = yo. 
 
 
O Teorema da Existência e Unicidade, nos garante que, sob determinadas condições (
f 
y e 
y



 
contínuas em um certo domínio D do plano) a solução de uma equação diferencial de primeira 
ordem existe e por um ponto do domínio D passa uma única solução 
 
 
 Um problema do tipo 
o o
y f (x, y)
 
y(x )=y
 


 é chamado de Problema de Valor Inicial (PVI), ou Inicial 
Value Problem (IVP). Ou seja, um PVI nada mais é que uma EDO com um dado inicial y(xo) = yo 
O Teorema de Existencia e Unicidade nos diz que sob certas condições sobre a função f(x,y) um 
PVI tem solução única. 
 
6. Interpretação Geométrica de uma EDO 
 
Uma equação diferencial do tipo y´=f(x,y) tem uma interpretação geométrica interessante: Ela quer 
dizer que a derivada (inclinação) em cada ponto (x,y) do plano deve ser igual ao valor da função f 
neste ponto. Quando dizemos “ y´ = f(x,y) ” estamos nos perguntando: “ Qual a função y=y(x), ou 
qual a curva (x,y) = C cuja inclinação em cada ponto (x,y) é igual a f(x,y)? ” . 
 
Como vimos anteriormente, a solução geral desta EDO determina uma família de curvas do plano 
que possuem exatamente essas propriedades. Estas curvas são chamadas de curvas integrais da 
EDO, por terem sido obtidas por métodos de integração. 
 
Além disso, o Teorema de Existência e Unicidade para EDO nos diz que por um ponto (xo,yo)D 
passa somente uma curva que é solução da equação dada, ou seja, existe uma única curva y = y(x) 
tal que y(xo) = yo e cuja inclinação é f(x,y) . 
 
 
 
 
 
 7 
Exemplos: 
 
1) Seja a EDO y' = 1 
 
Neste caso, f(x,y) = 1, ou seja, a EDO significa que em cada ponto a inclinação da curva solução 
deve ser igual a 1. Na figura abaixo mostramos o chamado 
“campo de direções” da EDO, que é um dado do problema. 
 
Neste caso, as curvas soluções devem ser tais que a derivada 
em cada ponto seja igual a 1. 
 
Como já vimos, y ´= 1  y = x + C , ou seja, as retas 
y = x+C são as soluções da EDO y´ = 1. 
 
Na figura abaixo mostramos algumas curvas soluções desta 
EDO juntamente com o campo de direções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere a EDO y' = 2x 
 
Neste caso temos f(x,y) = 2x, ou seja, queremos encontrar curvas y=y(x) cuja inclinação em cada 
ponto seja igual a 2x 
Como y' = 2x temos y = x2 + C, ou seja, a familia de curvas y = 
x2 + C tem inclinacao em cada ponto igual a 2x. 
 
 
 
 
3) Considere a equação diferencial yy´ = x 
 
A equação acima pode ser escrita como y ´ = - x/y e neste caso, 
f(x,y) = -x/y 
        








x
y
        








x
y
        









x
y
 8 
 
A EDO 
dy -x
 = 
dx y
 pode ser colocada em variáveis separadas, ou seja, y dy = -xdx 
Integrando ambos os membros chegamos à solução na forma implícita, dada por x
2
 + y
2 
= C 
 
Neste caso estas curvas são círculos centrados na origem. 
 
A figura ao lado mostra o campo de direções 
-x
f(x,y) = 
y
 
juntamente com algumas curvas integrais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
 Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – William E. Boyce e 
Richard C. DiPrima – LTC Editora 
 Equações Diferenciais vol 1– Dennis G. Zill e Michael R. Cullen – Makron Books 
 Matemática Superior vol 1 – Erwin Kreyszig LTC Editora 
        








x
y